Ensembles de nombres

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Ensembles d’entiers

L’ensemble des entiers positifs, aussi appelés entiers naturels, est noté \(\mathbb{N}\).
\(\mathbb{N}=\{0;1;2;3;\ldots\}\)

L’ensemble des entiers relatifs est noté \(\mathbb{Z}\).
\(\mathbb{Z}=\{\ldots;-3;-2;-1;0;1;2;3;\ldots\}\)

Exemple : \(5\) est un entier naturel. On notera cela \(5\in\mathbb{N}\).
En revanche, \(-3\) n’est pas un entier naturel, ce qui se notera \(-5\not\in\mathbb{N}\).

Multiples et diviseurs

Soit \(a\) et \(b\) deux entiers relatifs.
On dit que \(a\) est un multiple de \(b\) s’il existe un entier relatif \(k\) tel que \(a=bk\).
On dit également que \(b\) est un diviseur de \(a\) ou que \(b\) divise \(a\).

Exemple : Prenons \(a=-56\) et \(b=7\). On sait que \(-56=7\times -8\). On a donc trouvé un entier relatif \(k\), en l’occurrence \(-8\), tel que \(a=bk\). \(-56\) est donc un multiple de \(7\).

Pour s’entraîner…

Parité

Soit \(a\in\mathbb{Z}\).
  • On dit que \(a\) est pair s’il existe \(k\in\mathbb{Z}\) tel que \(a=2k\). Autrement dit, \(a\) est un multiple de \(2\).
  • On dit que \(a\) est impair s’il existe \(k\in\mathbb{Z}\) tel que \(a=2k+1\).

Exemple : \(23=2\times 11+ 1\), \(23\) est donc impair.

On a les propriétés suivantes :
  • La somme de deux nombres pairs est un nombre pair
  • La somme de deux nombres impairs est un nombre pair
  • La somme d’un nombre pair et d’un nombre pair est un nombre impair
Démonstration : Soit \(a\) et \(b\) deux nombres pairs.
  • Puisque \(a\) est pair, il existe \(k\in\mathbb{Z}\) tel que \(a=2k\).
  • Puisque \(b\) est pair, il existe \(k’\in\mathbb{Z}\) tel que \(b=2k’\)
Ainsi, \(a+b=2k+2k’=2(k+k’)\). Or, \(k+k’\) est un entier relatif, \(a+b\) est donc un nombre pair.

En utilisant le même raisonnement, on peut montrer que la somme de deux multiples d’un entier relatif \(m\) est également un multiple de \(m\). Essayez de faire cette démonstration, ainsi que celle des deux autres points de la propriété pour vous entraîner.

On a les propriétés suivantes :
  • Le produit de deux entiers relatifs dont l’un est pair est un nombre pair.
  • Le produit de deux nombres impairs est impair.
En particulier :
  • Le carré d’un nombre pair est pair.
  • Le carré d’une nombre impair est impair.
Démonstration : Montrons que le produit de deux nombres impairs est impairs. Soit \(a\) et \(b\) deux nombres immpairs.
  • Puisque \(a\) est pair, il existe \(k\in\mathbb{Z}\) tel que \(a=2k+1\).
  • Puisque \(b\) est pair, il existe \(k’\in\mathbb{Z}\) tel que \(b=2k’+1\)
Ainsi, \(ab=(2k+1)(2k’+1)=4kk’+2k+2k’+1=2(2kk’+k+k’)+1\). Or, \(2kk’+k+k’\) est un entier relatif, \(ab\) est donc un nombre impair.

Là encore, entraînez-vous en démontrant les autres points de manière analogue.

Grâce à ces propriétés, on peut également démontrer que si \(n\) est un nombre entier tel que \(n^2\) est pair, alors \(n\) est pair. En effet, si \(n\) était impair, son carré devrait être pair : il en suit que \(n\) est forcément pair. Le raisonnement utilisé ici est un raisonnement par contraposée.

Nombres premiers

Soit \(a\in\mathbb{N}\).
  • On dit que \(a\) est premier s’il possède exactement deux diviseurs positifs distincts, qui sont alors \(1\) et \(a\).
  • On dit que \(a\) est composé s’il est différent de 0 ou 1 et s’il n’est pas premier.

Exemple : 2, 3, 5 et 7 sont des nombres premiers. En revanche, 4 n’est pas un nombre premier, puisqu’il possède 3 diviseurs : 1, 2 et 4.

Cette définition permet d’exclure 1 de l’ensemble des nombres premiers, ce qui est bien pratique pour le théorème qui suit…

Tout entier naturel non nul se décompose de manière unique en produits de facteurs premiers, à l’ordre des facteurs près.

Exemple : \(24 = 2 \times 2 \times \times 3 = 2^3 \times 3\)

Cette décomposition est très utile pour obtenir des fractions irréductibles. N’oubliez pas qu’à chaque fois que vous ne simplifiez pas une fraction, un chaton meurt quelque part dans d’atroces souffrances. Pensez aux chatons, simplifiez vos fractions.

