Le plan est muni d’un repère \((O, \vec i, \vec j)\) orthonormé. Le plan sera alors appelé plan complexe.
Représentation des complexes dans le plan
Affixe d’un point
L’axe des des abscisses est alors appelé axe des réels. Celui des ordonnées est appelé axe des imaginaires purs.
Exemple : Le point \(M\) ci-dessous a pour coordonnées \((4,2)\) dans le repère \((O;\vec i;\vec j)\). L’affixe du point \(M\) est \(4+2i\).
Cliquer ici pour s’entraîner : affixe d’un point
Soit \(A\) et \(B\) deux points du plan, d’affixes respectives \(z_A\) et \(z_B\).
- Les points \(A\) et \(B\) sont confondus si et seulement si \(z_A=z_B\).
- Le milieu du segment \([AB]\) a pour affixe \(\dfrac{z_A+z_B}{2}\).
Exemple : Soit \(M\) le point d’affixe \(1-4i\) et \(N\) le point d’affixe \(6+2i\).
Le milieu du segment \([MN]\) a pour affixe \(\dfrac{1-4i+6+2i}{2}\), c’est-à-dire \(\dfrac{7}{2}-i\).
Affixe d’un vecteur
Exemple :Le vecteur \(\vec v\) ci-dessous a pour coordonnées \(\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\) dans le repère \((O;\vec i;\vec j)\). L’affixe du vecteur \(\vec v\) est \(3+i\).
Les problèmes que nous traitions dans le plan avec les coordonnées de vecteurs se traduisent donc naturellement dans le plan complexe en terme d’affixe.
Soit \(\vec v\) et \(\vec w\) deux vecteurs du plan, d’affixes respectives \(z_{\vec v}\) et \(z_{\vec w}\) et \(k\) un réel.
- Les vecteurs \(\vec v\) et \(\vec w\) sont égaux si et seulement si \(z_{\vec v} = z_{\vec w}\)
- Le vecteur \(\vec v + \vec w\) a pour affixe \(z_{\vec v}+z_{\vec w}\).
- Le vecteur \(k\vec v\) a pour affixe \(kz_{\vec v}\)
Ces propriétés découlent directement des propriétés des vecteurs dans le plan réel. De la même manière, on a la propriété suivante :
Soit \(A\) et \(B\) deux points du plan, d’affixes respectives \(z_A\) et \(z_B\).
Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) a pour affixe \(z_B-z_A\).
Exemple : Soit \(A\), \(B\) et \(C\) trois points du plan d’affixes respectives \(z_A=-3+5i\), \(z_B = -1+i\) et \(z_C=-i\).
Il semblerait que les points \(A\), \(B\) et \(C\) soient alignés. Montrons-le.
- Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) a pour affixe
\[z_{\overrightarrow{AB}} = z_B – z_A = -1+i-(-3+5i) = 2-4i\] - Le vecteur \(\overrightarrow{AC}\) a pour affixe
\[z_{\overrightarrow{AC}} = z_C – z_A = -i-(-3+5i) = 3 -6i \]
Ainsi, \(z_{\overrightarrow{AC}} = \dfrac{3}{2}z_{\overrightarrow{AB}}\), ce qui signifie que \(\overrightarrow{AC}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}\).
Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires. Les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont donc bien alignés.
Cliquer ici pour s’entraîner : affixe d’un vecteur
Module d’un nombre complexe
Vous avez découvert lors de votre scolarité que le système de coordonnées cartésiennes ne constitue pas l’unique manière de repérer un point dans le plan. Plutôt que d’utiliser deux axes, représentant l’abscisse et l’ordonnée d’un point, il est également possible de repérer un point à l’aide d’un angle et de sa distance par rapport à l’origine du repère : il s’agit du système de coordonnées polaires.
Nous allons désormais traduire ce système de coordonnées polaires dans le plan complexe, à commencer par la distance à l’origine, que nous nommerons module.
Définition et interprétation
Soit \(z=a+ib\) un nombre complexe, avec \(a\) et \(b\) des réels.
Le module de \(z\), noté \(|z|\), est le réel positif défini par \(|z| = \sqrt{a^2+b^2}\).
