Exercices corrigés : Vecteurs, droites et plans de l’espace

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Vecteurs de l’espace

On considère deux cubes \(ABCDEFGH\) et \(BIJCFLKG\) placés côte à côte.

  1. Compléter les égalités de vecteurs suivantes :
    • \(\overrightarrow{FG} = \overrightarrow{A\ldots}\)
    • \(\overrightarrow{EK}+\overrightarrow{LF}= \overrightarrow{B\ldots}\)
    • \(\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{HK}+\overrightarrow{GE}=\overrightarrow{F\ldots}\)
  2. En utilisant la même figure, exprimer…
    • … le vecteur \(\overrightarrow{AK}\) comme combinaison linéaire des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{IK}\).
    • … le vecteur \(\overrightarrow{AG}\) comme combinaison linéaire des vecteurs \(\overrightarrow{AK}\) et \(\overrightarrow{JD}\).
    • … le vecteur \(\overrightarrow{DL}\) comme combinaison linéaire des vecteurs \(\overrightarrow{AI}\) et \(\overrightarrow{JE}\)
    • … le vecteur \(\overrightarrow{BK}\) comme combinaison linéaire des vecteurs \(\overrightarrow{AI}\), \(\overrightarrow{EH}\) et \(\overrightarrow{CG}\)
  3. Sur la même figure, où se trouve le point \(M\) tel que \(\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{CK}\) ?
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  1. On a
    • \(\overrightarrow{FG} = \overrightarrow{AD}\)
    • \(\overrightarrow{EK}+\overrightarrow{LF}= \overrightarrow{BJ}\)
    • \(\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{HG}+\overrightarrow{GE}=\overrightarrow{FL}\)
  2. On a
    • \(\overrightarrow{AK}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{IK}\)
    • \(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AK}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{JD}\)
    • \(\overrightarrow{DL}=2\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{JE}\)
    • \(\overrightarrow{BK}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{EH}+\overrightarrow{CG}\)
  3. Le point \(M\) se trouve sur le point \(H\).
On considère un cube \(ABCDEFGH\) sur lequel on a placé les milieux des arêtes ainsi que le centre de la face ABCD.

Donner…

  • Un vecteur égal au vecteur \(\overrightarrow{TR}\)
  • Un vecteur égal au vecteur \(\overrightarrow{OJ}\)
  • Trois vecteurs colinéaires au vecteur \(\overrightarrow{ML}\)
  • Deux vecteurs colinéaires à \(\overrightarrow{DK}\)
  • Deux vecteurs coplanaires à \(\overrightarrow{EF}\) et \(\overrightarrow{AD}\)
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  • On a \(\overrightarrow{TR}=\overrightarrow{OQ}\)
  • On a \(\overrightarrow{OJ}=\overrightarrow{TL}\)
  • Les vecteurs \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{JI}\) et \(\overrightarrow{GE}\) sont colinéaires au vecteur \(\overrightarrow{ML}\)
  • Les vecteurs \(\overrightarrow{DB}\) et \(\overrightarrow{HF}\) sont colinéaires au vecteur \(\overrightarrow{DK}\)
  • Les vecteurs \(\overrightarrow{EG}\) et \(\overrightarrow{AK}\) sont coplanaires aux vecteurs \(\overrightarrow{EF}\) et \(\overrightarrow{AD}\). En effet, \(\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{EF}\).
On considère une pyramide \(SABCD\) à base carrée \(ABCD\) et de sommet \(S\).

On considère les vecteurs \(\vec u = \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{SA}\), \(\vec v = \overrightarrow{AB}\) et \(\vec w = 2\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DS}\). Montrer que \(\vec u = \vec v + \vec w\).

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On utilise la relation de Chasles et le fait que \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\).

On a \(\vec v + \vec w = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DS} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DS}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AS}= \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{SA}\).

Position relative

On considère le \(ABCDEFGH\), ainsi qu’un point \(I\) sur le segment \([AE]\).

