Vecteurs, droites et plans de l’espace

Vecteurs de l’espace

Un vecteur de l’espace est un objet mathématique caractérisé par une direction de l’espace, un sens et une longueur, également appelée norme.
Deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction, la même norme et le même sens.
Soit \(\vec u\) un vecteur de l’espace. On appelle translation de vecteur \(\vec u\) la transformation de l’espace qui, à tout point \(M\), associe l’unique point \(M’\) tel que \(\vec u = \overrightarrow{MM’}\).

Toutes les notions vues en géométrie plane sur les vecteurs s’étendent dans l’espace : égalité de vecteurs, somme de vecteurs, produit d’un réel par un vecteur, relation de Chasles, vecteur nul, etc…

Soit \(\vec u_1\), \( \vec u_2\), \(\ldots\), \(\vec u_n\) des vecteurs et \(\lambda_1\), \(\lambda_2\), \(\ldots\), \(\lambda_n\) des réels.
Le vecteur \(\vec u = \lambda_1 \vec u_1 + \lambda_2 \vec u_2 + \ldots + \lambda_n \vec u_n = \sum_{i=1}^n \lambda_i \vec u_i\) est appelé combinaison linéaire des vecteurs \(\vec u_1\), \(\vec u_2\), \(\ldots\), \(\vec u_n\).
Exemple : On considère deux cubes \(ABCDEFGH\) et \(BIJCFLKG\) placés côte à côte.

On a les égalités de vecteurs suivantes

  • \(\overrightarrow{EH} = \overrightarrow{IJ}\)
  • \(\overrightarrow{HG}+\overrightarrow{KI}= \overrightarrow{HB}\)
  • \(\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{KB}+2\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{EI}\)

Droites et plans de l’espace

Droites de l’espace

Soit \(\vec u\) et \(\vec v\) deux vecteurs de l’espace.
On dit que \(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires s’il existe un nombre réel \(\lambda\) tel que \(\vec u = \lambda \vec v\) ou \(\vec v = \lambda \vec u\).
Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur de l’espace.
Soit \(\vec u\) un vecteur non nul et \(A\) un point de l’espace. La droite de vecteur directeur \(\vec u\) passant par \(A\) est l’ensemble des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{AM}\) et \(\vec u\) sont colinéaires.

Une droite est donc entièrement déterminée par un point et un vecteur non nul. On dit que \((A ; \vec u)\) est un repère de la droite passant par \(A\) dirigée par \(\vec u\). Une droite peut également être déterminée par deux points distincts.

Deux droites de l’espace de vecteurs directeurs respectifs \(\vec u\) et \(\vec v\) sont parallèles si et seulement si \(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires.
Soit \(A\), \(B\) et \(C\) trois points de l’espace. Les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.

Plans de l’espace

Soit \(\vec u\) et \(\vec v\) deux vecteurs non colinéaires et \(A\) un point du plan.

Le plan passant par \(A\) et dirigé par les vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) est l’ensemble des points \(M\) pour lesquels le vecteur \(\overrightarrow{AM}\) s’exprime comme une combinaison linéaire des vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\).

Autrement dit, \(M\) appartient au plan passant par \(A\), dirigé par \(\vec u\) et \(\vec v\) si et seulement s’il existe deux réels \(\lambda\) et \(\mu\) tels que
\[ \overrightarrow{AM}= \lambda \vec u + \mu \vec v \]
On dit que \((A ; \vec u, \vec v)\) est un repère de ce plan.

Cette définition implique que par trois points non alignés de l’espace passe un unique plan.

Soit \(\vec u\), \(\vec v\) et \(\vec w\) trois vecteurs de l’espace tels que \(\vec v\) et \(\vec w\) ne sont pas colinéaires.
On dit que \(\vec u\), \(\vec v\) et \(\vec w\) sont coplanaires s’il existe deux réels \(\lambda\) et \(\mu\) tels que \(\vec u = \lambda \vec v+ \mu \vec w\).
Exemple : Sur la configuration suivante…

Les vecteurs \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{EL}\) et \(\overrightarrow{FG}\) sont coplanaires. En effet, \(\overrightarrow{EL}=2\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{FG}\).

Soit \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) quatre points de l’espace. On dit que \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) sont coplanaires s’il existe un plan de l’espace passant par ces quatre points.
Soit \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) quatre points de l’espace. Les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) sont coplanaires si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AD}\) sont coplanaires.
Exemple : On considère un cube \(ABCDEFGH\) ainsi que les points \(I\), \(J\), \(K\) et \(L\), milieux respectifs des segments \([AB]\), \([AE]\), \([CG]\) et \([EH]\).

  • D’après la relation de Chasles, \(\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EH}\). Or, \(J\) étant le milieu de \([AE]\), on a \(\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{JE}\). De même, \(\overrightarrow{EH}=2\overrightarrow{EL}\). Ainsi, \(\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{JE}+2\overrightarrow{EL}=2\overrightarrow{JL}\). Les vecteurs \(\overrightarrow{AH}\) et \(\overrightarrow{JL}\) sont colinéaires.
    Les droites \((AH)\) et \((JL)\) sont donc parallèles.

  • De la même manière, on montre que \(\overrightarrow{EB}=2\overrightarrow{JI}\).
  • On a \(\overrightarrow{JK}=\overrightarrow{EG}\) D’après la relation de Chasles, on a donc \(\overrightarrow{JK}=\overrightarrow{EH}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{EH}+\overrightarrow{EB}\). En utilisant les points précédents, on a donc que \(\overrightarrow{JK}=2\overrightarrow{JL}+2\overrightarrow{JI}\). Les vecteurs \(\overrightarrow{JK}\), \(\overrightarrow{JI}\) et \(\overrightarrow{JL}\) sont donc coplanaires. Les points \(I\), \(J\), \(K\) et \(L\) sont donc coplanaires : ces quatre points appartiennent à un même plan.

