Ensembles d’entiers, arithmétique

Accueil » Cours et exercices » Seconde générale » Ensembles d’entiers, arithmétique

Ensembles d’entiers

L’ensemble des entiers positifs, aussi appelés entiers naturels, est noté \(\mathbb{N}\).
\(\mathbb{N}=\{0;1;2;3;\ldots\}\)

L’ensemble des entiers relatifs est noté \(\mathbb{Z}\).
\(\mathbb{Z}=\{\ldots;-3;-2;-1;0;1;2;3;\ldots\}\)

Exemple : \(5\) est un entier naturel. On notera cela \(5\in\mathbb{N}\).
En revanche, \(-3\) n’est pas un entier naturel, ce qui se notera \(-5\not\in\mathbb{N}\).

Exemple : Tous les entiers naturels sont également des entiers relatifs. On dit que l’ensemble \(\mathbb{N}\) est inclus dans l’ensemble \(\mathbb{Z}\), ce que l’on note \(\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\).

Multiples et diviseurs

Soit \(a\) et \(b\) deux entiers relatifs.
On dit que \(a\) est un multiple de \(b\) s’il existe un entier relatif \(k\) tel que \(a=bk\).
On dit également que \(b\) est un diviseur de \(a\) ou que \(b\) divise \(a\).

Exemple : Prenons \(a=-56\) et \(b=7\). On sait que \(-56=7\times -8\). On a donc trouvé un entier relatif \(k\), en l’occurrence \(-8\), tel que \(a=bk\). \(-56\) est donc un multiple de \(7\).

Pour s’entraîner…

Soit \(a\) un entier relatif, \(m\) et \(n\) deux multiples de \(a\). Alors \(m+n\) est aussi un multiple de \(a\).

Démonstration : On commence par traduire les hypothèses :

  • \(m\) est un multiple de \(a\) : il existe un entier relatif \(k\) tel que \(m=ka\).
  • \(n\) est un multiple de \(a\) : il existe un entier relatif \(k’\) (potentiellement différent de \(k\) ) tel que \(n=k’a\).

Ainsi, \(m+n=ka+k’a=(k+k’)a\). Or, \(k+k’\) est la somme de deux entiers relatifs, c’est donc un entier relatif. Si on note \(k’^{\prime}=k+k’\), on a alors \(m+n=k’^{\prime}a\) : \(m+n\) est donc un multiple de \(a\).

Exemple : \(777\) est un multiple de \(7\). En effet, \(777 = 111 \times 7\). \(7777\) est également un multiple de \(7\). Ainsi, \(777 + 7777\) est également un multiple de \(7\).

Pour s’entraîner sur cette partie du cours :

Parité

Soit \(a\in\mathbb{Z}\).
  • On dit que \(a\) est pair s’il existe \(k\in\mathbb{Z}\) tel que \(a=2k\). Autrement dit, \(a\) est un multiple de \(2\).
  • On dit que \(a\) est impair s’il existe \(k\in\mathbb{Z}\) tel que \(a=2k+1\).

Exemple : \(23=2\times 11+ 1\), \(23\) est donc impair.

On a les propriétés suivantes :
  • La somme de deux nombres pairs est un nombre pair
  • La somme de deux nombres impairs est un nombre pair
  • La somme d’un nombre pair et d’un nombre pair est un nombre impair

Démonstration : Le premier point est une conséquence directe d’une propriété de la partie précédente : deux nombres pairs sont des multiples de 2. Leur somme est donc un multiple de 2.

Nous allons démontrer que la somme d’un entier pair et d’un entier impair est un nombre impair.
Soit \(a\) un nombre pair et \(b\) un nombre impair.

  • Puisque \(a\) est pair, il existe \(k\in\mathbb{Z}\) tel que \(a=2k\).
  • Puisque \(b\) est impair, il existe \(k’\in\mathbb{Z}\) tel que \(b=2k’+1\)

Ainsi, \(a+b=2k+2k’+1=2(k+k’)+1\). Or, \(k+k’\) est un entier relatif, \(a+b\) est donc un nombre impair. En effet, on peut poser \(k’^{\prime}=k+k’\), on aura alors \(a+b=2k’^{\prime}+1\)

Le troisième point a une démonstration analogue. N’hésitez pas à la rédiger pour vous entraîner.

On a les propriétés suivantes :
  • Le produit de deux entiers relatifs dont l’un est pair est un nombre pair.
  • Le produit de deux nombres impairs est impair.
En particulier :
  • Le carré d’un nombre pair est pair.
  • Le carré d’une nombre impair est impair.
Démonstration : Montrons que le produit de deux nombres impairs est impairs. Soit \(a\) et \(b\) deux nombres impairs.
  • Puisque \(a\) est pair, il existe \(k\in\mathbb{Z}\) tel que \(a=2k+1\).
  • Puisque \(b\) est pair, il existe \(k’\in\mathbb{Z}\) tel que \(b=2k’+1\)
Ainsi, \(ab=(2k+1)(2k’+1)=4kk’+2k+2k’+1=2(2kk’+k+k’)+1\). Or, \(2kk’+k+k’\) est un entier relatif, \(ab\) est donc un nombre impair.

