Limites de fonctions

Limite en l’infini

Limite infinie en l’infini

On suppose qu’il existe un réel \(a\) tel que \([a;+\infty [ \subset D\).

  • On dit que \(f\) a pour limite \(+\infty\) en \(+\infty\) si, pour tout réel \(A\), il existe un réel \(x_0 \in D\) tel que, pour tout \(x \in D\), si \(x \geqslant x_0\), alors \(f(x) \geqslant A\). On notera \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty\)
  • On dit que \(f\) a pour limite \(-\infty\) en \(+\infty\) si, pour tout réel \(A\), il existe un réel \(x_0 \in D\) tel que, pour tout \(x \in D\),si \(x \geqslant x_0\), alors \(f(x) \leqslant A\). On notera \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=-\infty\)
Cette définition est très similaire à celle rencontrée pour les limites de suites : pour n’importe quel réel \(A\), aussi grand soit-il, à partir d’une certaine valeur du réel \(x\), \(f(x)\) est plus grand que ce réel \(A\).

Exemple : On représente ici une fonction \(f\). Pour n’importe quel \(A\), aussi grand que l’on veut, on peut trouver un \(x_0\) à partir duquel la courbe est toujours au-dessus de la droite d’équation \(y=A\).

On a \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty\) .

On suppose qu’il existe un réel \(a\) tel que \(]-\infty ; a ] \subset D\).

  • On dit que \(f\) a pour limite \(+\infty\) en \(-\infty\) si, pour tout réel \(A\), il existe un réel \(x_0 \in D\) tel que, pour tout \(x \in D\), si \(x \leqslant x_0\), alors \(f(x) \geqslant A\). On notera \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)=+\infty\)
  • On dit que \(f\) a pour limite \(-\infty\) en \(-\infty\) si, pour tout réel \(A\), il existe un réel \(x_0 \in D\) tel que, pour tout \(x \in D\), si \(x \leqslant x_0\), alors \(f(x) \leqslant A\). On notera \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)=-\infty\)

Exemple : On représente ici une fonction \(f\). Pour n’importe quel \(A\), aussi grand que l’on veut, on peut trouver un \(x_0\) en-dessous duquel la courbe est toujours au-dessus de la droite d’équation \(y=A\).

On a \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)=+\infty\) .

Il s’agit de la principale différence avec les suites : pour les suites, l’indice \(n\) ne pouvait que tendre vers \(+\infty\). Dans notre, cas, le réel \(x\) peut aller vers \(+\infty\) mais aussi \(-\infty\) et d’autres valeurs réelles.

Limite finie en l’infini

On suppose qu’il existe un réel \(a\) tel que \([a;+\infty [ \subset D\). Soit \(l\in\mathbb{R}\).

  • On dit que \(f\) a pour limite \(l\) en \(+\infty\) – ou que \(f(x)\) tend vers \(l\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) – si, pour tout \(\varepsilon>0\), il existe un réel \(x_0\) tel que, si \(x \geqslant x_0\), alors \(f(x) \in ]l-\varepsilon ; l+\varepsilon [\). Si une telle limite existe, elle est unique. On note alors \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=l\).
  • On dit que \(f\) a pour limite \(l\) en \(-\infty\) – ou que \(f(x)\) tend vers \(l\) lorsque \(x\) tend vers \(-\infty\) – si, pour tout \(\varepsilon>0\), il existe un réel \(x_0\) tel que, si \(x \leqslant x_0\), alors \(f(x) \in ]l-\varepsilon ; l+\varepsilon [\). Si une telle limite existe, elle est unique. On note alors \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)=l\).

Exemple : Une fonction \(f\) est représentée ci-dessous. Pour n’importe quel \(\varepsilon>0\), on peut trouver un \(x_0\) à partir duquel on a toujours \(f(x) \in ]2-\varepsilon ; 2+\varepsilon [\). On a \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=2\)

On se place dans un repère \((0;\vec i, \vec j)\) orthonormé.

