Fonction dérivée

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Pour aborder sereinement ce chapitre, un retour sur la dérivation locale est fortement conseillé.

Dérivabilité sur un intervalle

Soit \(I\) un intervalle et \(f\) une fonction définie sur \(I\). On dit que \(f\) est dérivable sur \(I\) si \(f\) est dérivable en tout \(a\in I\). On appelle alors fonction dérivée de \(f\) sur \(I\) la fonction $$f’ \,: \,\left\{ \begin{array}{rcl} I & \longrightarrow & \mathbb{R}\\ x & \longmapsto & f'(x) \end{array}\right.$$

Exemple / Démonstration On considère la fonction \(f:x\mapsto x^2\), définie sur \(\mathbb{R}\). Soit \(x\in\mathbb{R}\) ; nous allons montrer que \(f\) est dérivable en \(x\), et donc que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\). Soit donc \(h\in\mathbb{R}^*\). $$\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}=\dfrac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}=\dfrac{2xh+h^2}{h}=2x+h$$ Lorsque \(h\) se rapproche de \(0\), cette quantité se rapproche de \(2x\).
Ainsi, pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(f\) est dérivable en \(x\) et \(f'(x)=2x\)

Dérivées usuelles

$$\renewcommand{\arraystretch}{2}\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline f:x\mapsto & \text{Définie sur} & \text{Dérivable sur} & f’:x\mapsto \\ \hline k\in\mathbb{R} & \mathbb{R} & \mathbb{R} & 0\\ \hline mx+p, m\text{ et }p \text{ réels} & \mathbb{R} & \mathbb{R} & m\\ \hline x^2 & \mathbb{R} & \mathbb{R} & 2x\\ \hline x^n \text{ pour }n\in\mathbb{N}^* & \mathbb{R} & \mathbb{R} & nx^{n-1}\\ \hline \dfrac{1}{x} & ]-\infty;0[\text{ et }]0;+\infty[ & ]-\infty;0[\text{ et }]0;+\infty[ & -\dfrac{1}{x^2}\\ \hline \dfrac{1}{x^n}\text{ pour }n\in\mathbb{N}^* & ]-\infty;0[\text{ et }]0;+\infty[& ]-\infty;0[\text{ et }]0;+\infty[ & -\dfrac{n}{x^{n+1}}\\ \hline \sqrt{x} & [0;+\infty[ & \left]0;+\infty \right[ & \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\\ \hline\end{array}$$

Démonstration : On considère la fonction \(f\) définie pour tout \(x\in\mathbb{R}^*\) par \(f(x)=\dfrac{1}{x}\).
Soit \(x \in ]0;+\infty[ \) et \(h\) un réel non nul tel que \( x+h \in ]0;+\infty[ \) $$ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\dfrac{\dfrac{1}{x+h}-\dfrac{1}{x}}{h}=\dfrac{1}{h}\times \left( \dfrac{x}{x(x+h)}-\dfrac{x+h}{x(x+h)}\right)$$ Ainsi, $$ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\dfrac{1}{h}\times \dfrac{-h}{x^2+hx}=-\dfrac{1}{x^2+hx}$$ Lorsque \(h\) tend vers 0, cette quantité tend vers \(-\dfrac{1}{x^2}\). \(f\) est donc dérivable sur \(]0;+\infty[\), de dérivée \(f’:x\mapsto -\dfrac{1}{x^2}\).
La dérivabilité de \(f\) sur \(]-\infty;0[ \) s’établit de la même façon.

La dérivabilité s’établit sur un intervalle. Or, \(\mathbb{R}^*\) n’en est pas un ! Il est donc nécessaire d’étudier chaque intervalle de cet ensemble séparément.

Démonstration : On considère la fonction \(f\) définie pour tout \(x\in [0;+\infty[\) par \(f(x)=\sqrt{x}\). Soit \(x \in ]0;+\infty[\) et \(h\) un réel tel que \(x+h \in ]0;+\infty[ \). $$ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\dfrac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}=\dfrac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$$ En développant le numérateur, on a alors $$ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\dfrac{x+h-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}=\dfrac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}$$ Lorsque \(h\) tend vers \(0\), cette quantité tend vers \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\). \(f\) est donc dérivable sur \(]0;+\infty[\), de dérivée \(f’:x\mapsto \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)

On remarque que \(0\) ne figure pas au domaine de définition de cette fonction dérivée. En observant la courbe de la fonction Racine carrée en \(0\), on note que la tangente à la courbe au point d’abscisse 0 est verticale. La « pente est infinie ».