Exemple : $$\frac{144}{210}=\frac{2\times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3}{2 \times 3 \times 5 \times 7}=\frac{2\times 2 \times 2 \times 2 \times 3}{5 \times 7}=\frac{24}{35}$$

Pour s’entraîner…

Ensemble des réels

Nombres rationnels

On dit qu’un nombre \(q\) est rationnel s’il existe deux nombres \(a\in\mathbb{Z}\) et \(b \in \mathbb{N}\), avec \(b\neq 0\), tels que \(q=\frac{a}{b}\).
L’ensemble des nombres rationnels se note \(\mathbb{Q}\)

On dit qu’un nombre \(d\) est décimal s’il existe deux nombres \(a\in\mathbb{Z}\) et \(b \in \mathbb{N}\) tels que \(d=\frac{a}{10^b}\).
L’ensemble des nombres rationnels se note \(\mathbb{D}\).

Exemple : \(\frac{3}{7}\) est un nombre rationnel. De même, \(2\) est un nombre rationnel puisque \(2=\frac{2}{1}\).

Exemple : \(12,347\) est décimal. En effet, \(12,347=\frac{12347}{1000}=\frac{12347}{10^3}\). C’est également un nombre rationnel.

\(\frac{1}{3}\) n’est pas décimal

Démonstration : Supposons que \(\frac{1}{3}\) soit décimal. Il existe alors \(a\in\mathbb{Z}\) et \(b \in \mathbb{N}\) tels que \(\frac{1}{3}=\frac{a}{10^b}\). Ainsi, \(10^b=3a\), ce qui implique que \(10^b\) est un multiple de 3. Ce n’est pas le cas : $\frac{1}{3}$ ne peut donc pas être un nombre décimal

Pour cette démonstration, nous avons fait une supposition et avons abouti à une contradiction : c’est le principe du raisonnement par l’absurde.

Des nombres irrationnels

Soit \(a\geq 0\).
On appelle racine carrée de \(a\), notée \(\sqrt{a}\), l’unique solution positive de l’équation \(x^2=a\). Autrement dit, \(\sqrt{a}\) est le nombre positif qui, au carré, vaut \(a\).

Exemple : \(\sqrt{25}=5\), \(\sqrt{144}=12\)

Soit \(a\geq 0\) et \(b\geq 0\). \(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}\).

Démonstration : D’une part, \(\sqrt{ab}^2=ab\), par définition de la racine carrée. <br/>
D’autre part, \((\sqrt{a} \times \sqrt{b})^2=\sqrt{a}^2 \times \sqrt{b}^2=ab\).<br/>
\(\sqrt{ab}\) et \(\sqrt{a} \times \sqrt{b}\) sont positifs et solutions de l’équation \(x^2=ab\). Ces quantités sont donc égales.

Exemple : \(\sqrt{20}=\sqrt{4 \times 5} = \sqrt{4} \times \sqrt{5} = 2 \sqrt{5}$\)

Exemple : \(\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}=\frac{5}{2}\)

\(\sqrt{2}\) n’est pas rationnel – on dit également irrationnel.

Démonstration : Supposons que \(\sqrt{2}\) est rationnel. Il existe donc \(a\in\mathbb{Z}\) et \(b\in\mathbb{N}\), avec\(b \neq 0\), tels que \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\). On supposera par ailleurs que la fraction \(\frac{a}{b}\) est irréductible.

On a alors \(\sqrt{2}^2=\left(\frac{a}{b}\right)^2\), soit \(2=\frac{a^2}{b^2}\). Ainsi, \(a^2=2b^2\). \(a^2\) est donc pair, ce qui entraîne que \(a\) est également pair – voir ce point pour la justification.

Il existe donc \(k\in\mathbb{Z}\) tel que \(a=2k\). Or, puisque \(a^2=2b^2\), cela implique que \((2k)^2=4k^2=2b^2\), c’est-à-dire \(b^2=2k^2\). Ainsi, \(b^2\) est pair, et \(b\) est également pair. On aboutit alors à une contradiction : la fraction irréductible \(\frac{a}{b}\) posséderait un numérateur et un dénominateur pairs.

On peut d’ailleurs, en utilisant la même méthode, démontrer que, si \(n\) est un entier naturel, alors \(\sqrt{n}\) est soit un entier, soit un nombre irrationnel.

\(\pi\) est irrationnel

Même si le nombre \(\pi\) est connu depuis l’Antiquité, son irrationnalité n’a été démontrée qu’en 1761 par Johann Heinrich Lambert. On suppose également que \(\pi\) est un nombre univers : tous les nombres entiers apparaissent dans ses décimales, comme votre date de naissance ou votre numéro de téléphone. Ce résultat n’est toujours pas démontré à ce jour.

