18/03 : AP Suites arithmétiques et géométriques

Bac ES – Asie 2016

Le 1er septembre 2015, un ensemble scolaire compte 3000 élèves. Une étude statistique interne a montré que, chaque 1er septembre

  • 10 % de l’effectif quitte l’établissement
  • 250 nouveaux élèves s’inscrivent

On cherche à modéliser cette situation par une suite \( (u_n) \) où, pour tout entier \( n\), \(u_n\) désigne le nombre d’élèves dans l’établissement le 1er septembre de l’année \(2015+n \).

Question 1

Justifier qu’on peut modéliser la situation avec la suite \(u_n\) telle que \( u_0=3000\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=0.9u_n+250\).

\( u_0\) correpond au nombre d’élèves en 2015 : il y en a 3000.\\ Par ailleurs, diminuer une quantité de 10% revient à la multiplier par \( \left( 1-\dfrac{10}{100} \right \), c’est-à-dire \(0.9\). Puisque 250 élèves supplémentaires s’inscrivent, il faut également ajouter 250. On a ainsi, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=0.9u_n+250\).

Question 2

Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(v_n=u_n-2500\).

Question 2a.

Démontrer que la suite \(v_n\) est géométrique, de raison 0.9. Préciser \(v_0\).

Question 2b.

Exprimer, pour tout entier naturel \(n\), \(v_n\) en fonction de \(n\). En déduire que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n=500\times 0.9^n+2500\). Donner la limite de la suite \( (u_n)\).

Question 3

Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}-u_n=-50 \times 0.9^n \). En déduire le sens de variation de la suite \( (u_n)\).

Question 4

La capacité optimale d’accueil est de 2800 élèves. Ainsi, au 1er septembre 2015, l’ensemble scolaire compte un sureffectif de 200 élèves. Ecrire un algorithme permettant de déterminer à partir de quelle année, le contexte restant le même, l’ensemble scolaire ne sera plus en sureffectif.

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