  • Si \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=l\), on dit que la droite d’équation \(y=l\) est asymptote à la courbe de \(f\) en \(+\infty\)
  • Si \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)=l\), on dit que la droite d’équation \(y=l\) est asymptote à la courbe de \(f\) en \(-\infty\)

Limites usuelles

Soit \(n\) un entier naturel non nul.

  • \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x^n = +\infty\) et \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x^n} = 0\)
  • Si \(n\) est pair, \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} x^n = +\infty\). Si \(n\) est impair, \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} x^n = -\infty\)
  • Si \(n\) est pair, \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \dfrac{1}{x^n}=0\) par valeurs supérieures.
  • Si \(n\) est impair, \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \dfrac{1}{x^n}=0\) par valeurs inférieures.
  • \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty\)
  • \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty\),
  • \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} e^x = 0\)
Il est important de visualiser les courbes représentatives de ces fonctions.

Rendered by QuickLaTeX.com

Limite en un point

Limite finie en un point

Soit \(a \in \mathbb{D}\) et \(l\) un réel.

On dit que \(f(x)\) tend vers \(l\) lorsque \(x\) tend vers \(a\) si, pour tout \(\varepsilon>0\), il existe un réel \(\delta >0\) tel que, si \(x\in ]a – \delta ; a+\delta[\), alors \(f(x) \in ]l-\varepsilon : l+ \varepsilon [\).

Autrement dit, tout intervalle ouvert centré en \(l\) contient toutes les valeurs de \(x\) lorsque \(x\) est suffisamment proche de \(a\).

Si elle existe, une telle limite est unique. On note alors \(\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) =l \)

Certaines fonctions admettent une limite différente si l’on se rapproche de \(a\) par valeurs supérieures ou par valeurs inférieures. Lorsqu’elles existent, on notera \(\displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x)\) la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(a\) par valeurs supérieures, ( c’est-à-dire avec \(x \geqslant a\) ) et \(\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x)\) la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(a\) par valeurs inférieures.

Limite infinie en un point

Soit \(a \in \mathbb{D}\) ou sur un bord de \(D\).

  • On dit que \(f(x)\) tend vers \(+\infty\) lorsque \(x\) tend vers \(a\) si, pour tout réel \(A\), il existe un réel \(\delta >0\) tel que, si \(x\in ]a – \delta ; a+\delta[\cap D\), alors \(f(x) > A\). Autrement dit, l’intervalle \(]A;+\infty[\) contient toutes les valeurs de \(f(x)\) lorsque \(x\) est suffisamment proche de \(a\). On note alors \(\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) =+\infty \)
  • On dit que \(f(x)\) tend vers \(-\infty\) lorsque \(x\) tend vers \(a\) si, pour tout réel \(A\), il existe un réel \(\delta >0\) tel que, si \(x\in ]a – \delta ; a+\delta[\cap D\), alors \(f(x) < A\). On note alors \(\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) =-\infty \)

Exemple : On a tracé ci-dessous la représentation graphique d’une fonction \(f\).

Pour n’importe quelle valeur du réel \(A\), on peut trouver un intervalle centré sur \(a\) tel que toute valeur de \(f(x)\) est supérieur à \(A\) pour n’importe quel \(x\) pris dans cet intervalle. Ce raisonnement vaut peu importe la valeur du réel \(A\) : on a \(\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) =+\infty \)

Encore une fois, certaines fonctions admettent une limite différente si l’on se rapproche de \(a\) par valeurs supérieures ou inférieures.

Exemple : On considère la fonction \(f:x\mapsto \dfrac{1}{x-1}\), définie sur \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\).

Il semblerait que, lorsque l’on s’approche de \(1\) par valeurs supérieures, la limite soit \(+\infty\), ce que l’on notera \(\displaystyle \lim_{x \to 1^+} f(x) =+\infty \). En revanche, lorsque l’on s’approche de \(1\) par valeurs inférieures, la limite semble être \(-\infty\), ce que l’on note \(\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x) =-\infty \).