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Opérations sur les dérivées

Dans toute cette partie, \(I\) désigne un intervalle.

Produit par un réel

Soit \(u\) une fonction définie et dérivable sur \(I\) et \(\lambda \in \mathbb{R}\). La fonction \(\lambda u : x \mapsto \lambda u(x)\) est définie et dérivable sur \(I\), de dérivée $$(\lambda u)’ : x \mapsto \lambda u'(x)$$

Démonstration : Soit \(x\in I\) et \(h\in\mathbb{R}^*\) tel que \(x+h\in I\). $$ \dfrac{\lambda u (x+h)-\lambda u (x)}{h}=\lambda \dfrac{u(x+h)-u(x)}{h}$$ Or, \(f\) est dérivable sur \(I\), donc \(\dfrac{u(x+h)-u(x)}{h}\) tend vers \(u'(x)\) lorsque \(h\) tend vers \(0\). Ainsi, \(\lambda \dfrac{u(x+h)-u(x)}{h}\) tend vers \(\lambda u'(x)\) lorsque \(h\) tend vers \(0\).

Exemple : La fonction \(f:x \mapsto 4x^2\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\), de dérivée \(f’:x\mapsto 8x\)

Somme de fonctions dérivables

Soit \(u\) et \(v\) deux fonctions définies dérivables sur \(I\).
La fonction \(u+v:x\mapsto u(x)+v(x)\) est définie et dérivable sur \(I\), de dérivée \[ (u+v)’:x\mapsto u'(x)+v'(x)\]

Démonstration : Soit \(x\in I\) et \(h\in\mathbb{R}^*\) tel que \(x+h\in I\). $$ \dfrac{(u+v)(x+h)-(u+v)(x)}{h}=\dfrac{u(x+h)-u(x)+v(x+h)-v(x)}{h}$$ c’est-à-dire $$ \dfrac{(u+v)(x+h)-(u+v)(x)}{h}=\dfrac{u(x+h)-u(x)}{h}+\dfrac{v(x+h)-v(x)}{h}$$ Cette quantité tend, lorsque \(h\) tend vers \(0\), vers \(u'(x)+v'(x)\).

Exemple : La fonction \(f:x\mapsto x^2+3x+5\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\), de dérivée \( f’:x\mapsto 2x+3\)

Pour s’entraîner…

Produit de fonctions dérivables

Soit \(u\) et \(v\) deux fonctions définies dérivables sur \(I\).
La fonction \(uv:x\mapsto u(x)\times v(x)\) est définie et dérivable sur \(I\), de dérivée $$ (uv)’:x\mapsto u'(x)\times v(x)+u(x)\times v'(x) $$

Démonstration : Soit \(x\in I\) et \(h\in\mathbb{R}^*\) tel que \(x+h\in I\).

    \begin{eqnarray*} \dfrac{(uv)(x+h)-(uv)(x)}{h}&=&\dfrac{u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)}{h}\\ &=&\dfrac{u(x+h)v(x+h)\textcolor{red}{-u(x)v(x+h)+u(x)v(x+h)}-u(x)v(x)}{h} \\ &=&\dfrac{u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x+h)}{h}+\dfrac{u(x)v(x+h)-u(x)v(x)}{h} \\ &=& v(x+h)\dfrac{u(x+h)-u(x)}{h}+u(x)\dfrac{v(x+h)-v(x)}{h} \end{eqnarray*}

\(u\) et \(v\) étant dérivables sur \(I\), les quantités \(\dfrac{u(x+h)-u(x)}{h}\) et \(\dfrac{v(x+h)-v(x)}{h}\) tendent respectivement vers \(u'(x)\) et \(v'(x)\) lorsque \(h\) tend vers \(0\). De plus, \(v(x+h)\) tend vers \(v(x)\) lorsque \(h\) tend vers \(0\). Ce taux de variation tend donc, lorsque \(h\) tend vers \(0\), vers \(u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\).

