Vecteurs du plan

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Notion de vecteur

Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par trois informations :
  • Une direction (une droite)
  • Un sens
  • Une longueur (ou norme)
On note les vecteurs avec une flèche : \(\vec{u}\)

Attention à ne pas confondre direction et sens !

Exemple : Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) a pour direction la droite \((AB)\). Son sens est « de \(A\) vers \(B\) » et sa norme est la longueur \(AB\).

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Deux vecteurs sont égaux s’ils ont même direction, même sens et sont de même norme.

Exemple : On considère les vecteurs suivants :

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On a
  • \(\vec{t}=\vec{u}\)
  • \(\vec{t}\neq\vec{a}\) car ces deux vecteurs n’ont pas le même sens.
  • \(\vec{t}\neq\vec{w}\) car ces deux vecteurs n’ont pas la même norme.
  • \(\vec{t}\neq\vec{v}\) car ces deux vecteurs n’ont pas la même direction.

On appelle vecteur nul, noté \(\vec{0}\), le vecteur de longueur nulle.

Exemple : Pour tout point \(A\) du plan, \(\overrightarrow{AA}=\vec{0}\).

Translations et parallélogrammes

Translation selon un vecteur

Soient \(\vec u\) un vecteur du plan et \(A\) un point du plan. L’image du point \(A\) par la translation de vecteur \(\vec u\) est le point \(B\) tel que \(\overrightarrow{AB}=\vec u\).

Exemple : Ici, on a \(\overrightarrow{AB}=\vec u\). \(B\) est l’image du point \(A\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\).

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Parallélogramme

Soient \(A\), \(B\) et \(I\) trois points du plan.
\(I\) est le milieu de \([AB]\) si et seulement si \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}\).

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Dans ce chapitre – et même dans les autres d’ailleurs – il ne faut pas hésiter à faire des dessins pour mieux comprendre ce qui est raconté et limiter les erreurs et confusions !

Soit \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) quatre points du plan. On dit que \(ABCD\) est un parallélogramme si les diagonales \([AC]\) et \([BD]\) ont même milieu.

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Le parallélogramme en question peut être aplati.
On a également que \(ABCD\) est un parallélogramme si et seulement si \((AB) // (CD)\) et \((AD)//(BC)\).

Soient \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) quatre points du plan. On a \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\) si et seulement si \(AB\underline{DC}\) est un parallélogramme, éventuellement aplati.

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Cette propriété sera démontrée un peu plus tard… Si vous êtes trop impatients et connaissez déjà le cours, allez voir par ici

Opérations sur les vecteurs

Opposé d’un vecteur

Deux vecteurs sont opposés s’ils ont même norme, même direction et des sens contraires.

Exemple : Si \(A\) et \(B\) sont deux points du plan, les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BA}\) sont opposés. On notera \(\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\).

Exemple : Sur la figure suivante, les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont opposés.

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Somme de vecteurs

Soit \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs.
En appliquant successivement les translations de vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), on obtient une nouvelle translation. Le vecteur associé est alors noté \(\vec{u}+\vec{v}\).

Faire la somme de deux vecteurs revient à les mettre l’un à la suite de l’autre et à « joindre le début du premier à la fin du deuxième »

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Soit \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) trois vecteurs. On a :
  • \(\vec{u}+\vec{0}=\vec{0}+\vec{u}=\vec{u}\)
  • \(\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}\)
  • \((\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})\)
On peut additionner les vecteurs dans l’ordre que l’on veut.
  • \(\vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(-\vec{v})\)
Soustraire un vecteur revient à ajouter son opposé.

Pour visualiser la somme de deux vecteurs…
Déplacer les points rouges et les points marrons modifiera les vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\).

Pour s’entraîner…

[Relation de Chasles] Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois points du plan. On a alors : \[\overrightarrow{A\textbf{B}}+\overrightarrow{\textbf{B}C}=\overrightarrow{AC}\]

Exemple : Simplifier au maximum l’expression suivante : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} – \overrightarrow{CD}\)

D’après la relation de Chasles, on a \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}\), d’où \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} – \overrightarrow{CD} =\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{CD} \).
Or \(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC} \).
Ainsi, \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} – \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}\)

Exemple : On souhaite montrer que \(ABCD\) est un parallélogramme si et seulement si \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\).

