Somme de variables aléatoires

Rappels : variables aléatoires réelles

On appelle variable aléatoire réelle toute fonction définie sur l’univers \(\Omega\) d’une expérience aléatoire et à valeurs dans \(\mathbb{R}\)
Les variables aléatoires sont en général notées \(X\)

La loi de probabilité de \(X\) est la fonction qui, à chaque réel \(k\) associe la probabilité de l’événement \(\mathbb{P}(X=k)\)

Exemple : On choisit uniformément au hasard un nombre entier entre 1 et 8 compris.

  • Si le nombre obtenu est supérieur ou égal à 6, on gagne 2 points.
  • Si le nombre obtenu est inférieur ou égal à 4, on perd 3 points.
  • Si le nombre obtenu est 5, on gagne 5 points.

On note \(X\) la variable aléatoire qui donne le nombre de points gagnés après l’expérience.

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\(X\) peut donc prendre trois valeurs : \(-3\) \(2\) ou \(5\) Pour déterminer la loi de \(X\) il faut donc déterminer \(\mathbb{P}(X=-3)\) \(\mathbb{P}(X=2)\) et \(\mathbb{P}(X=5)\)

  • L’événement \(\{X=-3\}\) est composé des issues 1, 2, 3 et 4. Puisque l’on est en situation d’équiprobabilité, \(\mathbb{P}(X=-3)=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}\)
  • L’événement \(\{X=2\}\) est composé des issues 6, 7 et 8. Puisque l’on est en situation d’équiprobabilité, \(\mathbb{P}(X=2)=\dfrac{3}{8}\)
  • L’événement \(\{X=5\}\) est composé de l’issue 5. Puisque l’on est en situation d’équiprobabilité, \(\mathbb{P}(X=-3)=\dfrac{1}{8}\)

On peut résumer cela dans un tableau

\renewcommand{\arraystretch}{2.5} \begin{tabular}{|l|c|c|c|} \hline $k$ & $-3$ & $2$ & $5$ \\ \hline $\mathbb{P}(X=k)$ & $\dfrac{1}{2}$ & $\dfrac{3}{8}$ & $\dfrac{1}{8}$ \\ \hline \end{tabular}

Pour s’entraîner…

Opérations sur les variables aléatoires

Sommes et produits par un réel

Soit \(X\) une variable aléatoires réelle, définie sur \(\Omega\) Soit \(a\) un réel non nul. La variable aléatoire \(aX\) est définie par
\[ \text{Pour tout } \omega \in \Omega, \, (aX)(\omega) = a \times X(\omega) \]
Ainsi, pour tout réel \(k\)
\[ \mathbb{P}(aX=k) = \mathbb{P}\left( X = \dfrac{k}{a} \right) \]

Exemple : On lance un dé équilibré à 6 faces, numérotées de 1 à 6. On note \(X\) le résultat obtenu. La loi de la variable aléatoire de \(X\) est donc résumée dans le tableau ci-dessous.

\renewcommand{\arraystretch}{2.5} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|} \hline $k$ & $1$& $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ \\ \hline $\mathbb{P}(X=k)$ & $\dfrac{1}{6}$ & $\dfrac{1}{6}$ & $\dfrac{1}{6}$ & $\dfrac{1}{6}$ & $\dfrac{1}{6}$ & $\dfrac{1}{6}$\\ \hline \end{tabular}

On note \(Y\) la variable aléatoire telle que \(Y=3X\) Ainsi, \(Y\) est la variable aléatoire qui multiplie par 3 le nombre obtenu. La loi de \(Y\) peut être résumée par le tableau ci-dessous.