Lorsque la limite d’une fonction \(f\) est infinie en un point \(a\), on dit que la droite d’équation \(x=a\) est une asymptote verticale à la courbe représentative de \(f\).
Exemple : Dans l’exemple précédent, la droite d’équation \(x=1\) est asymptote à la courbe de \(f\).

Opérations sur les limites

Les opérations sur les limites sont similaires à celles connues sur les suites. Dans cette partie, \(f\) et \(g\) sont deux fonctions définies au voisinages de \(a\), \(a\) pouvant être un réel, \(+\infty\) ou \(-\infty\). \(l_1\) et \(l_2\) sont deux réels.

Limite de la somme

 \begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|l|X|X|X|X|X|} \hline \)\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)\) & \(l_1\) & \(l_1\) & \(l_1\) & \(+\infty\) & \(-\infty\) \\ \hline \)\displaystyle \lim_{x \to a} g(x)\) & \(l_2\) & \(+\infty\) & \(-\infty\) & \(+\infty\) & \(-\infty\) \\ \hline \)\displaystyle \lim_{x \to a} (f(x)+g(x))\) & \(l_1+l_2\) & \(+\infty\) & \(-\infty\) & \(+\infty\) & \(-\infty\) \\ \hline \end{tabularx}

Limite du produit

 \begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|l|X|X|X|X|} \hline \)\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)\) & \(l_1 \( & \(l_1 \neq 0\) & \(\pm\infty\) & \(0\) \\ \hline \)\displaystyle \lim_{x \to a} g(x)\) & \(l_2\) & \(\pm\infty\) & \(\pm\infty\) & \(\pm\infty\) \\ \hline \)\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)g(x)\) & \(l_1\,l_2\) & \(\pm\infty\) (r.s.) & \(\pm\infty\) (r.s.) & \textbf{Indéterminé} \\ \hline \end{tabularx}

r.s. : Règle des signes

Limite du quotient

 \begin{tabularx}{1.3\linewidth}{|l|X|X|X|X|X|X|} \hline \)\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)\) & \(l_1 \( & \(l_1\) & \(l_1 \neq 0\) & \(\infty\) & \(0\) & \(\infty\)\\ \hline \)\displaystyle \lim_{x \to a} g(x)\) & \(l_2 \neq 0\) & \(\infty\) & \(0\) (signe constant) & \(l_2\) & \(0\) & \(\infty\) \\ \hline \)\displaystyle \lim_{x \to a} \left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)\) & \(\dfrac{l_1}{l_2}\) & 0 & \(\infty\) (r.s.) & \(\infty\) (r.s.) & \multicolumn{2}{|c|}{\textbf{Indéterminé}} \\ \hline\end{tabularx}

r.s. : Règle des signes

Signe constant : \(g\) ne change pas de signe au voisinage de \(a\).

Composition de limites

Dans cette partie, \(a\) est un réel ou vaut \(\pm \infty\). Soit \(u\) une fonction définie sur \(\mathbb{R}\).

  • Si \(\displaystyle \lim_{x \to a} u(x)=l\) avec \(l\geqslant 0\), \(\displaystyle \lim_{x \to a} \sqrt{u(x)}=\sqrt{l}\)
  • Si \(\displaystyle \lim_{x \to a} u(x)=l\), alors \(\displaystyle \lim_{x \to a} e^{u(x)}=e^l\)
  • Si \(\displaystyle \lim_{x \to a} u(x)=+\infty\), alors \(\displaystyle \lim_{x \to a} \sqrt{u(x)}=+\infty\), \(\displaystyle \lim_{x \to a} e^{u(x)}=+\infty\)
  • Si \(\displaystyle \lim_{x \to a} u(x)=-\infty\), alors \(\displaystyle \lim_{x \to a} e^{u(x)}=0\)
Ces règles peuvent vous sembler « logiques ». Elles ne le sont pas tout à fait et font intervenir une notion que nous verrons d’ici deux chapitres.

