Continuité

Continuité d’une fonction réelle

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\). Soit \(a\in I\).

  • On dit que \(f\) est continue en \(a\) si \(f\) admet une limite en \(a\), par valeurs supérieures et par valeurs inférieures, et que \(\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)=\displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x)=\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x)=f(a)\)
  • On dit que \(f\) est continue sur \(I\) si \(f\) est continue en tout réel de \(I\).
Exemple : Jusqu’ici, les fonction de référence rencontrées étaient continues sur leur domaine de définition :

  • Les fonctions polynômes, les fonctions quotients de polynômes ;
  • les fonctions trigonométriques \(\cos\) et \(\sin\) ;
  • la fonction exponentielle
  • la fonction Racine Carrée, la fonction Valeur absolue.
Exemple : On considère la fonction \(f\) dont la courbe représentative \(\mathcal{C}_f\) est donnée ci-dessous.

On remarque que \(\displaystyle \lim_{x \to (-2)^-}f(x)=2\) et que \(\displaystyle \lim_{x \to (-2)^+}f(x)=6\). Ces deux valeurs sont différentes, la fonction \(f\) n’est pas continue en 2. Graphiquement, on voit que la courbe de la fonction fait un « saut » en \(x=-2\).

Exemple : On considère la fonction \(f:x\mapsto \left\{ \begin{array}{ll}
2x+9 & \text{si }x<-2\\ x^2+1 & \text{si }-2\leqslant x < 3\\ 4x-4 & \text{si } x \geqslant 3 \end{array}\right.\) définie sur \(\mathbb{R}\) La fonction \(f\) est continue sur \(]-\infty;-2[\), \(]-2;3[\) et \(]3;+\infty[\). Il faut étudier la continuité aux bords de chaque intervalle.

Continuité en \(-2\)

  • \(f(-2)=(-2)^2+1=5\)
  • \(\displaystyle \lim_{x \to (-2)^-} f(x)= \displaystyle \lim_{x \to (-2)^-} (2x+9)=2\times (-2)+9=5\)
  • \(\displaystyle \lim_{x \to (-2)^+} f(x)= \displaystyle \lim_{x \to (-2)^+} (x^2+1)=5\)
  • Ainsi, \(f\) est continue en \(-2\)

Continuité en \(3\)

  • \(f(3)=4\times 3 -4 =8\)
  • \(\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x)= \displaystyle \lim_{x \to 3^-} (x^2+1)=3^2+1=10\)
  • \(\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x) \neq f(3)\). Ainsi, \(f\) n’est pas continue en \(3\)

Encore une fois, une représentation graphique nous permet de nous assurer de tout cela.

La somme et le produit de fonctions continues sur un intervalle \(I\) sont continus sur \(I\).
Exemple : La fonction \(x\mapsto \cos(x)(x^2+3\sqrt{x})-\sin(x)e^x\) est continue sur \(\mathbb{R}_+\)
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\). Si \(f\) est dérivable sur \(I\), alors \(f\) est continue sur \(I\).
la réciproque est fausse. La fonction \(x\mapsto |x|\) est continue sur \(\mathbb{R}\) mais n’est pas dérivable en 0.

Il existe des fonctions continues sur \(\mathbb{R}\) qui ne sont dérivables nulle part ! Les exemples les plus connus sont sans doute les fonctions de Weierstrass. Ce sont des courbes fractales : peu importe le niveau de zoom que l’on peut avoir sur la courbe, on verra toujours de nouveaux détails apparaître.

Suites et application continue

Soit \(I\) un intervalle et \((u_n)\) une suite telle que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n \in I\). Soit \(g\) une fonction définie sur l’intervalle \(I\).

Si la suite \((u_n)\) est convergente avec \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n=l\) et si \(g\) est continue en \(l\), alors \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} g(u_n)=g(l)\)

En d’autres termes, \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty}g(u_n)=g(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n)\).

Exemple : Pour tout entier naturel \(n\), on note \(u_n=\sqrt{1+\dfrac{1}{n}}\).

  • \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \left(1+\dfrac{1}{n}\right)=1\)
  • La fonction \(x\mapsto \sqrt{x}\) est continue en \(1\).

Ainsi, \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \sqrt{1+\dfrac{1}{n}}=\sqrt{1}=1\)

L’hypothèse de continuité est primordiale !
Pour tout réel \(x\), notons \(\lfloor x \rfloor\) la partie entière du réel \(x\), c’est-à-dire le plus grand entier qui soit plus petit que \(x\). Par exemple, \(\lfloor 1,3 \rfloor = 1\).

Pour tout entier naturel non nul \(n\), on note \(u_n=1-\dfrac{1}{10^n}\). On a ainsi \(u_0=0\), \(u_1=0,9\), \(u_2=0,999\), \(u_3=0,9999\) etc.

  • Pour tout entier naturel non nul, \(\lfloor u_n \rfloor = 0\). On a alors \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \lfloor u_n \rfloor = 0\)
  • La suite \((u_n)\) est convergente et on a \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n = 1\). Ainsi, \(\lfloor \displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n \rfloor=g(1)=1\).
  • On a donc \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \lfloor u_n \rfloor \neq \lfloor \displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n \rfloor\). On montre en fait que la fonction \(x\mapsto \lfloor x \rfloor\) n’est pas continue en 1.
Soit \(I\) un intervalle et \((u_n)\) une suite telle que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n \in I\) et \(u_{n+1}=g(u_n)\). Soit \(g\) une fonction définie et continue sur l’intervalle \(I\).