Cliquer ici pour s’entraîner : module d’un nombre complexe
Cette formule vous rappelle sans doute celle utilisée en classe de seconde pour déterminer la distance entre deux points du plan. Et pour cause !
On rappelle que la distance entre deux points \(A(x_A,y_A)\) et \(B(x_B, y_B)\) dans un repère orthonormé vaut \(AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)
Or, si \(M\) est d’affixe \(z=a+ib\), avec \(a\) et \(b\) des réels, ses coordonnées sont \((a,b)\). Les coordonnées du point \(O\) sont par ailleurs \((0; 0)\).
Finalement, \(OM = \sqrt{(x_M-x_O)^2 + (y_M-y_O)^2} = \sqrt{a^2+b^2}=|z|\).
Cliquer ici pour s’entraîner : Distance entre deux points
On a \(z_A – z_B = 1+2i – (5-3i) = -4+5i\) et donc \(AB=|z_A-z_B| = \sqrt{(-4)^2+5^2}=\sqrt{16+25}=\sqrt{41}\).
Le module nous permet donc de traiter les distances dans le plan complexe. En particulier, il est facile de décrire un cercle, qui n’est autre que l’ensemble des points à une distance fixée d’un autre point du plan complexe, ou une médiatrice, qui est l’ensemble des points à égale distance de deux points fixés.
Soit \(M\) un point d’affixe \(z_M\) et \(r\) un réel positif.
L’ensemble des points d’affixe \(z\) tels que \(|z-z_M| = r\) est le cercle de centre \(M\) et de rayon \(r\).
Propriétés du module
D’une part, si \(z=0\), alors \(|z| = 0^2+0^2 = 0\).
D’autre part, notons \(z=a+ib\), avec \(a\) et \(b\) des réels. Si \(|z|=0\), alors \(a^2+b^2=0\) et donc \(a^2=-b^2\).
Or, \(a^2 \geqslant 0\) et \(-b^2 \geqslant 0\). Il en vient que \(a^2=b^2=0\) et donc que \(a=b=0\). Ainsi, \(z=0\).
Cette propriété a déjà été rencontrée lors d’exercices du premier chapitre sur les nombres complexes, il est grand temps de l’officialiser. La démonstration ne provoquera aucune surprise.
L’interprétation du module d’un complexe à l’aide de son conjugué nous permet de démontrer facilement certaines propriétés relatives au module.
Soit \(z\) et \(z’\) deux nombres complexes, \(n\) un entier relatif. Alors,
| \(|z|=|\overline{z}|\) | \(|zz’| = |z| \times |z’|\) | Si \(z’ \neq 0\), \(\left\lvert \dfrac{z}{z’}\right\rvert = \dfrac{|z|}{|z’|}\) | Si \(z \neq 0\), \(|z^n|=|z|^n\) |
Il vient en particulier que pour tout nombre complexe non nul \(z\), \(\left\lvert\dfrac{1}{z}\right\rvert = \dfrac{1}{|z|}\).
En revanche, il est faux en général que le module de la somme de deux complexes est égal à la somme des modules de ces nombres (cela reviendrait à écrire que pour tout réels positifs \(x\) et \(y\), \(\sqrt{x+y}\) est égal à \(\sqrt{x}+\sqrt{y}\), ce que vous savez totalement faux. Il existe toutefois une relation utile, que nous admettrons pour ce chapitre.
Inégalité triangulaire : Soit \(z\) et \(z’\) deux nombres complexes. Alors \(|z+z’| \leqslant |z|+|z’|\).
De plus, \(|z+z’| = |z|+|z’|\) si et seulement s’il existe un réel \(\lambda\) tel que \(z= \lambda z’\).
Trigonométrie
Maintenant que nous avons réglé la question de la distance entre un point du plan complexe et l’origine, nous allons nous intéresser à celle de l’angle. Et qui dit angle dit forcément trigonométrie. Commençons donc par quelques rappels et compléments.
Rappels de trigonométrie
On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O et de rayon 1 que l’on parcourt dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Ce sens est appelé sens trigonométrique.
On trace la droite des réels à droite de ce cercle trigonométrique, parallèlement à l’axe des ordonnées, puis on l’enroule autour d’une cercle trigonométrique.