Exemple : On considère la fonction \(f:x\mapsto e^{-2x^2-3x-5}\).

On sait que \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (-2x^2-3x-5) = -\infty\). Ainsi, \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} e^{-2x^2-3x-5}=0\)

Exemple : On considère la fonction \(f:x\mapsto \sqrt{x} + \dfrac{1}{x-1}\), définie sur \([0;1[ \cup ]1;+\infty\).

Pour calculer la limite en \(1^+\) :

  • \(\displaystyle \lim_{x \to 1^+} \sqrt{x} = \sqrt{1}=1\).
  • \(\displaystyle \lim_{x \to 1^+} (x-1)=0^+\), ainsi, par quotient de limites, \(\displaystyle \lim_{x \to 1^+} \dfrac{1}{x-1}=+\infty\).
  • Par somme de limite, \(\displaystyle \lim_{x \to 1^+} f(x)=+\infty\)

Pour calculer la limite en \(1^-\) :

  • \(\displaystyle \lim_{x \to 1^-} \sqrt{x} = \sqrt{1}=1\).
  • \(\displaystyle \lim_{x \to 1^-} (x-1)=0^-\), ainsi, par quotient de limites, \(\displaystyle \lim_{x \to 1^-} \dfrac{1}{x-1}=-\infty\).
  • Par somme de limite, \(\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x)=-\infty\)

Pour calculer la limite en \(+\infty\) :

  • \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} =+\infty\).
  • \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x-1)=+\infty\), ainsi, par quotient de limites, \(\displaystyle \lim_{x \to 1^-} \dfrac{1}{x-1}=0\).
  • Par somme de limite, \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty\)

Représenter la courbe de la fonction \(f\) dans un graphique (par exemple, dans un logiciel de géométrie ou sur une calculatrice) permet de confirmer ou d’infirmer les calculs.

Comme pour les suites, certaines formes sont indéterminées et demanderont plus de travail (factorisation, forme conjuguée, croissances comparées vues ultérieurement)

Exemple : On considère la fonction \(f\) définie pour tout réel \(x\neq 2\) par \(f(x)=\dfrac{3x+1}{2x-4}\).

Pour tout réel \(x\neq 2\) et \(x\neq 0\), on a alors \(f(x)=\dfrac{x\left(3+\dfrac{1}{x}\right)}{x\left(2+\dfrac{4}{x}\right)}=\dfrac{3+\dfrac{1}{x}}{2+\dfrac{4}{x}}\).

Or, \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{1}{x}\right) = 0\) et \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{4}{x}\right) = 0\).

Ainsi, \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=\dfrac{3}{2}\). De la même manière, on montre que \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)=\dfrac{3}{2}\)

Comparaison de limite

Soit \(a\) un réel. Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur \(I=]a;+\infty[\)

  • Si, pour tout \(x\in I\), \(f(x)\geqslant g(x)\) et \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} g(x)=+\infty\), alors \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty\)
  • Si, pour tout \(x\in I\), \(f(x)\leqslant g(x)\) et \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} g(x)=-\infty\), alors \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=-\infty\)
Exemple : Pour tout réel \(x\), on pose \(f(x)=(2+\cos(x))e^x\). Or, pour tout réel \(x\), \(\cos(x)\geqslant -1\), ce qui implique que \(2+\cos(x)\geqslant 1\) d’où \(f(x)\geqslant e^x\). Or, \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} e^x=+\infty\). Ainsi, \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty\)

Exemple : On souhaite déterminer \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty}e^x\). Pour tout réel \(x\), on pose \(f(x)=e^x-x\). \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et, pour tout réel \(x\), \(f'(x)=e^x-1\). Ainsi, \(f'(x)\leqslant 0 \Leftrightarrow x \leqslant 0\). On construit alors le tableau de signes de \(f’\) et le tableau de variations de \(f\).

