Dans tout ce chapitre, on se place dans un repère \((O;\vec{i};\vec{j})\) orthonormé.
Rappels
Enroulement de la droite des réels
On trace la droite des réels à droite de ce cercle trigonométrique, parallèlement à l’axe des ordonnées, puis on l’enroule autour d’une cercle trigonométrique. A chaque point \(x\) sur cette droite des réels, on associe ainsi un unique point \(M(x)\) sur le cercle.
Cosinus et sinus d’un nombre réel
Soit \(x\) un réel et \(M(x)\) son image sur le cercle trigonométrique. On appelle :
- Cosinus de \(x\), noté \(\cos(x)\), l’abscisse de \(M(x)\)
- Sinus de \(x\), noté \(\sin(x)\), l’ordonnée de \(M(x)\)
Exemple : On retiendra en particulier les valeurs remarquables suivantes
Pour tout réel \(x\),
- \(-1\leqslant \cos(x) \leqslant 1\)
- \(-1\leqslant \sin(x) \leqslant 1\)
- \(\cos(x)^2+\sin(x)^2=1\)
Résolution d’équation et d’inéquation
Exemple : Les solutions de l’équation \(\cos(x)=\dfrac{1}{2}\) sur \([-\pi;\pi]\) sont \(-\dfrac{\pi}{3}\) et \(\dfrac{\pi}{3}\).
Exemple : Le solutions de l’équation \(\cos(x)=0\) sur \([0;2\pi]\) sont \(\dfrac{\pi}{2}\) et \(\dfrac{3\pi}{2}\).
Exemple : Les solutions de l’inéquation \(\cos(x) \leqslant \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) sur \([-\pi;\pi]\) constituent les intervalles \(\left[-\pi; -\dfrac{\pi}{6}\right]\) et \(\left[\dfrac{\pi}{6};\pi\right]\).
Sur l’intervalle \([0;2\pi]\), les solutions constituent l’intervalle \(\left[ \dfrac{\pi}{6};\dfrac{11\pi}{6}\right]\).
Fonctions trigonométriques
Définition et variations
La fonction sinus est la fonction qui, à tout réel \(x\), associe \(\sin (x)\).
Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), on a
- \(\cos(-x)=\cos (x)\), la fonction cosinus est paire.
- \(\sin (-x)= -\sin (x)\); la fonction sinus est impaire.
Exemple :
\(\cos \left( -\dfrac{\pi}{4} \right) = \cos \left( \dfrac{\pi}{4} \right)= \dfrac{\sqrt{2}}{2}\qquad ; \qquad \sin \left( -\dfrac{\pi}{4} \right) = -\sin \left( \dfrac{\pi}{4} \right)= -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
Pour tout \(x\in\mathbb{R}\) et pour tout \(k\in\mathbb{Z}\), on a
- \(\cos (x+k\times 2\pi)=\cos (x)\)
- \(\sin (x+k\times 2\pi) = \sin (x)\)
On dit que les fonctions sinus et cosinus sont \(2\pi\)-périodiques.
Exemple :
\(\cos \left( \dfrac{25\pi}{3}\right)= \cos \left( \dfrac{24\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos \left(4\times 2\pi + \dfrac{\pi}{3}\right)=\cos\left( \dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}\)
Dérivée des fonctions trigonométriques
Les fonctions \(\cos\) et \(\sin\) sont dérivables sur \(\mathbb{R}\). Par ailleurs, pour tout réel \(x\),
- \(\sin'(x)=\cos(x)\)
- \(\cos'(x)=-\sin(x)\)
Exemple : On considère la fonction \(f\) définie pour tout réel \(x\) par \(f(x)=e^{2x}\cos(x)\).
- Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=e^{2x}\). \(u\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(u'(x)=2e^{2x}\)
- Pour tout réel \(x\), on pose \(v(x)=\cos(x)\). \(v\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(v'(x)=-\sin(x)\)
Ainsi, \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\),
\[f'(x)=2e^{2x}\times \cos(x)-e^{2x}\times \sin(x)=e^{2x}(2\cos(x)-\sin(x))\]
Soit \(u\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\)
- \(\sin(u)\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \((\sin(u))’=u’\times \cos(u)\)
- \(\cos(u)\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \((\cos(u))’=-u’\times \sin(u)\)
Exemple : Pour tout réel \(x\), on pose \(f(x)=\sin(3x^2-4x+5)\). \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(f'(x)=(6x-4)\sin(3x^2-4x+5)$
Soit \(a\) un réel non nul.
- Une primitive de \(x\mapsto \cos(ax)\) sur \(\mathbb{R}\) est \(x\mapsto \dfrac{\sin(ax)}{a}\)
- Une primitive de \(x\mapsto \sin(ax)\) sur \(\mathbb{R}\) est \(x\mapsto -\dfrac{\cos(ax)}{a}\)
Exemple : Pour tout réel \(x\), on pose \(f(x)=3\cos(2x)-5\sin(9x)\).
Une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) est la fonction \(F\) définie pour tout réel \(x\) par \(F(x)=\dfrac{3}{2}\sin(2x)+\dfrac{5}{9}\cos(9x)\).
