Théorèmes de comparaison des limites

Théorèmes de comparaison

[Théorème de comparaison 1] On considère deux suites réelles \((u_n)\) et \((v_n)\) telles que, à partir d’un certain rang, \(u_n \leqslant v_n\). Si \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty\), alors \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty \)

Il n’y a rien de surprenant ici, si l’on fait preuve d’un brin de logique. Si une suite est plus grande qu’une suite qui devient plus grande que n’importe quel réel, alors elle devient elle-même plus grande que n’importe quel réel.

Démonstration : Traduisons le fait qu’à partir d’un certain rang, \(u_n \leqslant v_n\) : il existe un entier \(N\) tel que, pour tout \(n>N\), \(u_n \leqslant v_n\).

Soit \(A\in\mathbb{R}\). Puisque \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty\), il existe un entier \(N’\) tel que, pour tout \(n > N’\), \(u_n\geqslant A\).

Ainsi, si \(n> N’\) et \(n>N\), on a que \(v_n \geqslant u_n \geqslant A\), c’est-à-dire \(v_n \geqslant A\).

Finalement, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty } v_n = +\infty\).

Exemple : Pour tout \(n\), on pose \(v_n=n+\cos (n)\).

On sait que, pour tout \(n\), \(\cos (n) \geqslant -1\). Ainsi, pour tout \(n\), \(v_n \geqslant n-1\). Or, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (n-1) = +\infty\). Les termes de la suite \((v_n)\) sont plus grands que ceux d’une suite qui tend vers \(+\infty\), on a donc \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty \).

[Théorème de comparaison 2] On considère deux suites réelles \((u_n)\) et \((v_n)\) telles que, à partir d’un certain rang, \(u_n \geqslant v_n\). Si \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty\), alors \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n = -\infty \)

Il s’agit d’une version similaire au premier théorème de comparaison : une suite plus petite qu’une suite qui tend vers \(-\infty\) tend également vers \(-\infty\).

Théorème d’encadrement

On considère trois suites \((u_n)\), \((v_n)\) et \((w_n)\) telles que, à partir d’un certain rang, \(u_n \leqslant v_n \leqslant w_n\).

Si les suites \((u_n)\) et \(w_n\) sont convergentes et de même limite, alors la suite \((v_n)\) est également convergente, de même limite que les deux autres.

Il y a deux choses importantes dans ce théorème : d’une part, la suite \((v_n)\) admet une limite — ce qui fait avant tout du théorème d’encadrement un théorème d’existence de limite. D’autre part, cette limite vaut \(l\).

Démonstration : Notons \(N\) l’entier à partir duquel, pour tout \(n\geqslant N\), \(u_n \leqslant v_n \leqslant w_n\). Notons \(l\) la limite commune des suites \((u_n)\) et \((w_n)\). Soit \(\varepsilon\) un réel strictement positif.

  • Puisque \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n=l\), il existe un entier \(N_u\) à partir duquel tous les termes de la suite \((u_n)\) sont dans l’intervalle \(]l-\varepsilon\, ; \, l +\varepsilon [\), c’est-à-dire
    \[ l- \varepsilon \leqslant u_n \leqslant 1+ \varepsilon\]
  • Puisque \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} w_n=l\), il existe un entier \(N_w\) à partir duquel tous les termes de la suite \((w_n)\) sont dans l’intervalle \(]l-\varepsilon\, ; \, l +\varepsilon [\), c’est-à-dire
    \[ l- \varepsilon \leqslant w_n \leqslant 1+ \varepsilon\]
  • Notons \(N_v=max(N,N_u, N_w)\). Pour tout \(n \geqslant N_v\), on a alors
    \[ l- \varepsilon \leqslant u_n \leqslant v_n \leqslant w_n \leqslant 1+ \varepsilon\]
    En particulier, \(v_n \in ]l-\varepsilon\, ; \, l +\varepsilon [\).

Finalement, la suite \((v_n)\) est convergente et \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n = l\)

Illustration : Sur l’exemple suivant, trois suites \((u_n)\), \((v_n)\) et \((w_n)\) sont représentées. Pour tout \(n\), \(u_n \leqslant v_n \leqslant w_n\). Si l’on sait que \((u_n)\) et \((w_n)\) sont convergentes de même limite, on en déduit la limite de la suite \((v_n)\).