Rendered by QuickLaTeX.com

On s’aperçoit alors que, pour tout réel \(x\), \(f(x) \geqslant 1\), et donc que \(e^x \geqslant 1+x\). Or, \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (1+x)=+\infty\). D’après le théorème de comparaison, on a donc que \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty\).

Le même théorème peut s’appliquer pour déterminer une limite en \(-\infty\).

Soit \(a\) un réel. Soit \(f\), \(g\) et \(h\) trois fonctions définies sur \(I=]a;+\infty[\).

Si, pour tout \(x\in I\), \(f(x)\leqslant g(x)\leqslant\) et si \(f\) et \(h\) admettent une même limite \(l\) en \(+\infty\), alors \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} g(x)=l\).

Exemple : Pour tout réel non nul \(x\), on pose \(f(x)=\dfrac{\cos(x)}{x}\). On a alors \(-\dfrac{1}{x} \leqslant f(x) \leqslant \dfrac{1}{x}\).

Or, \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left( \dfrac{1}{x}\right) =\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(-\dfrac{1}{x}\right)=0\).

Ainsi, d’après le théorème d’encadrement, \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty}f(x)=0\).

Croissances comparées

Soit \(n\) un entier naturel.

  • \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n}=+\infty\)
  • \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} x^n\,e^x =0\)

L’exponentielle « l’emporte » sur la puissance.

Exemple : Pour tout réel \(x\), on pose \(f(x)=\dfrac{e^x-x}{e^x}\). On a alors \(f(x)=\dfrac{e^x}{e^x}-\dfrac{x}{e^x}=1-\dfrac{x}{e^x}\). Or, puisque \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x}=+\infty\), on a alors \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x}{e^x}=0\). Ainsi, \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=1\)

Approfondissement : Asymptotes obliques

Soit \(a\) un réel et \(f\) une fonction définie sur \(]a;+\infty[\). Soit \(m\) et \(p\) des réels. On dit que la droite d’équation \(y=mx+p\) est asymptote à la courbe représentative de \(f\) en \(+\infty\) si \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (f(x)-(mx+p))=0\).

Exemple : On considère la fonction \(f:x\mapsto \dfrac{x^2+3x-3}{2x-2}\), définie sur \(\mathbb{R}\setminus \{1\}\).

Pour tout \(x\neq 1\),
\[f(x)-\left(\dfrac{1}{2}x+2\right)=\dfrac{x^2+3x-3}{2x-2}-\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}x+2\right)(2x-2)}{2x-2}=\dfrac{x^2+3x-3-x^2-4x+x+4}{2x-2}=\dfrac{1}{2x-2}\]

Ainsi, \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(f(x)-\left(\dfrac{1}{2}x+2\right)\right)=0\). La droite d’équation \(y=\dfrac{1}{2}x+2\) est asymptote à la courbe représentative de \(f\) en \(+\infty\).

Par ailleurs, \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left(f(x)-\left(\dfrac{1}{2}x+2\right)\right)=0\). La droite d’équation \(y=\dfrac{1}{2}x+2\) est également asymptote à la courbe représentative de \(f\) en \(-\infty\).

Il est également possible, en étudiant le signe de \(f(x)-\left(\dfrac{1}{2}x+2\right)\), de déterminer la position relative de la courbe de \(f\) par rapport à son asymptote.
Ainsi,
\[ f(x)-\left(\dfrac{1}{2}x+2\right) \leqslant 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2x-2} \leqslant 0 \Leftrightarrow 2x-2 \leqslant 0 \Leftrightarrow x\leqslant 1\]

La courbe de \(f\) est en-dessous de son asymptote en \(-\infty\) et est au-dessus en \(+\infty\).