Notion de fonction

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Vocabulaire

Définition et exemples

Soit \(D\) une partie de l’ensemble des réels \(\mathbb{R}\).
Définir une fonction \(f\) sur \(D\), c’est associer à chaque réel \(x\) de \(D\) un UNIQUE nombre réel, noté \(f(x)\).

\(D\) est appelé domaine de définition de \(f\).
On notera \(f:x \mapsto f(x)\) pour désigner la fonction qui à \(x\) associe \(f(x)\).

Exemple : On considère \(D = \left\{-1.2,3,0,\frac{7}{3}\right\}\).
On résume les informations d’une fonction \(f\) définie sur \(D\) dans le tableau ci-dessous :

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline $x$ & -1.2 & 3 & 0 & $\dfrac{7}{3}$ \\ \hline $f(x)$ & 4 & 7 & $\pi$ & 7\\ \hline \end{tabular}

\(f\) est bien une fonction car chaque réel de \(D\) est associé à un unique réel. On a ainsi \(f(-1.2) = 4\), \(f(3) = 7\)…

Exemple : On considère la fonction \(g\) définie pour tout \(x\) dans \(D_g=[0;3]\) par \(g(x)=2x+3\).
On a par exemple \(g(0) = 2 \times 0 + 3=3\), \(g(1) = 2 \times 1 + 3=5\)…

Images, antécédents

Soit \(f\) une fonction définie sur un domaine de définition \(D\). Soit \(x \in D\).
  • On dit que \(f(x)\) est L’image de \(x\) par \(f\).
  • On dit que \(x\) est UN antécédent de \(f(x)\) par \(f\).

L’antécédent doit TOUJOURS appartenir au domaine de définition !

Exemple : \(4\) est l’image de \(-1,2\) par la fonction \(f\) donnée précédemment. \(7\) possède deux antécédents par \(f\) : \(3\) et \(\dfrac{7}{3}\).

Exemple : On considère la fonction \(g\) définie au paragraphe précédent.

  • \(g(0) = 3\). \(3\) est l’image de 0 par \(g\). \(0\) est un antécédent de \(3\) par \(g\).
  • On cherche un antécédent de \(7\) par \(g\). On cherche donc à trouver \(x\in D_g\) tel que \(g(x) = 7\). \begin{align*} g(x)=7\\ 2x+3=7\\ 2x=4\\ x=2\\ \end{align*} De plus, \(2\) appartient bien au domaine de définition \(D_g=[0;3]\). \(2\) est donc un antécédent de \(7\) par \(g\).
  • On cherche un antécédent de \(15\) par \(g\). On sait que \(2\times 6 + 3=15\), mais \(6\notin D_g\). \(6\) n’est donc pas un antécédent de \(15\) par \(g\).

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Représentation graphique

Dans toute la suite, on se place dans un repère \((O,I,J)\) orthonormé. Nous redéfinirons les repères dans un prochain chapitre.
On rappelle que la première coordonnée, l’abscisse, se lit sur l’axe horizontal et la deuxième coordonnée, l’ordonnée, se lit sur l’axe vertical.

Courbe représentative

Soit \(f\) une fonction et \(D\) son domaine de définition.
On appelle représentation graphique de \(f\) (ou courbe représentative de \(f\)) l’ensemble des points de coordonnées \((x;f(x))\), pour \(x \in D\).
On note en général cette courbe \(C_f\).

Exemple : On trace la représentation graphique d’une certaine fonction \(h\).

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  • Le domaine de définition de \(h\) est \(]-4;8]\).
  • Le point de coordonnées \((-1;-2)\) est sur la courbe, ce qui signifie que \(h(-1)=-2\).
  • L’image de \(1\) par \(h\) est \(3\).
  • \(-2\) a trois antécédents par \(h\) : \(-1\), \(5\) et \(7\)
  • \(6\) n’a pas d’antécédent par \(h\).

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Résolutions graphiques

Équation \(f(x)=k\), inéquation \(f(x)\geqslant k\)

Exemple : On considère la fonction \(f\) définie sur \(I=[-4:2]\) dont la représentation graphique est donnée ci-dessous. L’ensemble des points d’ordonnées égale à 2 figure en vert sur ce même graphique.

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Pour résoudre l’équation \(f(x)=2\) sur \(I\), c’est-à-dire déterminer les antécédents de 2 par \(f\), on regarde les points de la courbe dont l’ordonnée vaut \(2\).
Les antécédents de \(2\) par \(f\) sont \(-3\) et \(1\). Les solutions de \(f(x)=2\) sur \(I\) sont donc \(-3\) et \(1\).

Résoudre l’inéquation \(f(x)\geqslant 2\) sur \(I\) revient à déterminer l’ensemble des abscisses des points de la courbe représentative de \(f\) dont l’ordonnée est supérieure ou égale à \(2\). Dans notre cas, l’ensemble des solutions est \(S=[-4;-3] \cup [1;2]\).

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Équation \(f(x)=g(x)\) ou inéquation \(f(x)\leqslant g(x)\)

Exemple : On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \(I=[-2;6]\) et dont les représentations graphiques sont données ci-après.

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Pour résoudre l’équation \(f(x)=g(x)\) sur \(I\), on cherche les abscisses correspondant aux points d’intersection des courbes représentatives de ces deux fonctions.
Ici, les courbes se croisent pour \(x=-1\) et \(x=4\). Les solutions de \(f(x)=g(x)\) sur \(I\) sont donc \(-1\) et \(4\).

Résoudre l’inéquation \(f(x)\geqslant g(x)\) sur \(I\) revient à déterminer l’ensemble des abscisses pour lesquelles la courbe de \(f\) est au-dessus de celle de \(g\).
Dans notre cas, l’ensemble des solutions est \(S=[-2;-1] \cup [4;6]\).

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