Succession d’épreuves indépendantes

Répétition d’épreuves indépendantes

Des expériences aléatoires sont dites indépendantes et identiquement distribuées (ou indépendantes et identiques) si ces expériences ont les mêmes issues, et si chaque issue a la même probabilité peu importe l’expérience.
Exemple : On lance 5 fois un dé à 6 faces, numérotées de 1 à 6. Chaque lancer a les mêmes issues, à savoir les entiers entre 1 et 6 inclus. De plus, chaque issue a une probabilité identique, peu importe le lancer, puisque l’on utilise le même dé. Le résultat du premier lancer n’influe en rien sur le résultat des autres lancers.
On considère \(n\) expériences aléatoires identiques et indépendantes, ainsi que \(n\) issues \(A_1\), \(A_2\), …, \(A_n\) de cette expérience. La probabilité d’obtenir successivement les issues \(A_1\), \(A_2\), …, \(A_n\) est égal au produit des probabilités de ces issues.
\[ \mathbb{P}( (A_1 ; A_2 ; \ldots ; A_n ) ) = \mathbb{P}(A_1) \times \mathbb{P}(A_2) \times \ldots \times \mathbb{P} (A_n)\]
Exemple : On lance un dé équilibré à 6 faces, numérotées de 1 à 6. On considère les événements

  • \(A\) : le résultat est pair
  • \(B\) : le résultat est 6
  • \(C\) : le résultat n’est pas 1

Puisque le dé est équilibré, nous sommes dans le cadre de la loi uniforme. Ainsi, \(\mathbb{P}(A)=\dfrac{1}{2}\), \(\mathbb{P}(B)=\dfrac{1}{6}\) et \(\mathbb{P}(C)=\dfrac{5}{6}\).

On lance maintenant ce dé 4 fois de suite et on souhaite calculer la probabilité d’obtenir un nombre pair au premier et au quatrième lancer, d’obtenir 6 au troisième lancer et de ne pas obtenir 1 au deuxième lancer. On souhaite donc obtenir la suite d’issues \((A,C,B,A)\). Ainsi,
\[ \mathbb{P}((A,C,B,A))=\mathbb{P}(A) \times \mathbb{P}(C) \times \mathbb{P}(B) \times \mathbb{P}(A)=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{5}{6} \times \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{144}\]

Si l’on essaie de représenter une succession de \(n\) épreuves indépendantes sous la forme d’un arbre de probabilités, on place alors toujours le même sous-arbre à chaque noeud.
Exemple : L’arbre suivant traduit une succession de deux épreuves indépendantes. En effet, chaque expérience possède les mêmes issues \(A\), \(B\) et \(C\), avec toujours les mêmes probabilités pour chacune de ces trois issues.

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Ainsi, la probabilité de la succession d’issues \((A,B)\) a bien pour probabilité \(0,2 \times 0,5 = 0,1\), soit \(\mathbb{P}(A) \times \mathbb{P}(B)\).

Epreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire dont l’univers ne comporte que deux issues : le succès S et l’échec \(\overline{S}\). On note \(p\) la probabilité de succès, aussi appelé paramètre de l’épreuve de Bernoulli. La probabilité d’échec vaut donc \(1-p\).

Une variable aléatoire \(X\) sur cet univers suit une loi de Bernoulli de paramètre \(p\) si \(\mathbb{P}(X=1)=p\) et \(\mathbb{P}(X=0)=1-p\). On écrit \(X \sim \mathcal{B}(p)\).

Exemple : On lance un dé équilibré à 6 faces, numérotées de 1 à 6. Si on considère le succès « Obtenir le nombre 6 », cette expérience est une épreuve de Bernoulli de paramètre \(p=\dfrac{1}{6}\).
Soit \(X\) une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre \(p\). L’espérance, la variance et l’écart-type de \(X\) valent respectivement \[E[X]=p, \quad Var(X)=p(1-p), \quad \sigma(X)=\sqrt{p(1-p)}\]
Démonstration : La variable aléatoire \(X\) prend les valeurs 0 et 1. De plus \(\mathbb{P}(X=0)=1-p\) et \(\mathbb{P}(X=1)=p\). Ainsi,

  • \(E[X] = 0 \times \mathbb{P}(X=0)+1 \times \mathbb{P}(X=1)=0 \times (1-p)+1 \times p = p\).
  • \(Var(X)=\mathbb{P}(X=0) \times (0- E[X])^2 + \mathbb{P}(X=1) \times (1- E[X])^2\)
    \(=(1-p) \times (-p)^2+p \times (1-p)^2=p(1-p)(p+1-p)=p(1-p)\)
Exemple : Soit \(X\) un variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre \(0,2\). On a alors \(E[X]=0,2\), \(Var(X)=0,2 \times 0,8 = 0,16\) et \(\sigma (X)= \sqrt{0,16}=0,4\).
Un schéma de Bernoulli de paramètre \(p\) est une succession d’épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, chacune de paramètre \(p\).
Exemple : On lance cinq fois de suite une pièce de monnaie équilibrée. On considère comme succès « la pièce tombe sur FACE ».

