Logarithme népérien

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Logarithme népérien

Soit \(a\) un réel strictement positif. On appelle logarithme népérien de \(a\), noté \(\ln (a)\), l’unique solution de l’équation \(e^x =a\), d’inconnue \(x \in \mathbb{R}\).

Démonstration : Derrière cette définition se cache une démonstration : une telle solution existe-t-elle ? Est-elle unique ?

La fonction \(x\mapsto e^x\) est continue (car dérivable) et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). De plus, \(\displaystyle \lim _{x \to -\infty} e^x = 0\) et \(\displaystyle \lim _{x \to -\infty} e^x = +\infty\). Ainsi, d’après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué aux fonctions strictement monotones, pour tout réel \(a \in ]0;+\infty[\), il existe un unique réel \(x\) tel que \(e^x = a\).

Exemple : \(\ln (1)=0\). En effet, l’unique solution de l’équation \(e^x=1\) est \(x=0\).

Exemple : \(\ln(e)=1\), \(\ln(e^2)=2\).

Pour tout réel \(a>0\), \(e^{\ln (a)} = a\).
Pour tout réel \(a\), \(\ln(e^a)=a\).

Démonstration : Soit \(a\) un réel strictement positif. \(\ln(a)\) est, par définition, solution de l’équation \(e^x=a\). On a donc \(e^{\ln(a)}=a\).

Par ailleurs, pour tout réel \(a\), \(e^a>0\). Par définition du logarithme népérien, \(\ln(e^a)\) est l’unique solution de l’équation \(e^x=e^a\), d’inconnue \(x\in \mathbb{R}\). Or, \(x=a\) est une solution de cette équation. On a donc \(\ln (e^a)=a\).

Exemple : On cherche à résoudre l’équation \(3e^x-6=0\), d’inconnue \(x\in \mathbb{R}\). Or, pour \(x\in \mathbb{R}\),
\[ 3e^x-6=0 \Leftrightarrow 3e^x=6 \Leftrightarrow e^x=2 \Leftrightarrow x = \ln (2) \]

Propriétés algébriques

Soit \(a\) et \(b\) des réels strictement positifs.

  • \(\ln (ab)=\ln(a)+\ln (b)\)
  • \(\ln \left(\dfrac{1}{a}\right)=-\ln(a)\)
  • \(\ln \left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)\)
  • \(\ln(\sqrt{a})=\dfrac{1}{2}\ln(a)\)
  • Pour tout entier relatif \(n\), \(\ln(a^n)=n\,\ln(a)\)

Démonstration : Soit \(a\) et \(b\) des réels strictement positifs.

  • \(e^{\ln(ab)}=ab=e^{\ln(a)} \times e^{\ln (b)} = e^{\ln(a) + \ln(b)}\). En appliquant \(\ln\) à cette égalité, on a donc \(\ln(ab)=\ln(a) + \ln(b)\).
  • Puisque \(\ln(1)=0\), on a \(\ln \left(a \times \dfrac{1}{a}\right)=0\), c’est-à-dire \(\ln(a) + \ln \left(\dfrac{1}{a}\right)=0\) et donc \(\ln \left(\dfrac{1}{a}\right)=\ln(a)\).
  • \(\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln\left(a \times \dfrac{1}{b}\right)=\ln(a)+\ln\left(\dfrac{1}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)\).
  • Puisque pour tout réel \(a>0\), \(a=\sqrt{a} \times \sqrt{a}\), on a \(\ln(a)=\ln(\sqrt{a} \times \sqrt{a})=\ln( \sqrt{a})+ \ln(\sqrt{a})=2\ln(\sqrt{a})\) et donc \(\ln(\sqrt{a})=\dfrac{1}{2}\ln(a)\).
  • Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(\mathcal{P}(n)\) la proposition \(\ln(a^n)=n\,\ln(a)\)
    • Initialisation : \(\ln(a^0)=\ln(1)=0\) et \(0 \times \ln(a)=0\). \(\mathcal{P}(0)\) est donc vraie.
    • Hérédité : Soit \(n \in \mathbb{N}\). Supposons que \(\mathcal{P}(n)\) est vraie.Alors \(\ln(a^{n+1})=\ln(a^n \times a)=\ln(a^n)+\ln(a)=n\,\ln(a)+\ln(a)=(n+1)\ln(a)\). \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie : \(\mathcal{P}\) est héréditaire.
    • Conclusion : D’après le principe de récurrence, \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).

    Par ailleurs, pour tout entier naturel \(n\), \(a^n \times a^{-n}=a^0=1\). Ainsi, \(\ln(a^n \times a^{-n})=\ln(a^n)+\ln(a^{-n})=0\). Or, \(\ln(a^n)=n\, \ln(a)\). On a donc \(\ln(a^{-n})=-n\, \ln(a)\).

Exemple : \(\begin{array}{rcl}\ln(12)+\ln(3)-2\ln(6)&=&\ln(12 \times 3)-2\ln(6)\\&=&\ln(36)-2\ln(6)\\&=&\ln(6^2)-2\ln(6)\\&=&2\ln(6)-2\ln(6)=0\end{array}\).

Pour s’entraîner…

Fonction logarithme népérien

Dérivabilité

On appelle fonction logarithme népérien la fonction \(x\mapsto \ln(x)\) définie pour tout réel \(x\) strictement positif.

La fonction \(\ln\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\) et pour tout réel \(x>0\), \(\ln'(x)=\dfrac{1}{x}\).

La fonction \(\ln\) est donc également continue sur \(]0;+\infty[\).

Démonstration [Au programme] :On admet que \(\ln\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\).
Pour tout réel \(x>0\), on pose \(f(x)=e^{\ln(x)}\). \(f\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\).

