Fonction exponentielle

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Fonction exponentielle

Il existe une unique fonction \(f\) définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) telle que :

  • \(f(0)=1\)
  • Pour tout réel \(x\), \(f'(x)=f(x)\)

Cette fonction est appelée fonction exponentielle et est notée \(\exp\)

On a donc, d’après la définition, \(\exp(0)=1\) et \(\exp’=\exp\).

Courbe représentative de la fonction exponentielle

Remarquez que la tangente à la courbe au point d’abscisse \(a\) coupe l’axe des abscisses en \(a-1\) : c’est l’illustration que le coefficient directeur de cette tangente est bien égal à \(\exp(a)\)

Exemple : On considère la fonction \(f : x \mapsto (2x+1)\,\exp(x)\), définie sur \(\mathbb{R}\).

  • Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=2x+1\). \(u\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(u'(x)=2\).
  • Pour tout réel \(x\), on pose \(v(x)=\exp (x)\). \(v\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(v'(x)=\exp (x)\).

De plus, pour tout réel \(x\), \(f(x)=u(x) \times v(x)\). \(f\) est donc dérivable sur \(\mathbb{R}\), et pour tout réel \(x\), \[ f'(x) = u'(x) \times v(x) + u(x) \times v'(x) = 2 \times \exp (x) + (2x+1) \times \exp (x) = (2x+3) \times \exp(x)\] En particulier, \[f'(0) = (2 \times 0 + 3) \times \exp(0) = 3\]

Soit \(a\) et \(b\) deux réels.
La fonction \(f: x \mapsto \exp(ax+b)\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\). De plus, pour tout réel \(x\), \[f'(x)=a \times \exp(ax+b)\]

Démonstration : C’est une conséquence du théorème dérivabilité de la composée d’une fonction dérivable et d’une fonction affine.

Exemple : Pour tout réel \(x\), on pose \(f(x)=\exp(3x+5)\) et \(g(x)=\exp(-2x+4)\). Les fonctions \(f\) et \(g\) sont dérivables sur \(\mathbb{R}\). Pour tout réel \(x\), on a \(f'(x)=3\,\exp(3x+5)\) et \(g'(x)=-2\,\exp(-2x+4)\).
En particulier, pour tout réel \(x\), \(f'(x)-3f(x)=3\exp(3x+5)-3\exp(3x+5)=0\).

Pour s’entraîner

Propriétés de l’exponentielle

L’exponentielle ne s’annule pas

Pour tout réel \(x\), \(\exp (x) \neq 0\).
L’exponentielle ne s’annule pas sur \(\mathbb{R}\)

Démonstration : Pour tout réel \(x\), on pose \(h(x)=\exp(x) \times \exp (-x)\).

  • Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=\exp (x)\). \(u\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et, pour tout réel \(x\), \(u'(x)=\exp (x)\)
  • Pour tout réel \(x\), on pose \(v(x)=\exp (-x)\). \(v\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) (par théorème sur la composition d’une fonction dérivable et d’une fonction affine) et, pour tout réel \(x\), \(v'(x)=-\exp (-x)\).

Ainsi, pour tout réel \(x\), \[ h'(x) = u'(x) \times v(x) + u(x) \times v'(x) = \exp(x)\times \exp(-x) + \exp(x) \times (-\exp (-x))=0\] \(h\) est donc constante sur \(\mathbb{R}\). Or, \(h(0)=\exp(0) \times \exp(-0) = 1 \times 1 = 1\).

Ainsi, pour tout réel \(x\), \(\exp(x) \times \exp (-x)=1\). En particulier, \(\exp(x)\) ne peut pas valoir 0.

On vient en fait de démontrer que pour tout réel \(x\), \(\exp(-x)=\dfrac{1}{\exp(x)}\)

Exemple : On reprend la fonction \(f : x \mapsto (2x+1)\exp(x)\), définie sur \(\mathbb{R}\).
Soit \(x\) un réel. \(f(x)=0\) si et seulement si \((2x+1)\exp(x)=0\). Puisque l’exponentielle ne s’annule jamais sur \(\mathbb{R}\), cela équivaut à \(2x+1=0\), c’est-à-dire \(x=-\dfrac{1}{2}\).

Propriétés algébriques

Pour tous réels \(x\) et \(y\), \(\exp(x+y)=\exp(x) \times \exp(y)\)

On fixe un réel \(y\) dans \(\mathbb{R}\) et on considère la fonction \(f:x\mapsto \dfrac{\exp(x+y)}{\exp(x) \times \exp(y)}\), définie sur \(\mathbb{R}\).

  • Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=\exp(x+y)\). \(u\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et, pour tout réel \(x\), \(u'(x)=\exp(x+y)\).
  • Pour tout réel \(x\), on pose \(v(x)=\exp(x)\times \exp(y)\). \(v\) est dérivable et ne s’annule pas sur \(\mathbb{R}\). De plus, pour tout réel \(x\), \(u'(x)=\exp(x)\times\exp(y)$\).

\(f\) est donc dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\) \[f'(x)=\dfrac{u'(x) \times v(x) – u(x) \times v'(x)}{(v(x))^2}=\dfrac{\exp(x+y)\exp(x)\exp(y)-\exp(x+y)\exp(x)\exp(y)}{(\exp(x)\exp(y))^2}=0\] \(f\) est donc constante sur \(\mathbb{R}\). De plus, \(f(0)=\dfrac{\exp(0+y)}{\exp(0)\times \exp(y)}=\dfrac{\exp(y)}{\exp(y)}=1\).
Ainsi, pour tout réel \(x\), \(\dfrac{\exp(x+y)}{\exp(x) \times \exp(y)}=1\), c’est-à-dire \(\exp(x+y)=\exp(x) \times \exp(y)\).

Exemple : \(\exp(2)\times \exp(3) = \exp(5)\).
Pour tout réel \(x\), \(\exp(3x+5) \times \exp(6x+2)=\exp(3x+5+6x+2)=\exp(9x+7)\)

Pour tous réels \(x\) et \(y\), \(\exp(x-y)=\dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}\)

On utilise les deux points précédents : \[\exp(x-y)=\exp(x+(-y))=\exp(x) \times \exp(-y)=\exp(x)\times \dfrac{1}{\exp(y)}=\dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}\]

Exemple : \(\dfrac{\exp(12)}{\exp(-5)}=\exp(12-(-5))=\exp(17)\)
Pour tout réel \(x\), \(\dfrac{\exp(6x+1)}{\exp(3x-4)}=\exp(6x+1-(3x-4))=\exp(3x+5)\)

Soit \(x\) un réel et \(n\) un entier relatif. \((\exp(x))^n=\exp(nx)\)

Exemple : \(\exp(3)^7=\exp(3\times 7)=\exp(21)\)

Pour s’entraîner…

Nombre d’Euler

On note \(e\) l’image de 1 par la fonction exponentielle.\\ \[e=\exp(1)\simeq 2.71828\] Le nombre \(e\) porte le nom de nombre d’Euler. Il est parfois appelé constante de Néper.

Pour tout réel \(x\), on notera désormais \(e^x=\exp(x)\).

Cette notation nous permet de retrouver les règles de calcul sur les puissances :

  • Pour tous réels \(x\) et \(y\), \(e^{x+y}=e^x\,e^y\)
  • Pour tous réels \(x\) et \(y\), \(e^{x-y}=\dfrac{e^x}{e^y}\)
  • Pour tout réel \(x\) et tout entier relatif \(n\), \((e^x)^n=e^{nx}\).

Etude de fonction

Signe et variations de l’exponentielle

Pour tous réels \(x\), \(e^x>0\).

Pour tout réel \(x\), \[e^x=e^{2\times x/2}=\left(e^{x/2}\right)^2\] d’après la dernière propriété.
Or, le carré d’un réel étant toujours positif, on a que, pour tout réel \(x\), \(\exp(x)>0\).

Exemple : Soit \(x\) un réel. On souhaite résoudre l’inéquation \((3x+9)\,e^{7x-12}>0\). Puisque l’exponentielle est toujours strictement positive, elle ne change pas le signe de ce produit : résoudre cette inéquation revient à résoudre \(3x+9>0\).
Ainsi, \((3x+9)\,e^{7x-12}>0 \Leftrightarrow 3x+9 >0 \Leftrightarrow x> -3\)

Pour s’entraîner…

La fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\)

La dérivée de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle elle-même. Puisque pour tout réel \(x\), \(e^x>0\) (en tant que dérivée), cela signifie que la fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

On démontre ainsi ce que l’on pensait en voyant la courbe représentative de la fonction exponentielle.

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Fonctions du type \(x\mapsto e^{ax+b}\)

Soit \(a\) et \(b\) deux réels. La fonction \(f:x \mapsto e^{ax+b}\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\), et est

  • strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) si \(a>0\)
  • strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\) si \(a< 0\)
  • constante sur \(\mathbb{R}\) si \(a=0\)

On rappelle que la dérivée de \(f\) est \(f’:x\mapsto a \times e^{ax+b}\). Puisque l’exponentielle est toujours positive, alors pour tout réel \(x\), \(f'(x)\) est du signe de \(a\), d’où le résultat.