\renewcommand{\arraystretch}{2.5} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|} \hline $k$ & $3$& $6$ & $9$ & $12$ & $15$ & $18$ \\ \hline $\mathbb{P}(X=k)$ & $\dfrac{1}{6}$ & $\dfrac{1}{6}$ & $\dfrac{1}{6}$ & $\dfrac{1}{6}$ & $\dfrac{1}{6}$ & $\dfrac{1}{6}$\\ \hline \end{tabular}

Soit \(X\) une variable aléatoire réelle définie sur \(\Omega\) et \(a\) un réel. La variable aléatoire \(Y=X+a\) est définie par
\[ \text{Pour tout } \omega \in \Omega, \, Y(\omega) = X(\omega) + a \]
Ainsi, pour tout réel \(k\)
\[ \mathbb{P}(X+a = k) = \mathbb{P}(X=k-a)\]

Exemple : On lance un dé équilibré à 4 faces, numérotées de 1 à 6, et on note \(X\) la variable aléatoire qui donne le numéro porté par la face du dessous. La loi de \(X\) peut être résumée ci-dessous.

\renewcommand{\arraystretch}{2.5} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|} \hline $k$ & $1$& $2$ & $3$ & $4$ \\ \hline $\mathbb{P}(X=k)$ & $\dfrac{1}{4}$ & $\dfrac{1}{4}$ & $\dfrac{1}{4}$ & $\dfrac{1}{4}$ \\ \hline \end{tabular}

On note \(Y\) la variable aléatoire qui donne le numéro porté par la face du dessous et lui retire 3. On a alors \(Y=X-3\) Ainsi,
\[\mathbb{P}(Y=1) = \mathbb{P}(X-3=1)= \mathbb{P}(X=4)=\dfrac{1}{4}\]

On peut alors résumer la loi de \(Y\) dans un tableau.

\renewcommand{\arraystretch}{2.5} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|} \hline \(k\) & \(-2\) & \(-1\) & \(0\) & \(1\) \\ \hline \(\mathbb{P}(Y=k)\) & \(\dfrac{1}{4}\) & \(\dfrac{1}{4}\) & \(\dfrac{1}{4}\) & \(\dfrac{1}{4}\) \\ \hline \end{tabular}

Somme de deux variables aléatoires

Soit \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires réelles définies sur \(\Omega\) La variable aléatoire \(Z=X+Y\) est définie par
\[ \text{Pour tout } \omega \in \Omega, \, Z(\omega) = X(\omega) + Y(\omega) \]
Par ailleurs, pour tout réel \(k\)
\[ P(Z=k) = \displaystyle \sum_{i+j=k} \mathbb{P}((X=i) \cap (Y=j))\]
Si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes, on a alors
\[ \mathbb{P}(Z=k)=\displaystyle\sum_{i+j=k} \mathbb{P}(X=i) \mathbb{P}(Y=j)\]

Exemple : On possède deux urnes comportant des boules numérotées. La première contient trois boules, portant respectivement les numéros 1, 3 et 6. La seconde contient trois boules, portant respectivement les numéros 2, 3 et 5.
On tire uniformément au hasard une boule dans chaque urne et on fait la somme des numéros ainsi tirés.

Notons \(X\) la variable aléatoire donnant le résultat du tirage dans la première urne et \(Y\) la variable aléatoire donnant le résultat du tirage dans la deuxième urne. On cherche alors à déterminer la loi de \(X+Y\) Un arbre peut nous permettre d’y voir plus clair…

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Les tirages possibles sont \((1;2)\) \((1;3)\) \((1;5)\) \((3;2)\) \((3;3)\) \((3;5)\) \((6;2)\) \((6;3)\) et \((6;5)\) Les sommes possibles sont ainsi 3, 4, 5, 6, 8, 9 et 11.

