Exercice 1 : Fonctions, Suites et Algorithmique (5 points)
Ce premier exercice entrelace l’étude d’une fonction rationnelle et celle d’une suite définie par récurrence. Après une étude analytique (dérivation, limites et variations) de la fonction associée, le candidat doit s’en servir pour démontrer par récurrence la monotonie de la suite, justifier sa convergence et calculer sa limite. Le problème se clôture par la conjecture d’une formule explicite et l’interprétation d’un script Python renvoyant une valeur seuil.
Exercice 2 : Probabilités et Étude de fonction (5 points)
Sous couvert d’une thématique sportive (lancers-francs au basketball), cet exercice un peu plus original fait le pont entre les lois discrètes et l’analyse continue. La première partie est une application classique de la loi binomiale (espérance, calcul de probabilités exactes et cumulées). La seconde partie demande d’exprimer la probabilité d’un événement en fonction du paramètre de succès \(p\), basculant ainsi sur l’étude d’une fonction polynôme du troisième degré et l’application du théorème des valeurs intermédiaires pour atteindre un objectif de réussite.
Exercice 3 : Géométrie dans l’espace (5 points)
Cet exercice de géométrie analytique est un grand classique particulièrement exhaustif. Les candidats y mobilisent toutes les méthodes du repérage : équation cartésienne de plan à l’aide d’un vecteur normal, équation paramétrique de droite, détermination d’un projeté orthogonal et calcul de la distance d’un point à un plan. La dernière étape fait appel au produit scalaire pour déterminer la mesure d’un angle géométrique, le sinus associé, l’aire d’un triangle, et finalement le volume d’un tétraèdre.
Exercice 4 : Vrai/Faux (5 points)
Ce format incontournable, nécessitant une justification rigoureuse pour chaque affirmation, balaye quatre grands thèmes de l’année. Il évalue la capacité à étudier la convexité à l’aide de la dérivée seconde, à maîtriser le dénombrement (combinaisons et raisonnement par l’événement contraire), à manipuler correctement les formules de probabilités totales issues d’un arbre, et à vérifier des solutions particulières et générales pour une équation différentielle du premier ordre (\(y’ + y = f(x)\)) avec des fonctions trigonométriques.