Là encore, entraînez-vous en démontrant les autres points de manière analogue.

Grâce à ces propriétés, on peut également démontrer que si \(n\) est un nombre entier tel que \(n^2\) est pair, alors \(n\) est pair. En effet, si \(n\) était impair, son carré devrait être pair : il en suit que \(n\) est forcément pair. Le raisonnement utilisé ici est un raisonnement par contraposée.

Nombres premiers

Soit \(a\in\mathbb{N}\).
  • On dit que \(a\) est premier s’il possède exactement deux diviseurs positifs distincts, qui sont alors \(1\) et \(a\).
  • On dit que \(a\) est composé s’il est différent de 0 ou 1 et s’il n’est pas premier.

Exemple : 2, 3, 5 et 7 sont des nombres premiers. En revanche, 4 n’est pas un nombre premier, puisqu’il possède 3 diviseurs : 1, 2 et 4.

Cette définition permet d’exclure 1 de l’ensemble des nombres premiers, ce qui est bien pratique pour le théorème qui suit…

Tout entier naturel non nul se décompose de manière unique en produits de facteurs premiers, à l’ordre des facteurs près.

Exemple : \(24 = 2 \times 2 \times \times 3 = 2^3 \times 3\) et \( 180 =2^2 \times 3^2 \times 5\).
La décomposition en facteurs premiers de \(24 \times 180 \) est donc \(2^3 \times 3 \times 2^2 \times 3^2 \times 5 = 2^5 \times 3^3 \times 5\).

Il n’y a pas besoin de calculer le produit \(24 \times 180\) pour connaître sa décomposition en facteurs premiers ! Il suffit de décomposer chaque nombre et d’appliquer les règles de calcul sur les puissances.

Nombres rationnels et décimaux

Définition et exemples

On dit qu’un nombre \(q\) est rationnel s’il existe deux nombres \(a\in\mathbb{Z}\) et \(b \in \mathbb{N}\), avec \(b\neq 0\), tels que \(q=\frac{a}{b}\).
L’ensemble des nombres rationnels se note \(\mathbb{Q}\)

On dit qu’un nombre \(d\) est décimal s’il existe deux nombres \(a\in\mathbb{Z}\) et \(b \in \mathbb{N}\) tels que \(d=\frac{a}{10^b}\).
L’ensemble des nombres rationnels se note \(\mathbb{D}\).

Exemple : \(\frac{3}{7}\) est un nombre rationnel. De même, \(2\) est un nombre rationnel puisque \(2=\frac{2}{1}\).

Exemple : \(12,347\) est décimal. En effet, \(12,347=\frac{12347}{1000}=\frac{12347}{10^3}\). C’est également un nombre rationnel.

On a \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q}\)

\(\frac{1}{3}\) n’est pas décimal

Démonstration : Supposons que \(\frac{1}{3}\) soit décimal. Il existe alors \(a\in\mathbb{Z}\) et \(b \in \mathbb{N}\) tels que \(\frac{1}{3}=\frac{a}{10^b}\). Ainsi, \(10^b=3a\), ce qui implique que \(10^b\) est un multiple de 3. Ce n’est pas le cas : \(\frac{1}{3}\) ne peut donc pas être un nombre décimal

Pour cette démonstration, nous avons fait une supposition et avons abouti à une contradiction : c’est le principe du raisonnement par l’absurde.

Forme irréductible

Soit \(q\) un nombre rationnel non nul. Il existe deux uniques nombres \(a\) et \(b\) tels que \(q=\dfrac{a}{b}\) avec :

  • \(a\in\mathbb{Z}\)
  • \(b \in \mathbb{N}\), et \(b\neq 0\)
  • \(a\) et \(b\) n’ont aucun facteur premier en commun

\(\dfrac{a}{b}\) est appelée la forme irréductible du rationnel \(q\).

Exemple : $$\frac{144}{210}=\frac{2\times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3}{2 \times 3 \times 5 \times 7}=\frac{2\times 2 \times 2 \times 3}{5 \times 7}=\frac{24}{35}$$

Il est évidemment possible d’utiliser les règles de calcul sur les puissances.

Exemple : $$\frac{144}{210}=\frac{2^4 \times 3 ^2}{2 \times 3 \times 5 \times 7}=\frac{2^3 \times 3}{5 \times 7}=\frac{24}{35}$$

N’oubliez pas qu’à chaque fois que vous ne simplifiez pas une fraction, un chaton meurt quelque part dans d’atroces souffrances. Pensez aux chatons, simplifiez vos fractions.

Pour s’entraîner…

Accueil » Cours et exercices » Seconde générale » Ensembles d’entiers, arithmétique