Compléments sur la dérivation

Rappels sur la dérivation

Fonction dérivée

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\), \(a\in I\) et \(h\) un réel non nul tel que \(a+h \in I\).

  • On dit que \(f\) est dérivable en \(a\) si le taux de variation \(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\) admet une limite finie lorsque \(h\) tend vers 0. Cette limite est appelée « nombre dérivé de \(f\) en \(a\) » et est notée \(f'(a)\).
    \[ f'(a)=\lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} \]

  • On dit que \(f\) est dérivable sur \(I\) si \(f\) est dérivable en tout \(a\in I\). On appelle alors fonction dérivée de \(f\) sur \(I\) la fonction
    \[f’ : \left\{ \begin{array}{rcl}
    I & \longrightarrow & \mathbb{R}\\
    x & \longmapsto & f'(x)
    \end{array}\right.\]

Exemple : On considère la fonction \(f : x \mapsto x^2\),définie sur \(\mathbb{R}\). Soit \(x\) un réel et \(h\) un réel non nul.
\[ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}=\dfrac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}=2x+h\]
Lorsque \(h\) se rapproche de 0, cette quantité tend vers \(2x\). Ainsi, \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(f'(x)=2x\).

Dérivées usuelles

\(
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
f:x\mapsto \dots & \text{Définie sur} & \text{Dérivable sur…} & f’:x \mapsto \\
\hline
k\in\mathbb{R} & \mathbb{R} & \mathbb{R} & 0\\
mx+p,\, m \text{ et } p \text{ réels} & \mathbb{R} & \mathbb{R} & m\\
x^2 & \mathbb{R} & \mathbb{R} & 2x\\
x^n \text{ pour } n\in\mathbb{N}^* & \mathbb{R} & \mathbb{R} & nx^{n-1}\\
\dfrac{1}{x} & ]-\infty;0[\text{ et }]0;+\infty[ & ]-\infty;0[ et ]0;+\infty[ & -\dfrac{1}{x^2}\\
\dfrac{1}{x^n} \text{ pour } n\in\mathbb{N}^* & ]-\infty;0[\text{ et }]0;+\infty[ & ]-\infty;0[\text{ et }]0;+\infty[ & -\dfrac{n}{x^{n+1}}\\
\sqrt{x} & [0;+\infty[ & \left]0;+\infty \right[ & \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\\
\exp (ax+b),\, a\text{ et }b \text{ réels} & \mathbb{R} & \mathbb{R} & a\,\exp (ax+b) \\
\hline\end{array}
\)

Opérations sur les dérivées

Soit \(I\) un intervalle, \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables sur \(I\), \(k\) un réel. Alors les fonction \(k\,u\), \(u+v\) et \(uv\) sont dérivables sur \(I\). Si de plus, \(v\) ne s’annule pas sur \(I\), \(\dfrac{u}{v}\) est également dérivable. On a de plus

 \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{XX}  \)(k\,u)' = k\, u'\) & \)(u+v)'=u'+v'\) \\ \)(uv)'=u'v+uv'\) & \)\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v-uv'}{v^2}\)  \end{tabularx}

Exemple : On considère la fonction \(f:x\mapsto (x^2-4x+1)\exp(x)\),définie sur \(\mathbb{R}\). Pour tout réel \(x\),on pose alors \(u(x)=x^2-4x+1\) et \(v(x)=\exp(x)\).

  • \(u\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(u'(x)=2x-4\)
  • \(v\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(v'(x)=\exp (x)\)
  • Ainsi, \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f’=u’v+uv’\)

Pour tout réel \(x\),
\[ f'(x)=(2x-4) \times \exp(x) + (x^2-4x+1) \times \exp (x) = (x^2-2x-3)\exp(x)\]

Tangente à la courbe

Soit \(f\) une fonction dérivable en \(a\). On note \(\mathcal{C}_f\) la courbe de \(f\) dans un repère orthonormé \((O;\vec i;\vec j)\). La tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point d’abscisse \(a\) est la droite de coefficient directeur \(f'(a)\) et passant par le point de coordonnée \((a;f(a))\).

Soit \(f\) une fonction dérivable en \(a\). La tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse \(a\) a pour équation
\[ y =f'(a)\times (x-a)+f(a)\]

Exemple : Pour tout réel \(x\),posons \(f(x)=\dfrac{x^2}{2}-2x-1\). \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(f'(x)=x-2\).

Déterminons l’équation de la tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point d’abscisse 4

  • \(f'(4)=4-2=2\)
  • \(f(4)=\dfrac{4^2}{2}-2 \times 4 -1 = -1\)
  • Cette tangente a pour équation
    \[ y = f'(4) \times (x-4)+f(4) = 2(x-4)-1=2x-9\]

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Variations d’une fonction

Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\)

  • Si, pour tout \(x\in I\), \(f'(x) \geqslant 0\),alors \(f\) est croissante sur \(I\)
  • Si, pour tout \(x\in I\), \(f'(x) \leqslant 0\),alors \(f\) est décroissante sur \(I\)
  • Si, pour tout \(x\in I\), \(f'(x) =0\),alors \(f\) est constante sur \(I\)

Exemple : On considère la fonction \(f:x\mapsto (x^2-4x+1)\exp(x)\) étudiée précédemment. On a vu que pour tout réel \(x\), \(f'(x)=(x^2-2x-3)\exp(x)\). Or, pour tout réel \(x\), \(\exp (x)> 0\). \(f'(x)\) est donc du signe de \((x^2-2x-3)\).