Ensemble des réels

L’ensemble des réels est l’ensemble des abscisses possibles d’une droite graduée.
Cet ensemble est noté \(\mathbb{R}\).

Exemple : \(\sqrt{\pi}\), \(1+\sqrt{5}\), \(7\) sont des nombres réels.

Pour s’entraîner…

Intervalles

Intervalles de \(\mathbb{R}\)

Un intervalle est une partie continue de l’ensemble des réels qui désigne tous les nombres réels compris entre deux réels \(a\) et \(b\). Selon les cas, ces réels peuvent être compris ou non dans l’intervalle.

Exemple :

Réels \(x\)Représentation graphiqueIntervalle
\( -2 \leq x \leq 4\)\( [-2;4] \)
\(-3< x \leq 2\) \( ]-3;2] \)
\(2\leq x < 5\) \( [2;5[ \)
\(-3< x < -1\) \( ]-3;-1[\)
\(x \leq -1\) \( ]-\infty ; -1\)
\(x<3\) \( ]-\infty;3[\)
\(x \geq 2\) \( [2;+\infty[ \)
\(x > -3\) \( ]-3;+\infty[\)

Exemple : \(2 \in [1;4,5[\), \(\pi \in [3,1;3,2]\), \(\sqrt{2} \not\in [2;+\infty[\)

L’ensemble \(\mathbb{R}\) est aussi l’intervalle \(\left]-\infty ; +\infty\right[\)

Pour s’entraîner…

Union et intersection d’intervalles

Soit \(A\) et \(B\) deux ensembles :
  • L’ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à \(A\) et \(B\) s’appelle l’intersection de \(A\) et \(B\). On le note \(A \cap B\) (se lit \(A\) inter \(B\)).
  • L’ensemble des éléments qui appartiennent au moins à \(A\) ou \(B\) s’appelle l’union ou la réunion de \(A\) et \(B\). On le note \(A \cup B\) (se lit \(A\) union \(B\)).

Exemple : Soit \(A = [1;5]\) et \(B = ]-1;3[\). Que valent \(A\cap B\) et \(A\cup B\) ?

On peut représenter les deux intervalles A et B sur un même axe gradué.

L’intersection est l’ensemble des nombres appartenant aux deux intervalles (les deux couleurs à la fois). La réunion est l’ensemble des nombres appartenant à au moins un intervalle.
  • \(A\cap B = [1;4[\)
  • \(A \cup B = ]-1;5]\)
Il se peut que l’intersection de deux intervalles ne contienne aucun élément : on notera \(\emptyset\), qui se lit « ensemble vide ».

Pour s’entraîner…

Valeur absolue

Définition

Soit \(x\) un réel. On appelle valeur absolue de \(x\), notée \(|x|\), la distance à zéro de \(x\).
  • Si \(x\geq 0\), alors \(|x|=x\).
  • Si \(x<0\), on a alors \(|x|=-x\).
  • Exemple : \(|5|=5\), \(|-3|=3\).

    Pour tout réel \(x\), \(\sqrt{x^2}=|x|\)

    Exemple : \(\sqrt{(-5)}^2=\sqrt{25}=5=|-5|\)

    Soit \(x\) et \(y\) deux réels. On appelle distance de \(x\) à \(y\) la quantité \(|x-y|\)

    Exemple : La distance de \(3\) à \(5\) vaut \(|3-5|=|-2|=2\).

    Exemple : Résoudre sur \(\mathbb{R}\) l’équation \(|x-2|=3\)
    Cela revient à trouver tous les réels \(x\) qui sont à une distance \(3\) du réel \(2\).

    Valeur absolue

    Cela signifie que \(x-2=3\) ou que \(x-2=-3\), c’est-à-dire \(x=5\) ou \(x=-1\). \(S={-1;5}\)

    Lien avec les intervalles

    Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a\leq b\).
    • Le centre de l’intervalle \([a:b]\) est le réel \(C=\frac{a+b}{2}\). Il correspond à la moyenne des deux bornes de l’intervalle.
    • Le rayon de l’intervalle est le réel \(R=\frac{|b-a|}{2}\)

    Exemple : L’intervalle \([7;13]\) a pour centre \(C=\frac{7+13}{2}=10\) et pour rayon \(R=\frac{|13-7|}{2}=6\)

    Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a \leq b\).
    On note \(C\) et \(R\) le centre et le rayon de l’intervalle \([a;b]\). L »intervalle \([a;b]\) correspond exactement à l’ensemble des réels \(x\) tels que \(|x-C|\leq R\)

    Exemple : L’intervalle \([7;13]\) correspond à l’ensemble des \(x\) tels que \(|x-10]\leq 6\)

    Exemple : L’ensemble des réels \(x\) tels que \(|x-2|\leq 5\) est l’intervalle \( [2-5;2+5]\), c’est-à-dire \( [-3;7]\).

    Un résultat semblable peut être obtenu avec des inégalités strictes et des intervalles ouverts.

    Pour s’entraîner…