Exercice 1 : Probabilités (5 points)

Un premier exercice classique pour mettre en confiance.

On dresse un arbre pondéré puis on calcule des probabilités à l’aide de la formule des probabilités totales et la définition d’une probabilité conditionnelle.

La deuxième partie concerne la loi binomiale : on identifie les paramètres de cette loi et on en calcule l’espérance. S’ensuivent quelques calculs de probabilités puis on détermine un seuil à partir duquel une certaine probabilité est supérieure à 0,95. Sur cette question, une petite part d’initiative est demandée mais celle-ci reste très classique

Exercice 2 : Géométrie – QCM (4 points)

Un QCM très simple de géométrie. On demande une représentation paramétrique de droite, si un point appartient à une droite, la position relative de deux droites et l’équation d’un plan.
La plupart des réponses peuvent être données en procédant par simple élimination.

Exercice 3 : Fonction – Logarithme népérien (5 points)

Une étude de fonction comportant un logarithme népérien (je me demande encore pourquoi la fonction n’est pas directement donnée sous la forme \(x\mapsto x\ln(x)-\frac{1}{x}\), sans doute pour voir comment les élèves gèreront ce carré dans le logarithme ?).

La première partie est une étude graphique avec notamment une équation réduite de tangente à déterminer. La deuxième partie est une étude analytique utilisant la dérivée seconde. La dernière question pourra peut-être dérouter certains, mais tout le reste est très abordabe.

Exercice 4 : Intégrales – Suites Fonction trigonométriques – Algorithmique (6 points)

C’est l’exercice « difficile » du sujet car celui-ci mélange plusieurs notions abordées à diverses périodes de l’année.

Les premières questions peuvent se traiter en encadrant les diverses fonctions en jeu, la décroissance de la suite \((I_n)\) est sans doute la moins aisée de cette première partie. Il faut alors utiliser les théorèmes généraux sur les suites numériques, à savoir le théorème de convergence monotone et, plus tard, le théorème d’encadrement.

L’avant-dernière question demande d’effectuer deux intégrations par partie de deux manières différentes puis de résoudre un système. Enfin, l’algorithme est l’incontournable algorithme de seuil, bien que sa formulation me laisse perplexe étant donné que la formule donnant \(I_n\) est explicite.

Cela dit, un exercice très appréciable !

Remerciement à J. Faber pour la transmission de ce sujet !