1. On a
   • \(\overrightarrow{FG} = \overrightarrow{AD}\)
   • \(\overrightarrow{EK}+\overrightarrow{LF}= \overrightarrow{BJ}\)
   • \(\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{HG}+\overrightarrow{GE}=\overrightarrow{FL}\)
2. On a
   • \(\overrightarrow{AK}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{IK}\)
   • \(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AK}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{JD}\)
   • \(\overrightarrow{DL}=2\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{JE}\)
   • \(\overrightarrow{BK}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{EH}+\overrightarrow{CG}\)
3. Le point \(M\) se trouve sur le point \(H\).

• On a \(\overrightarrow{TR}=\overrightarrow{OQ}\)
• On a \(\overrightarrow{OJ}=\overrightarrow{TL}\)
• Les vecteurs \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{JI}\) et \(\overrightarrow{GE}\) sont colinéaires au vecteur \(\overrightarrow{ML}\)
• Les vecteurs \(\overrightarrow{DB}\) et \(\overrightarrow{HF}\) sont colinéaires au vecteur \(\overrightarrow{DK}\)
• Les vecteurs \(\overrightarrow{EG}\) et \(\overrightarrow{AK}\) sont coplanaires aux vecteurs \(\overrightarrow{EF}\) et \(\overrightarrow{AD}\). En effet, \(\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{EF}\).

On utilise la relation de Chasles et le fait que \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\).

On a \(\vec v + \vec w = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DS} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DS}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AS}= \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{SA}\).

• \((AB)\) et \((FG)\) sont non coplanaires
• \((AF)\) et \((IE)\) sont coplanaires et sécantes en \(A\)
• \((CD)\) et \((EB)\) sont non coplanaires
• \((DI)\) et \((EH)\) sont coplanaires et sécantes en \(J\)
• \((IB)\) et \((FA)\) sont coplanaires et sécantes en \(K\)
• \((GF)\) et \((DA)\) sont coplanaires et parallèles.

• L’intersection du plan \((EFH)\) avec le plan \((ADH)\) est la droite \((EH)\).
• Un plan parallèle au plan \((BFG)\) est le plan \((AEH)\).
• L’intersection du plan \((IFB)\) avec le plan \((HDB)\) est la droite \((FB)\).
• L’intersection du plan \((GIC)\) avec le plan \((HAD)\) est la droite \((AE)\).
• Un plan parallèle au plan \((IEB)\) est le plan \((HCG)\).

1. Les points \(I\), \(J\), \(A\) et \(D\) sont coplanaires (ils sont sur la face triangulaire de droite). Les droites \((IJ)\) et \((AD)\) sont donc coplanaires. Elles sont non parallèles et donc sécantes.
2. Les points \(I\), \(K\), \(B\) et \(D\) sont coplanaires (ils sont sur un triangle qui coupe le tétraèdre en deux). Les droites \((IK)\) et \((BD)\) sont donc coplanaires. Elles sont non parallèles et donc sécantes.
3. 

• On a \(\overrightarrow{BH} = – \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}\). Ses coordonnées dans le repère \((A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AE})\) sont donc \(\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\).
• Les coordonnées du point \(F\) dans le repère \((A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AE})\) sont \((1\,;\,0\,;\,1)\).
• On a \(\overrightarrow{BG} = 0 \overrightarrow{AC} + 0\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AH}\). Les coordonnées du point \(G\) dans le repère \((B;\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AG};\overrightarrow{AH})\) sont \((0\,;\,0\,;\,1)\)
• Les coordonnées du point \(I\), milieu de \([BG]\) dans le repère \((A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AE})\) sont \(\left(1\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}\right)\)
• Les coordonnées du point \(J\), milieu de \([FH]\) dans le repère \((A;\overrightarrow{AE};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AB})\) sont \(\left(1\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}\right)\). Attention à l’ordre des vecteurs !

1. On a \(D(2\,;\,2\,;\,0)\), \(E(1\,;\,2\,;\,0)\), \(H(1\,;\,0\,;\,1)\) et \(J(2\,;\,2\,;\,1)\) dans ce repère
2. On a \(\overrightarrow{BK}\begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{GD}\begin{pmatrix}2 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix}\) dans ce repère.

\(\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix}5-1 \\ 1-(-1) \\ 8-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 \\ 2\\ 6\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-3-1\\2-(-1)\\-1-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4 \\ 3 \\-3\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}-1-(-3) \\ 3-2 \\ 2-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}\)

\(\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{CD}\). Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires, les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles.

