Limites de suites

Limite d’une suite

Limite infinie

Soit \((u_n)\) une suite réelle.

  • On dit que \(u_n\) tend vers \(+\infty\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\) si, pour tout réel \(A\), l’intervalle \([A ; +\infty [\) contient tous les termes de la suite \((u_n)\) à partir d’un certain rang. On note \(\displaystyle \lim _{n\to +\infty} u_n = +\infty\)
  • On dit que \(u_n\) tend vers \(-\infty\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\) si, pour tout réel \(A\), l’intervalle \(] -\infty ; A [\) contient tous les termes de la suite \((u_n)\) à partir d’un certain rang. On note \(\displaystyle \lim _{n\to +\infty} u_n = -\infty\)

La première définition traduit le fait que la suite dépasse n’importe quel seuil donné sans jamais repasser en dessous par la suite. Attention, cela ne signifie pas que les termes de la suite sont de plus en plus grands ; une suite qui tend vers \(+\infty\) n’est pas nécessairement croissante.

Illustration : On a représenté graphiquement une certaine suite \((u_n)\) ci-dessous. On se fixe un seuil \(A=8\).

On remarque que \(u_7 \geqslant 8\). Cependant, les termes suivants sont inférieurs à 8 : pour qu’une suite tende vers \(+\infty\), il faut que tous les termes à partir d’un certain rang soient au-dessus du seuil \(A\).
On voit ainsi que, pour tout \(n\geqslant 10\), on a bien \(u_n \geqslant 8\).

Le raisonnement que nous venons de tenir pour \(A=8\) tient pour toutes les valeurs de \(A\), aussi grandes soient-elles : la suite \((u_n)\) tend vers \(+\infty\).

Naturellement, plus la valeur de \(A\) est grande, plus la valeur à partir de laquelle tous les termes de la suite sont tous plus grands que \(A\) sera lointaine.

Il faut par ailleurs remarquer qu’une suite qui tend vers \(+\infty\) n’est pas forcément croissante : cette suite ici représentée en est un exemple.

Exemple : Pour tout \(n\), on pose \(u_n=n^2\). La suite \((u_n)\) tend vers \(+\infty\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\). En effet, fixons un réel \(A\).

  • Si \(A<0\), alors pour tout \(n\), \(u_n > A\).
  • Si \(A \geqslant 0\), alors pour tout \(n\) supérieur ou égal à \(\sqrt{A}\), \(u_n=n^2 \geqslant \sqrt{A}^2 = A\), par croissance de la fonction \(x \mapsto x^2\) sur \(\mathbb{R}+\).

Dans tous les cas, à partir d’un certain rang, tous les termes de la suite \((u_n)\) sont au-dessus de \(A\), peu importe le réel \(A\) choisi : la suite \((u_n)\) tend donc vers \(+\infty \).

Il y a une différence entre une suite qui tend vers \(+\infty\) et une suite non majorée. Pour tout \(n\), posons \(u_n=(1+(-1)^n) \, n\). La suite \((u_n)\) n’est pas majorée : elle a des termes arbitrairement grands. Cependant, elle ne tend pas non plus vers \(+\infty\) puisqu’un terme sur deux de cette suite vaut 0. Elle ne reste donc pas supérieure à n’importe quel réel donné à partir d’un certain rang.

Limite finie : suite convergente

Soit \((u_n)\) une suite réelle et \(l\) un réel. On dit que \(u_n\) tend vers \(l\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\) si, pour tout \(\varepsilon >0\), l’intervalle \(] l- \varepsilon, l+\varepsilon [\) contient tous les termes de la suite \((u_n)\) à partir d’un certain rang.

Autrement dit, pour tout \(\varepsilon >0\), il existe un entier \(N\) tel que, dès que \(n\geqslant N\), on a \(|u_n- l | \leqslant \varepsilon\).

Soit \((u_n)\) une suite réelle, \(l\) et \(l’\) deux réels. Si \(u_n\) tend vers \(l\) et vers \(l’\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\), alors \(l=l’\).

Cette propriété nous permet de définir sans ambiguïté la notion de limite d’une suite.