A chaque point \(x\) sur cette droite des réels, on associe ainsi un unique point \(M(x)\) sur le cercle.
Soit donc \(x\) un réel et \(M(x)\) son image sur le cercle trigonométrique.
On appelle :
- Cosinus de \(x\), noté \(\cos(x)\), l’abscisse de \(M(x)\)
- Sinus de \(x\), noté \(\sin(x)\), l’ordonnée de \(M(x)\)
Pour tout réel \(x\),
- \(\cos(-x)=\cos(x)\) : la fonction cosinus est paire.
- \(\sin(-x)=-\sin(x)\) : la fonction sinus est impaire.
- Pour tout entier relatif \(k\), \(\cos(x+2k\pi) = \cos(x)\). La fonction cosinus est \(2\pi\)-périodique
- Pour tout entier relatif \(k\), \(\sin(x+2k\pi) = \sin(x)\). La fonction sinus est \(2\pi\)-périodique
Exemple : On retiendra en particulier les valeurs remarquables suivantes.
| Degrés | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 | 180 |
| Radians | 0 | \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(\pi\) |
| Cosinus | 1 | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{1}{2}\) | 0 | -1 |
| Sinus | 0 | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | 1 | 0 |
Formules de trigonométrie
Les valeurs remarquables du sinus et du cosinus sont à connaître par coeur… Tout autant que les formules qui vont suivre !
Formules d’addition pour le cosinus : Pour tous réels \(x\) et \(y\),
- \(\cos(x-y)= \cos(x)\cos(y) + \sin(x) \sin(y)\)
- \(\cos(x+y)= \cos(x)\cos(y) – \sin(x) \sin(y)\)
Par ailleurs, on sait que \(\vec v \cdot \vec v = ||\vec v|| \times ||\vec w|| \times \cos( \vec v, \vec w)\).
Or,
- \(||\vec v|| = \sqrt{ \cos(x)^2+\sin(x)^2}=1\)
- De même, \(||\vec w|| = \sqrt{ \cos(y)^2+\sin(y)^2}=1\)
- L’angle entre les vecteurs \(\vec v\) et \(\vec w\) a pour mesure \(y-x\).
En combinant les deux manières d’écrire \(\vec v \cdot \vec w\), on aboutit à
\[ \cos(x) \cos(y) + \sin(x) \sin(y) = \cos(y-x) = \cos(x-y)\]
La deuxième propriété se démontre en prenant \(-y\) à la place de \(y\), en en utilisant que \(\sin(-y)=-\sin(y)\).
A l’aide de cette formule, il est notamment possible, moyennant la connaissance de certaines valeurs du sinus et du cosinus, de déterminer d’autres valeurs du sinus et du cosinus pour des réels particuliers.
Cette formule nous permet par ailleurs de relier simplement le cosinus et le sinus d’un réel \(x\).
Formules d’addition pour le sinus : Pour tous réels \(x\) et \(y\),
- \(\sin(x-y)= \sin(x)\cos(y) – \cos(x) \sin(y)\)
- \(\sin(x+y)= \sin(x)\cos(y) + \cos(x) \sin(y)\)
\[ \sin(x+y) = \cos\left(x+y-\dfrac{\pi}{2}\right) =\cos\left(x+\left(y-\dfrac{\pi}{2}\right)\right) \]
Ainsi, en utilisant les formules d’additions sur le cosinus, on obtient
\[ \sin(x+y) = \cos(x)\cos\left(y-\dfrac{\pi}{2}\right)-\sin(x)\sin\left(y-\dfrac{\pi}{2}\right)\]
Or,
\[ \cos\left(y-\dfrac{\pi}{2}\right) = \cos(y)\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) + \sin(y)\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \sin(y)\]
et
\[\sin\left(y-\dfrac{\pi}{2}\right) = \cos\left(y-\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos(y-\pi)=\cos(y)\cos(\pi)+\sin(y)\sin(\pi)=-\cos(y)\]
Finalement,
\[\sin(x+y) = \cos(x)\sin(y)+\sin(x)\cos(y)\]
En remplaçant \(y\) par \(-y\), on obtient la deuxième formule.