Ce théorème est également appelé « théorème des gendarmes ». Les suites \((w_n)\) et \((u_n)\) jouent ici le rôle des gendarmes qui encerclent leur cible, la suite \((v_n)\). Peu à peu, les gendarmes se dirigent vers la prison. La suite \((v_n)\), encerclée, n’a d’autre choix que de les suivre.

D’autres noms plus ou moins évocateurs sont donnés à ce théorème : théorème des carabiniers ou théorème du sandwich par exemple.

Exemple : Pour tout \(n>0\), on pose \(u_n=3+\dfrac{\cos (n)}{n}\).

On sait que, pour tout \(n\), \(-1 \leqslant \cos (n) \leqslant 1\). Ainsi, pour tout \(n\), \( 3-\dfrac{1}{n} \leqslant u_n \leqslant 3+\dfrac{1}{n}\).

Or, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left( 3 – \dfrac{1}{n} \right) = \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left( 3 + \dfrac{1}{n} \right) = 3\). Ainsi, d’après le théorème d’encadrement, la suite \((v_n)\) est convergente et \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n = 3\).

Suites géométriques

Soit \(q\) un réel

  • Si \(q>1\), \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty\)
  • Si \(q=1\), \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} q^n = u_0\)
  • Si \(-1 < q < 1\), \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} q^n = 0\)
  • Si \(q \leqslant -1\), la suite \((q^n)\) n’admet pas de limite.

Illustration : L’allure des représentations graphiques des suites \((q^n)\), selon la valeur de \(q\).

Démonstration : Il convient d’étudier plusieurs cas

Cas \(q>1\). Dans ce cas, il existe un réel \(a\) strictement positif tel que \(q=1+a\). Ainsi, pour tout entier \(n\), \(q^n =(1+a)^n\). Or, d’après l’inégalité de Bernoulli, \((1+a)^n \geqslant 1+na\). De plus, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (1+na) = +\infty\). On se réfèrera au chapitre « Suites et récurrence » pour la démonstration de cette inégalité.

Ainsi, d’après le théorème de comparaison, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty\).

Cas \(-1 < q < 1\).

  • Si \(q=0\), le résultat est immédiat : la suite est constante égale à 0 à partir du rang 1.
  • Si \(0<q<1\) ,notons \(p=\dfrac{1}{q}\). On a alors \(p>1\) et \(q^n=\dfrac{1}{p^n}\). Ainsi, d’après le point précédent, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} p^n = + \infty\) et, en prenant l’inverse, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} q^n = 0\)
  • Si \(-1<q<0\), alors, pour tout entier \(n\), \(0<\lvert q \rvert < 1\). Pour tout entier \(n\), on a alors \(-|q|^n < q^n < |q|^n\). Or, d’après le cas précédent, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} |q|^n=0\) et donc \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (-|q|^n)=0\). D’après le théorème d’encadrement, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} q^n\) existe et on a également \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} q^n =0\).

Cas \(q\leqslant -1\).
Dans ce cas, \(q^2 \geqslant 1\). Soit \(k\) un entier relatif.

  • D’une part, \(q^{2k}=(q^2)^k\). Ainsi, \(\displaystyle \lim_{k \to +\infty} q^{2k} = +\infty\).
  • D’autre part, \(q^{2k+1}=q\times (q^2)^k\), qui est le produit d’un nombre négatif et du terme d’une suite qui tend vers \(+\infty\). Ainsi, \(\displaystyle \lim_{k \to +\infty} q^{2k+1} = -\infty\)
  • Les termes de rangs pairs tendent vers \(+\infty\) et les termes de rangs impairs tendent vers \(-\infty\) : la suite \((q^n)\) ne peut admettre de limite.

Exemple : On considère la suite géométrique \((u_n)\) de premier terme \(u_0=-2\) et de raison \(q=4\). Pour tout entier \(n\), \(u_n=-2 \times 4^n\). Or, \(\displaystyle \lim _{n\to +\infty} 4^n = +\infty\). Ainsi, en faisant la limite du produit, \(\displaystyle \lim _{n\to +\infty} u_n = -\infty\).

Exemple : Soit \(q\) un réel tel que \(-1< q < 1\). Pour tout réel \(n\), on note \(u_n=1+q+q^2+q^3+\ldots + q^n = \displaystyle \sum_{k=0}^n q^k\).

On sait que, pour tout \(n\), \(u_n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\). Or, puisque \(-1<q<1\), \(\displaystyle \lim _{n\to +\infty} q^{n+1} = 0\). Ainsi, \(\displaystyle \lim _{n\to +\infty} u_n = \dfrac{1}{1-q}\).

