Dérivation locale

Accueil » Cours et exercices » Première Générale » Dérivation locale

Taux de variation

Soit \(I\) un intervalle et \(f\) une fonction définie sur \(I\). Soit \(x_1\) et \(x_2\) deux réels distincts de l’intervalle \(I\). On appelle taux de variation (ou taux d’accroissement) de \(f\) entre \(x_1\) et \(x_2\) la quantité : $$T_f(x_1,x_2)=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$$

Exemple : Soit \(f\) la fonction définie pour tout \(x\in\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^2-2x\). Le taux de variation de \(f\) entre 1 et 4 vaut $$T_f(1 ; 4)=\dfrac{f(4)-f(1)}{4-1}=\dfrac{4^2-2\times 4-(1^2-2\times 1)}{3}=\dfrac{9}{3}=3$$

Ce taux de variation correspond au coefficient directeur de la droite passant par les points de coordonnées \((x_1;f(x_1))\) et \((x_2;f(x_2))\)

Exemple : On considère une fonction \(f\) dont la courbe est représentée ci-dessous dans un repère orthonormé.

  • Le taux de variation de \(f\) entre -1 et 2 vaut 2.
  • Le taux de variation de \(f\) entre -1 et 1 vaut 3

Rendered by QuickLaTeX.com

Pour s’entraîner : rappels de Seconde

Dérivabilité en un point

Nombre dérivé

Soit \(I\) un intervalle, \(f\) une fonction définie sur \(I\) et \(a\in I\).
On dit que la fonction \(f\) est dérivable en \(a\) si le taux de variation de la fonction \(f\) entre \(a\) et \(a+h\) tend vers un unique réel \(l\) lorsque \(h\) tend vers 0. Cette limite est appelée nombre dérivé de \(f\) en \(a\), et est notée $$f'(a)=\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

Exemple : Soit \(f\) la fonction définie pour tout \(x\in\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^2-2x\). On veut étudier la dérivabilité de \(f\) en \(x=0\). Soit donc \(h\) un réel non nul. $$ T_f(3;3+h)=\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=\dfrac{(0+h)^2-2(0+h)-0}{h}=\dfrac{h^2-2h}{h}=\dfrac{4h+h^2}{h}=-2+h$$ Lorsque \(h\) tend vers \(0\), ce taux de variation tend vers \(-2\). La fonction \(f\) est donc dérivable en \(x=0\). Le nombre dérivé de \(f\) en \(0\) est \(f'(0)=-2\).

Pour s’entraîner…

Exemple : On rappelle que pour tout réel \(x\), la valeur absolue de \(x\), notée \(|x|\) vaux \(x\) si \(x>0\) et \(-x\) sinon. Soit \(f\) la fonction définie pour tout \(x\in\mathbb{R}\) par \(f(x)=|x|\). Voyons si la fonction \(f\) est dérivable en 0.
Soit \(h>0\) ; alors $$T_f(0;0+h)=\dfrac{|0+h|-|0]}{h}=\dfrac{h}{h}=1$$ En revanche, si \(h<0\) $$T_f(0;0+h)=\dfrac{|0+h|-|0]}{h}=\dfrac{-h}{h}=-1$$ Le taux de variation ne se rapproche pas d'une seule et unique valeur : la fonction \(f\) n'est donc pas dérivable en \(0\).

Interprétation graphique

On fixe un point \(A\) d’abscisse \(a\) sur la courbe d’une fonction \(f\) et on trace les droites qui passent par ce point et par un autre point \(H\) d’abscisse \(a+h\) sur la courbe.

Si la fonction est dérivable en \(a\), plus le point \(H\) est proche du point \(A\) (c’est-à-dire plus \(h\) est proche de \(0\) ), plus le coefficient directeur de la droite \((AH)\) se rapproche d’une valeur qui est le nombre dérivé de la fonction en ce point.

Dans l’exemple ci-dessous, on a tracé la courbe d’une fonction \(f\) dans un repère orthonormé. Le coefficient directeur de la droite \((AH)\) se rapproche de \(-2\). Le nombre dérivé de \(f\) en \(a\) vaut donc \(-2\).

Rendered by QuickLaTeX.com

La fonction valeur absolue, elle, n’est pas dérivable en 0. On peut le voir graphiquement : la courbe est « pointue » en 0.

Rendered by QuickLaTeX.com

Faites varier la position du point \(A\) et la valeur de \(h\) sur la courbe suivante.

Tangente à une courbe

Soit \(I\) un intervalle, \(a\in\ I\) et \(f\) une fonction définie sur \(I\) et dérivable en \(a\).
La tangente à la courbe représentative de \(f\) au point d’abscisse \(a\) est la droite passant par le point de coordonnées \((a;f(a))\) dont le coefficient directeur vaut \(f'(a)\).

Exemple : On considère la fonction \(f:x\mapsto \dfrac{1}{2}x^2-x-1\) définie sur \(\mathbb{R}\).
La courbe représentative de \(f\) est représentée ci-dessous dans un repère orthonormé. On souhaite tracer la tangente \(T\) à cette courbe à l’abscisse \(x=2\).
Puisque \(f(2)=\dfrac{1}{2}\times 2^2 – 2 – 1 = -1\), la tangente (si elle existe) passe par le point de coordonnées \((2;-1)\).
Soit \(h\) un réel non nul. $$ T_f(2;2+h)=\dfrac{\dfrac{1}{2}(2+h)^2-(2+h)-1-(-1)}{h}=\dfrac{2+2h+\dfrac{1}{2}h^2-2-h}{h}=\dfrac{h+\dfrac{1}{2}h^2}{h}=1+\dfrac{1}{2}h$$ Ce taux de variation tend vers 1 lorsque \(h\) tend vers 0. La tangente \(T\) a donc pour coefficient directeur \(f'(2)=1\).

Rendered by QuickLaTeX.com

Soit \(I\) un intervalle, \(a\in I\) et \(f\) une fonction définie sur \(I\) et dérivable en \(a\). La tangente à la courbe représentative de \(f\) au point d’abscisse \(a\) a pour équation $$y = f'(a)(x-a)+f(a)$$

Démonstration : Toute droite non verticale admet une équation réduite de la forme \(y=mx+p\).

  • On sait que le coefficient directeur de la tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse `\(a\) a pour coefficient directeur \(f'(a)\). L’équation est donc de la forme \(y=f'(a)x+p\)
  • Cette droite passe par le point de coordonnées \((a;f(a))\). On a donc \(f(a)=f'(a)\times a + p\), c’est-à-dire \(p=f(a)-f'(a)\times a\).
  • La tangente a donc pour équation \(y=f'(a)\times x + f(a) – f'(a)\times a = f'(a)\times (x-a)+f(a)\)

Lorsque \(f\) est dérivable en \(a\), si \(x\) est proche de \(a\), alors \(\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\) est proche de \(f'(a)\). En isolant \(f(x)\), on obtient que \(f(x)\) est proche de \(f'(a)(x-a)+f(a)\) : la courbe de \(f\) est proche de la tangente au voisinage de \(a\).

Exemple : Dans l’exemple précédent, la tangente à la courbe représentative de \(f\) au point d’abscisse \(2\) a pour équation \(y=f'(2)(x-2)+f(2)=1\times(x-2)+(-1)\), c’est-à-dire \(y=x-3\).

Pour s’entraîner…