Produit scalaire dans le plan

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Pour aborder sereinement ce chapitre, il est conseillé de revoir la trigonométrie

Produit scalaire de deux vecteurs

Projection orthogonale

Soit \(A\) un point du plan et \(\mathcal{D}\) une droite du plan.
Le projeté orthogonal du point \(A\) sur la droite \(\mathcal{D}\) est l’intersection de la droite \(\mathcal{D}\) et de la droite perpendiculaire à la droite \(\mathcal{D}\) passant par le point \(A\)

Exemple : Sur cette figure, \(H\) est le projeté orthogonal de \(M\) sur \(\mathcal{D}\)

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Si le point \(A\) appartient à la droite \(\mathcal{D}\), il est son propre projeté orthogonal sur cette droite.

Produit scalaire

Soient \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) quatre points du plan, \(A\) et \(B\) étant distincts. On note \(H\) et \(K\) les projetés orthogonaux respectifs des points \(C\) et \(D\) sur la droite \((AB)\). Le produit scalaire des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) est le réel \[\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}= \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{HK} = \left\{ \begin{array}{ll}AB\times HK & \text{si } \overrightarrow{AB} \text{ et } \overrightarrow{HK} \text{ sont de même sens,}\\ -AB\times HK & \text{si } \overrightarrow{AB} \text{ et } \overrightarrow{HK} \text{ sont de sens contraires} \end{array}\right. \]

Exemple : Dans la figure suivante, le quadrilatère \(ABCD\) est un trapèze rectangle en \(A\) et \(B\) tel que \(AB=3\).

  • Le projeté orthogonal de \(C\) sur \((AB)\) est \(A\).
  • Le projeté orthogonal de \(D\) sur \((AB)\) est \(B\).
  • Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BA}\) sont de sens contraires.

Ainsi, \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}=- AB\times BA=-3\times 3=-9\)

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Cela n’a rien évident avec cette définition, mais on a toujours \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{AB}\). Par ailleurs, pour tout vecteur \( \vec u\), \( \vec 0 \cdot \vec u = \vec u \cdot \vec 0 = 0\).
On remarquera notamment que le produit scalaire de deux vecteurs est un réel, et pas un vecteur !

Cliquer ici pour s’entraîner : produit scalaire et projection

Forme trigonométrique

Norme d’un vecteur

Soit \(\vec{u}\) un vecteur du plan, ainsi que \(A\) et \(B\) deux points du plan tels que \(\vec{u}=\overrightarrow{AB}\). On appelle norme de \(\vec{u}\), notée \(||\vec{u}||\), la longueur \(AB\).

Pour tout vecteur du plan \( \vec u \), \(\vec u \cdot \vec u = ||\vec u || ^2 \)

Soit \( \vec u\) un vecteur. Si \( \vec u=\vec 0\), on a alors \( \vec u \cdot \vec u = 0 = ||\vec u || ^2\). Sinon, soit \(A\) et \(B\) deux points du plan tels que \( \vec u = \overrightarrow{AB}\). \(A\) et \(B\) sont leurs propres projetés orthogonaux sur la droite \( (AB)\). On a ainsi \[ \vec u \cdot \vec u = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = AB \times AB = AB^2 = ||\vec u ||^2\]

Plutôt que de noter \(\vec u \cdot \vec u\), on notera souvent \( \vec u ^2\). Ce réel est appelé le carré scalaire du vecteur \( \vec u \).

Forme trigonométrique du produit scalaire

Soit \( \vec u\) et \( \vec v \) deux vecteurs non nuls du plan.
Soit \(A\), \(B\) et \(C\) trois points du plan tels que \( \vec u =\overrightarrow{AB}\) et \( \vec v = \overrightarrow{AC}\). Alors \[ \vec u \cdot \vec v = AB \times AC \times \cos ( \widehat{BAC} ) \]

Exemple : Soit \(A\), \(B\) et \(C\) trois points tels que \(AB=2\), \(AC=5\) et \( \widehat{BAC}= \dfrac{\pi}{4} \) radians. Alors \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos (\widehat{BAC} ) = 2 \times 5 \times \cos \left( \dfrac{\pi}{4} \right) = 10 \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}\]

Exemple : Soit \(a\) un réel positif et \(ABC\) un triangle équilatéral de côté \(a\). Alors \[ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=||\overrightarrow{AB}||.||\overrightarrow{AC}||.\cos(\widehat{BAC})\] Or, \(||\overrightarrow{AB}||=||\overrightarrow{AC}||=a\) et \(\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{3}\). Ainsi, \(\cos(\widehat{BAC})=\dfrac{1}{2}\).
Finalement, \[ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\dfrac{a^2}{2}\]

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On aurait également pu remarquer que le projeté orthogonal du point \(C\) sur la droite \((AB)\) était le milieu du segment \([AB]\).