On suppose que la suite \((u_n)\) est convergente, de limite \(l\in I\). Alors \(g(l)=l\).

Démonstration : Pour tout entier naturel \(n\), on a \(u_{n+1}=g(u_n)\). La suite \((u_n)\) étant convergente, il est possible de passer à la limite dans cette égalité.

  • D’une part, \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_{n+1}=l\)
  • D’autre part, puisque la fonction \(g\) est continue sur \(I\), \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} g(u_n)=g(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n)=g(l)\)

Ainsi, \(g(l)=l\).

Exemple : On définit la suite \((u_n)\) par \(u_0=2\) et, pour tout entier \(n\), \(u_{n+1}=\sqrt{3u_n+4}\)

On admet que la suite \((u_n)\) est croissante et que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\leqslant 4\).

Puisque la suite \((u_n)\) est croissante et majorée, la suite \((u_n)\) converge. Notons \(l\) sa limite.

Puisque la fonction \(x\mapsto \sqrt{3x+4}\) est continue sur \(\left]-\dfrac{4}{3};+\infty \right[\) et que \(l \in [2;4]\), on a alors \(g(l)=l\).

Or, \(g(l)=l \Leftrightarrow l = \sqrt{3l+4}\). En mettant le tout au carré, on obtient alors \(l^2-3l-4=0\) qui est une équation du second degré ayant deux solutions : 1 et 4. Dans notre cas, la solution 1 est impossible puisque pour tout \(n\), \(u_n \geqslant 2\). Ainsi, \(l=4\).

Théorème des valeurs intermédiaires

Cas général

Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \([a;b]\) et \(k\) un réel compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\).

Alors il existe au moins un réel \(c\) tel que \(f(c)=k\).

Ce théorème indique que, sous hypothèse de continuité, l’équation \(f(x)=k\) admet au moins une solution sur \([a;b]\) mais elle ne nous dit pas laquelle.

Illustration : On représente une fonction \(f\) ci-dessous.

Pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), \(k\) possède au moins un antécédent par \(f\). Dans cet exemple, il y en a trois.

Exemple : On considère la fonction \(f:x\mapsto e^x-4x\), définie sur \(\mathbb{R}\). Cette fonction est continue sur \(\mathbb{R}\). De plus, \(f(0)=1\) et \(f(1)=e-4\). En particulier, \(f(1)<0\). Le réel 0 est compris entre \(f(0)\) et \(f(1)\). D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel \(c\) dans \([0;1]\) tel que \(f(c)=0\). Autrement dit, il existe un réel \(c\) dans \([0;1]\) tel que \(e^c = 4c\). Il est possible d'encadrer cette solution à l'aide d'un algoritheoreme de dichotomie.
  • \(f(0)=1\) et \(f(1)=e-4\). Ainsi, le réel \(c\) recherché est dans l’intervalle \([0;1]\).
  • Calculons \(f\left( \dfrac{0+1}{2}\right)\). \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=e^{0,5}-4*0,5\simeq 0.35<0\). Ainsi, le réel recherché est dans l'intervalle \(\left[0;\dfrac{1}{2}\right]\)
  • Calculons \(f\left( \dfrac{0+\dfrac{1}{2}}{2}\right)\). \(f\left(\dfrac{1}{4}\right)=e^{0,25}-4*0,25\simeq 0.28>0\). Ainsi, le réel recherché est dans l’intervalle \(\left[\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}\right]\)
  • Calculons \(f\left( \dfrac{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}}{2}\right)\). \(f\left(\dfrac{3}{8}\right)=e^{0,375}-4*0,375\simeq -0.05<0\). Ainsi, le réel recherché est dans l'intervalle \(\left[\dfrac{1}{4};\dfrac{3}{8}\right]\)

Et ainsi de suite. On trouve un encadrement de plus en plus précis d’une solution de l’équation \(e^x=4x\).

Fonction strictement monotone

L’essentiel : Soit \(f\) une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle \([a;b]\). Soit \(k\) un réel compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\). Alors il existe un unique réel \(c\) tel que \(f(c)=k\).
Exemple : On considère la fonction \(f:x\mapsto \dfrac{e^x}{x^2+1}\), définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\).

Pour tout réel \(x\), \(f'(x)=\dfrac{e^x (x^2+1)-e^x \times 2x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{e^x(x-1)^2}{(x^2+1)^2}\).

Pour tout réel \(x\), \(f'(x)\geqslant 0\). De plus, \(f’\) ne s’annule qu’en \(x=1\). Ainsi, la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

On a par ailleurs que \(f(0)=1\) et \(f(1)=\dfrac{e}{2}\simeq 1,36\). Ainsi, l’équation \(f(x)=1,25\) possède une unique solution sur l’intervalle \([0;1]\).

Il est également possible d’utiliser les limites dans le théorème des valeurs intermédiaires. Dans le cas précédent, on avait \(\displaystyle\lim _{x \to -\infty} f(x)=0\) et \(\displaystyle\lim _{x \to +\infty} f(x)=+\infty\). Ainsi, pour tout réel strictement positif \(k\), l’équation \(f(x)=k\) possède une unique solution sur \(\mathbb{R}\).