Soit \((u_n)\) une suite réelle et \(l\) un réel. Si \(u_n\) tend vers \(l\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\), on dit que \(l\) est la limite en \(+\infty\) de la suite \((u_n)\).

On note \(\displaystyle \lim _{ n \to +\infty} u_n = l\).

Une suite qui admet une limite finie est dite convergente. Dans le cas contraire, on parle de suite divergente : cela regroupe les suites qui ont une limite infinie mais aussi les suites qui n’admettent pas de limite.

Illustration : On a représenté graphiquement une certaine suite \((u_n)\) ci-dessous.

La suite \((u_n)\) semble tendre vers 2. Par exemple, si on prend \(\varepsilon = 0,2\), tous les termes de la suite sont dans l’intervalle \(]2-\varepsilon ; 2+\varepsilon[\) à partir du rang 14. Ce raisonnement vaudra pour n’importe quelle valeur de \(\varepsilon\), aussi petite soit-elle.

Bien que la définition formelle de suite convergente ne date que de 400 ans environ, les premières notions de suite convergente apparaissent déjà dans les Éléments d’Euclide, écrits 2000 ans encore plus tôt. Euclide écrit ainsi :

« Étant données deux grandeurs inégales, si, de la plus grande on retranche plus que la moitié, et que du reste on retranche plus que la moitié et si l’on continue toujours ainsi, nous aboutirons à une grandeur inférieure à la plus petite des grandeurs donnée. »

Autrement dit, si l’on considère une suite \((u_n)\) vérifiant, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} \leqslant \dfrac{u_n}{2}\), alors cette suite est plus petite que tout réel \(\epsilon>0\) à partir d’un certain rang. En d’autre termes, cette suite tend vers 0.

Exemple : Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(u_n=\dfrac{2n+1}{4n+5}\).
Pour se faire une idée de la limite, il est possible de calculer quelques termes de la suite. Ainsi, \(u_0=\dfrac{1}{5}\), \(u_{10}=\dfrac{21}{45}\simeq 0.467\), \(u_{100} = \dfrac{201}{405} \simeq 0.496\)… Il semble que la suite soit convergente et que sa limite vaille \(\dfrac{1}{2}\).

Pour le prouver formellement, repassons pas la définition : pour n’importe quel \(\varepsilon >0\), il faut trouver un rang \(N\) à partir duquel, pour tout \(n>N\), on ait \(u_n \in \left] \dfrac{1}{2}-\varepsilon ; \dfrac{1}{2}+\varepsilon \right[\).

Soit \(n\in\mathbb{N}\),
\[u_n-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2n+1}{4n+5}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{4n+2}{2(2n+5)}-\dfrac{4n+5}{2(2n+5)}=\dfrac{-3}{2(2n+5)}\]
Cette quantité est négative. On a alors

\[\left\lvert u_n – \dfrac{1}{2} \right\rvert = \dfrac{3}{2(2n+5)}\]

Fixons alors \(\varepsilon >0\). Ainsi,
\[ \left\lvert u_n – \dfrac{1}{2} \right\rvert < \varepsilon \Leftrightarrow \dfrac{3}{2(2n+5)} < \varepsilon \Leftrightarrow 2n+5 > \dfrac{2}{3\varepsilon} \Leftrightarrow n > \dfrac{1}{3\varepsilon}-\dfrac{5}{2}\]
Ainsi, pour tout \(\varepsilon >0\), dès que \(n > \dfrac{1}{3\varepsilon}-\dfrac{5}{2}\), on a \(u_n \in \left] \dfrac{1}{2}-\varepsilon ; \dfrac{1}{2}+\varepsilon \right[\). La suite \((u_n)\) est bien convergente et sa limite vaut \(\dfrac{1}{2}\).

Par exemple, si \(\varepsilon = 0.001\), on a \(\dfrac{1}{3\varepsilon}-\dfrac{5}{2}\simeq 330,8\). Ainsi, pour tout entier \(n\geqslant 331\), on a \(0.499 \leqslant u_n \leqslant 0.501\).

Nous verrons très bientôt des résultats qui nous permettront de passer outre cet aspect formel. Même si une telle démonstration de la convergence d’une suite n’est que rarement demandé en classe de terminale, comprendre les bases de ce raisonnement constituera un avantage certain dans les études supérieures.

