Exercice 1 : Probabilités et Suites (5 points)

Ce premier exercice mêle probabilités conditionnelles et suites numériques. À partir d’une situation de tir à l’arc modélisée par un arbre pondéré, le candidat doit établir une relation de récurrence. L’étude se poursuit avec l’introduction classique d’une suite géométrique auxiliaire permettant d’exprimer le terme général, d’en déduire la limite et de résoudre une inéquation à l’aide du logarithme népérien. L’exercice inclut également une question d’algorithmique demandant de compléter une boucle while en Python pour déterminer un seuil.

Exercice 2 : Vrai/Faux (5 points)

Ce format incontournable, où chaque réponse doit être justifiée, permet de balayer une grande diversité de chapitres du programme de spécialité. Les candidats sont évalués sur la levée d’une forme indéterminée pour le calcul d’une limite, la rédaction rigoureuse d’une démonstration par récurrence, le calcul d’une probabilité avec la loi binomiale, le calcul de l’intégrale d’une fonction exponentielle, et enfin sur la résolution d’un problème de dénombrement par listes.

Exercice 3 : Géométrie dans l’espace (5 points)

Cet exercice de géométrie repérée très complet teste les méthodes fondamentales du repérage dans l’espace. Le candidat doit montrer que trois points définissent un plan, valider un vecteur normal à l’aide de produits scalaires, et déterminer une équation cartésienne. Le problème se poursuit par la recherche de la représentation paramétrique d’une droite afin de trouver son point d’intersection avec le plan, puis se conclut par la recherche de l’intersection de deux plans.

Exercice 4 : Fonctions trigonométriques et Dérivation (5 points)

Ce dernier exercice propose une étude d’analyse exigeante en deux parties. La première consiste à étudier une fonction auxiliaire faisant intervenir des fonctions trigonométriques, incluant l’utilisation du théorème des valeurs intermédiaires (TVI) pour l’étude de son signe. La seconde partie exploite les résultats obtenus pour dériver et étudier les variations de la fonction sinus cardinal (\(f(x) = \frac{\sin(x)}{x}\)). Elle mobilise également la notion de taux d’accroissement pour trouver une limite en zéro, et demande d’exploiter la monotonie de la fonction pour démontrer une inégalité.