Calcul algébrique

Puissance d’un nombre

Soit \(a\) un réel et \(n\) un entier naturel. On note \(a^n\) le résultat du produit \(a\times a \times \dots \times a\) où le réel \(a\) apparaît \(n\) fois.

Exemples : \(2^3=2\times 2 \times 2 = 8\), \((-6)^2=(-6)\times(-6)=36\).

Pour tout réel \(a\) non nul, on a \(a^0=1\).

Soit \(a\) un réel et \(n\) un entier naturel. On note \(a^{-n}\) le réel \(\dfrac{1}{a^n}\).

Exemples : \(4^{-2}=\dfrac{1}{4^2}=\dfrac{1}{4 \times 4}=\dfrac{1}{16}\), \(10^{-3}=\dfrac{1}{10^3}=\dfrac{1}{1000}=0,001\).

Soit \(a\) et \(b\) deux réels, \(n\) et \(p\) deux entiers relatifs.

  • \(a^n \times a^p = a^{n+p}\)
  • \(\dfrac{a^n}{a^p}=a^{n-p}\)
  • \((a^n)^p=a^{np}\)
  • \((ab)^n=a^n\times b^n\)
  • \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}\)

Exemple : \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^3=\dfrac{2^3}{3^3}=\dfrac{2\times 2 \times 2}{3 \times 3\times 3}=\dfrac{8}{27}\)

Exemple : Soit \(x\) un réel non nul.

\(\left(\dfrac{x^5 \times x^3}{x^{10}}\right)^2=\left(\dfrac{x^{5+3}}{x^{10}}\right)^2=\left(\dfrac{x^{8}}{x^{10}}\right)^2=(x^{8-10})^2=(x^{-2})^2=x^{-2\times 2}=x^{-4}=\dfrac{1}{x^4}\)

Exemple : Soit \(x\) un réel. \((6x)^3=6^3 \times x^3 = 216x^3\)

Pour s’entraîner…

Développement et factorisation

Rappels

Développer, c’est transformer un produit en une somme ou une différence de termes.
Factoriser, c’est transformer une somme en un produit de facteurs.

Exemple : Soit \(x\) un réel.
\((2x-4)(3x+2)=2x\times3x+2x\times 2+ (-4)\times 3x +(-4)\times 2 = 6x^2+4x-12x-8=6x^2-8x-8\).
On utilise la double distributivité.

Exemple : Soit \(x\) un réel
\begin{array}{lcl} (2x+1)(x+3)-(3x+4)(2x+1) & = & (2x+1)[(x+3)-(3x+4)]\\ &=& (2x+1)(x+3-3x-4)\\ & = &(2x+1)(-2x-1) \\ \end{array}

Pour s’entraîner…

Identités remarquables

Pour tous réels \(a\) et \(b\), on a :

  • \((a+b)^{2}=a^2+2ab+b^2\)
  • \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
  • \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)

Exemple : Soit \(x\) un réel.

  • \((x+5)^2=x^2+2 \times x \times 5 + 5^2 = x^2 + 10x +25\)
  • \((2x-3)^2=(2x)^2-2 \times 2x \times 3 + 3^2 = 4x^2 – 12x +9\)
  • \((x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})=x^2-\sqrt{5}^2=x^2-5\)

Exemple : Soit \(x\) un réel.

  • \(4x^2+12x+9=(2x)^2+2\times 2x \times 3 + 3^2=(2x+3)^2\)
  • \(16x^2-40x+25=(4x^2)-2\times 4x \times 5 + 5^2 = (4x-5)^2\)
  • \(x^2-121=x^2-11^2=(x-11)(x+11)\)

Exemple : Soit \(x\) un réel.

\begin{array}{lcl} \color{red}(3x+2)\color{black}^2-\color{blue}{(5x+7)}\color{black}^2 & = & (\color{red}{(3x+2)}\color{black}-\color{blue}{(5x+7)}\color{black})(\color{red}{(3x+2)}\color{black}+\color{blue}{(5x+7)}\color{black})\)\\ &=& (3x+2-5x-7)(3x+2+5x+7) \\ &=&(-2x-5)(8x+9) \end{array}

Pour s’entraîner…

Interprétation géométrique des identités remarquables

Equations et inéquations du premier degré

Opérations sur les égalités et inégalités

Soit \(x\), \(y\) deux réels

  • pour tout réel \(a\), on a \(x=y\) si et seulement si \(x+a=;y+a\) ;
  • pour tout réel \(b\) non nul, on a \(x=y\) si et seulement si \(bx=by\) ;

On peut donc ajouter n’importe quel réel et multiplier par n’importe quel réel non nul sans changer le sens d’une égalité. Tout ceci reste vrai pour la soustraction et la division.

Exemple : Soit \(x\) un réel tel que \(2x+3=6x-9\). On a alors \(2x+3\color{red}{-6x}=6x-9\color{red}{-6x}\), c’est-à-dire \(-4x+3=-9\).

Ainsi, \(-4x+3\color{red}{-3}=-9\color{red}{-3}\), soit \(-4x=-12\).

Finalement \(\dfrac{-4x}{-4}=\dfrac{-12}{-4}\), c’est-à-dire \(x=3\).