Argument d’un nombre complexe
Argument(s)
La question de la trigonométrie étant réglé, il est temps de revenir à notre question d’angles et de coordonnées polaires. Si l’on prend un complexe non nul \(z\) et que l’on divise ce nombre par son module, on obtient alors un complexe de module 1, qui n’est rien d’autre qu’un point du cercle trigonométrique.
Par ailleurs, tout point du cercle trigonométrique est caractérisé par un angle, et donc, par son cosinus en abscisse et son sinus en ordonnées… D’où la définition suivante.
\[z = |z| \times ( \cos( \theta ) + i \, \sin (\theta) )\]Cette forme est appelée forme trigonométrique du complexe \(z\).
On dit par ailleurs qu’un tel \(\theta\) est UN argument du nombre complexe \(z\). On note \(\theta = \arg (z)\).
Exemple :Soit \(z=1+i\). Alors \(|z| = \sqrt{ 1^2+1^2 } = \sqrt{2}\). Ainsi, \(z = \sqrt{2} \times \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} + i \times \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)\).
On rappelle par ailleurs que \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\). On a donc \(z = \sqrt{2} \times \left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} + i \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)\).
On cherche donc un réel \(\theta\) tel que \(\cos( \theta ) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) et \(\sin(\theta)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\). Une solution est \(\theta = \dfrac{\pi}{4}\). Ainsi,
\[z = \sqrt{2}\left( \cos \left( \dfrac{\pi}{4}\right) + i\, \sin \left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right)\]
Cependant, il est également possible d’écrire
\[z = \sqrt{2}\left( \cos \left( \dfrac{9\pi}{4}\right) + i\, \sin \left(\dfrac{9\pi}{4}\right)\right)\]
Ainsi, \(\dfrac{\pi}{4}\) et \(\dfrac{9\pi}{4}\) sont des arguments de \(1+i\).
Cliquer ici pour s’entraîner : Argument d’un nombre complexe
Il existe donc une infinité d’arguments pour un nombre complexe non nul \(z\)… Néanmoins, uniquement l’un d’entre eux se trouve dans l’intervalle \(]-\pi \, ; \, \pi ]\), ce qui nous conduit à la définition suivante.
Interprétation géométrique
Soit \(z\) un nombre complexe non nul.
- Soit \(M\) le point du plan complexe d’affixe \(z\). \(\arg(z)\) est une mesure en radians de l’angle orienté entre les vecteurs \(\vec i\) et \(\overrightarrow{OM}\) (c’est-à-dire en tournant de \(\vec i\) vers \(\overrightarrow{OM}\) dans le sens trigonométrique).
- Soit \(\vec w\) un vecteur du plan d’affixe \(z\). \(\arg(z)\) est une mesure en radians de l’angle orienté entre les vecteurs \(\vec w\) et \(\overrightarrow{OM}\).
Soit \(z\) un nombre complexe.
- \(z\) est un réel positif si et seulement si \(\arg(z) \equiv 0 \, [2\pi]\).
- \(z\) est un réel négatif si et seulement si \(\arg(z) \equiv \pi \, [2\pi]\).
- \(z\) est imaginaire pur si et seulement si \(\arg(z) \equiv \dfrac{\pi}{2} \, [\pi]\).
Propriétés des arguments
- \(\arg(-z) \equiv \pi + \arg(z) \, [2\pi]\)
- \(\arg(\overline{z}) \equiv – \arg(z) \, [2\pi]\)
Soit \(z\) un nombre complexe non nul. Notons \(z=|z| \times (\cos (\theta) + i \sin(\theta))\).
- On a \(-z = |z| \times (\cos (\theta) + i \sin(\theta)) = |z| \times (-\cos (\theta) – i \sin(\theta))\). Or, \(-\cos(\theta) = \cos( \pi + \theta)\) et \(-\sin(\theta) =\sin(\pi + \theta)\).Ainsi, \(-z = |z| \times (\cos (\pi + \theta) + i \sin(\pi + \theta))\) et donc \(\arg(-z) \equiv \pi + \arg(z) \, [2\pi]\)
- On a \(\overline{z} = |z| \times (\cos (\theta) – i \sin(\theta)) \). Or, \(\cos(\theta) = \cos( – \theta)\) et \(-\sin(\theta) = \sin(-\theta)\).Ainsi, \(\overline{z} = |z| \times (\cos (- \theta) + i \sin(- \theta))\) et donc \(\arg(\overline{z}) \equiv – \arg(z) \, [2\pi]\)
Il est plus simple de visualiser graphiquement cette propriété. Prenons un point \(M\) d’affixe \(z\) non nulle.
