Second degré

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Fonction polynôme du second degré

Cas général

Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb{R}\). On dit que \(f\) est une fonction polynôme du second degré s’il existe trois nombres réels, \(a\), \(b\) et \(c\), avec \(a\neq 0\), tels que pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(f(x)=ax^2+bx+c\)
Cette forme s’appelle la forme développée de \(f\). Les réels \(a\), \(b\) et \(c\) sont les coefficients du polynôme \(ax^2+bx+c\).

Dans toute la suite du chapitre, \( a\), \( b\) et \( c\) désignent des réels tels que \(a\neq 0\).

Exemple : La fonction \(f\) définie pour tout \(x\in\mathbb{R}\) par \(f(x)=8x^2-4x+\sqrt{5}\) est une fonction polynôme du second degré.

Exemple : La fonction \(g\) définie pour tout \(x\in\mathbb{R}\) par \(g(x)=2(x-3)(x+7)\) est une fonction polynôme du second degré. En effet, pour tout réel \(x\), \(g(x)=(2x-6)(x+7)=2x^2+14x-6x-42=2x^2+8x-42\).

On parle également de trinôme du second degré

Forme canonique

Soit \( f:x\mapsto ax^2+bx+c\) une fonction polynôme du second degré. Il existe deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que pour tous réels \(x\), $$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$$ Cette forme s’appelle la forme canonique du polynôme \(ax^2+bx+c\).

Démonstration : Soit \(x\in\mathbb{R}\). Puisque \(a\neq 0\), on peut écrire que
$$f(x)=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)$$
On va alors faire « apparaître » une identité remarquable dans la parenthèse.
$$f(x)=a\left(x^2+\color{red}{2}\times\frac{b}{\color{red}{2}a}x\color{red}{+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2}+\frac{c}{a}\right)$$
En effet, on sait que :
$$x^2+2\times\frac{b}{2a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2=\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$$
Ainsi,
$$f(x)=a\left( \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 -\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}\right)$$
Ce qui donne en distribuant \(a\) :
$$f(x)=a \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 – a\times \left( \frac{b^2}{4a^2}-\frac{4ac}{4a^2}\right)$$
Ou encore :
$$f(x)=a \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{b^2-4ac}{4a}$$
Finalement, en posant \(\alpha=-\dfrac{b}{2a}\) et \(\beta = -\dfrac{b^2-4ac}{4a} \), on obtient la forme recherchée.

Exemple : Pour tout \( x\in\mathbb{R}\) , on pose \(f(x)=2x^2-12x-8\). On a alors :
\begin{eqnarray*}f(x)&=&2(x^2-6x-4)\\
&=&2(x^2-2\times 3 \times x \color{red}{+ 3^2 – 3^2} -8)\\
&=&2((x-3)^2-17)\\
&=&2(x-3)^2-34\\ \end{eqnarray*}

Pour s’entraîner…

Variations et extremum

On considère deux réels \(\alpha\) et \(\beta\). Soit \(f\) une fonction définie pour tout \(x\in\mathbb{R}\) par \(f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\). \(f\) admet le tableau de variations suivant, selon le signe de \(a\) :
Si \(a>0\)Si \(a<0\)
\(f\) admet un minimum en \(x=\alpha\).\(f\) admet un minimum en \(x=\alpha\).
Ce minimum vaut \(\beta\).Ce maximum vaut \(\beta\)..

Influence des paramètres \(a\), \(\alpha\) et \(\beta\) de la forme canonique : faites varier les valeurs de ces paramètres en utilisant les curseurs ci-dessous.

Démonstration : On traite le cas \(a>0\). On rappelle par ailleurs ce résultat de la classe de Seconde : la fonction \(x\mapsto x^2\), définie sur \(\mathbb{R}\), est strictement décroissante sur \( ]-\infty;0]\) et strictement croissante sur \( [0;+\infty[\). De fait, on considère deux réels \(x_1\) et \(x_2\) tels que \( \alpha < x_1 <x_2\). On a alors :
$$0 < x_1 – \alpha < x_2-\alpha$$
Ainsi, par croissance de la fonction \(x\mapsto x^2\) sur \( [0;+\infty[\) :
$$(x_1-\alpha)^2 < (x_2-\alpha)^2$$
Finalement, puisque \(a>0\),
$$a(x_1-\alpha)^2+\beta < a(x_2-\alpha)^2+\beta$$
C’est-à-dire \(f(x_1)<f(x_2) \). La fonction \(x\mapsto a(x-\alpha)^2+\beta\) est donc strictement croissante sur \( [\alpha;+\infty[\).
De manière analogue, en utilisant cette fois la décroissance de la fonction Carré sur \( ]-\infty;0]\) , on en déduit que la fonction \(x\mapsto a(x-\alpha)^2+\beta\) est strictement décroissante sur \( ]-\infty;\alpha]\) .

