Fonctions trigonométriques

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Dans tout ce chapitre, on se place dans un repère \((O;\vec{i};\vec{j})\) orthonormé.

Rappels

Enroulement de la droite des réels

On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O et de rayon 1 que l’on parcourt dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Ce sens est appelé sens trigonométrique.

On trace la droite des réels à droite de ce cercle trigonométrique, parallèlement à l’axe des ordonnées, puis on l’enroule autour d’une cercle trigonométrique. A chaque point \(x\) sur cette droite des réels, on associe ainsi un unique point \(M(x)\) sur le cercle.

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Deux réels dont la différence est le produit de \(2\pi\) et d’un nombre entier ont la même image par \(M\)

Cosinus et sinus d’un nombre réel

Soit \(x\) un réel et \(M(x)\) son image sur le cercle trigonométrique. On appelle :

  • Cosinus de \(x\), noté \(\cos(x)\), l’abscisse de \(M(x)\)
  • Sinus de \(x\), noté \(\sin(x)\), l’ordonnée de \(M(x)\)

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Exemple : On retiendra en particulier les valeurs remarquables suivantes

 \renewcommand{\arraystretch}{2.5} \noindent \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|X|XXXXXX|} \hline Degré & 0 & 30 & 45 & 60 & 90 & 180 \\ \hline Radians & 0 & \(\dfrac{\pi}{6}\) & \(\dfrac{\pi}{4}\) & \(\dfrac{\pi}{3}\) & \(\dfrac{\pi}{2}\) & \(\pi\) \\ \hline Cosinus & 1 & \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) & \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) & \(\dfrac{1}{2}\) & 0 & -1\\ \hline Sinus & 0 & \(\dfrac{1}{2}\) & \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) & \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) & 1 & 0\\ \hline \end{tabularx}

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Pour tout réel \(x\),

  • \(-1\leqslant \cos(x) \leqslant 1\)
  • \(-1\leqslant \sin(x) \leqslant 1\)
  • \(\cos(x)^2+\sin(x)^2=1\)

Résolution d’équation et d’inéquation

Exemple : Les solutions de l’équation \(\cos(x)=\dfrac{1}{2}\) sur \([-\pi;\pi]\) sont \(-\dfrac{\pi}{3}\) et \(\dfrac{\pi}{3}\).
Exemple : Le solutions de l’équation \(\cos(x)=0\) sur \([0;2\pi]\) sont \(\dfrac{\pi}{2}\) et \(\dfrac{3\pi}{2}\).
Exemple : Les solutions de l’inéquation \(\cos(x) \leqslant \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) sur \([-\pi;\pi]\) constituent les intervalles \(\left[-\pi; -\dfrac{\pi}{6}\right]\) et \(\left[\dfrac{\pi}{6};\pi\right]\).

Sur l’intervalle \([0;2\pi]\), les solutions constituent l’intervalle \(\left[ \dfrac{\pi}{6};\dfrac{11\pi}{6}\right]\).

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Il faut donc faire attention à l’intervalle de résolution.. Dans tous les cas, le cercle trigonométrique sera votre plus précieux allié.

Fonctions trigonométriques

Définition et variations

La fonction cosinus est la fonction qui, à tout réel \(x\), associe \(\cos (x)\).
La fonction sinus est la fonction qui, à tout réel \(x\), associe \(\sin (x)\).

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Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), on a

  • \(\cos(-x)=\cos (x)\), la fonction cosinus est paire.
  • \(\sin (-x)= -\sin (x)\); la fonction sinus est impaire.
Exemple :
\(\cos \left( -\dfrac{\pi}{4} \right) = \cos \left( \dfrac{\pi}{4} \right)= \dfrac{\sqrt{2}}{2}\qquad ; \qquad \sin \left( -\dfrac{\pi}{4} \right) = -\sin \left( \dfrac{\pi}{4} \right)= -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

Pour tout \(x\in\mathbb{R}\) et pour tout \(k\in\mathbb{Z}\), on a

  • \(\cos (x+k\times 2\pi)=\cos (x)\)
  • \(\sin (x+k\times 2\pi) = \sin (x)\)

On dit que les fonctions sinus et cosinus sont \(2\pi\)-périodiques.

Exemple :
\(\cos \left( \dfrac{25\pi}{3}\right)= \cos \left( \dfrac{24\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos \left(4\times 2\pi + \dfrac{\pi}{3}\right)=\cos\left( \dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}\)

Dérivée des fonctions trigonométriques

Les fonctions \(\cos\) et \(\sin\) sont dérivables sur \(\mathbb{R}\). Par ailleurs, pour tout réel \(x\),

  • \(\sin'(x)=\cos(x)\)
  • \(\cos'(x)=-\sin(x)\)
Exemple : On considère la fonction \(f\) définie pour tout réel \(x\) par \(f(x)=e^{2x}\cos(x)\).

  • Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=e^{2x}\). \(u\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(u'(x)=2e^{2x}\)
  • Pour tout réel \(x\), on pose \(v(x)=\cos(x)\). \(v\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(v'(x)=-\sin(x)\)

Ainsi, \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\),
\[f'(x)=2e^{2x}\times \cos(x)-e^{2x}\times \sin(x)=e^{2x}(2\cos(x)-\sin(x))\]

Soit \(u\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\)

  • \(\sin(u)\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \((\sin(u))’=u’\times \cos(u)\)
  • \(\cos(u)\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \((\cos(u))’=-u’\times \sin(u)\)
Exemple : Pour tout réel \(x\), on pose \(f(x)=\sin(3x^2-4x+5)\). \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(f'(x)=(6x-4)\sin(3x^2-4x+5)\)

Soit \(a\) un réel non nul.

  • Une primitive de \(x\mapsto \cos(ax)\) sur \(\mathbb{R}\) est \(x\mapsto \dfrac{\sin(ax)}{a}\)
  • Une primitive de \(x\mapsto \sin(ax)\) sur \(\mathbb{R}\) est \(x\mapsto -\dfrac{\cos(ax)}{a}\)
Il suffit de dériver. Attention au signe !
Exemple : Pour tout réel \(x\), on pose \(f(x)=3\cos(2x)-5\sin(9x)\).
Une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) est la fonction \(F\) définie pour tout réel \(x\) par \(F(x)=\dfrac{3}{2}\sin(2x)+\dfrac{5}{9}\cos(9x)\).
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