Suites arithmétiques et géométriques

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Suites arithmétiques

Définition récursive

Soit \((u_n)\) une suite numérique.
On dit que la suite \((u_n)\) est arithmétique s’il existe un réel \(r\) tel que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_{n+1}=u_n+r\). Le réel \(r\) est appelé la raison de la suite.

Exemple : La suite \((u_n)\) définie par \[\left\{\begin{array}{l}u_0=5\\ \text{Pour tout }n\in\mathbb{N},u_{n+1}=u_n+4\end{array}\right.\] est arithmétique, de raison 4

Exemple : La suite \((v_n)\) définie pour tout \(n\in\mathbb{N}\) par \(v_n=-2n+7\) est arithmétique de raison -2.
En effet, soit \(n\in\mathbb{N}\). \(v_{n+1}-v_{n}=-2(n+1)+7-(-2n+7)=-2\). Ainsi, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_{n+1}=u_n-2\).

Pour s’entraîner…

Terme général

Soit \((u_n)\) une suite arithmétique de premier terme \(u_0\) et de raison \(r\). Alors, pour tout \(n\in\mathbb{N}\) : \[u_n=u_0+nr\]

« Démonstration » : On a :

  • \(u_0=u_0+0\times r\)
  • \(u_1=u_0+r\)
  • \(u_2=u_1+r=u_0+r+r=u_0+2r\)
  • \(u_n=u_{n-1}+r=u_0+(n-1)r+r=u_0+nr\)

En Terminale, vous découvrirez une démonstration plus rigoureuse que celle-ci : la démonstration par récurrence.

Exemple : Soit \((u_n)\) la suite arithmétique de terme initial \(u_0=5\) et de raison \(r=-3\).
Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n=5+(-3)\times n = 5-3n\). En particulier, \(u_{100}=5-3\times 100 = -295\)

Pour s’entraîner…

Variations et limites

Soit \((u_n)\) une suite arithmétique de raison \(r\).

  • Si \(r>0\), alors la suite \((u_n)\) est strictement croissante et sa limite vaut \(+\infty \).
  • Si \(r=0\), alors la quite \((u_n)\) est constante.
  • Si \(r<0\), alors la suite \((u_n)\) est strictement décroissante et sa limite vaut \(-\infty\)

Somme de termes

Soit \(n\in\mathbb{N}\), alors \[ 1 + 2 + 3 + \ldots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}\] Cette propriété s’écrit également \[\sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}{2}\]

Démonstration : Notons \(S=1+2+3+\ldots + n\). Le principe de la démonstration est d’additionner \(S\) à lui-même, en changeant l’ordre des termes. \[\begin{matrix} &S & = & 1 & + & 2 & + & \ldots & +& (n-1) & + & n \\ +&S & = & n & + & (n-1) &+ & \ldots & +& 2 &+& 1\\ \hline &2S & = &(n+1) & + & (n+1) & + & \ldots & + & (n+1) & + & (n+1)\end{matrix}\] Ainsi, \(2S=n(n+1)\), d’où \(S=\dfrac{n(n+1)}{2}\).

Exemple : La somme de tous les nombres entiers de 1 à 100 vaut \(\dfrac{100 \times 101}{2}=5050\).

On attribue souvent ce calcul au mathématicien Carl Friedrich Gauss : une légende raconte que son instituteur aurait donné ce calcul à sa classe et que le jeune Gauss aurait trouvé la solution en un rien de temps.
Mythe ou réalité ? Toujours est-il que Gauss ne fut pas le premier à trouver la solution. On trouve en effet ce problème dans les Propositiones ad Acuendo Juvenes d’Alcuin, daté des années 800. Il s’agit d’un des premiers livres d’énigmes de l’Histoire.

Soit \((u_n)\) une suite arithmétique et \(n\in\mathbb{N}\). Alors \[u_0+u_1+\ldots+u_n=(n+1)\dfrac{u_0+u_n}{2}\] c’est-à-dire, \[u_0+u_1+\ldots+u_n=(n+1)=\text{Nombre de termes } \times \dfrac{\text{Premier terme + Dernier terme}}{2}\]