  • D’une part, on sait que pour tout réel \(x>0\), \(f'(x)=1\).
  • D’autre part, en utilisant la formule de la dérivée d’une fonction composée, on sait que \(f'(x)=\ln'(x) \times e^{\ln(x)}=\ln'(x) \times x\).

Ainsi, pour tout \(x>0\), \(\ln'(x) \times x=1\) et donc \(\ln'(x)=\dfrac{1}{x}\).

Exemple : Pour tour réel \(x>0\), on pose \(f(x)=e^{x^2-1}\ln(x)\).

  • Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=e^{x^2-1}\). \(u\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\) et pour tout réel \(x>0\), \(u'(x)=2x\,e^{x^2-1}\),
  • Pour tout réel \(x\), on pose \(v(x)=\ln (x)\). \(v\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\) et pour tout réel \(x>0\), \(v'(x)=\dfrac{1}{x}\),

Ainsi, \(f\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\) comme produit de fonctions dérivables sur cet intervalle. De plus, pour tout réel \(x>0\)
\[ f'(x)=u'(x) \times v(x) + u(x) \times v'(x)=2x\,e^{x^2-1}\ln(x)+\dfrac{e^{x^2-1}}{x}=\left(\dfrac{2x^2\ln(x)+1}{x}\right)e^{x^2-1}\]

Soit \(u\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) telle que pour tout réel \(x\in I\), \(u(x)>0\). alors \(\ln(u)\) est dérivable et
\[ (\ln(u))’=\dfrac{u’}{u}\]

Exemple : Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=x^2-2x+5\) et \(f(x)=\ln(u(x))=\ln(x^2-2x+5)\).

  • Il faut vérifier que pour tout réel \(x\), \(u(x)>0\). C’est une fonction polynôme du second degré dont le discriminant \(\Delta\) vaut \((-2)^2-4\times 1 \times 5 = -16>0\). Ainsi, pour tout réel \(x\), \(u(x)\) est du signe du coefficient dominant, 1, c’est-à-dire \(u(x)>0\).
  • Pour tout réel \(x\), on pose alors \(u(x)=x^2-2x+5\). \(u\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(u'(x)=2x-2\).
  • Ainsi, \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\),
    \[ f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}=\dfrac{2x-2}{x^2-2x+5}\]

Etude de la fonction \(\ln\)

La fonction \(\ln\) est strictement croissante et concave sur \(]0;+\infty [\).

Démonstration : La fonction \(\ln\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\) et pour tout réel \(x>0\), \(\ln'(x)=\dfrac{1}{x}\) qui est strictement positif. \(\ln\) est donc strictement croissante.
De plus, \(\ln’\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\) et pour tout réel \(x\), \(\ln^{\prime\prime}(x)=-\dfrac{1}{x^2}\) qui est négatif. \(\ln\) est donc concave sur \(]0;+\infty[\).

Soit \(x\) et \(y\) deux réels strictement positifs. Alors \(\ln(x) \geqslant \ln(y)\) si et seulement si \(x\geqslant y\).
En particulier \(\ln(x) \geqslant 0\) si et seulement si \(x\geqslant 1\)

Exemple : On souhaite résoudre sur \(\mathbb{R}\) l’inéquation \(\ln(3x-6)\leqslant \ln(10-x) \). Or, \(\ln(3x-6)\) n’est défini que si \(3x-6>0\), c’est-à-dire \(x>2\), et \(\ln(10-x)\) n’est défini que pour \(x<10\).

Soit donc \(x\) un réel dans l’intervalle \(]2;10[\). On a \(\ln(3x-6)\leqslant \ln(10-x) \) si et seulement si \(3x-6 \leqslant 10-x\) c’est-à-dire \( x\leqslant 4\). Les solutions de l’équation \(\ln(3x-6)\leqslant \ln(10-x) \) constituent donc l’intervalle \( ]2;4]\)

Il faut bien faire attention au domaine de définition des différentes expressions !

Exemple : On souhaite déterminer l’entier \(n\) à partir duquel \(1.2^n \geqslant 10\)

Puisque la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur \(]0;+\infty[\), \(1.2^n \geqslant 10\) si et seulement si \(\ln(1.2^n) \geqslant \ln(10)\), soit \(n\ln(1.2) \geqslant \ln(10)\). Puisque \(1.2>1\), alors \(\ln(1.2) >\ln(1) = 0\). On peut donc diviser par \(\ln(1.2)\) qui est strictement positif sans changer le sens de l’inégalité.

On a donc \(n \geqslant \dfrac{\ln(10)}{\ln(1.2)} \simeq 12.6\). Le premier entier \(n\) tel que \(1.2^n \geqslant 10\) est donc \(n=13\).

La courbe de la fonction \(\ln\) est symétrique à la courbe de la fonction \(\exp\) par rapport à la droite d’équation \(y=x\).

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Limites

On a les limites suivantes :
\[ \lim_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty \quad\text{et} \lim_{x\to +\infty} \ln(x) = +\infty \]
De plus, pour tout entier naturel \(n\),
\[ \lim_{x\to 0^+}x^n\,\ln(x) = 0\quad \text{et}\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^n}=0\]
La puissance de \(x\) l’emporte sur le logarithme en cas d’indéterminée : ce sont les croissances comparées au logarithme.

Démonstration : [Au programme : \( \displaystyle\lim_{x\to 0^+}x\,\ln(x)\)]

Pour \(x>0\), posons \(X=\ln(x)\).

Ainsi, \(x\,\ln(x)=Xe^X\). Or, lorsque \(x\) tend vers \(-\infty\), \(\ln(x)\) tend vers 0. Ainsi, \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x\,\ln(x)=\displaystyle\lim_{x\to -\infty}Xe^X\) qui vaut \(0\) par croissances comparées.