Pour vous entraîner, n’hésitez pas à faire le cas \(a<0\).

Exemple : On souhaite étudier les variations de la fonction \(f:x\mapsto 3x^2+18x+33\) définie sur \(\mathbb{R}\). On va pour cela utiliser la forme canonique. Pour tout réel \(x\), on a :
\begin{eqnarray*} f(x)&=& 3x^2+18x+33\\ &=& 3( x^2+6x+11)\\ &=& 3(x^2+6x\textbf{ + 9 – 9 }+11)\\ &=& 3[(x+3)^2+2]\\ &=&3(x+3)^2+6\\ &=&3(x-(-3))^2+6 \end{eqnarray*}
On construit ainsi le tableau de variations de \(f\).


Pour s’entraîner…

Exemple : On considère la fonction \(f\) dont la représentation graphique dans un repère orthonormé est donnée ci-contre.
  • Le sommet de la parabole se trouve en \( (1;-2)\). Il existe donc un réel \(a\) non nul tel que pour tout réel \(x\), \(f(x)=a(x-1)^2+(-2)\)
  • Regardons en \(x=0\)
    • D’après le graphique, \(f(0)=0\)
    • D’après la formule, \(f(0)=a\times (0-1)^2-2=a-2\)
    • On en déduit que \(a=2\)
  • Finalement, pour tout réel \(x\)
$$f(x)=2(x-1)^2-2$$

Pour s’entraîner…

Factorisation d’un polynôme

Racines d’un polynôme

On considère le polynôme du second degré \(ax^2+bx+c\).
Un réel \(x_0\) est une racine de ce polynôme si \(ax_0^2+bx_0+c=0\).

Attention : le terme racine est réservé aux polynômes et, par extension, aux fonctions polynomiales. On ne dira pas par exemple que 1 est une racine de la fonction \(x\mapsto \sqrt{x-1}\) puisque cette fonction n’est pas polynomiale.

Exemple : On considère la fonction \(f:x\mapsto 3x^2-5x+2\) définie sur \(\mathbb{R}\). On a \( f(1)=3\times 1^2-5\times 1 + 2 = 0\). 1 est donc une racine du polynôme \(3x^2-5x+2\)

On considère le polynôme du second degré \(ax^2+bx+c\).
Le discriminant de ce polynôme, en général noté \( \Delta\) (Delta), est le réel $$ \Delta = b^2-4ac $$

Exemple : Le déterminant du polynôme \(3x^2-4x-5\) vaut \( (-4)^2-4\times 3 \times (-5) =76\)

On considère \(\Delta\), le discriminant du polynôme \(ax^2+bx+c\).
  • Si \(\Delta < 0\), le polynôme \(ax^2+bx+c\) n’admet pas de racine réelle.
  • Si \(\Delta=0\), le polynôme \(ax^2+bx+c\) admet une racine dite double, qui vaut \(x_0=-\frac{b}{2a}\).
  • Si \(\Delta > 0\), le polynôme \(ax^2+bx+c\) admet deux racines réelles \(x_1\) et \(x_2\) : $$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\qquad \text{et} \qquad x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$

Démonstration : On rappelle que le polynôme \(ax^2+bx+c\) s’écrit sous forme canonique $$ax^2+bx+c=a \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{b^2-4ac}{4a}$$ ce que l’on réécrit, en factorisant par \(a\) et en remplaçant \(b^2-4ac\) par \(\Delta\) : $$ax^2+bx+c=a \left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{\Delta}{4a^2}\right)$$

  • Si \(\Delta <0\), alors \(-\frac{\Delta}{4a^2}>0\). On a donc, dans la parenthèse, la somme de deux termes positifs, dont un l’est strictement. Ainsi, pour tout réel \(x\) $$ \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 -\dfrac{\Delta}{4a^2}>0$$ et donc, \(a \left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 -\dfrac{\Delta}{4a^2}\right)\) est du signe de \(a\). Celui-ci étant non nul, le polynôme \(ax^2+bx+c\) ne s’annule donc jamais, peu importe la valeur de \(x\)
  • Si \(\Delta =0\), alors \(ax^2+bx+c=a \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2\), qui vaut 0 si et seulement si \(x=-\dfrac{b}{2a}\).
  • Si \(\Delta>0\), on peut calculer la racine carrée de \(\Delta\). On a donc $$ax^2+bx+c=a \left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 -\dfrac{\Delta}{4a^2}\right)=a \left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 -\left(\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2\right)$$ On reconnait une identité remarquable du type \(x^2-y^2\) que l’on s’empresse de factoriser. $$ax^2+bx+c=a\left(x+\dfrac{b}{2a}-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x+\dfrac{b}{2a}+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)$$ Que l’on simplifie $$ax^2+bx+c=a\left(x+\dfrac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x+\dfrac{b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right)$$ Ce polynôme s’annule donc en deux valeurs distinctes : $$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\quad\text{ et }x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$