\(\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix}2-1\\7-3\\ 5-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 4 \\ 6\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix}5-2 \\19-7 \\-19-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 \\ 12 \\-18\end{pmatrix}\)

On a \(\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AB}\). Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires. De plus, les droites \((AB)\) et \((AC)\) ont un point en commun. Ainsi, les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.

\(\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix}3-1\\ -1-2 \\ 2-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\-3\\-1\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}0-1 \\ 1-2 \\ 1-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-1\\-2\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}5-1\\1-2\\6-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-1\\3\end{pmatrix}\).

Supposons qu’il existe des réels \(\lambda\) et \(\mu\) tels que \(\overrightarrow{AB}=\lambda \overrightarrow{AC}+\mu \overrightarrow{AD}\) On a alors

\[ \begin{pmatrix}2\\-3\\-1\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}-1\\-1\\-2\end{pmatrix}+\mu \begin{pmatrix}4\\-1\\3\end{pmatrix}\]
c’est-à-dire
\[ \begin{pmatrix}2\\-3\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\lambda+4\mu \\ -\lambda-\mu \\ -2\lambda+3\mu\end{pmatrix}\]

D’après la deuxième équation, on a \(-3=-\lambda-\mu\) et donc \(\lambda = 3-\mu\)

D’après la première équation, on a \(-\lambda +4\mu = 2\). On remplace alors \(\lambda\) par \(3-\mu\) et on a donc \(-(3-\mu)+4\mu=2\) soit \(-3+\mu+4\mu=2\) ou encore \(5\mu = 5\) et donc \(\mu=1\).

En remplaçant \(\mu\) par 1, on trouve alors \(\lambda = 3-1=2\).

On peut alors vérifier que \(\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\). Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AD}\) sont coplanaires. Les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) sont donc sur un même plan.

1. \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3-2 \\ -2-4 \\ 5-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ -6 \\ 6\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}6-2\\7-4\\-2-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\3\\1\end{pmatrix}\). Ces vecteurs ne sont pas colinéaires (on ne passe pas des coordonnées de l’un à l’autre en multipliant par un réel). Les points \(A\), \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés.
2. Le point \(I\) a pour coordonnées \(\left(\dfrac{3+6}{2} ; \dfrac{-2+7}{2}; \dfrac{5+(-2)}{2}\right)\) soit \(\left(\dfrac{9}{2};\dfrac{5}{2};\dfrac{3}{2}\right)\).
3. Notons \((x;y;z)\) les coordonnées du point \(J\). Les coordonnées de \(\overrightarrow{AJ}\) sont \(\begin{pmatrix}x-2\\y-4\\z+1\end{pmatrix}\). Les coordonnées de \(2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}\) sont \(\begin{pmatrix}2\times 1 + 4\\2\times (-6)+3\\2\times 6 + 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\-9\\13\end{pmatrix}\). On a alors
   • \(x-2=6\) d’où \(x=8\)
   • \(y-4=-9\) d’où \(y=-5\)
   • \(z+1=13\) d’où \(z=12\)

   Les coordonnées du point \(J\) sont \((8;-5;12)\).

4. Notons \((x;y;z)\) les coordonnées du point \(K\). Le milieu de \([AK]\) a pour coordonnées \(\left( \dfrac{2+x}{2} ; \dfrac{4+y}{2} ; \dfrac{-1+z}{2}\right)\). Puisqu’il doit s’agir du point \(C(6;7;-2)\), on a donc
   • \(\dfrac{2+x}{2}=6\) soit \(x=10\)
   • \(\dfrac{4+y}{2}=7\) d’où \(y=10\)
   • \(\dfrac{-1+z}{2}=-2\) d’où \(z=-3\)

   Les coordonnées de \(K\) sont donc \((10;10;-3)\).

1. \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-2\\-1\\0\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-1 \\ -2 \\ 1\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}-2 \\ -2 \\ 3\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AE}\begin{pmatrix}-3\\ 2\\ 0\end{pmatrix}\).
2. Cette question revient à déterminer si ces trois vecteurs sont coplanaires. Supposons qu’il existe deux réels \(\lambda\) et \(\mu\) tels que \(\overrightarrow{AB}=\lambda \overrightarrow{AC}+\mu \overrightarrow{AD}\). En utilisant les coordonnées, on a alors \(\begin{pmatrix}-2\\-1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\lambda-2\mu\\-2\lambda-2\mu\\\lambda+3\mu\end{pmatrix}\)
• En utilisant la troisième égalité, on a \(0=\lambda+3\mu\) et donc \(\lambda=-3\mu\)
• En remplaçant \(\lambda\) par \(-3\mu\) dans la première équation, on a alors \(-2=3\mu-2\mu\) soit \(-2=\mu\)
• En remplaçant \(\mu\) par \(-2\) on a \(\lambda = -3\times(-2)=6\)
• Vérifions les coordonnées de \(\lambda \overrightarrow{AC}+\mu \overrightarrow{AD}\) avec \(\lambda=6\) et \(\mu=-2\). On obtient