Les tirages étant indépendants, on a

\[ \mathbb{P}(X+Y=3) = \mathbb{P}(X = 1) \times \mathbb{P}(Y=2)=\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{9}\]

On remarque que l’on peut obtenir la somme 6 de plusieurs façons : en obtenant \((1;5)\) ou \((3;3)\) Ainsi,

\[ \mathbb{P}(X+Y=6) = \mathbb{P}(X=1) \times \mathbb{P}(Y=5) + \mathbb{P}(X=3) \times \mathbb{P}(Y=3) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{9} \]

En faisant ainsi pour chaque valeur possible de la somme, on construit le tableau de la loi de \(X+Y\)

\renewcommand{\arraystretch}{2.5} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \(k\) & \(3\) & \(4\) & \(5\) & \(6\) & \(8\) & \(9\) & \(11\) \\ \hline \(\mathbb{P}(X=k)\) & \(\dfrac{1}{9}\) & \(\dfrac{1}{9}\) & \(\dfrac{1}{9}\) & \(\dfrac{2}{9}\) & \(\dfrac{2}{9}\) & \(\dfrac{1}{9}\) & \(\dfrac{1}{9}\) \\ \hline \end{tabular}

Espérance et variance d’une somme de variables

Cas général

Soit \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires, \(a\) et \(b\) deux réels.

  • \(\mathbb{E}(aX+b)=a\mathbb{E}(X) + b\)
  • \(\mathbb{E}(X+Y)=\mathbb{E}(X)+ \mathbb{E}(Y)\)

Exemple : On considère le jeu suivant : la participation est fixée à 8 euros. On lance un dé équilibré à 6 faces, numérotées de 1 à 6 et on remporte deux fois la somme inscrite sur le dé. On considère la variable aléatoire \(X\) qui donne le résultat du lancer et \(Y\) le gain du joueur, positif ou négatif. On a alors \(Y=2X-8\)
L’espérance de \(X\) est 3,5. Ainsi, \(\mathbb{E}(Y)= \mathbb{E}(2X-8)=2\mathbb{E}(X)-8=2 \times 3,5 – 8 = -1\) L’espérance étant négative, le jeu est défavorable au joueur.

Soit \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes, \(a\) un réel.

  • \(Var(aX)=a^2Var(X)\)
  • \(Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)\)

Applications à la loi binomiale

Soit \(X_1\) \(X_2\) …, \(X_n\) des variables aléatoires de Bernoulli indépendantes de paramètre \(p\)
Notons \(S=X_1+X_2+\ldots + X_n\).
\(S\) suit une loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\)

Réciproquement, si une variable aléatoire \(S\) suit une loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\) alors \(S\) peut s’écrire comme la somme de \(n\) variables aléatoires de Bernoulli indépendantes de paramètre \(p\)

Exemple : On lance 6 fois une pièce de monnaie équilibrée. Chaque PILE obtenu rapporte un euro. La variable aléatoire \(Y\) qui donne les gains à la fin des 6 lancers suit une loi binomiale de paramètres 6 et \(\dfrac{1}{2}\)

Soit \(S\) une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\)

  • \(\mathbb{E}(S) = np\)
  • \(Var(S)= np(1-p)\)
  • \(\sigma (X)=\sqrt{np(1-p)}\)

Démonstration : On écrit \(S\) comme la somme de \(n\) variables aléatoires de Bernoulli indépendantes de paramètre \(p\)
\[ S = X_1 + X_2 + \ldots + X_n \]
Or, pour tout entier naturel \(i\) compris entre 1 et \(n\) \(\mathbb{E}(X_i)=p\) et \(Var(X_i)=p(1-p)\).
On a donc \(\mathbb{E}(S) = p + p + \ldots + p = np\)
De plus, les variables \(X_i\) étant indépendants, \(Var(S)=p(1-p)+p(1-p)+\ldots + p(1-p)=np(1-p)\)

Exemple : On lance 12 dés équilibrées à 6 faces, numérotées de 1 à 6. On note \(Y\) la variable aléatoires qui compte le nombre de 6 obtenus. \(Y\) suit une loi binomiale de paramètres \(12\) et \(\dfrac{1}{6}\) Ainsi, \(\mathbb{E}(Y)=12 \times \dfrac{1}{6}=2\) et \(Var(Y)=12 \times \dfrac{1}{6}\times \dfrac{5}{6}=\dfrac{5}{3}\)