Le point \(M’\) d’affixe \(-z\) est le symétrique du point \(M\) par rapport à l’origine : c’est l’image de la rotation d’angle \(\pi\) de centre \(O\). On ajoute donc \(\pi\) à l’argument de \(z\).
Le point \(M^{\prime\prime}\) d’affixe \(\overline{z}\) est le symétrique du point \(M\) par rapport à l’axe des abscisses : son argument est donc l’opposé de celui de \(z\).
Une propriété beaucoup plus intéressante de l’argument est son comportement vis-à-vis du produit.
zz’ &=& |zz’| \times (\cos( \theta) + i\,\sin(\theta))(\cos( \theta’) + i\,\sin(\theta’)) \\
&=& |zz’| \times (\cos(\theta)\cos(\theta’)-\sin(\theta)\sin(\theta’) + i(\sin(\theta)\cos(\theta’)+\cos(\theta)\sin(\theta’)))\end{eqnarray*}\]
On reconnaît les formules d’addition du sinus et du cosinus. Ainsi,
\[zz’ = |zz’| \times (\cos( \theta+\theta ‘) + i\,\sin(\theta + \theta ‘))\]
En particulier, on a bien \(\arg(zz’) \equiv \arg(z) + \arg(z’)\, [2\pi]\).
Angle orienté
Soit \(\vec v\) et \(\vec w\) deux vecteurs du plan complexe, d’affixes \(z_{\vec v}\) et \(z_{\vec w}\).
L’angle orienté entre \(\vec v\) et \(\vec w\), noté \((\vec v, \vec w)\), a pour mesure \(\arg(z_{\vec w}) – \arg(z_{\vec v})\).
Exemple :Soit \(\vec v\) d’affixe \(z_{\vec v} = 2\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{7}\right) + i \sin\left(\dfrac{\pi}{7}\right)\right)\) et \(\vec w\), d’affixe \(z_{\vec w} = 3\left(\cos\left(\dfrac{4\pi}{9}\right) + i \sin\left(\dfrac{4\pi}{9}\right)\right)\).
L’angle orienté \((\vec v, \vec w)\) a pour mesure \(\dfrac{4\pi}{9}-\dfrac{\pi}{7} = \dfrac{19\pi}{63}\).
Graphiquement, cela signifie que si l’on place nos deux vecteurs sur le plan complexe en prenant pour chacun d’eux la même origine que celle du repère, l’angle entre ces deux vecteurs, en partant de \(\vec v\) et en allant vers le vecteur \(\vec w\) en tournant dans le sens trigonométrique a une mesure de \(\dfrac{19\pi}{63}\) radians.
Venons-en alors au fait principal : étant donnés trois points \(A\), \(B\) et \(C\) dont on connaît les affixes, comment est-il possible de déterminer l’angle orienté \((\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})\) ?
Pour cela, il faut retrancher l’argument de \(z_{\overrightarrow{AB}}\) à celui de \(z_{\overrightarrow{AC}}\). La propriété précédente nous invite donc à étudier le quotient de ces deux affixes.
\[\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A} = \dfrac{6+5i-(2+3i)}{5+2i-(2+3i)} = \dfrac{4+2i}{3-i}\]
Mettons ce nombre sous forme algébrique
\[\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A} = \dfrac{(4+2i)(3+i)}{(3-i)(3+i)} = \dfrac{12-2+(4+6)}{10}=\dfrac{10i+10}{10}=1+i\]
Or, nous avons vu dans un précédent exemple que \(1+i = \sqrt{2}\left( \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) + i \sin \left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right)\).Ainsi, \((\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) \equiv \dfrac{\pi}{4} \,[2\pi]\).
