Fonctions trigonométriques

Dans tout ce chapitre, on se place dans un repère \((O;\vec{i};\vec{j})\) orthonormé.

Rappels

Enroulement de la droite des réels

On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O et de rayon 1 que l’on parcourt dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Ce sens est appelé sens trigonométrique.

On trace la droite des réels à droite de ce cercle trigonométrique, parallèlement à l’axe des ordonnées, puis on l’enroule autour d’une cercle trigonométrique. A chaque point \(x\) sur cette droite des réels, on associe ainsi un unique point \(M(x)\) sur le cercle.

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Deux réels dont la différence est le produit de \(2\pi\) et d’un nombre entier ont la même image par \(M$

Cosinus et sinus d’un nombre réel

Soit \(x\) un réel et \(M(x)\) son image sur le cercle trigonométrique. On appelle :

  • Cosinus de \(x\), noté \(\cos(x)\), l’abscisse de \(M(x)\)
  • Sinus de \(x\), noté \(\sin(x)\), l’ordonnée de \(M(x)\)

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Exemple : On retiendra en particulier les valeurs remarquables suivantes

 \renewcommand{\arraystretch}{2.5} \noindent \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|X|XXXXXX|} \hline Degré & 0 & 30 & 45 & 60 & 90 & 180 \\ \hline Radians & 0 & \(\dfrac{\pi}{6}\) & \(\dfrac{\pi}{4}\) & \(\dfrac{\pi}{3}\) & \(\dfrac{\pi}{2}\) & \(\pi\) \\ \hline Cosinus & 1 & \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) & \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) & \(\dfrac{1}{2}\) & 0 & -1\\ \hline Sinus & 0 & \(\dfrac{1}{2}\) & \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) & \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) & 1 & 0\\ \hline \end{tabularx}

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Pour tout réel \(x\),

  • \(-1\leqslant \cos(x) \leqslant 1\)
  • \(-1\leqslant \sin(x) \leqslant 1\)
  • \(\cos(x)^2+\sin(x)^2=1\)

Résolution d’équation et d’inéquation

Exemple : Les solutions de l’équation \(\cos(x)=\dfrac{1}{2}\) sur \([-\pi;\pi]\) sont \(-\dfrac{\pi}{3}\) et \(\dfrac{\pi}{3}\).

Exemple : Le solutions de l’équation \(\cos(x)=0\) sur \([0;2\pi]\) sont \(\dfrac{\pi}{2}\) et \(\dfrac{3\pi}{2}\).

Exemple : Les solutions de l’inéquation \(\cos(x) \leqslant \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) sur \([-\pi;\pi]\) constituent les intervalles \(\left[-\pi; -\dfrac{\pi}{6}\right]\) et \(\left[\dfrac{\pi}{6};\pi\right]\).

Sur l’intervalle \([0;2\pi]\), les solutions constituent l’intervalle \(\left[ \dfrac{\pi}{6};\dfrac{11\pi}{6}\right]\).

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Il faut donc faire attention à l’intervalle de résolution.. Dans tous les cas, le cercle trigonométrique sera votre plus précieux allié.

Fonctions trigonométriques

Définition et variations

La fonction cosinus est la fonction qui, à tout réel \(x\), associe \(\cos (x)\).
La fonction sinus est la fonction qui, à tout réel \(x\), associe \(\sin (x)\).

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Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), on a

  • \(\cos(-x)=\cos (x)\), la fonction cosinus est paire.
  • \(\sin (-x)= -\sin (x)\); la fonction sinus est impaire.

Exemple :
\(\cos \left( -\dfrac{\pi}{4} \right) = \cos \left( \dfrac{\pi}{4} \right)= \dfrac{\sqrt{2}}{2}\qquad ; \qquad \sin \left( -\dfrac{\pi}{4} \right) = -\sin \left( \dfrac{\pi}{4} \right)= -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

Pour tout \(x\in\mathbb{R}\) et pour tout \(k\in\mathbb{Z}\), on a

  • \(\cos (x+k\times 2\pi)=\cos (x)\)
  • \(\sin (x+k\times 2\pi) = \sin (x)\)

On dit que les fonctions sinus et cosinus sont \(2\pi\)-périodiques.

Exemple :
\(\cos \left( \dfrac{25\pi}{3}\right)= \cos \left( \dfrac{24\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos \left(4\times 2\pi + \dfrac{\pi}{3}\right)=\cos\left( \dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}\)

Dérivée des fonctions trigonométriques

Les fonctions \(\cos\) et \(\sin\) sont dérivables sur \(\mathbb{R}\). Par ailleurs, pour tout réel \(x\),

  • \(\sin'(x)=\cos(x)\)
  • \(\cos'(x)=-\sin(x)\)

Exemple : On considère la fonction \(f\) définie pour tout réel \(x\) par \(f(x)=e^{2x}\cos(x)\).

  • Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=e^{2x}\). \(u\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(u'(x)=2e^{2x}\)
  • Pour tout réel \(x\), on pose \(v(x)=\cos(x)\). \(v\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(v'(x)=-\sin(x)\)

Ainsi, \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\),
\[f'(x)=2e^{2x}\times \cos(x)-e^{2x}\times \sin(x)=e^{2x}(2\cos(x)-\sin(x))\]

Soit \(u\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\)

  • \(\sin(u)\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \((\sin(u))’=u’\times \cos(u)\)
  • \(\cos(u)\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \((\cos(u))’=-u’\times \sin(u)\)

Exemple : Pour tout réel \(x\), on pose \(f(x)=\sin(3x^2-4x+5)\). \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(f'(x)=(6x-4)\sin(3x^2-4x+5)$

Soit \(a\) un réel non nul.

  • Une primitive de \(x\mapsto \cos(ax)\) sur \(\mathbb{R}\) est \(x\mapsto \dfrac{\sin(ax)}{a}\)
  • Une primitive de \(x\mapsto \sin(ax)\) sur \(\mathbb{R}\) est \(x\mapsto -\dfrac{\cos(ax)}{a}\)
Il suffit de dériver. Attention au signe !

Exemple : Pour tout réel \(x\), on pose \(f(x)=3\cos(2x)-5\sin(9x)\).
Une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) est la fonction \(F\) définie pour tout réel \(x\) par \(F(x)=\dfrac{3}{2}\sin(2x)+\dfrac{5}{9}\cos(9x)\).