Dans chacun des cas suivants, dire si les droites sont coplanaires ou non. Si oui, préciser si elles sont parallèles ou sécantes. Lorsqu’elles sont sécantes, construire le point d’intersection de ces droites.

\((AB)\) et \((FG)\) \((AF)\) et \((IE)\)
\((CD)\) et \((EB)\) \((DI)\) et \((EH)\)
\((IB)\) et \((FA)\) \((GF)\) et \((DA)\)
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  • \((AB)\) et \((FG)\) sont non coplanaires
  • \((AF)\) et \((IE)\) sont coplanaires et sécantes en \(A\)
  • \((CD)\) et \((EB)\) sont non coplanaires
  • \((DI)\) et \((EH)\) sont coplanaires et sécantes en \(J\)
  • \((IB)\) et \((FA)\) sont coplanaires et sécantes en \(K\)
  • \((GF)\) et \((DA)\) sont coplanaires et parallèles.
On considère un cube \(ABCDEFGH\), ainsi qu’un point \(I\) sur le segment \([AE]\).

Déterminer…

  • … l’intersection du plan \((EFH)\) avec le plan \((ADH)\).
  • … un plan parallèle au plan \((BFG)\).
  • … l’intersection du plan \((IFB)\) avec le plan \((HDB)\).
  • … l’intersection du plan \((GIC)\) avec le plan \((HAD)\).
  • … un plan parallèle au plan \((IEB)\)
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  • L’intersection du plan \((EFH)\) avec le plan \((ADH)\) est la droite \((EH)\).
  • Un plan parallèle au plan \((BFG)\) est le plan \((AEH)\).
  • L’intersection du plan \((IFB)\) avec le plan \((HDB)\) est la droite \((FB)\).
  • L’intersection du plan \((GIC)\) avec le plan \((HAD)\) est la droite \((AE)\).
  • Un plan parallèle au plan \((IEB)\) est le plan \((HCG)\).
On considère une pyramide \(SABCD\) de sommet \(S\) et de base carrée. On place un point \(I\) sur \([DS]\), un point \(J\) sur \([AS]\) et un point \(K\) sur \([BS]\) de telle sorte que les droites \((IJ)\) et \((AD)\) ne sont pas parallèles, de même que les droites \((IK)\) et \((BD)\)

  1. Justifier que les droites \((IJ)\) et \((AD)\) sont sécantes et construire leur point d’intersection.
  2. Justifier que les droites \((IK)\) et \((BD)\) sont sécantes et construire leur point d’intersection.
  3. Construire alors l’intersection des plans \((ABD)\) et \((IJK)\).
  4. Sans justifier la construction, vérifier que l’intersection des droites \((JK)\) et \((BD)\) se trouve sur cette droite.
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  1. Les points \(I\), \(J\), \(A\) et \(D\) sont coplanaires (ils sont sur la face triangulaire de droite). Les droites \((IJ)\) et \((AD)\) sont donc coplanaires. Elles sont non parallèles et donc sécantes.
  2. Les points \(I\), \(K\), \(B\) et \(D\) sont coplanaires (ils sont sur un triangle qui coupe le tétraèdre en deux). Les droites \((IK)\) et \((BD)\) sont donc coplanaires. Elles sont non parallèles et donc sécantes.

