Produit scalaire de deux vecteurs
Projection orthogonale
Soit \(A\) un point du plan et \(\mathcal{D}\) une droite du plan.
Le projeté orthogonal du point \(A\) sur la droite \(\mathcal{D}\) est l’intersection de la droite \(\mathcal{D}\) et de la droite perpendiculaire à la droite \(\mathcal{D}\) passant par le point \(A\)
Exemple : Sur cette figure, \(H\) est le projeté orthogonal de \(M\) sur \(\mathcal{D}\)
Si le point \(A\) appartient à la droite \(\mathcal{D}\), il est son propre projeté orthogonal sur cette droite.
Produit scalaire
Soient \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) quatre points du plan, \(A\) et \(B\) étant distincts. On note \(H\) et \(K\) les projetés orthogonaux respectifs des points \(C\) et \(D\) sur la droite \((AB)\). Le produit scalaire des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) est le réel \[\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}= \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{HK} = \left\{ \begin{array}{ll}AB\times HK & \text{si } \overrightarrow{AB} \text{ et } \overrightarrow{HK} \text{ sont de même sens,}\\ -AB\times HK & \text{si } \overrightarrow{AB} \text{ et } \overrightarrow{HK} \text{ sont de sens contraires} \end{array}\right. \]
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Exemple : Dans la figure suivante, le quadrilatère \(ABCD\) est un trapèze rectangle en \(A\) et \(B\) tel que \(AB=3\).
Ainsi, \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}=- AB\times BA=-3\times 3=-9\) |
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Cela n’a rien évident avec cette définition, mais on a toujours \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{AB}\). Par ailleurs, pour tout vecteur \( \vec u\), \( \vec 0 \cdot \vec u = \vec u \cdot \vec 0 = 0\).
On remarquera notamment que le produit scalaire de deux vecteurs est un réel, et pas un vecteur !
Cliquer ici pour s’entraîner : produit scalaire et projection
Forme trigonométrique
Norme d’un vecteur
Pour tout vecteur du plan \( \vec u \), \(\vec u \cdot \vec u = ||\vec u || ^2 \)
Plutôt que de noter \(\vec u \cdot \vec u\), on notera souvent \( \vec u ^2\). Ce réel est appelé le carré scalaire du vecteur \( \vec u \).
Forme trigonométrique du produit scalaire
Soit \( \vec u\) et \( \vec v \) deux vecteurs non nuls du plan.
Soit \(A\), \(B\) et \(C\) trois points du plan tels que \( \vec u =\overrightarrow{AB}\) et \( \vec v = \overrightarrow{AC}\). Alors \[ \vec u \cdot \vec v = AB \times AC \times \cos ( \widehat{BAC} ) \]
Exemple : Soit \(A\), \(B\) et \(C\) trois points tels que \(AB=2\), \(AC=5\) et \( \widehat{BAC}= \dfrac{\pi}{4} \) radians. Alors \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos (\widehat{BAC} ) = 2 \times 5 \times \cos \left( \dfrac{\pi}{4} \right) = 10 \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}\]
| Exemple : Soit \(a\) un réel positif et \(ABC\) un triangle équilatéral de côté \(a\). Alors \[ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=||\overrightarrow{AB}||.||\overrightarrow{AC}||.\cos(\widehat{BAC})\] Or, \(||\overrightarrow{AB}||=||\overrightarrow{AC}||=a\) et \(\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{3}\). Ainsi, \(\cos(\widehat{BAC})=\dfrac{1}{2}\). Finalement, \[ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\dfrac{a^2}{2}\] |
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On aurait également pu remarquer que le projeté orthogonal du point \(C\) sur la droite \((AB)\) était le milieu du segment \([AB]\).
Cliquer ici pour s’entraîner : produit scalaire et cosinus
Orthogonalité
Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\)et \(\overrightarrow{AC}\) sont différents du vecteur nul, puisque les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont distincts.
Ainsi, \(||\overrightarrow{AB}||>0\)et \(||\overrightarrow{AC}||>0\)
On en déduit que \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0\) si et seulement si \(\cos(\widehat{BAC})=0\), c’est-à-dire que \(\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{2}\)ou \(-\dfrac{\pi}{2}\).
