Produit scalaire dans le plan

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Produit scalaire de deux vecteurs

Projection orthogonale

Soit \(A\) un point du plan et \(\mathcal{D}\) une droite du plan.
Le projeté orthogonal du point \(A\) sur la droite \(\mathcal{D}\) est l’intersection de la droite \(\mathcal{D}\) et de la droite perpendiculaire à la droite \(\mathcal{D}\) passant par le point \(A\)

Exemple : \(H\) est le projeté orthogonal de \(M\) sur \(\mathcal{D}\)

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Si le point \(A\) appartient à la droite \(\mathcal{D}\), il est son propre projeté orthogonal sur cette droite.

Produit scalaire

Soient \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) quatre points du plan, \(A\) et \(B\) étant distincts. On note \(H\) et \(K\) les projetés orthogonaux respectifs des points \(C\) et \(D\) sur la droite \((AB)\). Le produit scalaire des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) est le réel \[\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}= \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{HK} = \left\{ \begin{array}{ll}AB\times HK & \text{si } \overrightarrow{AB} \text{ et } \overrightarrow{HK} \text{ sont de même sens,}\\ -AB\times HK & \text{si } \overrightarrow{AB} \text{ et } \overrightarrow{HK} \text{ sont de sens contraires} \end{array}\right. \]

Exemple : Dans la figure suivante, le quadrilatère \(ABCD\) est un trapèze rectangle en \(A\) et \(B\) tel que \(AB=3\).

  • Le projeté orthogonal de \(C\) sur \((AB)\) est \(A\).
  • Le projeté orthogonal de \(D\) sur \((AB)\) est \(B\).
  • Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BA}\) sont de sens contraires.

Ainsi, \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}=- AB\times BA=-3\times 3=-9\)

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Cela n’a rien évident avec cette définition, mais on a toujours \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{AB}\). Par ailleurs, pour tout vecteur \( \vec u\), \( \vec 0 \cdot \vec u = \vec u \cdot \vec 0 = 0\).
On remarquera notamment que le produit scalaire de deux vecteurs est un réel, et pas un vecteur !

Forme trigonométrique

Norme d’un vecteur

Soit \(\vec{u}\) un vecteur du plan, ainsi que \(A\) et \(B\) deux points du plan tels que \(\vec{u}=\overrightarrow{AB}\). On appelle norme de \(\vec{u}\), notée \(||\vec{u}||\), la longueur \(AB\).

Pour tout vecteur du plan \( \vec u \), \(\vec u \cdot \vec u = ||\vec u || ^2 \)

Soit \( \vec u\) un vecteur. Si \( \vec u=\vec 0\), on a alors \( \vec u \cdot \vec u = 0 = ||\vec u || ^2\). Sinon, soit \(A\) et \(B\) deux points du plan tels que \( \vec u = \overrightarrow{AB}\). \(A\) et \(B\) sont leurs propres projetés orthogonaux sur la droite \( (AB)\). On a ainsi \[ \vec u \cdot \vec u = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = AB \times AB = AB^2 = ||\vec u ||^2\]

Plutôt que de noter \(\vec u \cdot \vec u\), on notera souvent \( \vec u ^2\). Ce réel est appelé le carré scalaire du vecteur \( \vec u \).

Forme trigonométrique du produit scalaire

Soit \( \vec u\) et \( \vec v \) deux vecteurs non nuls du plan.
Soit \(A\), \(B\) et \(C\) trois points du plan tels que \( \vec u =\overrightarrow{AB}\) et \( \vec v = \overrightarrow{AC}\). Alors \[ \vec u \cdot \vec v = AB \times AC \times \cos ( \widehat{BAC} ) \]

Exemple : Soit \(A\), \(B\) et \(C\) trois points tels que \(AB=2\), \(AC=5\) et \( \widehat{BAC}= \dfrac{\pi}{4} \) radians. Alors \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos (\widehat{BAC} ) = 2 \times 5 \times \cos \left( \dfrac{\pi}{4} \right) = 10 \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}\]

Exemple : Soit \(a\) un réel positif et \(ABC\) un triangle équilatéral de côté \(a\). Alors \[ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=||\overrightarrow{AB}||.||\overrightarrow{AC}||.\cos(\widehat{BAC})\] Or, \(||\overrightarrow{AB}||=||\overrightarrow{AC}||=a\) et \(\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{3}\). Ainsi, \(\cos(\widehat{BAC})=\dfrac{1}{2}\).
Finalement, \[ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\dfrac{a^2}{2}\]

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On aurait également pu remarquer que le projeté orthogonal du point \(C\) sur la droite \((AB)\) était le milieu du segment \([AB]\).

Pour s’entraîner…