Trigonométrie

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Dans tout ce chapitre, on se place dans un repère \( (O;\vec{i};\vec{j}) \) orthonormé.

Cercle trigonométrique

Enroulement de la droite des réels

On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O et de rayon 1 que l’on parcourt dans le sens contraire des aiguilles d’une montre.
Ce sens est appelé sens trigonométrique.

Dans le reste de chapitre, on notera \(\mathcal{C}\) le cercle trigonométrique.

On parle également de sens direct ou de sens anti-horaire. Le sens des aiguilles d’une montre est également appelé sens horaire ou sens direct.

On considère la droite \(\Delta\) d’équation \(x=1\). On note \(I\) le point de coordonnées \( (1;0)\).
On enroule alors la droite \(\Delta\) autour du cercle trigonométrique :
  • A tout réel \(a\), on associe le point \(M(a)\) de coordonnées \( (1;a)\) situé sur la droite \(\Delta\).
  • Au point \(M(a)\), on associe le point \(N(a)\) du cercle trigonométrique tel que
    • Le sens de l’arc de cercle \(\overset{\huge{\frown}}{IN}(a)\) est le sens direct si \(a\) est positif, indirect sinon.
    • \(IM(a)=\overset{\huge{\frown}}{IN}(a)=|a|\).

Exemple : L’image du réel \(\pi\) par enroulement de la droite des réels autour du cercle trigonométrique est le point \(N(\pi)\) de coordonnées \( (-1;0)\). En effet, on a bien \(\overset{\huge{\frown}}{IN}(a)=\pi\), le cercle trigonométrique étant de rayon 1.

Exemple : L’image du réel \(\frac{\pi}{2}\) par enroulement de la droite des réels autour du cercle trigonométrique est le point \(N\left(\frac{\pi}{2}\right)\) de coordonnées \( (0;1)\).

Deux réels dont la différence est la produit de \(2\pi\) et d’un entier relatif ont la même image par enroulement de la droite des réels autour du cercle trigonométrique.
Exemple : \(N(\pi)=N(\pi+2\pi)=N(3\pi)\).

Radian

Le radian (notation : rad) est la mesure d’un angle ayant pour sommet le point \(O\) et qui intercepte sur le cercle \(\mathcal{C}\) un arc de longueur 1.

Radian

Les mesures \(a\) en degré et \(\alpha\) en radians d’un même angle sont proportionnelles : $$\alpha = a \times \frac{\pi}{180}$$

Exemple : On retiendra en particulier les valeurs remarquables suivantes :

Degrés030456090180
Radians0\(\dfrac{\pi}{6}\)\(\dfrac{\pi}{4}\)\(\dfrac{\pi}{3}\)\(\dfrac{\pi}{2}\)\(\pi\)

Cosinus et sinus d’un nombre réel

Cosinus, sinus

Soit \(x\) un nombre réel et \(N(x)\) son point-image par enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique. On appelle…
  • Cosinus de \(x\), noté \(\cos (x)\), l’abscisse de \(N(x)\)
  • Sinus de \(x\), noté \(\sin (x)\), l’ordonnée de \(N(x)\)

Cosinus et sinus d'un réel

Le rapprochement est à faire avec la trigonométrie du triangle rectangle : notons \(H\) le projeté orthogonal du point \(N(x)\) sur l’axe des abscisses. Le segment \([ON(x)] \) étant de longueur 1, on a ainsi $$\cos (\widehat{HON(x)})=\frac{OH}{ON(x)}=OH$$

Exemple : On retiendra les valeurs remarquables suivantes :

Degrés030456090180
Radians0\(\dfrac{\pi}{6}\) \(\dfrac{\pi}{4}\) \(\dfrac{\pi}{3}\) \(\dfrac{\pi}{2}\) \(\pi\)
Cosinus1\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) \(\dfrac{1}{2}\)0-1
Sinus0\(\dfrac{1}{2}\) \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) 10

Ces valeurs remarquables sont démontrées en exercice.