  \[\begin{pmatrix}-6-2\times(-2)\\-2\times 6-2 \times (-2)\\6+3\times (-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-8\\0\end{pmatrix}\]

  ce qui n’est pas le vecteur \(\overrightarrow{AB}\). Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AD}\) ne sont pas coplanaires, ils forment donc une base de l’espace.

3. Puisque les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AD}\) forment une base de l’espace, il existe un unique triplet de rééls \((x,y,z)\) tels que \(\overrightarrow{AE}= x \overrightarrow{AB}+y \overrightarrow{AC}+z \overrightarrow{AD}\). Ces réels sont les coordonnées du point \(E\) dans le repère \((A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})\). En utilisant les coordonnées des vecteurs, on a alors

   \[ \begin{pmatrix}-3 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2x-y-2z\\-x-2y-2z\\y+3z\end{pmatrix}\]

   • En utilisant la dernière ligne, on a \(y+3z=0\) et donc \(y=-3z\).
   • En remplaçant \(y\) par \(-3z\) dans la deuxième équation, on obtient \(2=-x-2\times(-3z)-2z\) soit \(2=-x+6z-2z\) c’est-à-dire \(2=-x+4z\). On a donc \(x=-2+4z\)
   • En remplaçant \(y\) par \(-3z\) et \(x\) par \(-2+4z\) dans la première équation, on obtient \(-3=-2x-y-2z\) soit
     \(-3=-2(-2+4z)-(-3)z-2z\) soit \(-3=4-8z+3z-2z\) et donc \(-7=-7z\) ou encore \(z=1\)

   • Puisque \(y=-3z\), on a \(y=-3\)
   • Puisque \(x=-2+4z\), \(x=-2+4=2\)

   On calcule alors les coordonnées de \(2 \overrightarrow{AB}-3 \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\). Elles valent

   \[\begin{pmatrix}-2 \times 2-(-3)-2 \times 1\\-2-2\times (-3)-2 \times 1\\-3+3\times 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\2\\0\end{pmatrix}\]
   qui sont bien les coordonnées de \(\overrightarrow{AE}\) dans le repère d’origine. Ainsi, \(\overrightarrow{AE}= 2\overrightarrow{AB}+-3 \overrightarrow{AC}+ \overrightarrow{AD}\). Les coordonnées de \(E\) dans le repère \((A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})\) sont donc \((2;-3;1)\)

La droite passant par le point \(A(2;5;-3)\) et dirigée par le vecteur \(\vec{u}\begin{pmatrix}3\\2\\-3\end{pmatrix}\) admet pour représentation paramétrique \(\left\{ \begin{array}{l}x=2+3t \\ y=5+2t \\ z = -3-3t \\\end{array}\right., t \in \mathbb{R}\)

Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) a pour coordonnées \(\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}\). Une représentation paramétrique de la droite \((AB)\) est donc \(\left\{ \begin{array}{l}x=1+t \\ y=3+2t\\ z = -2-2t \\\end{array}\right., t \in \mathbb{R}\).

1. Le point \(A\) appartient à la droite \(\Delta\) si et seulement s’il existe un réel \(t\) tel que \[\left\{\begin{array}{l} 1 = 5 -4t \\ 2 = 1+6t \\ z = 7+2t \end{array}\right.\]
   La première ligne donne alors \(t=1\). Mais si \(t=1\), alors la deuxième ligne donne \(2=7\). Ainsi, un tel réel \(t\) n’existe pas : le point \(A\) n’appartient pas à la droite \((AB)\).
2. Un vecteur directeur de la droite \((AB)\) est le vecteur \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2\\-3\\-1\end{pmatrix}\). Un vecteur directeur de \(\Delta\) est le vecteur \(\vec u \begin{pmatrix}-4\\6\\2\end{pmatrix}\). On a \(\vec u = -2 \overrightarrow{AB}\). Les vecteurs \(\vec u\) et \(\overrightarrow{AB}\) sont donc colinéaires : les droites \((AB)\) et \(\Delta\) sont donc parallèles.

A venir !

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