Il s’agit d’un polynôme du second degré. Son discriminant \(\Delta\) vaut \(\Delta=(-2)^2-4\times 1 \times (-3) = 4+12=16\). Ainsi, le polynôme \((x^2-2x-3)\) admet deux racines qui sont
\[ x_1=\dfrac{-(-2)-\sqrt{16}}{2 \times 1} = -1 \quad\text{et}\quad x_2=\dfrac{-(-2)+\sqrt{16}}{2 \times 1} = 3\]

On a de plus \(f(-1)=((-1)^2-4\times(-1)+1)e^{-1}=6e^{-1}=\dfrac{6}{e}\) et \(f(3)=(3^2-4\times 3+1)e^3=-2e^3\)

On peut alors construire le tableau de signes de \(f’\) et en déduire les variations de \(f\).

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Dérivée seconde

Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\) telle que sa fonction dérivée \(f’\) est également dérivable sur \(I\) (on dit également que \(f\) est deux fois dérivable sur \(I\).
On appelle fonction dérivée seconde de \(f\) la fonction dérivée de \(f’\). Cette fonction est notée \(f^{\prime\prime}\).
\[ \text{Pour tout } x \in I\text{,} \, f^{\prime\prime}(x)=(f’)'(x)\]

Exemple : Pour tout réel \(x\),on pose \(f(x)=(2x+1)e^{3x-2}\). Posons, pour tout réel \(x\), \(u_1(x)=2x+1\) et \(v_1(x)=e^{3x-2}\)

  • \(u_1\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(u_1′(x)=2\)
  • \(v_1\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(v_1′(x)=3e^{3x-2}\).

Ainsi, \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\),
\[ f'(x)=u_1′(x) \times v_1(x) + u_1(x) \times v_1′(x) = 2 \times e^{3x-2} + (2x+1) \times 3e^{3x-2}=(6x+5)e^{3x-2}\]
Posons alors, pour tout réel \(x\), \(u_2(x)=6x+5\) et \(v_2(x)=e^{3x-2}\)

  • \(u_2\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(u_2′(x)=6\)
  • \(v_2\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(v_2′(x)=3e^{3x-2}\).

Ainsi, \(f’\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\),
\[ f^{\prime\prime}(x)=u_2′(x) \times v_2(x) + u_2(x) \times v_2′(x) = 6 \times e^{3x-2} + (6x+5) \times 3e^{3x-2}=(24x+21)e^{3x-2}\]

Composition de fonctions

Soit \(I\) et \(J\) deux parties de \(\mathbb{R}\). Soit \(f\) une fonction définie sur \(J\) et \(g\) une fonction définie sur \(I\) telle que pour tout réel \(x\), \(g(x) \in J\).

On définit la fonction composée de \(f\) et \(g\) notée \(f \circ g\) par
\[ \text{Pour tout } x \in I, \; f \circ g (x)= f(g(x)) \]

Exemple : Pour tout réel \(x\),on note \(f(x)=x^2\) et \(g(x)=x+3\). Alors, pour tout réel \(x\),

  • \(f \circ g (x)= f(g(x))=(g(x))^2=(x+3)^2\)
  • \(g \circ f(x)=g(f(x)) = f(x)+3=x^2+3\)

En général, on n’a pas \(f \circ g = g \circ f\) !
Soit \(I\) et \(J\) deux intervalles, \(f\) une fonction définie et dérivable sur \(J\) et \(g\) une fonction définie et dérivable sur \(I\) telle que pour tout \(x \in I\), \(g(x) \in J\). Alors \(f \circ g\) est dérivable et pour tout réel \(x\) dans \(I\),
\[ (f \circ g)’ (x)= g'(x) \times (f’ \circ g)(x)\]

Exemple : On considère la fonction \(f\) définie pour tout réel \(x\) par \(f(x)=e^{x^2+3x-2}\).
Pour tout réel \(x\),on pose alors \(u(x)=e^x\) et \(v(x)=x^2+3x-2\). On a alors \(f(x)= u(v(x)) = u \circ v (x)\).

  • \(v\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(v'(x)=2x+3\)
  • \(u\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(u'(x)=e^x\)

Ainsi, \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\),
\[ f'(x)= v'(x) \times u'(v(x)) = (2x+3)e^{x^2+3x-2}\]

[Cas particuliers] Soit \(u\) une fonction définie et dérivable sur un intervalle \(I\)

  • Pour tout entier naturel \(n\), \(u^n\) est dérivable sur \(I\) et \((u^n)’=nu’u^{n-1}\)
  • \(e^u\) est dérivable sur \(I\) et \((e^u)’=u’ \times e^u\).
  • Si pour tout réel \(x\in I\), \(u(x)>0\),alors \(\sqrt{u}\) est dérivable sur \(I\) et \((\sqrt{u})’ = \dfrac{u’}{2\sqrt{u}}\)
  • Si pour tout réel \(x\), \(u(x) \neq 0\), \(\dfrac{1}{u}\) est dérivable sur \(I\) et \(\left(\dfrac{1}{u}\right)=-\dfrac{u’}{u^2}\).

Exemple : Pour tout réel \(x\),posons \(f(x)=(4x+1)^9\). Alors \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\)
\[ f'(x)= 9 \times 4 \times (4x+1)^{9-1}=36 \times (4x+1)^8\]

Exemple : Pour tout réel \(x\),posons \(f(x)=\dfrac{1}{x^2+1}\). On a bien \(x^2+1 \neq 0\) pour tout réel \(x\). Ainsi, \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et, pour tout \(x\in \mathbb{R}\)
\[ f'(x)=- \dfrac{2x}{(x^2+1)^2}\]