Repère de l’espace

Dans le cube \(ABCDEFGH\) ci-dessous, donner…

  • … les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{BH}\) dans le repère \((A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AE})\).
  • … les coordonnées du point \(F\) dans le repère \((A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AE})\)
  • … les coordonnées du point \(G\) dans le repère \((B;\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AG};\overrightarrow{AH})\).
  • … les coordonnées du point \(I\), milieu de \([BG]\) dans le repère \((A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AE})\).
  • … les coordonnées du point \(J\), milieu de \([FH]\) dans le repère \((A;\overrightarrow{AE};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AB})\).
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  • On a \(\overrightarrow{BH} = – \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}\). Ses coordonnées dans le repère \((A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AE})\) sont donc \(\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\).
  • Les coordonnées du point \(F\) dans le repère \((A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AE})\) sont \((1\,;\,0\,;\,1)\).
  • On a \(\overrightarrow{BG} = 0 \overrightarrow{AC} + 0\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AH}\). Les coordonnées du point \(G\) dans le repère \((B;\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AG};\overrightarrow{AH})\) sont \((0\,;\,0\,;\,1)\)
  • Les coordonnées du point \(I\), milieu de \([BG]\) dans le repère \((A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AE})\) sont \(\left(1\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}\right)\)
  • Les coordonnées du point \(J\), milieu de \([FH]\) dans le repère \((A;\overrightarrow{AE};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AB})\) sont \(\left(1\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}\right)\). Attention à l’ordre des vecteurs !
On considère un prisme droit \(ABCDEFGHIJKL\) dont la base est un hexagone régulier \(ABCDEFGH\).

On se place dans le repère \((A; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AF},\overrightarrow{AG})\).

  1. Donner les coordonnées des points \(D\), \(E\), \(H\) et \(J\) dans ce repère
  2. Donner les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{BK}\) et \(\overrightarrow{GD}\) dans ce repère.
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  1. On a \(D(2\,;\,2\,;\,0)\), \(E(1\,;\,2\,;\,0)\), \(H(1\,;\,0\,;\,1)\) et \(J(2\,;\,2\,;\,1)\) dans ce repère
  2. On a \(\overrightarrow{BK}\begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{GD}\begin{pmatrix}2 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix}\) dans ce repère.
On se place dans un repère de l’espace \((O;\vec i, \vec j, \vec k)\). On considère les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) de coordonnées respectives \(A(1;-1;2)\), \(B(5;1;8)\), \(C(-3;2;-1)\) et \(D(-1;3;2)\).

  1. Déterminer les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{CD}\).
  2. Que peut-on en déduire sur les droites \((AB)\) et \((CD)\) ?
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\(\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix}5-1 \\ 1-(-1) \\ 8-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 \\ 2\\ 6\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-3-2\\2-(-1)\\-1-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5 \\ 3 \\-3\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}-1-(-3) \\ 3-2 \\ 2-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}\)

\(\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{CD}\). Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires, les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles.

On se place dans un repère de l’espace \((O;\vec i, \vec j, \vec k)\). On considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) de coordonnées respectives \(A(1;3;5)\), \(B(2;7;-1)\) et \(C(5;19;-19)\)

  1. Déterminer les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\)
  2. En déduire que les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.
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\(\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix}2-1\\7-3\\ 5-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 4 \\ 6\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix}5-2 \\19-7 \\-19-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 \\ 12 \\-18\end{pmatrix}\)

On a \(\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AB}\). Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires. De plus, les droites \((AB)\) et \((AC)\) ont un point en commun. Ainsi, les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.

On se place dans un repère de l’espace \((O;\vec i, \vec j, \vec k)\). On considère les points \(A(1;2;3)\), \(B(3;-1;2)\), \(C(0;1;1)\) et \(D(5;1;6)\).

  1. Déterminer les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AD}\).
  2. Montrer que ces trois vecteurs sont coplanaires. Que peut-on en déduire pour les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) ?
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\(\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix}3-1\\ -1-2 \\ 2-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\-3\\-1\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}0-1 \\ 1-2 \\ 1-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-1\\-2\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}5-1\\1-2\\6-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-1\\3\end{pmatrix}\).