Mathématicien et philosophe grec de l’Antiquité, Zénon d’Élée est à l’origine de plusieurs paradoxes dont l’un met en scène Achille, héros grec, et une tortue.

Supposons qu’Achille et une tortue fasse une course. Achille court 10 fois plus vite que la tortue, aussi lui laisse-t-il un bon kilomètre d’avance. La course débute et Achille parcourt le premier kilomètre. Seulement, pendant ce temps, la tortue a parcouru 100 mètres. Achille s’empresse alors de parcourir les 100 mètres, mais pendant ce temps, la tortue en parcourt 10 supplémentaires. Et ainsi de suite. Ce raisonnement aboutit à la conclusion contre-intuitive qu’Achille ne rattrapera jamais la tortue.

Essayons pourtant de calculer la distance parcouru par la tortue : celle ci parcourt 100 mètres, puis 10, puis 1, puis 0,1 et ainsi de suite. Ce sont les termes d’une suite géométrique de raison 0,1. La somme de ces termes après \(k\) étapes vaut alors \(100 \times \dfrac{1-0,1^{k+1}}{1-0,1}\), soit \(\dfrac{1000}{9}\times (1-0,1^k)\). Cependant, puisque \(0\leqslant 0,1 \leqslant 1\), la limite \(\displaystyle \lim _{k\to +\infty} 0,1^k\) est 0. Après une infinité d’étapes, la tortue aura donc parcouru \(\dfrac{1000}{9}\) mètres : en un temps infini, la tortue a parcouru une distance finie.

Ces pièges de l’infini nous permettent de mieux comprendre pourquoi les Grecs s’en méfiaient et refusaient de l’utiliser.

Suites monotones

[Convergence des suites monotones] Soit \((u_n)\) une suite croissante.

  • Si la suite \((u_n)\) est majorée par un réel \(L\), alors la suite \((u_n)\) est convergente et \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n \leqslant L\)
  • Si la suite \((u_n)\) n’est pas majorée, alors \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} = +\infty\).

Démonstration : (Second point uniquement) Supposons que la suite \((u_n)\) ne soit pas majorée. Alors, pour tout réel \(A\), il existe un entier \(N\) tel que \(u_N \geqslant A\). Or, puisque la suite est croissante, ceci implique que pour tout \(n\geqslant N\), \(u_n \geqslant u_N \geqslant A\), c’est-à-dire \(u_n \geqslant A\).\\
On a montré qu’à partir d’un certain rang, tous les termes de la suites sont supérieurs à \(A\), pour n’importe quel réel \(A\). On a donc \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty\).

Exemple : On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=1\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=\dfrac{1}{5}u_n+4\). On peut montrer par récurrence que la suite \((u_n)\) est croissante et que pour tout entier \(n\), \(u_n \leqslant 5\). On admettra ces deux points pour la suite de l’exemple

Ainsi, la suite \((u_n)\) est croissante et majorée. Elle est donc convergente : on note \(l =\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n\).

Pour tout entier \(n\), \(u_{n+1}=\dfrac{1}{5}u_n+4\). Puisque la suite \((u_n)\) est convergente, on peut passer à la limite dans cette égalité. Ainsi,
\[\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_{n+1} =\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left( \dfrac{1}{5}u_n + 4\right)\]
Or, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_{n+1}=l\) et \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left( \dfrac{1}{5}u_n+4\right) = \dfrac{1}{5}l+4\). Ainsi, \(l\) est solution de l’équation \(l=\dfrac{1}{5}\, l+4\). On a donc \(l=5\).

Il est important de montrer que la suite converge avant de passer à la limite. En effet, prenons la suite \((v_n)\) définie par \(v_0=1\) et pour tout entier \(n\), \(v_{n+1}=2v_n+3\). D’après le même raisonnement, si \((v_n)\) admet pour limite \(l\), alors \(l=2l+3\), soit \(l=-3\)… ce qui est absurde : on voit facilement que pour tout entier \(n\), \(v_n>0\). On a en fait \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty\) !

[Convergence des suites monotones] Soit \((u_n)\) une suite décroissante.

  • Si la suite \((u_n)\) est minorée par un réel \(l\), alors la suite \((u_n)\) est convergente et \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n \geqslant l\)
  • Si la suite \((u_n)\) n’est pas minorée, alors \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} = -\infty\).

Démonstration : Il suffit de remarquer que si la suite \((u_n)\) est décroissante, alors la suite \((-u_n)\) est croissante. On se retrouve alors dans le cas précédent.