Cliquer ici pour s’entraîner : produit scalaire et cosinus

Orthogonalité

Soit \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs du plan. On dit que \(\vec{u}\)et \(\vec{v}\)sont orthogonaux lorsque \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\)
Attention ! Le produit scalaire de deux vecteurs est un réel, et pas un vecteur. Il serait malvenu d’écrire \(\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{0}\) !
Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois points distincts du plan. Alors les droites \((AB)\) et \((AC)\) sont perpendiculaire si et seulement si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont orthogonaux.
On sait que \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=||\overrightarrow{AB}||.||\overrightarrow{AC}||.\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=||\overrightarrow{AB}||.||\overrightarrow{AC}||.\cos(\widehat{BAC})\).

Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\)et \(\overrightarrow{AC}\) sont différents du vecteur nul, puisque les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont distincts.

Ainsi, \(||\overrightarrow{AB}||>0\)et \(||\overrightarrow{AC}||>0\)

On en déduit que \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0\) si et seulement si \(\cos(\widehat{BAC})=0\), c’est-à-dire que \(\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{2}\)ou \(-\dfrac{\pi}{2}\).

Propriétés du produit scalaire

Symétrie et bilinéarité

Soit \(\vec{u}\)et \(\vec{v}\) deux vecteurs du plan, alors \(\vec{u}.\vec{v}=\vec{v}.\vec{u}\)
Pour tous vecteurs \(\vec{u}\)et \(\vec{v}\): \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}||.||\vec{v}||.\cos(\vec{u},\vec{v})=||\vec{v}||.||\vec{u}||.\cos(-(\vec{v},\vec{u}))=||\vec{v}||.||\vec{u}||.\cos(\vec{v},\vec{u})=\vec{v} \cdot \vec{u}\]
Soit \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\) trois vecteurs du plan et \(k\) un réel.
  • \(\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}\)
  • \(\vec{u}\cdot k\vec{v} = k(\vec{u}\cdot \vec{v})\)
En combinant ces deux propriétés avec la propriété de symétrie, on montre par ailleurs que \((\vec{v}+\vec{w})\cdot\vec{u}=\vec{v}\cdot\vec{u}+\vec{w}\cdot\vec{u}\). On dit que le produit scalaire est bilinéaire.

Produit scalaire dans un repère orthonormé

Soit \((O;\vec{i};\vec{j})\)un repère orthonormé, \(\vec{u}\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}x’ \\ y’\end{pmatrix}\) deux vecteurs dont les coordonnées sont exprimées selon ce repère. \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = xx’+yy’ \]
On a \(\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}\) et \(\vec{v}=x’\vec{i}+y’\vec{j}\).

\[\begin{array}{rcl} \vec{u}\cdot\vec{v} & = & (x\vec{i}+y\vec{j})\cdot(x’\vec{i}+y’\vec{j} )\\ &=& xx’ \vec{i}\cdot \vec{i} + xj’ \vec{i}\cdot \vec{j} + yx’ \vec{j}\cdot \vec{i} + yy’ \vec{j}\cdot \vec{j} \\ &=& xx’ ||\vec{i}||^2 + xy’ \vec{i}\cdot \vec{j} + yx’ \vec{j}\cdot \vec{i} + yy’ ||\vec{j}||^2 \end{array}\]

Or, le repère \((O;\vec{i};\vec{j})\) est orthonormé, ce qui signifie que \(||\vec{i}||=||\vec{j}||=1\) et que \(\vec{i}\cdot \vec{j}=\vec{j}\cdot \vec{i}=0\).

On retrouve donc le résultat : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = xx’+yy’ \)
Comme on peut le voir dans la démonstration, le fait que le repère soit orthonormé est INDISPENSABLE pour utiliser cette formule
Exemple : Dans \((O;\vec{i};\vec{j})\)un repère orthonormé, on considère les vecteurs \\(\vec{u}\begin{pmatrix}4\\-6\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\). \[ \vec{u} \cdot \vec{v}=4\times 3 + (-6)\times 2=0.\] Les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont donc orthogonaux.
Cliquer ici pour s’entraîner : Produit scalaire dans un repère orthonormé

Identités remarquables

Soit \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs du plan.
  • \((\vec{u}+\vec{v})^2=||\vec{u}||^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+||\vec{v}||^2\)
  • \((\vec{u}-\vec{v})^2=||\vec{u}||^2-2\vec{u}\cdot\vec{v}+||\vec{v}||^2\)
  • \((\vec{u}+\vec{v})\cdot (\vec{u}-\vec{v})=||\vec{u}||^2-||\vec{v}||^2\)
On utilise la bilinéarité du produit scalaire.