Supposons qu’il existe des réels \(\lambda\) et \(\mu\) tels que \(\overrightarrow{AB}=\lambda \overrightarrow{AC}+\mu \overrightarrow{AD}\) On a alors

\[ \begin{pmatrix}2\\-3\\-1\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}-1\\-1\\-2\end{pmatrix}+\mu \begin{pmatrix}4\\-1\\3\end{pmatrix}\]
c’est-à-dire
\[ \begin{pmatrix}2\\-3\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\lambda+4\mu \\ -\lambda-\mu \\ -2\lambda+3\mu\end{pmatrix}\]

D’après la deuxième équation, on a \(-3=-\lambda-\mu\) et donc \(\lambda = 3-\mu\)

D’après la première équation, on a \(-\lambda +4\mu = 2\). On remplace alors \(\lambda\) par \(3-\mu\) et on a donc \(-(3-\mu)+4\mu=2\) soit \(-3+\mu+4\mu=2\) ou encore \(5\mu = 5\) et donc \(\mu=1\).

En remplaçant \(\mu\) par 1, on trouve alors \(\lambda = 3-1=2\).

On peut alors vérifier que \(\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\). Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AD}\) sont coplanaires. Les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) sont donc sur un même plan.

On se place dans un repère de l’espace \((O;\vec i, \vec j, \vec k)\). On considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) de coordonnées respectives \(A(2;4;-1)\), \(B(3;-2;5)\) et \(C(6;7;-2)\).

  1. Montrer que les points \(A\), \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés.
  2. Déterminer les coordonnées du point \(I\), milieu de \([BC]\)
  3. Déterminer les coordonnées du point \(J\) tel que \(\overrightarrow{AJ}=2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}\).
  4. Déterminer les coordonnées du point \(K\) tel que \(C\) soit le milieu de \([AK]\)
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  1. \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3-2 \\ -2-4 \\ 5-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ -6 \\ 6\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}6-2\\7-4\\-2-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\3\\1\end{pmatrix}\). Ces vecteurs ne sont pas colinéaires (on ne passe pas des coordonnées de l’un à l’autre en multipliant par un réel). Les points \(A\), \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés.
  2. Le point \(I\) a pour coordonnées \(\left(\dfrac{3+6}{2} ; \dfrac{-2+7}{2}; \dfrac{5+(-2)}{2}\right)\) soit \(\left(\dfrac{9}{2};\dfrac{5}{2};\dfrac{3}{2}\right)\).
  3. Notons \((x;y;z)\) les coordonnées du point \(J\). Les coordonnées de \(\overrightarrow{AJ}\) sont \(\begin{pmatrix}x-2\\y-4\\z+1\end{pmatrix}\). Les coordonnées de \(2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}\) sont \(\begin{pmatrix}2\times 1 + 4\\2\times (-6)+3\\2\times 6 + 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\-9\\13\end{pmatrix}\). On a alors
    • \(x-2=6\) d’où \(x=8\)
    • \(y-4=-9\) d’où \(y=-5\)
    • \(z+1=13\) d’où \(z=12\)

    Les coordonnées du point \(J\) sont \((8;-5;12)\).

  4. Notons \((x;y;z)\) les coordonnées du point \(K\). Le milieu de \([AK]\) a pour coordonnées \(\left( \dfrac{2+x}{2} ; \dfrac{4+y}{2} ; \dfrac{-1+z}{2}\right)\). Puisqu’il doit s’agir du point \(C(6;7;-2)\), on a donc
    • \(\dfrac{2+x}{2}=6\) soit \(x=10\)
    • \(\dfrac{4+y}{2}=7\) d’où \(y=10\)
    • \(\dfrac{-1+z}{2}=-2\) d’où \(z=-3\)

    Les coordonnées de \(K\) sont donc \((10;10;-3)\).

On se place dans un repère de l’espace \((O;\vec i, \vec j, \vec k)\). On considère les points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) et \(E\) de coordonnées respectives \(A(2;2;0)\), \(B(0;1;0)\), \(C(1;0;1)\), \(D(0;0;3)\) et \(E(-1;4;0)\).