Démonstration : On rappelle que pour une suite \((u_n)\) arithmétique, de raison \(r\), pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_n=u_0+rn\) Ainsi, \[u_0+u_1+\ldots+u_n=u_0+(u_0+r)+(u_0+2r)+\ldots + (u_0+rn)\] D’où \[u_0+u_1+\ldots+u_n=(n+1)u_0+r+2r+3r+\dots+rn=(n+1)u_0+r(1+2+\ldots +n)\] En utilisant le résultat précédent, on a donc \[u_0+u_1+\ldots+u_n=(n+1)u_0+r\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{2(n+1)u_0+rn(n+1)}{2}\] On trouve alors \[u_0+u_1+\ldots+u_n=\dfrac{(n+1)(u_0+u_0+rn)}{2}=\dfrac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}\]

Exemple : On souhaite calculer la somme \(7+11+15+\ldots + 243\), où les nombres de la somme croissent de 4 en 4.

  • Les nombres de la somme sont les termes de la suite arithmétique \((u_n)\) de premier terme \(u_0=7\) et de raison \(r=4\)
  • On cherche l’entier \(n\) tel que \(u_n=243\). On a alors \(u_0+rn=243\), c’est-à-dire \(7+4n=243\), d’où \(n=59\).
  • Ainsi, \(7+11+15+\ldots + 243=u_0 + u_1 + \ldots + u_{59} = (59+1)\times \dfrac{7+243}{2}=7500\)

Pour s’entraîner…

Suites géométriques

Définition récursive

Soit \((u_n)\) une suite numérique.
On dit que la suite \((u_n)\) est géométrique s’il existe un réel \(q\) tel que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_{n+1}=qu_n\). Le réel \(q\) est appelé la raison de la suite.

Exemple : La suite \((u_n)\) définie par \[\left\{\begin{array}{l}u_0=5\\ \text{Pour tout }n\in\mathbb{N},u_{n+1}=2u_n\end{array}\right.\] est géométrique, de raison 2.

Terme général

Soit \((u_n)\) une suite géométrique de premier terme \(u_0\) et de raison \(q\neq 0\).
Alors, pour tout \(n\in\mathbb{N}\) : \[u_n=q^n \times u_0 \]

On a :

  • \(u_0=u_0 \times q^0\)
  • \(u_1=q \times u_0 = q^1 \times u_0\)
  • \(u_2=q \times u_1 = q \times q \times u_0 = q^2 \times u_0\)
  • \( …\)
  • \(u_n=q \times u_{n-1}=q \times q^{n-1} \times u_0=q^n \times u_0\)

Exemple : On considère la suite géométrique \((u_n)\) de premier terme \(u_0=5\) et de raison \(q=-3\). Alors, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_n=5\times (-3)^n\).
En particulier, \(u_7=5\times (-3)^7=-10935\)

Attention à la formulation lorsque des pourcentages sont en jeu : ajouter 10\%, c’est faire une multiplication par 1.1. Ce n’est pas une addition !

Exemple : Un particulier place 3000 euros sur un livret au taux d’intérêts composés annuel de 1%. Cela signifie que chaque année, le capital sur le livret augmente de 1%. Pour \(n\in\mathbb{N}\), on note \(C_n\) le capital sur le livret après \(n\) années, exprimé en euros.

  • \(C_0=3000\)
  • \(C_1=3000 \times \left(1+\dfrac{1}{100}\right) = 3000 \times 1.01 = 3030\)
  • \(C_2=3030 \times \left(1+\dfrac{1}{100}\right) = 3030 \times 1.01 = 3060.3\)

Pour tout entier naturel \(n\), \(C_{n+1}=1.1C_n\). La suite \((C_n)\) est géométrique, de raison 1.1.
Ainsi, pour tout entier naturel \(n\), \(C_n=3000 \times 1.01^n\)

Variations et limites

Soit \((u_n)\) une suite géométrique de raison \(q\). On suppose \(u_0\neq 0\).

  • Si \(q<0\), alors la suite \((u_n)\) n’est pas monotone : les termes alternent entre les positifs et les négatifs.
  • Si \(0<q<1\), la suite \((u_n)\) est :
    • strictement décroissante si \(u_0>0\)
    • strictement croissante si \(u_0<0\)
  • Si \(q>1\), la suite \((u_n)\) est :
    • strictement croissante si \(u_0>0\)
    • strictement décroissante si \(u_0<0\)

Principe de la démonstration : Si \(q<0\), les termes de la suite \((u_n)\) changent de signe à chaque rang. La suite ne peut donc être monotone.