Le fait que \(v(x+h)\) tende vers \(v(x)\) lorsque \(h\) tend vers \(0\) n’est en fait pas si évident. Vous aurez plus de précisions l’an prochain, en étudiant la continuité des fonctions.

Exemple : On considère la fonction \(f:x\mapsto x^2\sqrt{x}\), définie sur \([0;+\infty[\).

  • La fonction \(u:x\mapsto x^2\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), de dérivée \(u’:x\mapsto 2x\).
  • La fonction \(v:x\mapsto \sqrt{x}\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\), de dérivée \(v’:x\mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x}}\)

La fonction \(f\) est donc dérivable sur \(]0;+\infty[\), comme produit de deux fonctions dérivables sur cet intervalle. De plus, pour tout \(x\in ]0;+\infty[\), $$f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=2x \times \sqrt{x}+x^2\times\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=2x\sqrt{x}+\dfrac{1}{2}x\sqrt{x}=\dfrac{3}{2}x\sqrt{x}$$

Pour s’entraîner…

Quotient de fonctions dérivables

Soit \(u\) et \(v\) deux fonctions définies dérivables sur \(I\) telles que \(v\) ne s’annule pas sur \(I\).
La fonction \(\dfrac{u}{v} : x\mapsto\dfrac{u(x)}{v(x)}\) est définie et dérivable sur \(I\), de dérivée $$ \left(\dfrac{u}{v}\right)’:x\mapsto \dfrac{u'(x)\times v(x)-u(x)\times v'(x)}{v^2(x)}$$

Démonstration : Soit \(x\in I\) et \(h\in\mathbb{R}^*\) tel que \(x+h\in I\).

    \begin{eqnarray*} \dfrac{\dfrac{u}{v}(x+h)-\dfrac{u}{v}(x)}{h}&=&\dfrac{1}{h}\times \left( \dfrac{u(x+h)v(x)}{v(x+h)v(x)}-\dfrac{u(x)v(x+h)}{v(x+h)v(x)}\right)\\ &=&\dfrac{1}{h}\times \dfrac{u(x+h)v(x)\textcolor{red}{-u(x)v(x)+u(x)v(x)}-u(x)v(x+h)}{v(x+h)v(x)}\\ &=& \dfrac{1}{v(x+h)v(x)}\times \left( \dfrac{u(x+h)v(x)-u(x)v(x)}{h}-\dfrac{v(x+h)u(x)-v(x)u(x)}{h}\right)\\ &=& \dfrac{1}{v(x+h)v(x)}\times \left( v(x)\dfrac{u(x+h)-u(x)}{h}-u(x)\dfrac{v(x+h)-v(x)}{h}\right) \end{eqnarray*}

\(u\) et \(v\) étant dérivables sur \(I\), les quantités \(\dfrac{u(x+h)-u(x)}{h}\) et \(\dfrac{v(x+h)-v(x)}{h}\) tendent respectivement vers \(u'(x)\) et \(v'(x)\) lorsque \(h\) tend vers \(0\). De plus, \(v(x+h)\) tend vers \(v(x)\) lorsque \(h\) tend vers \(0\).
Ce taux de variation tend donc, lorsque \(h\) tend vers \(0\), vers \(\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}\).

Exemple : On considère la fonction \(f:x\mapsto \dfrac{x^2+2x+2}{3x-7}\).

  • Cette fonction est définie pour tout \(x\) tel que \(3x-7\neq 0\), c’est-à-dire sur \(\mathbb{R}\setminus \left\{\dfrac{7}{3}\right\}\).
  • La fonction \(u:x\mapsto x^2+2x+2\) est définie est dérivable sur \(\mathbb{R}\), de dérivée \(u’:x\mapsto 2x+2\)
  • La fonction \(v:x\mapsto 3x-7\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\), de dérivée \(v’:x\mapsto 3\). De plus, cette fonction ne s’annule pas sur les intervalles \(\left]-\infty \dfrac{7}{3}\right[\) et \(\left]\dfrac{7}{3};+\infty\right[\).