  1. Calculer les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{AE}\)
  2. Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AD}\) forment-ils une base de l’espace ?
  3. Donner les coordonnées du point \(E\) dans le repère \((A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})\).
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  1. \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-2\\-1\\0\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-1 \\ -2 \\ 1\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}-2 \\ -2 \\ 3\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AE}\begin{pmatrix}-3\\ 2\\ 0\end{pmatrix}\).
  2. Cette question revient à déterminer si ces trois vecteurs sont coplanaires. Supposons qu’il existe deux réels \(\lambda\) et \(\mu\) tels que \(\overrightarrow{AB}=\lambda \overrightarrow{AC}+\mu \overrightarrow{AD}\). En utilisant les coordonnées, on a alors \(\begin{pmatrix}-2\\-1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\lambda-2\mu\\-2\lambda-2\mu\\\lambda+3\mu\end{pmatrix}\)
    • En utilisant la troisième égalité, on a \(0=\lambda+3\mu\) et donc \(\lambda=-3\mu\)
    • En remplaçant \(\lambda\) par \(-3\mu\) dans la première équation, on a alors \(-2=3\mu-2\mu\) soit \(-2=\mu\)
    • En remplaçant \(\mu\) par \(-2\) on a \(\lambda = -3\times(-2)=6\)
    • Vérifions les coordonnées de \(\lambda \overrightarrow{AC}+\mu \overrightarrow{AD}\) avec \(\lambda=6\) et \(\mu=-2\). On obtient

      \[\begin{pmatrix}-6-2\times(-2)\\-2\times 6-2 \times (-2)\\6+3\times (-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-8\\0\end{pmatrix}\]

      ce qui n’est pas le vecteur \(\overrightarrow{AB}\). Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AD}\) ne sont pas coplanaires, ils forment donc une base de l’espace.

  3. Puisque les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AD}\) forment une base de l’espace, il existe un unique triplet de rééls \((x,y,z)\) tels que \(\overrightarrow{AE}= x \overrightarrow{AB}+y \overrightarrow{AC}+z \overrightarrow{AD}\). Ces réels sont les coordonnées du point \(E\) dans le repère \((A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})\). En utilisant les coordonnées des vecteurs, on a alors

    \[ \begin{pmatrix}-3 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2x-y-2z\\-x-2y-2z\\y+3z\end{pmatrix}\]

    • En utilisant la dernière ligne, on a \(y+3z=0\) et donc \(y=-3z\).
    • En remplaçant \(y\) par \(-3z\) dans la deuxième équation, on obtient \(2=-x-2\times(-3z)-2z\) soit \(2=-x+6z-2z\) c’est-à-dire \(2=-x+4z\). On a donc \(x=-2+4z\)
    • En remplaçant \(y\) par \(-3z\) et \(x\) par \(-2+4z\) dans la première équation, on obtient \(-3=-2x-y-2z\) soit
      \(-3=-2(-2+4z)-(-3)z-2z\) soit \(-3=4-8z+3z-2z\) et donc \(-7=-7z\) ou encore \(z=1\)

    • Puisque \(y=-3z\), on a \(y=-3\)
    • Puisque \(x=-2+4z\), \(x=-2+4=2\)

    On calcule alors les coordonnées de \(2 \overrightarrow{AB}-3 \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\). Elles valent

    \[\begin{pmatrix}-2 \times 2-(-3)-2 \times 1\\-2-2\times (-3)-2 \times 1\\-3+3\times 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\2\\0\end{pmatrix}\]
    qui sont bien les coordonnées de \(\overrightarrow{AE}\) dans le repère d’origine. Ainsi, \(\overrightarrow{AE}= 2\overrightarrow{AB}+-3 \overrightarrow{AC}+ \overrightarrow{AD}\). Les coordonnées de \(E\) dans le repère \((A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})\) sont donc \((2;-3;1)\)

Représentation paramétrique de droite

Donner une représentation paramétrique de la droite passant par le point \(A(2;5;-3)\) et dirigée par le vecteur \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}3\\2\\-3\end{pmatrix}\)
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La droite passant par le point \(A(2;5;-3)\) et dirigée par le vecteur \(\vec{u}\begin{pmatrix}3\\2\\-3\end{pmatrix}\) admet pour représentation paramétrique \(\left\{ \begin{array}{l}x=2+3t \\ y=5+2t \\ z = -3-3t \\\end{array}\right., t \in \mathbb{R}\)

On considère les points \(A(1;3,-2)\) et \(B(2;5;-4)\). Donner une représentation paramétrique de la droite \((AB)\).
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Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) a pour coordonnées \(\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}\). Une représentation paramétrique de la droite \((AB)\) est donc \(\left\{ \begin{array}{l}x=1+t \\ y=3+2t\\ z = -2-2t \\\end{array}\right., t \in \mathbb{R}\).