Exemple : On souhaite résoudre l’équation \(2x^2-6x-8=0\).
Avant tout, on vérifie que l’on n’a pas affaire à une factorisation évidente ou une identité remarquable !
On calcule alors le discriminant \(\Delta\). $$\Delta = (-6)^2-4\times 2 \times (-8)=36+64=100>0$$ L’équation possède donc deux solutions : $$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-6)-\sqrt{100}}{2\times 2}=\dfrac{6-10}{4}=-1$$ et $$x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-6)+\sqrt{100}}{2\times 2}=\dfrac{6+10}{4}=4$$

Pour s’entraîner…

Forme factorisée

On suppose que le polynôme \(ax^2+bx+c\) admet deux racines $x_1$ et $x_2$ (éventuellement les mêmes). Alors, pour tout \(x\in\mathbb{R}\) : $$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$$ Cette écriture est la forme factorisée du polynôme \(ax^2+bx+c\)

Démonstration : c’est la conséquence directe du point précédent.

Exemple : On considère la fonction \(f:x\mapsto -4x^2+12x-8\), définie sur \(\mathbb{R}\). Calculons le discriminant \( \Delta\) du polynôme \(-4x^2+12x-8\) $$\Delta=12^2-4\times(-4)\times (-8)=144-128=16>0$$ Le polynôme \(-4x^2+12x-8\) possède donc deux racines distinctes $$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-12-\sqrt{16}}{2\times (-4)}=\dfrac{-12-4}{-8}=2$$ et $$x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-12+\sqrt{16}}{2\times (-4)}=\dfrac{-12+4}{-8}=1$$ Ainsi, pour tout \(x\in\mathbb{R}\) $$f(x)=-4x^2+12x-8=-4(x-1)(x-2)$$

Les plus observateurs pourront remarquer d’entrée que \(f(1)=f(2)=0\) et en déduire directement la factorisation du polynôme \(-4x^2+12x-8\).

Signe d’un trinôme du second degré

On considère la fonction \(f:x\mapsto ax^2+bx+c\) définie sur \(\mathbb{R}\).
  • Si le polynôme \(ax^2+bx+c\) n’admet aucune racine réelle, alors pour tout réel \(x\), \(f(x)\) est du signe de \(a\).
  • Si le polynôme \(ax^2+bx+c\) admet une racine réelle double, alors \(f\) s’annule uniquement en \(-\dfrac{b}{2a}\) pour tout réel \(x\neq-\dfrac{b}{2a}\), \(f(x)\) est du signe de \(a\).
  • Si le polynôme \(ax^2+bx+c\) admet deux racines réelles distinctes \(x_1\) et \(x_2\) telles que \(x_1 < x_2\), alors le tableau de signes de \(f\) est le suivant.

Exemple : On reprend la fonction \(f:x\mapsto -4x^2+12x-8\). On a vu dans le dernier exemple que, pour tout réel \(x\), on avait $$-4x^2+12x-8=-4(x-1)(x-2)$$ On en déduit le tableau de signes de \(f\), le coefficient -4 étant strictement négatif.

Pour s’entraîner…

Relations coefficients-racines

Soit \(ax^2+bx+c\) un polynôme du second degré. On admet que ce polynôme admet deux racines distinctes \(x_1\) et \(x_2\). Alors : $$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\quad\text{ et } x_1x_2=\dfrac{c}{a}$$

Démonstration : On rappelle l’expression des racines \(x_1\) et \(x_2\) du polynôme \(ax^2+bx+c\) en fonction de ses coefficients. $$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\quad\text{ et }x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$ On a ainsi $$x_1+x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}+\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2b}{2a}=-\dfrac{b}{a}$$ De plus, $$x_1x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \times \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{(-b-\sqrt{\Delta})(-b+\sqrt{\Delta})}{4a^2}=\dfrac{b^2-\Delta}{4a^2}=\dfrac{b^2-b^2+4ac}{4a^2}=\dfrac{c}{a}$$

On pourrait également développer l’expression \(a(x-x_1)(x-x_2)\)

Exemple : On considère le polynôme \(6x^2+7x-13\).
On voit que 1 est une racine de ce polynôme : \(6\times 1^2+7\times 1 – 13=0\)
L’autre racine, \(x_2\) est telle que \(1 \times x_2 = \dfrac{-13}{6}\), d’où \(x_2=-\dfrac{13}{6}\)

Pour s’entraîner…