Si une suite est convergente, elle est bornée. Par contraposée, si une suite n’est pas bornée, elle ne peut être convergente.

La réciproque est fausse : toute suite bornée n’est pas convergente. Par exemple, pour tout \(n\), prenons \(u_n=(-1)^n\). La suite \((u_n)\) est bornée puisque, pour tout \(n\), \(-1 \leqslant u_n \leqslant 1\). En revanche, elle n’est pas convergente : ses termes de rangs pairs valent tous \(1\) et ses termes de rangs impairs valent tous \(-1\). Une limite étant unique, la suite \((u_n)\) ne peut être convergente.

Limites de suites usuelles

Les limites suivantes sont à connaître

  • \(\displaystyle \lim _{n\to+\infty} n = + \infty\), \(\displaystyle \lim _{n\to+\infty} n^{2} = + \infty\), \(\displaystyle \lim _{n\to+\infty} \sqrt{n} = + \infty\)
  • Plus généralement, pour tout \(\alpha>0\), \(\displaystyle \lim _{n\to+\infty} n^{\alpha} = + \infty\).
  • Pour tout \(\alpha>0\), \(\displaystyle \lim _{n\to+\infty} \dfrac{1}{n^{\alpha}} = 0\).
  • \(\displaystyle \lim _{n\to+\infty} e^n = + \infty\), \(\displaystyle \lim _{n\to+\infty} e^{-n} = 0\),
  • Les suites \((\cos(n))\) et \((\sin(n))\) n’admettent pas de limite lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).

Opérations sur les limites

Limite de la somme

On considère deux suites réelles \((u_n)\) et \((v_n)\) et deux réels \(l_1\) et \(l_2\).

 \begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|l|X|X|X|X|X|} \hline \)\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n\) & \(l_1\) & \(l_1\) & \(l_1\) & \(+\infty\) & \(-\infty\) \\ \hline \)\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n\) & \(l_2\) & \(+\infty\) & \(-\infty\) & \(+\infty\) & \(-\infty\) \\ \hline \)\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (u_n + v_n)\) & \(l_1+l_2\) & \(+\infty\) & \(-\infty\) & \(+\infty\) & \(-\infty\) \\ \hline \end{tabularx}

Exemple :Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(u_n=n^2+e^{-n}-4\). On sait que \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} n^2 = +\infty\) et \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} e^{-n} = 0\). Ainsi, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n =+\infty\)

Les cas où \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty\) et \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n = -\infty\) n’obéissent à aucune règle précise : il faut les traiter séparément.

Exemple : Pour tout \(n\), on pose \(u_n = n\) et \(v_n = 1-n\). \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty\) et \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n = -\infty\). Or, pour tout entier \(n\), \(u_n+v_n=1\) et \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (u_n+v_n) = 1\)

Limite du produit

On considère deux suites réelles \((u_n)\) et \((v_n)\) et deux réels \(l_1\) et \(l_2\).

 \begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|l|X|X|X|X|} \hline \)\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n\) & \(l_1 \( & \(l_1 \neq 0\) & \(\infty\) & \(0\) \\ \hline \)\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n\) & \(l_2\) & \(\infty\) & \(\infty\) & \(\infty\) \\ \hline \)\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (u_n \, v_n)\) & \(l_1\,l_2\) & \(\infty\) (r.s.) & \(\infty\) (r.s.) & \textbf{Indéterminé} \\ \hline \end{tabularx}

r.s. : Règle des signes

Exemple : Pour tout \(n\), on pose \(u_n = \left(\dfrac{3}{n}-4\right)\times (n^2+2\sqrt{n})\).

  • \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{3}{n} = 0\) donc \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left( \dfrac{3}{n}-4 \right) = -4\).
  • \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} n^2 = +\infty\) et \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} = +\infty\). Ainsi, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (n^2+ \sqrt{n})=+\infty\).
  • Finalement, d’après les règles de calcul de limite d’un produit, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty\).

Exemple : Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(u_n=\dfrac{2}{n}\), \(v_n=n\) et \(w_n=n^2\).