Loi binomiale

Soit \(n\) un entier naturel. On considère un schéma de Bernoulli à \(n\) épreuve de paramètre \(p\). On note \(X\) la variable aléatoire qui compte le nombre de succès de ce schéma de Bernoulli. On dit que \(X\) suit une loi binomiale de paramètres \(n\) et \(b\). On écrit \(X\sim \mathcal{B}(n,p)\).
Exemple : On lance une pièce équilibrée 5 fois de suite et on appelle \(X\) la variable aléatoire qui compte le nombre de FACE obtenus

  • On a bien des épreuves de Bernoulli indépendantes et identiques.
  • Ces épreuves sont au nombre de 5.
  • Pour chaque épreuve, la probabilité de succès (c’est-à-dire ici la probabilité d’obtenir FACE) vaut \(\dfrac{1}{2}\)

Ainsi, \(X\) suit une loi binomiale de paramètres 5 et \(\dfrac{1}{2}\).

Lorsque \(n\) vaut 1, on a une loi de Bernoulli de paramètre \(p\).
La première mention de la loi binomiale date de 1713, année de parution de l’Ars Conjectandi de Jacques Bernoulli. Ce livre publié à titre posthume – Jacques Bernoulli est décédé en 1705 – marquera un tournant dans l’histoire des probabilités. Y figurera notamment l’énoncé de la loi faible des grands nombres qui sera l’objet d’un chapitre ultérieur…
Soit \(n\) un entier naturel, \(p\) un réel compris entre 0 et 1 et \(X\) une variable aléatoire qui suit une loi binomiale \(\mathcal{B}(n,p)\).

Pour tout entier naturel \(k\) inférieur ou égal à \(n\), \(\mathbb{P}(X=k)=\dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\).

Démonstration : On considère un schéma de Bernoulli de paramètre \(p\) à \(n\) épreuves. L’ensemble des issues aboutissant à \(k\) succès correspond à l’ensemble des \(n\)-uplets de \(\{ S ; \overline{S} \}\) ayant exactement \(k\) fois la lettre \(S\). Il y en a donc \(\dbinom{n}{k}\). Or, chacune de ces issues a pour probabilité \(p^k(1-p)^{n-k}\) : chacun des \(k\) succès a une probabilité de \(p\) et chacun des \(n-k\) échecs a une probabilité \(1-p\). Ainsi, \(\mathbb{P}(X=k)=\dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\).
Exemple : On lance 3 fois un dé équilibré à 6 faces, numérotées de 1 à 6.

Quelle est la probabilité d’obtenir exactement 2 fois le nombre 4 ?
On note \(X\) la variable aléatoire qui compte le nombre de 4 obtenus. \(X\) suit une loi binomiale de paramètres \(n=3\) (le nombre de lancers) et \(p=\dfrac{1}{6}\) (la probabilité de succès, obtenir 4, en un lancer). On cherche donc la probabilité de l’événement \(X=2\), c’est-à-dire « obtenir exactement 2 succès ».

\[ \mathbb{P}(X=2)=\dbinom{n}{2} \times p^2 \times (1-p)^{n-2}=\dbinom{3}{2} \times \left(\dfrac{1}{6}\right)^2 \times \left(\dfrac{5}{6}\right)^1=3\times \dfrac{1}{36}\times \dfrac{5}{6}=\dfrac{5}{75}\]

Quelle est la probabilité d’obtenir au moins une fois le nombre 6 ? On note \(Y\) la variable aléatoire qui compte le nombre de 6 obtenus. \(Y\) suit une loi binomiale de paramètres \(n=3\) (le nombre de lancers) et \(p=\dfrac{1}{6}\) (la probabilité de succès, obtenir 6, en un lancer). On cherche donc la probabilité de l’événement \(Y\geqslant 1\), c’est-à-dire « obtenir au moins 1 succès ». Il y a plusieurs manières de procéder

  • Décomposer l’événement \(Y \geqslant 1\) en donnant tous les cas possibles : \(Y=1\), \(Y=2\) ou \(Y=3\)
  • Passer par le complémentaire : \(\mathbb{P}(Y \geqslant 1) = 1 – \mathbb{P}(Y < 1)\). Or, la seule valeur pour laquelle \(Y<1\) est \(Y=0\). Ainsi, \(\mathbb{P}(Y \geqslant 1)=1- \mathbb{P}(Y=0)\). Or, \(\mathbb{P}(Y=0)=\dbinom{3}{0} \times \left(\dfrac{1}{6}\right)^0 \times \left(\dfrac{5}{6}\right)^3=\dfrac{125}{216}\). Finalement, \(\mathbb{P}(Y\geqslant 1)=1-\dfrac{125}{216}=\dfrac{91}{216}\).