Soit \(x\) et \(y\) deux réels tels que \(x<y\) :

  • pour tout réel \(a\), on a encore \(x+a<y+a\) :
  • pour tout réel \(p\) strictement positif, on a \(px<py\) ;
  • pour tout réel \(n\) strictement négatif, on a \(nx>ny\).

Ces propriétés sont valables également pour des inégalités larges.

Exemple : Soit \(x\in [-2;7[\). On souhaite donner un encadrement de \(-3x+4\).

Puisque \(x\in [-2;7[\), cela signifie que \(-2 \leqslant x < 7\).
On multiplie l’inégalité par \(-3\) qui est un réel négatif, on a alors \( -3 \times -2 \geqslant -3x > -3 \times 7\), c’est-à-dire \(6 \geqslant -3x > -21\).
Enfin, on ajoute \(4\), on a alors \(6 +4 \geqslant -3x+4 > -21+4\), soit \(10 \geqslant -3x +4> -17\).
Ainsi, \(-3x+4 \in \mathopen]-17;10\mathclose]\).

Pour s’entraîner…

Soit \(x\), \(x’\), \(y\) et \(y’\) quatre réels.
Si \(x<y\) et \(x'<y’\), alors \(x+x'<y+y’\)

Exemple : On considère \(y\in [2;5]\) et \(x\in [-3;2]\). On souhaite donner un encadrement de \(5x-2y\).

On commence par encadrer \(5x\). Puisque \(x\in [-3;2]\), cela signifie que \(-3\leqslant x \leqslant 2\). En multipliant par 5, qui est positif, on a donc \(5\times (-3) \leqslant 5x \leqslant 5 \times 2\), soit \(-15 \leqslant 5x \leqslant 10\).

On encadre ensuite \(-2y\). Puisque \(y\in [2;5]\), cela signifie que \(2\leqslant y \leqslant 5\). En multipliant par -2, qui est négatif, on a donc \(-2\times 2 \geqslant -2y \geqslant -2 \times 5\), soit \(-4 \geqslant -2y \geqslant -10\), ou encore \(-10 \leqslant -2y \leqslant -4\)

Finalement, en ajoutant terme à terme les deux inégalités, on obtient \((-10)+(-15) \leqslant 5x-2y \leqslant 10 +(-4)\) soit \(-25 \leqslant 5x-2y \leqslant 6\).

Attention à bien additionner des inégalités qui sont dans le même sens !

Equations et inéquations

Une équation est une égalité qui fait intervenir une ou plusieurs variables appelées inconnues. Cette égalité peut être vraie ou fausse, selon les valeurs des inconnues.
Une valeur des variables pour laquelle l’égalité est vraie s’appelle une solution de l’équation.
Résoudre une équation, c’est donner l’ensemble de ses solutions.

Exemple : On considère l’équation d’inconnue \(x\in\mathbb{R}\) suivante : \(2x^2+3x-5=0\).

\(1\) est solution de cette équation : en effet, \(2 \times 1^2 + 3 \times 1 – 5 =0\).
\( -\dfrac{5}{2}\) l’est également : \(2 \times \left(-\dfrac{5}{2}\right)^2+3\times\left(-\dfrac{5}{2}\right)-5=2\times \dfrac{25}{4}-\dfrac{15}{2}-5=\dfrac{25}{2}-\dfrac{15}{2}-\dfrac{10}{2}=0\).

Il s’avère que \(1\) et \(-\dfrac{5}{2}\) sont les seules solutions de l’équation considérée ici. On écrira \(S=\left\{-\dfrac{5}{2} ; 1 \right\}\).

Exemple : On cherche à résoudre l’équation d’inconnue réelle \(x\) suivante : \(3x+2 = 5x-3\)

\(3x+2=5x-3\) si et seulement si \(3x+2\color{red}{-5x}=5x-3\color{red}{-5x}\), c’est-à-dire \(-2x+2=-3\).

Ainsi, \(3x+2=5x-3\) si et seulement si \(-2x+2\color{red}{-2}=-3\color{red}{-2}\), soit \(-2x=-5\).

Finalement, \(3x+2=5x-3\) si et seulement si \(\dfrac{-2x}{\color{red}{-2}}=\dfrac{-5}{\color{red}{-2}}\), c’est-à-dire \(x=\dfrac{5}{2}\).

L’ensemble des solutions de l’équation est donc \(S=\left\{\dfrac{5}{2}\right\}\)

Les « si et seulement si » traduisent un raisonnement par équivalence, c’est-à-dire un raisonnement qui peut se lire « dans les deux sens ». De cette manière, on montre que non seulement les \(x\) trouvés sont solutions, mais qu’en plus, ce sont bien les seules solutions.

Pour s’entraîner…

Lorsque l’on a une inégalité plutôt qu’une égalité, on parle d’inéquation.

Exemple : Le réel \(3\) est solution de l’inéquation d’inconnue réelle \(x\) suivante : \(2x^2-3x+2<5x^2+8x+14\).

En effet, \(2\times 3^2-3\times 3 + 2 = 11\) et \(5\times 3^2+8\times 3 + 14 = 83\). On a bien \(11<83\).