Valeurs remarquables du sinus et du cosinus

Pour s’entraîner…
Remarque
: Les exercices suivants utilisent la notation d’angle orienté qui n’est désormais plus au programme de 1ère. L’angle \( (\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB} )\) désigne l’angle \( \widehat{AOB}\) parcouru de \(A\) vers \(B\) dans le sens trigonométrique.

Soit \(x\) un réel. On a :
  • \( -1 \leq \cos (x) \leq 1 \)
  • \( -1 \leq \sin (x) \leq 1 \)
  • \( \cos^2 (x) + \sin^2 (x) = 1 \)

Démonstration : Soit \(x\) un réel et \(N(x)\) son point-image par enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique. Appelons \(H\) le projeté orthogonal de \(N(x)\) sur l’axe des abscisses. Les coordonnées du point \(H\) sont donc \( (\cos (x) ; 0\) \).

Cosinus et sinus d'un réel

Le triangle \( OHN(x) \) est rectangle en \(H\). Ainsi, d’après le théorème de Pythagore, \( OH^2+HN(x)^2=ON(x)^2\), c’est-à-dire \( \cos^2 (x) + \sin^2 (x) = 1 \).

Exemple : Soit \(x \in [0;\pi] \) tel que \( \cos (x)= \dfrac{3}{5} \). Puisque \( \cos^2 (x) + \sin ^2(x)=1\), on en déduit que \( \sin^2 (x)=1-\cos^2(x)=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}\)

De plus, on voit sur le cercle trigonométrique que, pour un réel \(a\) compris entre 0 et \(\pi\), le sinus de \(a\) est positif. Ainsi, \( \sin^2(x)=\sqrt{\dfrac{16}{25}}=\dfrac{4}{5}\).

Angles associés

Soit \(x\) un réel. On a les relations suivantes :
\(\cos (x+2\pi) = \cos (x) \) \( \sin (x+2\pi)=\sin (x) \)
\(\cos (x+\pi) = -\cos (x) \) \( \sin (x+\pi)=-\sin (x) \)
\(\cos (\pi -x) = -\cos (x) \) \( \sin (\pi -x)=\sin (x) \)
\(\cos \left( \dfrac{\pi}{2} + x \right) = -\sin (x) \) \(\sin \left( \dfrac{\pi}{2}+x \right) = \cos (x) \)
\(\cos \left( \dfrac{\pi}{2} -x \right) = \sin (x) \) \(\sin \left( \dfrac{\pi}{2}-x \right) = \cos (x) \)

Exemple : \(\cos \left(\dfrac{5\pi}{4}\right)= \cos \left(\pi +\dfrac{\pi}{4}\right) =-\cos \left(\dfrac{\pi}{4}\right) =-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

Exemple : On retrouve bien \(\sin \left(\dfrac{2\pi}{3}\right)= \sin \left(\dfrac{\pi}{2} +\dfrac{\pi}{6}\right) =\cos \left(\dfrac{\pi}{6}\right) =\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) .

On peut également faire \(\sin \left(\dfrac{2\pi}{3}\right)= \sin \left(\pi -\dfrac{\pi}{3}\right) =\sin \left(\dfrac{\pi}{3}\right) =\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) .

Pour s’entraîner…

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Fonctions trigonométriques

La fonction cosinus est la fonction qui, à tout réel \(x\), associe \(\cos (x)\).
La fonction sinus est la fonction qui, à tout réel \(x\), associe \(\sin (x)\).

Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), on a
  • \(\cos(-x)=\cos (x)\), la fonction cosinus est paire.
  • \(\sin (-x)= -\sin (x)\); la fonction sinus est impaire.

La courbe de la fonction cosinus est donc symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Celle de la fonction sinus est symétrique par rapport à l’origine.

Pour tout \(x\in\mathbb{R}\) et pour tout \(k\in\mathbb{Z}\), on a
  • \(\cos (x+k\times 2\pi)=\cos (x)\)
  • \(\sin (x+k\times 2\pi) = \sin (x)\)
On dit que les fonctions sinus et cosinus sont \(2\pi\)-périodiques.

Attention : \(2\pi\) n’est pas LA période des fonctions sinus et sinus mais UNE période. \(4\pi\) et \(-248\pi\) en sont d’autres.

Pour s’entraîner…