  • On a \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = 0\), \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n = + \infty\). Par ailleurs, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_n \, v_n = 2\). ainsi, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (u_n \, v_n) = 2\).
  • On a \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = 0\), \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} w_n = + \infty\). Par ailleurs, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_n \, w_n = 2n\). ainsi, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (u_n \, v_n) = +\infty\).

On voit sur cet exemple que le produit d’une limite infinie et d’une limite qui vaut 0 peut aboutir à plusieurs résultats différents.

Limite du quotient

On considère deux suites réelles \((u_n)\) et \((v_n)\) telle que \((v_n)\) ne s’annule pas à partir d’un certain rang, ainsi que deux réels \(l_1\) et \(l_2\).

 \begin{tabularx}{1.3\linewidth}{|l|X|X|X|X|X|X|} \hline \)\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n\) & \(l_1 \( & \(l_1\) & \(l_1 \neq 0\) & \(\infty\) & \(0\) & \(\infty\)\\ \hline \)\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n\) & \(l_2 \neq 0\) & \(\infty\) & \(0\) (signe constant) & \(l_2\) & \(0\) & \(\infty\) \\ \hline \)\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(\dfrac{u_n}{ v_n}\right)\) & \(\dfrac{l_1}{l_2}\) & 0 & \(\infty\) (r.s.) & \(\infty\) (r.s.) & \multicolumn{2}{|c|}{\textbf{Indéterminé}} \\ \hline\end{tabularx}

r.s. : Règle des signes

Signe constant : à partir d’un certain rang, les termes de la suite \((v_n)\) sont tous du même signe.

Exemple : Pour tout entier \(n\) on pose \(u_n=\dfrac{1+\frac{2}{n}}{3+n}\)

  • \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(1+\dfrac{2}{n}\right)=1\).
  • \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (3+n) = +\infty\).
  • Ainsi, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = 0\)

Formes indéterminées

Factorisation par le terme dominant

Exemple : Pour tout \(n\), on pose \(u_n=4n^2+2n+3\) et \(v_n = 3n^2+7n-1\). On cherche à déterminer \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{u_n}{v_n}\). Or, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty\) et \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty\). On se retrouve dans le cas « \(\dfrac{\infty}{\infty}\) ».
Il est toutefois possible de factoriser \(u_n\) et \(v_n\) par leur terme de plus haut degré (ici, \(n^2\)). Pour tout entier \(n>0\),
\[ \dfrac{u_n}{v_n}=\dfrac{4n^2+2n+3}{3n^2+7n-1}=\dfrac{n^2\left(4+\dfrac{2}{n}+\dfrac{3}{n^2}\right)}{n^2\left(3+\dfrac{7}{n}-\dfrac{1}{n^2}\right)}=\dfrac{4+\dfrac{2}{n}+\dfrac{3}{n^2}}{3+\dfrac{7}{n}-\dfrac{1}{n^2}}\]
Or,

  • \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty}\left(4+\dfrac{2}{n}+\dfrac{3}{n^2}\right) = 4\)
  • \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(3+\dfrac{7}{n}-\dfrac{1}{n^2}\right) = 3\)

Ainsi, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{u_n}{v_n} = \dfrac{4}{3}\)

Quantité conjuguée

Lorsque l’on est en présence d’une différence de racines carrées \(\sqrt{a}-\sqrt{b}\), on peut multiplier et diviser par la quantité conjuguée \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\).

On admettra de plus que si \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n=a\), avec \(a\geqslant 0\), alors \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \sqrt{u_n}=\sqrt{a}\).

Exemple : Pour tout entier naturel \(n\), on note \(u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}\). Il s’agit de la différence de deux termes qui tendent vers \(+\infty\), il n’est pas possible de conclure directement sur sa limite. Or,
\[ u_n = (\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}) \times \dfrac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}}=\dfrac{n+1-(n-1)}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}}=\dfrac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}}\]
Le numérateur vaut 2 et le dénominateur tend vers \(+\infty\). Ainsi, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = 0\).

Il est parfois nécessaire de combiner les deux approches vues ci-dessus. On pourra par exemple utiliser le fait que, pour tout \(n>0\), \(\sqrt{n+1}=\sqrt{n} \times \sqrt{1+\dfrac{1}{n}}\).