La fonction \(f\) est donc dérivable sur chacun des intervalles \(\left]-\infty ;\dfrac{7}{3}\right[\) et \(\left]\dfrac{7}{3};+\infty\right[\). De plus, pour tout \(x\) dans dans l’un de ces intervalles :

    \begin{eqnarray*} f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)} &=&\dfrac{(2x+2)(3x-7)-3(x^2+2x+2)}{(3x-7)^2}\\ &=&\dfrac{6x^2-14x+6x-14-3x^2-6x-6}{(3x-7)^2}\\ &=&\dfrac{3x^2-14x-20}{(3x-7)^2} \end{eqnarray*}

Il est très rarement utile de développer le dénominateur. Rappelons qu’un carré est toujours positif et que dans un prochain chapitre, c’est le signe de cette expression qui nous intéressera.

Pour s’entraîner…

Inverse d’une fonction dérivable

Un cas particulier de la propriété précédente est à noter : celui où la fonction au dénominateur est constante.

Soit \(v\) une fonction dérivable et ne s’annulant pas sur un intervalle \(I\).
La fonction \(\dfrac{1}{v}:x \mapsto\dfrac{1}{v(x)}\) est définie et dérivable sur \(I\), de dérivée $$ \left(\dfrac{1}{v}\right)’:x\mapsto \dfrac{- v'(x)}{v^2(x)}$$

Exemple : On considère la fonction \(f: x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x}}\)
La fonction \(v:x\mapsto \sqrt{x}\) est définie, dérivable et ne s’annule pas sur \(]0;+\infty [\). \(f=\dfrac{1}{v}\) est donc définie et dérivable sur cet intervalle. Pour tout \(x\in ]0;+\infty [\), $$f'(x)=\dfrac{-v'(x)}{v^2(x)} =\dfrac{-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x})^2} =-\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}$$

Exemple : On peut utiliser ce résultat pour démontrer un résultat de la partie 2. Soit \(n\) un entier strictement supérieur à 0. On considère la fonction \(f: x \mapsto \dfrac{1}{x^n}\)
La fonction \(v:x\mapsto x^n\) est définie, dérivable et ne s’annule pas sur\(]-\infty ; 0[\) et \(]0;+\infty [\). \(f=\dfrac{1}{v}\) est donc définie et dérivable sur ces intervalles. Pour tout \(x\) non nul, $$f'(x)=\dfrac{-v'(x)}{v^2(x)} =\dfrac{-nx^{n-1}}{(x^n)^2}=\dfrac{-nx^{n-1}}{x^{2n}} =-\dfrac{n}{x^{n+1}}$$

Composition d’une fonction affine par une fonction dérivable

Soit \(I\) un intervalle. Soit \(m\) et \(p\) deux réels, avec \(m\neq 0\) et \(u\) une fonction définie et dérivable sur \(I\). Alors la fonction \(g:x\mapsto u(mx+p)\) est dérivable sur l’ensemble des \(x\) tels que \(mx+p\in I\), de dérivée $$ g’:x\mapsto m \times u'(mx+p)$$

Exemple : On considère la fonction \(f:x\mapsto (5-3x)^2\), définie sur \(\mathbb{R}\). On note \(u\) la fonction \(x\mapsto x^2\), définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\), de dérivée \(u’:x\mapsto 2x\). Alors pour tout réel \(x\), on a \(f(x)=u(5-3x)\). Ainsi, \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), et pour tout réel \(x\), $$ f'(x)=-3 \times u'(5-3x)=-3\times 2(5-3x)=18x-30$$

Exemple : On considère la fonction \(f:x\mapsto \sqrt{4x+1}\), définie sur \(\left[ -\dfrac{1}{4};+\infty \right[\). On note \(u\) la fonction \(x\mapsto \sqrt{x}\), définie sur \([0;+\infty [\), dérivable sur \(]0;+\infty[\), de dérivée \(u’:x\mapsto \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\).

  • Soit \(x\in\mathbb{R}\). \(4x+1\in ]0;+\infty[ \Leftrightarrow 4x+1>0 \Leftrightarrow x > -\dfrac{1}{4}\)
  • Pour tout réel \(x\in \left] -\dfrac{1}{4};+\infty \right[\), on a \(f(x)=u(4x+1)\).
  • Ainsi, \(f\) est dérivable sur \( \left] -\dfrac{1}{4};+\infty \right[\), et pour tout \(x\) dans cet intervalle, $$ f'(x)=4 \times u'(4x+1)=4\times\dfrac{1}{2\sqrt{4x+1}}=\dfrac{2}{\sqrt{4x+1}}$$

Pour s’entraîner…