Convexité

Convexité, concavité

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\). On note \(\mathcal{C}_f\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé \((O;\vec i;\vec j)\).

  • On dit que \(f\) est convexe sur \(I\) si \textbf{tout segment} reliant deux points de la courbe se trouve au-dessus de la courbe
  • On dit que \(f\) est concave sur \(I\) si \textbf{tout segment} reliant deux points de la courbe se trouve en-dessous de la courbe

Rendered by QuickLaTeX.com

Exemple : Les fonction \(x\mapsto x^2\), \(x\mapsto |x|\) et \(x\mapsto e^x\) sont convexes sur \(\mathbb{R}\).
La fonction \(x\mapsto \sqrt{x}\) est concave sur \(\mathbb{R}_+\).
La fonction \(x\mapsto x^3\) est concave sur \(\mathbb{R}_-\) et convexe sur \(\mathbb{R}_+\).

Rendered by QuickLaTeX.com

Rendered by QuickLaTeX.com

Exemple : Attention : on parle bien de convexité sur un intervalle. Par ailleurs, ce n’est pas parce qu’une fonction \(f\) est convexe sur deux intervalles \([a,b]\) et \([b,c]\) que \(f\) est aussi convexe sur \([a,c]\).

Rendered by QuickLaTeX.com

La fonction représentée ci-dessus est convexe sur \([-3;0]\) et sur \([0;3]\) mais n’est pas convexe sur \([-3,3]\).

Fonctions dérivables

Soit \(f\) une fonction définie et dérivable sur un intervalle \(I\). On note \(\mathcal{C}_f\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère \((O;\vec i;\vec j)\).

  • \(f\) est convexe sur \(I\) si la courbe \(\mathcal{C}_f\) se trouve au-dessus de toutes ses tangentes aux points d’abscisses \(x\in I\).
  • \(f\) est concave sur \(I\) si la courbe \(\mathcal{C}_f\) se trouve en-dessous de toutes ses tangentes aux points d’abscisses \(x\in I\).

Rendered by QuickLaTeX.com

Exemple : Montrons que la fonction \(x\mapsto x^2\) est convexe sur \(\mathbb{R}\). Notons \(\mathcal{C}_f\) la courbe de \(f\) dans un repère \((O,\vec i, \vec j)\). Soit \(a\) un réel.

  • \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(f'(x)=2x\).
  • La tangente à \(\mathcal{C}_f\) a pour équation \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\), c’est-à-dire \(y=2ax-2a^2+a^2\) ou encore \(y=2ax-a^2\).
  • Pour tout réel \(x\),
    \[f(x)-(2ax-a^2)=x^2-2ax+a^2=(x-a)^2 \geqslant 0\]
    Ainsi, pour tout réel \(x\), \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de sa tangente à l’abscisse \(a\), et ce, peu importe le réel \(a\) choisi. \(f\) est donc convexe sur \(\mathbb{R}\).

Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\)

  • \(f\) est convexe sur \(I\) si et seulement si \(f’\) est croissante sur \(I\)
  • \(f\) est concave sur \(I\) si et seulement si \(f’\) est décroissante sur \(I\).

De cette propriété vient naturellement la suivante…

Soit \(f\) une fonction deux fois dérivable sur un intervalle \(I\).

  • \(f\) est convexe sur \(I\) si et seulement si pour tout \(x\in I\), \(f^{\prime\prime}(x) \geqslant 0\)
  • \(f\) est concave sur \(I\) si et seulement si pour tout \(x\in I\), \(f^{\prime\prime}(x) \leqslant 0\)
Si \(f^{\prime\prime}\geqslant 0\), alors \(f\) est convexe : Soit \(f\) une fonction deux fois dérivable sur \(I\) telle que pour tout \(x\in I\), \(f^{\prime\prime}(x) \geqslant 0\).

Soit \(a\in I\). La tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse \(a\) a pour équation
\[ y = f'(a)(x-a)+f(a) \]
Pour tout \(x\in I\), posons alors \(g(x)=f(x)-(f'(a)(x-a)+f(a))\). \(g\) est deux fois dérivable sur \(I\), et pour tout \(x\in I\)

  • \(g'(x)=f'(x)-f'(a)\)
  • \(g^{\prime\prime}(x)=f^{\prime\prime}(x)\)

Ainsi, puisque pour tout \(x\in I\), \(f^{\prime\prime}(x)\geqslant 0\), on a aussi \(g^{\prime\prime}(x) \geqslant 0\). \(g’\) est donc croissante sur \(I\). Or, \(g'(a)=0\).

