Ensembles des réels

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Des nombres irrationnels

Soit \(a\geq 0\).
On appelle racine carrée de \(a\), notée \(\sqrt{a}\), l’unique solution positive de l’équation \(x^2=a\). Autrement dit, \(\sqrt{a}\) est le nombre positif qui, au carré, vaut \(a\).

Exemple : \(\sqrt{25}=5\), \(\sqrt{144}=12\)

Soit \(a\geqslant 0\) et \(b\geqslant 0\). \(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}\).

Démonstration : D’une part, \(ab\geqslant 0\) et \(\sqrt{ab}^2=ab\), par définition de la racine carrée.
D’autre part, \((\sqrt{a} \times \sqrt{b})^2=\sqrt{a}^2 \times \sqrt{b}^2=ab\).
\(\sqrt{ab}\) et \(\sqrt{a} \times \sqrt{b}\) sont positifs et solutions de l’équation \(x^2=ab\). Ces quantités sont donc égales.

Exemple : \(\sqrt{20}=\sqrt{4 \times 5} = \sqrt{4} \times \sqrt{5} = 2 \sqrt{5}\)

Il est également possible de faire la même chose avec les quotients.

Exemple : \(\sqrt{\dfrac{25}{4}}=\dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}=\dfrac{5}{2}\)

\(\sqrt{2}\) n’est pas rationnel – on dit également irrationnel.

Démonstration : Supposons que \(\sqrt{2}\) est rationnel. Il existe donc \(a\in\mathbb{Z}\) et \(b\in\mathbb{N}\), avec \(b \neq 0\), tels que \(\sqrt{2}=\dfrac{a}{b}\). On supposera par ailleurs que la fraction \(\frac{a}{b}\) est irréductible.

On a alors \(\sqrt{2}^2=\left(\dfrac{a}{b}\right)^2\), soit \(2=\dfrac{a^2}{b^2}\). Ainsi, \(a^2=2b^2\).

\(a^2\) est donc pair, ce qui entraîne que \(a\) est également pair – voir ce point pour la justification.

Il existe donc \(k\in\mathbb{Z}\) tel que \(a=2k\). Or, puisque \(a^2=2b^2\), cela implique que \((2k)^2=4k^2=2b^2\), c’est-à-dire \(b^2=2k^2\).

Ainsi, \(b^2\) est pair, et \(b\) est également pair. On aboutit alors à une contradiction : la fraction irréductible \(\dfrac{a}{b}\) posséderait un numérateur et un dénominateur pairs.

On peut d’ailleurs, en utilisant la même méthode, démontrer que, si \(n\) est un entier naturel, alors \(\sqrt{n}\) est soit un entier, soit un nombre irrationnel.

\(\pi\) est irrationnel

Même si le nombre \(\pi\) est connu depuis l’Antiquité, son irrationnalité n’a été démontrée qu’en 1761 par Johann Heinrich Lambert. On suppose également que \(\pi\) est un nombre univers : tous les nombres entiers apparaissent dans ses décimales, comme votre date de naissance ou votre numéro de téléphone. Ce résultat n’est toujours pas démontré à ce jour.

Ensemble des réels

L’ensemble des réels est l’ensemble des abscisses possibles d’une droite graduée.
Cet ensemble est noté \(\mathbb{R}\).

Exemple : \(\sqrt{\pi}\), \(1+\sqrt{5}\), \(7\) sont des nombres réels.

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Intervalles

Intervalles de \(\mathbb{R}\)

Un intervalle est une partie continue de l’ensemble des réels qui désigne tous les nombres réels compris entre deux réels \(a\) et \(b\). Selon les cas, ces réels peuvent être compris ou non dans l’intervalle.

Exemple :

Réels \(x\)Représentation graphiqueIntervalle
\( -2 \leq x \leq 4\)\( [-2;4] \)
\(-3< x \leq 2\) \( ]-3;2] \)
\(2\leq x < 5\) \( [2;5[ \)
\(-3< x < -1\) \( ]-3;-1[\)
\(x \leq -1\) \( ]-\infty ; -1\)
\(x<3\) \( ]-\infty;3[\)
\(x \geq 2\) \( [2;+\infty[ \)
\(x > -3\) \( ]-3;+\infty[\)

Exemple : \(2 \in [1;4,5[\), \(\pi \in [3,1;3,2]\), \(\sqrt{2} \not\in [2;+\infty[\)

L’ensemble \(\mathbb{R}\) est aussi l’intervalle \(\left]-\infty ; +\infty\right[\)

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Union et intersection d’intervalles

Soit \(A\) et \(B\) deux ensembles :
  • L’ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à \(A\) et \(B\) s’appelle l’intersection de \(A\) et \(B\). On le note \(A \cap B\) (se lit \(A\) inter \(B\)).
  • L’ensemble des éléments qui appartiennent au moins à \(A\) ou \(B\) s’appelle l’union ou la réunion de \(A\) et \(B\). On le note \(A \cup B\) (se lit \(A\) union \(B\)).

Exemple : Soit \(A = [1;5]\) et \(B = ]-1;3[\). Que valent \(A\cap B\) et \(A\cup B\) ?

On peut représenter les deux intervalles A et B sur un même axe gradué.

L’intersection est l’ensemble des nombres appartenant aux deux intervalles (les deux couleurs à la fois). La réunion est l’ensemble des nombres appartenant à au moins un intervalle.

  • \(A\cap B = [1;4[\)
  • \(A \cup B = ]-1;5]\)

Il se peut que l’intersection de deux intervalles ne contienne aucun élément : on notera \(\varnothing\), qui se lit « ensemble vide ».

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Valeur absolue

Définition

Soit \(x\) un réel. On appelle valeur absolue de \(x\), notée \(|x|\), la distance à zéro de \(x\).

  • Si \(x\geq 0\), alors \(|x|=x\).
  • Si \(x<0\), on a alors \(|x|=-x\).
  • Exemple : \(|5|=5\), \(|-3|=3\).

    Pour tout réel \(x\), \(\sqrt{x^2}=|x|\)

    Exemple : \(\sqrt{(-5)}^2=\sqrt{25}=5=|-5|\)

    Soit \(x\) et \(y\) deux réels. On appelle distance de \(x\) à \(y\) la quantité \(|x-y|\)

    Exemple : La distance de \(3\) à \(5\) vaut \(|3-5|=|-2|=2\).

    Exemple : Résoudre sur \(\mathbb{R}\) l’équation \(|x-2|=3\)
    Cela revient à trouver tous les réels \(x\) qui sont à une distance \(3\) du réel \(2\).

    Valeur absolue

    Cela signifie que \(x-2=3\) ou que \(x-2=-3\), c’est-à-dire \(x=5\) ou \(x=-1\). \(S={-1;5}\)

    Lien avec les intervalles

    Soit \(a\) un réel et \(r\) un réel strictement positif

    • L’ensemble des réels \(x\) tels que \(|x-a|\leqslant r\) est l’ensemble \(\mathopen[a-r ; a+r\mathclose]\)
    • L’ensemble des réels \(x\) tels que \(|x-a| < r\) est l'ensemble \(\mathopen]a-r ; a+r\mathclose[\)

    Exemple : L’ensemble des réels \(x\) tels que \(|x-2|\leq 5\) est l’intervalle \( [2-5;2+5]\), c’est-à-dire \( [-3;7]\).

    Exemple : L’intervalle \([7;13]\) correspond à l’ensemble des \(x\) tels que \(|x-10]\leq 3\)

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