Si \(0<q<1\), pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \[u_{n+1}-u_n=u_0\,q^{n+1}-u_0\,q^n=u_0\,q^n(q-1)\] Or, \(q-1<0\), donc \(u_0\,q^n(q-1)\) est du signe opposé à celui de \(u_0\), d’où la conclusion.

Si \(q>1\) , on procède de la même manière mais cette fois, \(q-1>0\).

A voir sur la représentation graphique…

Bien qu’il soit tentant d’apprendre par cœur la propriété précédente, ne le faites pas, cela vous évitera des confusions. Il vaut mieux calculer les premières valeurs de la suite et garder en tête les différentes configurations de représentations graphiques.

Soit \((u_n)\) une suite géométrique de raison \(q\).

  • Si \(-1<q<1\), alors \(u_n\) tend vers 0 lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).
  • Si \(q\leqslant -1\), la suite \((u_n)\) n’admet aucune limite, finie ou infinie.
  • Si \(q>1\), alors \((u_n)\) tend vers \(+\infty\) si \(u_0>\), vers \(-\infty\) si \(u_0<0\)

Exemple : Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on pose \(u_n=3,2 \times 0,94 ^n\).
La suite \(u_n\) est géométrique, de premier terme \(u_0=3,2\) et de raison \(q=0,94\). Puisque \(u_0 > 0\) et \(0 < q < 1\), la suite \((u_n)\) est décroissante. De plus, sa limite quand \(n\) tend vers \(+\infty\) vaut 0.

Pour s’entraîner…

Somme de termes

Soit \(n\in\mathbb{N}\) et \(q\) un réel différent de 1. Alors, \[1+q+q^2+\ldots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\] ce que l’on peut également écrire \[\sum_{k=1}^n q^k =\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\]

Démonstration Notons \(S=1+q+q^2+\ldots +q^n\). Nous allons calculer \(S-qS\) \[\begin{matrix} &S & = & 1 & + & q & + & q^2 & +& \ldots & + & q^n \\ -&qS & = & & & q & + & q^2 & +& \ldots & + & q^n &+ & q^{n+1}\\ \hline &S-qS & = &1& & & & & & & &&-&q^{n+1} \end{matrix}\] Ainsi \(S-qS=1-q^{n+1}\), c’est-à-dire \((1-q)S=1-q^{n+1}\). Puisque \(q\) est différent de 1, on peut diviser par \(1-q\).

On a alors \(S=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\)

Exemple : On souhaite calculer la valeur de \(S=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+ \ldots + \dfrac{1}{2048}\), où chaque terme de la somme vaut la moitié du précédent.

Ici, \(S=1+q+q^2+\ldots + q^{11}\) avec \(q=\dfrac{1}{2}\). Ainsi, \[S=\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{12}}{1-\dfrac{1}{2}}=2\times \left(1-\dfrac{1}{4096}\right)=\dfrac{4095}{2048}\]

Lorsque \(n\) tend vers l’infini, \(\dfrac{1}{2^{n}}\) tend vers 0. Ainsi, la somme \(S=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\ldots + \dfrac{1}{2^n}\), qui vaut \(2\times \left(1-\dfrac{1}{2^n}\right) \) a pour limite 2. Ajouter une infinité de termes positifs peut parfois aboutir à un résultat fini.

Soit \((u_n)\) une suite géométrique de terme initial \(u_0\) et de raison \(q \neq 1\). Soir \(n\in\mathbb{N}\). Alors, \[ u_0+u_1+\ldots u_n = u_0\,\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}=\text{Premier terme }\times \dfrac{1-\text{raison}^\text{Nombre de termes}}{1-\text{raison}}\]

Démonstration : Il suffit de remarquer que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_n=u_0\,q^n\). Ainsi, \[u_0+u_1+u_2+\ldots+u_n=u_0+u_0\,q+u_0\,q^2+\ldots + u_0\,q^n=u_0(1+q+q^2+\ldots+q^n)\] Et d’après la propriété précédent, on obtient \[u_0+u_1+u_2+\ldots+u_n=u_0\,\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\]

Exemple : Notons \(S=5+10+20+\ldots+40960\), où chaque terme de la somme vaut le double du terme précédent. \[S=5\times (1 + 2 + 4 + \ldots + 8192) = 5 \times (1+2+2^2+\ldots + 2^13)\] Ainsi, \[S=5 \times \dfrac{1-2^{14}}{1-2}=81915\]

Pour s’entraîner…

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