\(\begin{array}{rcl} (\vec{u}+\vec{v})^2& = & (\vec{u}+\vec{v}) \cdot (\vec{u}+\vec{v})\\ &=& \vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{u}\cdot \vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{u}+\vec{v}\cdot \vec{v}\\ &=&||\vec{u}||^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+||\vec{v}||^2\end{array}\)

\(\begin{array}{rcl} (\vec{u}-\vec{v})^2& = & (\vec{u}-\vec{v}) \cdot (\vec{u}-\vec{v})\\ &=& \vec{u}\cdot\vec{u}-\vec{u}\cdot \vec{v}-\vec{v}\cdot\vec{u}+\vec{v}\cdot \vec{v}\\ &=&||\vec{u}||^2-2\vec{u}\cdot\vec{v}+||\vec{v}||^2\end{array}\)

\(\begin{array}{rcl} (\vec{u}+\vec{v})\cdot (\vec{u}-\vec{v})&=& \vec{u}\cdot\vec{u}-\vec{u}\cdot \vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{u}-\vec{v}\cdot \vec{v}\\ &=&||\vec{u}||^2-||\vec{v}||^2\end{array}\)
Soit \(\vec{u}\)et \(\vec{v}\) deux vecteurs du plan.
  • \(\vec{u} \cdot \vec{v}= \dfrac{1}{2}(||\vec{u}+\vec{v}||^2-||\vec{u}||^2-||\vec{v}||^2)\)
  • \(\vec{u} \cdot \vec{v}= -\dfrac{1}{2}(||\vec{u}-\vec{v}||^2-||\vec{u}||^2-||\vec{v}||^2)\)
  • \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \dfrac{1}{4}( ||\vec{u}+\vec{v}||^2-||\vec{u}-\vec{v}||^2 )\)
Soit \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs du plan. D’après la propriété précédente, on a \[||\vec{u}+\vec{v}||^2=||\vec{u}||^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+||\vec{v}||^2\] et \[||\vec{u}-\vec{v}||^2=||\vec{u}||^2-2\vec{u}\cdot\vec{v}+||\vec{v}||^2.\] En isolant \(\vec{u}\cdot \vec{v}\) dans ces deux expressions, on retrouve les deux premiers points. De plus, en soustrayant ces deux égalités, on trouve que \[||\vec{u}+\vec{v}||^2-||\vec{u}-\vec{v}||^2=4\vec{u}\cdot\vec{v}\] Il suffit de diviser par 4 pour retrouver la dernière égalité.
Exemple : Soit \(A\), \(B\)et \(C\) trois points du plan tels que \(AB=5\), \(BC=7\) et \(AC=8\). \[\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-\dfrac{1}{2}( ||\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}||^2-AB^2-AC^2)\] Or, \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}\), d’où \[\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-\dfrac{1}{2}( CB^2-AB^2-AC^2)=-\dfrac{1}{2}(7^2-5^2-8^2)=-20\]
On retrouve par ailleurs un résultat bien connu depuis le collège : \(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0\) – c’est-à-dire que le triangle \(ABC\)est rectangle en \(A\) – si et seulement si \(CB^2-AB^2-AC^2=0\), soit \(AB^2+AC^2=BC^2\).
Cliquer ici pour s’entraîner : calcul de produit scalaire

Formule d’Al-Kashi

: Soit \(ABC\)un triangle. On note \(BC=a\), \(AC=b\), \(AB=c\). \[a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\widehat{BAC})\]

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D’après la relation de Chasles, on a \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\). Ainsi, \[ \overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BC}= (\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})\cdot (\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}) \] c’est-à-dire \[ ||\overrightarrow{BC}||^2=||\overrightarrow{AC}||^2-2\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}+||\overrightarrow{AB}||^2 \] En utilisant les notations de l’énoncé, on a donc \[ a^2=b^2+c^2-2bc\cos (\widehat{BAC})\]
On considère un triangle \(ABC\) tel que \(AB =3\), \(AC = 6\) et \(\widehat{BAC}=120^{\circ}\) (ou \(\dfrac{2\pi}{3}\) radians). On souhaite déterminer une mesure de l’angle \(\widehat{BCA}\), au dixième de degré près.

Dans un premier temps, il est important de faire un schéma de la situation.

Configuration de l'exercice


On utilise d’abord le théorème d’Al-Kashi pour déterminer la longueur \(BC\) : \[BC^2=AB^2+AC^2-2 \times AB \times AC \times \cos (\widehat{BAC}) = 3^2 + 6^2 – 2 \times 3 \times 6 \times \cos(120^{\circ}) = 63\] Ainsi, \(BC = \sqrt{63}\).

Utilisons alors le théorème d’Al-Kashi en faisant intervenir l’angle \(\widehat{BCA}\) recherché. On obtient \[AB^2 = AC^2 + BC^2 – 2 \times AC \times BC \times \cos(\widehat{BCA})\] et donc \[ \cos (\widehat{BCA}) = – \dfrac{AB^2-AC^2-BC^2}{2 \times AC \times BC} = – \dfrac{-90}{12\sqrt{63}}=\dfrac{15}{2\sqrt{63}}\] En utilisant la calculatrice, on obtient \(\widehat{BCA} \simeq 19.11 ^{\circ}\).
Lorque l’angle \(\widehat{BAC}\)est un angle droit, cette formule rappelle de nouveau ce théorème bien connu déjà mentionné un peu plus haut…
Cliquer ici pour s’entraîner : utiliser le théorème d’Al-Kashi

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