Propriétés du produit scalaire
Symétrie et bilinéarité
- \(\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}\)
- \(\vec{u}\cdot k\vec{v} = k(\vec{u}\cdot \vec{v})\)
Produit scalaire dans un repère orthonormé
\[\begin{array}{rcl} \vec{u}\cdot\vec{v} & = & (x\vec{i}+y\vec{j})\cdot(x’\vec{i}+y’\vec{j} )\\ &=& xx’ \vec{i}\cdot \vec{i} + xj’ \vec{i}\cdot \vec{j} + yx’ \vec{j}\cdot \vec{i} + yy’ \vec{j}\cdot \vec{j} \\ &=& xx’ ||\vec{i}||^2 + xy’ \vec{i}\cdot \vec{j} + yx’ \vec{j}\cdot \vec{i} + yy’ ||\vec{j}||^2 \end{array}\]
Or, le repère \((O;\vec{i};\vec{j})\) est orthonormé, ce qui signifie que \(||\vec{i}||=||\vec{j}||=1\) et que \(\vec{i}\cdot \vec{j}=\vec{j}\cdot \vec{i}=0\).
On retrouve donc le résultat : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = xx’+yy’ \)
Cliquer ici pour s’entraîner : Produit scalaire dans un repère orthonormé
Identités remarquables
- \((\vec{u}+\vec{v})^2=||\vec{u}||^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+||\vec{v}||^2\)
- \((\vec{u}-\vec{v})^2=||\vec{u}||^2-2\vec{u}\cdot\vec{v}+||\vec{v}||^2\)
- \((\vec{u}+\vec{v})\cdot (\vec{u}-\vec{v})=||\vec{u}||^2-||\vec{v}||^2\)
\(\begin{array}{rcl} (\vec{u}+\vec{v})^2& = & (\vec{u}+\vec{v}) \cdot (\vec{u}+\vec{v})\\ &=& \vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{u}\cdot \vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{u}+\vec{v}\cdot \vec{v}\\ &=&||\vec{u}||^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+||\vec{v}||^2\end{array}\)
\(\begin{array}{rcl} (\vec{u}-\vec{v})^2& = & (\vec{u}-\vec{v}) \cdot (\vec{u}-\vec{v})\\ &=& \vec{u}\cdot\vec{u}-\vec{u}\cdot \vec{v}-\vec{v}\cdot\vec{u}+\vec{v}\cdot \vec{v}\\ &=&||\vec{u}||^2-2\vec{u}\cdot\vec{v}+||\vec{v}||^2\end{array}\)
\(\begin{array}{rcl} (\vec{u}+\vec{v})\cdot (\vec{u}-\vec{v})&=& \vec{u}\cdot\vec{u}-\vec{u}\cdot \vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{u}-\vec{v}\cdot \vec{v}\\ &=&||\vec{u}||^2-||\vec{v}||^2\end{array}\)
- \(\vec{u} \cdot \vec{v}= \dfrac{1}{2}(||\vec{u}+\vec{v}||^2-||\vec{u}||^2-||\vec{v}||^2)\)
- \(\vec{u} \cdot \vec{v}= -\dfrac{1}{2}(||\vec{u}-\vec{v}||^2-||\vec{u}||^2-||\vec{v}||^2)\)
- \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \dfrac{1}{4}( ||\vec{u}+\vec{v}||^2-||\vec{u}-\vec{v}||^2 )\)
Cliquer ici pour s’entraîner : calcul de produit scalaire
Formule d’Al-Kashi
Dans un premier temps, il est important de faire un schéma de la situation.
On utilise d’abord le théorème d’Al-Kashi pour déterminer la longueur \(BC\) : \[BC^2=AB^2+AC^2-2 \times AB \times AC \times \cos (\widehat{BAC}) = 3^2 + 6^2 – 2 \times 3 \times 6 \times \cos(120^{\circ}) = 63\] Ainsi, \(BC = \sqrt{63}\).
Utilisons alors le théorème d’Al-Kashi en faisant intervenir l’angle \(\widehat{BCA}\) recherché. On obtient \[AB^2 = AC^2 + BC^2 – 2 \times AC \times BC \times \cos(\widehat{BCA})\] et donc \[ \cos (\widehat{BCA}) = – \dfrac{AB^2-AC^2-BC^2}{2 \times AC \times BC} = – \dfrac{-90}{12\sqrt{63}}=\dfrac{15}{2\sqrt{63}}\] En utilisant la calculatrice, on obtient \(\widehat{BCA} \simeq 19.11 ^{\circ}\).
