Applications de la dérivation

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Variations d’une fonction

Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\)

  • Si, pour tout \(x\in I\), \(f'(x) \geqslant 0\), alors \(f\) est croissante sur \(I\)
  • Si, pour tout \(x\in I\), \(f'(x) \leqslant 0\), alors \(f\) est décroissante sur \(I\)
  • Si, pour tout \(x\in I\), \(f'(x) =0\), alors \(f\) est constante sur \(I\)

Exemple : On considère la fonction \(f:x\mapsto 2x^3+9x^2-24x+5\), définie sur \(\mathbb{R}\).

  • La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), car c’est la somme de fonction dérivables sur \(\mathbb{R}\).
  • Pour tout réel \(x\), \(f'(x)=6x^2+18x-24\).
  • Pour connaître les variations de \(f\), on étudie alors le signe de \(f’\). Il s’agit d’une fonction polynomiale du second degré.

On cherche alors les racines de \(6x^2+18x-24\). On peut remarquer que \(1\) est une racine évidente et trouver la deuxième racine, \(-4\), à l’aide des relations coefficients-racines.

Si on ne le remarque pas, on calcule le discriminant \[\Delta = 18^2-4\times 6 \times (-24)=324+576=900>0\] Le discriminant est positif, le polynôme admet deux racines réelles discinctes. \[x_1=\dfrac{-18-\sqrt{900}}{2\times 6}=-4\] et \[x_2=\dfrac{-18+\sqrt{900}}{2\times 6}=1\] On construit alors le tableau de signes de \(f’\) et, grâce à cela, le tableau de variation de \(f\). On rappelle qu’une fonction polynomiale du second degré est du signe de son coefficient dominant à l’extérieur des racines.

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Pour s’entraîner

Extremums locaux

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\).

  • On dit que \(f\) admet un minimum local en \(a\in I\) s’il existe un réel strictement positif \(\delta\) tel que, pour tout \(x\in \left]a-\delta; a+\delta\right[ \cap I\), \(f(x)\geqslant f(a)\)
  • On dit que \(f\) admet un minimum local en \(a\in I\) s’il existe un réel strictement positif \(\delta\) tel que, pour tout \(x\in \left]a-\delta; a+\delta \right[ \cap I\), \(f(x)\leqslant f(a)\)

Exemple : La fonction \(f\) dont la représentation graphique dans un repère orthonormé est donné ci-contre admet un maximum local en \(-\dfrac{1}{3}\) et un minimum local en 1

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Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\). Soit \(a\in I\) un point ne se trouvant pas au bord de l’intervalle \(I\). Si \(f\) admet un extremum local en \(a\), alors \(f'(a)=0\).

La réciproque est fausse !

Exemple : Soit \(f\) la fonction qui a tout réel \(x\) associe \(f(x)=x^3\). \(f\) est dérivable et, pour tout réel \(x\), \(f'(x)=3x^2\). On a ainsi \(f'(0)=0\) mais \(f\) n’admet pas d’extremum local en 0.