Points équidistants

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Logiciel : Geogebra
Chapitres abordés : Géométrie repérée

En pratique

On place un point \(A\) n’appartenant pas à l’axe des abscisses sur le plan. On notera \( x_A, y_A\) ses coordonnées et on veillera à utiliser un repère orthonormé. On cherche à déterminer l’ensemble des points équidistants du point \( A \) et de l’axe des abscisses.

Sur Geogebra : Placer un point \(A\) n’appartenant pas à l’axe des abscisses. Placer également un curseur à l’aide de l’outil . Le nommer \(d\) et régler ce curseur pour qu’il ait comme min 0 et comme max 100, avec un incrément de 0.01. Il est possible d’avoir un max bien moins élevé, suivant la position de votre point.

Ce qui doit apparaître sur votre fenêtre

Question : Pour une distance \(d\) donnée, quel ensemble est formé par les points à distance \(d\) d’un point donné ?

Sur Geogebra : Dans le champ de saisie, entrer Cercle(A,d) puis valider. Un cercle de centre \(A\) et de rayon \(d\) sera alors créé. Faire varier la valeur du curseur \(d\). La taille du cercle est immédiatement adaptée.

Question : Pour une distance \(d\) donnée, quel ensemble est formé par les points à distance \(d\) d’une droite donnée ?

Sur Geogebra : Dans le champ de saisie, entrer et valider la commande \(y = d\) puis \(y = -d\). Deux droites sont tracées. Faire varier la valeur du paramètre \(d\) pour que le cercle tracé plus tôt croise une des deux droites.

Question : Combien semble-t-on avoir de points d’intersection au maximum ?

Sur Geogebra : A l’aide de l’outil Intersection , créer les points d’intersection du cercle et d’une des deux droites. Faire un clic droit sur l’un des points obtenus et cliquer sur Afficher la trace, puis faire varier la valeur du paramètre \(d\).

Question : Quelle semble être la forme dessinée par ces points ? Faire varier la position du point \(A\) puis recommencer la manipulation pour confirmer cette conjecture (déplacer la fenêtre Geogebra pour effacer les traces des précédents points).

En théorie

Dans cette partie, on considère que le point \(A\) a pour coordonnées \((2;3\).

Question 1 : Soit \(d\) un réel positif. Donner une équation du cercle de centre \(A\) et de rayon \(d\).

Question 2 : Dans le cadre du problème exposé ici, à quoi correspond le cas \(d=\dfrac{3}{2}\) ?

Question 3 : On suppose désormais que \(d\geqslant \dfrac{3}{2}\). .Dans l’équation suivante, exprimer \(d\) en fonction de \(x\) : \[(x-2)^2+(d-3)^2=d^2\].

Question 4 : En déduire l’ensemble des points dont les coordonnées sont solution du système suivant :

\left\{\begin{array}{rcl} (x-2)^2+(y-3)^2&=&d^2\\y&=&d \end{array}\right.

Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

Question 5 : En reprenant le raisonnement précédent, déterminer l’ensemble des points à égale distance de l’axe des abscisses et du point \(B\) de coordonnées \( (x_B;y_B) \) avec \(y_B >0\).

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