On considère les points \(A(1;2;7)\) et \(B(3;-1;6)\) ainsi que la droite \(\Delta\) admettant pour représentation paramétrique \[ \Delta : \left\{\begin{array}{l} x = 5 -4t \\ y = 1+6t \\ z = -3+2t \end{array}\right. , t\in \mathbb{R}\]

  1. Le point \(A\) appartient-il à la droite \(\Delta\) ?
  2. Les droites \((AB)\) et \(\Delta\) sont-elles parallèles ?
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On considère les droites \((d_1)\) et \((d_2)\) admettant pour représentations paramétriques

\[ (d_1) : \left\{\begin{array}{l} x = -5 +2t \\ y = 11-3t \\ z = 11-2t \end{array}\right. , t\in \mathbb{R} \qquad \text{et}\qquad (d_2) : \left\{\begin{array}{l} x = 7 -4t’ \\ y = 1-2t’ \\ z = -2+5t’ \end{array}\right. , t’\in \mathbb{R}\]
Montrer que les droites \((d_1)\) et \((d_2)\) sont sécantes en un point dont on donnera les coordonnées.

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On se place dans un cube \(ABCDEFGH\). On considère le point \(I\), milieu de \([EF]\), le point \(J\) tel que \(\overrightarrow{BJ}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BF}\) et le point \(K\) tel que \(\overrightarrow{CK}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CG}\). L’espace est muni du repère \((A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AE})\)

  1. Montrer que les droites \((IJ)\) et \((AB)\) sont sécantes. On note \(M\) leur point d’intersection
  2. A l’aide de deux autres droites sécantes, construire sur la figure ci-dessus, en justifiant la construction, l’intersection des plans \((ABC)\) et \((IJK)\)
  3. On considère le point \(L\) de coordonnées \(\left(\dfrac{5}{9};1;1\right)\)
    1. Sur quelle arête se situe le point \(L\) ?
    2. Montrer que les points \(I\), \(J\), \(K\) et \(L\) sont coplanaires.
    3. En déduire que les droites \((IK)\) et \((LJ)\) sont sécantes.
    4. Donner une équation paramétrique de ces deux droites et déterminer les coordonnées de leur point d’intersection.
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Spécialité Maths – Amérique du Nord 2021

On considère un cube \(ABCDEFGH\). Le point \(I\) est le milieu du segment \([EF]\), le point \(J\) est le milieu du segment \([BC]\) et le point \(K\) est le milieu du segment \([AE]\).

  1. Les droites \((AI)\) et \((KH)\) sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.

Dans la suite, on se place dans le repère orthonormé \((A ; \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AD}; \overrightarrow{AE})\).

  1. Donner les coordonnées des points \(I\) et \(J\).
  2. Montrer que les vecteurs \(\overrightarrow{IJ}\), \(\overrightarrow{AE}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont coplanaires.

On considère les droites \((d_1)\) et \((d_2)\) définies par les représentations paramétriques ci-dessous.

\[ (d_1) : \left\{\begin{array}{l} x = 3+t \\ y = 8-2t\\ z = -2+3t
\end{array}\right. , t\in \mathbb{R} \quad \text{et} \quad (d_2) : \left\{\begin{array}{l} x = 4+t \\ y = 1+t \\ z = 8+2t
\end{array}\right. , t\in \mathbb{R}\]

  1. Les droites \((d_1)\) et \((d_2)\) sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.
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