  • On suppose que \(ABCD\) est un parallélogramme. Les diagonales \(AC\) et \(BD\) se coupent donc en leur milieu. On note \(I\) ce milieu commun. On a alors \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IC}\) et \(\overrightarrow{DI}=\overrightarrow{IB}\).
    Or, d’après la relation de Chasles, \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}\). Ainsi, \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{DI}=\overrightarrow{DC}\)
  • Réciproquement, supposons \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\). On appelle \(I\) le milieu de \([AC]\). On va montrer que c’est aussi le milieu de \([BD]\).
    D’après la relation de Chasles, \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}\). \(I\), étant le milieu de \([AC]\), on a alors \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IC}\).
    Ainsi, \(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{IB}\). En ajoutant \(\overrightarrow{CI}\) des deux côtés, on obtient alors \(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{CI}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{IB}\), ce qui donne, en utilisant la relation de Chasles, \(\overrightarrow{DI}=\overrightarrow{IB}\).
    Le point \(I\) est donc le milieu de \([BD]\).

Pour s’entraîner…

Produit d’un vecteur par un réel

Soit \(\vec{u}\) un vecteur et \(k\) un réel positif.
Le vecteur \(k\vec{u}\) est le vecteur ayant même direction, même sens que \(\vec{u}\) et dont la norme est le produit de \(k\) et de la norme de \(u\)

Exemple : Sur la figure ci-dessous, on a \(\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{EF}=3\overrightarrow{AB}\).

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On a également \(\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}\).

Soit \(\vec{u}\) un vecteur et \(k\) un réel négatif.
Le vecteur \(k\vec{u}\) est le vecteur ayant même direction que \(\vec{u}\), de sens opposé et dont la norme est le produit de \(k\) et de la norme de \(u\)

Exemple : Sur la figure ci-dessous, on a \(\overrightarrow{CD}=-2\overrightarrow{AB}\)

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Pour tous réels \(k\) et \(l\) et tous vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) on a :

  • \(k(\vec{u}+\vec{v})=k\vec{u}+k\vec{v}\)
  • \((k+l)\vec{u}=k\vec{u}+l\vec{u}\)

Exemple : Soit \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) et \(E\) cinq points du plan.

\(2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}=2(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})=2\overrightarrow{AC}\)

\(3\overrightarrow{CD}+2\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CD}+2\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{DC}=2(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE})+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{CE}\)

Pour s’entraîner…

Vecteurs colinéaires

Soit \(\vec u\) et \(\vec v\) deux vecteurs. On dit que \(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires si l’une des deux conditions suivantes est remplie :

  • \(\vec{v}=\vec 0\)
  • il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{u}=k\vec{v}\)

Soit \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) quatre points du plan. Les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles (éventuellement confondues) si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.

Exemple : On considère un triangle \(ABC\), ainsi que les points \(D\) et \(E\) tels que \(\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AC}\).

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On peut également écrire \(\overrightarrow{DA}=2\overrightarrow{BA}\). On a alors \(\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{BC}\).

Les vecteurs \(\overrightarrow{DE}\) et \(\overrightarrow{CB}\) sont donc colinéaires. Les droites \((DE)\) et \((CB)\) sont donc parallèles.

Vous aurez peut-être reconnu la réciproque du théorème de Thalès derrière ces lignes…

Soit \(A\), \(B\) et \(C\) trois points du plan. Les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.

Exemple : On considère trois points \(A\), \(B\) et \(C\) non alignés.
On construit alors le point \(D\) tel que \(\overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{BA}\) et le point \(E\) tel que \(\overrightarrow{DE} = 2\overrightarrow{CB}\).

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On a alors \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}=2\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CA}\).

Les vecteurs \(\overrightarrow{AE}\) et \(\overrightarrow{CA}\) sont donc colinéaires. Les droites \((AC)\) et \((AE)\) ont le point \(A\) en commun. Les points \(A\), \(E\) et \(C\) sont donc alignés.

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