  • Soit \(x\in I\) tel que \(x<a\).
    • Par croissance de \(g’\) sur \(I\), on a alors \(g'(x) \leqslant g'(a)\) c’est-à-dire \(g'(x) \leqslant 0\).
    • \(g\) est donc décroissante sur \(]-\infty ; a ] \cap I\).
    • On a donc \(g(x) \geqslant g(a)\).
    • Or, \(g(a)=f(a)-f'(a)\times (a-a)-f(a)=0\). Ainsi, \(g(x) \geqslant 0\)
  • Soit \(x \in I\) tel que \(x >a\)
    • Par croissance de \(g’\) sur \(I\), on a alors \(g'(x) \geqslant g'(a)\) c’est-à-dire \(g'(x) \geqslant 0\).
    • \(g\) est donc croissante sur \([a;+\infty[ \cap I\).
    • On a donc \(g(x) \geqslant g(a)\).
    • Or, \(g(a)=f(a)-f'(a)\times (a-a)-f(a)=0\). Ainsi, \(g(x) \geqslant 0\)

Finalement, pour tout \(x\in I\), \(g(x)\geqslant 0\), ce qui signifie que le courbe de \(f\) est au-dessus de la tangente à cette courbe au point d’abscisse \(a\).

Exemple : Pour tout entier naturel pair \(n\), la fonction \(x \mapsto x^n\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).

Exemple : La fonction \(f:x\mapsto x^3\) est concave sur \(]-\infty ; 0]\) et convexe sur \([0;+\infty[\).

En effet, \(f\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(f^{\prime\prime}(x)=6x\), qui est positif si et seulement si \(x\) l’est aussi.

Applications de la convexité

Inégalités de convexité

La convexité des fonctions dérivables permet d’établir des inégalités en utilisant les équations des tangentes.

Exemple : La tangente à la courbe de la fonction exponentielle au point d’abscisse \(0\) a pour équation \(y=\exp'(0)(x-0)+\exp(0)\), c’est-à-dire \(y=x+1\).

Puisque la fonction \(\exp\) est convexe sur \(\mathbb{R}\), la courbe de la fonction exponentielle est donc au-dessus de toutes ses tangentes et donc, en particulier, la tangente au point d’abscisse 0. On a donc, pour tout réel \(x\), \(e^x \geqslant x+1\).

Rendered by QuickLaTeX.com

Point d’inflexion

Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\).
Un point d’inflexion est un point où la convexité de la fonction \(f\) change. La tangente à la courbe de \(f\) en un point d’inflexion traverse la courbe de \(f\).
Soit \(f\) une fonction deux fois dérivable sur un intervalle \(I\).

  • Si \(f\) présente un point d’inflexion à l’abscisse \(a\), alors \(f^{\prime\prime}(a)\).
  • Réciproquement, si \(f^{\prime\prime}(a)=0\) et \(f^{\prime\prime}\) change de signe en \(a\), alors \(f\) présente un point d’inflexion en \(a\).
Cela rappelle naturellement le cas des extremum locaux. Si \(f\) admet un extremum local en \(a\), alors \(f'(a)=0\). Cependant, si \(f'(a)=0\), \(f\) admet un extremum local en \(a\) seulement si \(f’\) change de signe en \(a\).

Exemple : Pour tout réel \(x\), on pose \(f(x)=\dfrac{x^3}{2}+1\). La fonction \(f\) est deux fois dérivable et pour tout réel \(x\), \(f^{\prime\prime}(x)=3x\).

  • Lorsque \(x<0\), \(f^{\prime\prime}(x)<0\), la fonction est concave, la courbe est sous ses tangentes.
  • Lorsque \(x>0\), \(f^{\prime\prime}(x)>0\), la fonction est convexe, la courbe est au-dessus de ses tangentes.

Rendered by QuickLaTeX.com

Exemple : Pour tout réel \(x\), on pose \(g(x)=\dfrac{1}{12}x^4-\dfrac{2}{3}x^3+2x^2\). La fonction \(g\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(g'(x)=\dfrac{1}{3}x^3-2x^2+4x\) et \(g^{\prime\prime}(x)=x^2-4x+4=(x-2)^2\).

Ainsi, pour tout réel \(x\), \(g^{\prime\prime}(x)\geqslant 0\). \(g\) est donc convexe sur \(\mathbb{R}\). Puisqu’il n’y a pas de changement de convexité, \(g\) ne présente pas de point d’inflexion, et ce, même si \(g^{\prime\prime}(2)=0\).

Rendered by QuickLaTeX.com