Positions relatives

Positions relatives de deux droites

Soit \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) quatre points distincts de l’espace. Les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont dites coplanaires si les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) sont coplanaires.
Autrement dit, il existe un plan qui contiennent les droites \((AB)\) et \((CD)\).
Deux droites de l’espace coplanaires sont…

  • parallèles ou confondues si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires,
  • sécantes en un unique point sinon.

    Exemple : On considère un cube \(ABCDEFGH\) ainsi qu’un point \(I\) sur le segment \([BF]\).

  • Les droites \((AB)\) et \((EF)\) sont parallèles.
  • Les droites \((AB)\) et \((CG)\) ne sont pas coplanaires.
  • Les droites \((HI)\) et \([BD]\) sont coplanaires mais pas parallèles : elles sont donc sécantes.

Positions relatives d’une droite et d’un plan

Une droite est…

  • parallèle ou contenue dans un plan si tout vecteur de la droite est aussi un vecteur directeur du plan,
  • sécante au plan en un unique point sinon.
Droite sécante à un plan Droite parallèle à un plan

Positions relatives de deux plans

Deux plans de l’espace sont…

  • parallèles ou confondus si les vecteurs directeurs de l’un sont aussi directeurs de l’autre,
  • sécants sinon. L’intersection de ces deux plans est alors une droite.
Plans sécants selon une droite Plans parallèles
Il suffit donc de connaître deux points d’intersection \(A\) et \(B\) de deux plans pour déterminer toute leur intersection qui n’est autre que la droite \((AB)\).
Exemple : On considère le cube \(ABCDEFGH\) suivant ainsi que trois points : \(I\) sur le segment \([BF]\), \(J\) sur le segment \([CG]\) et \(K\) sur le segment \([AE]\) de telles sorte que les droites \((IK)\) et \((AB)\) sont sécantes en un point \(T\). et que les droites \((IJ)\) et \((BC)\) sont sécantes en un point \(S\).

  • Puisque la droite \((IJ)\) est dans le plan \((IJK)\) et la droite \((BC)\) est dans le plan \((ABC)\), le point d’intersection de ces deux droites se trouve dans l’intersection des plans \((ABC)\) et \((IJK)\).
  • Puisque la droite \((IK)\) est dans le plan \((IJK)\) et la droite \((AB)\) est dans le plan \((ABC)\), le point d’intersection de ces deux droites se trouve dans l’intersection des plans \((ABC)\) et \((IJK)\).
  • L’intersection de deux plans sécants étant une droite, l’intersection des plans \((ABC)\) et \((IJK)\) est la droite \((ST)\).

Pour montrer que deux plans \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{P}’\) sont parallèles, il suffit de trouver deux droites sécantes non confondues \((d_1)\) et \((d_2)\) de \(\mathcal{P}\) et deux droites sécantes non confondues \((\delta_1)\) et \((\delta_2)\) de \(\mathcal{P}’\) telles que \((d_1)\) est parallèle à \((\delta_1)\) et \((d_2)\) est parallèle à \((\delta_2)\).

Repère de l’espace

Un repère de l’espace est un quadruplet \((O;\vec i , \vec j , \vec k)\) où

  • \(O\) est un point de l’espace
  • \(\vec i\), \(\vec j\) et \(\vec k\) sont des vecteurs non coplanaires.

On dit que les vecteurs \(\vec i\), \(\vec j\) et \(\vec k\) forment une base de l’espace.

Soit \(\vec u\) un vecteur de l’espace et \((O;\vec i , \vec j , \vec k)\) un repère de l’espace. Il existe un unique triplet de réel \((x;y;z)\) tel que
\[ \vec u = x \vec i + y \vec j + z \vec k \]
\(x\), \(y\) et \(z\) sont appelés les coordonnées du vecteur \(\vec u\). On notera \(\vec u \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\).
Exemple : On considère deux cubes \(ABCDEFGH\) et \(BIJCFLKG\) placés côte à côte.

Les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AG}\) dans le repère \((A;\overrightarrow{AI}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE})\) sont \(\begin{pmatrix}0,5\\1\\ 1 \end{pmatrix}\).

On a en effet \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}\).

Soit \(M\) un point de l’espace et \((O;\vec i , \vec j ,\vec k)\) un repère de l’espace. Les coordonnées du point \(M\) sont les réels \((x;y;z)\) tels que le vecteur \(\overrightarrow{OM}\) a pour coordonnées \(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\). On notera \(M(x;y;z)\).
Exemple : Dans la figure précédente, dans le repère \((A;\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AE})\) le point \(K\) a pour coordonnées \((1,1,1)\).

On a en effet \(\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AE}\)

Dans un repère \((O;\vec i , \vec j , \vec k)\), on considère les vecteurs \(\vec u \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\) et \(\vec v \begin{pmatrix}x’\\y’\\z’\end{pmatrix}\). Soit \(\lambda\) et \(\mu\) des réels.

Le vecteur \(\lambda \vec u + \mu \vec v\) a pour coordonnées \(\begin{pmatrix}\lambda x + \mu x’\\ \lambda y + \mu y’\\ \lambda z + \mu z’ \end{pmatrix}\)

Exemple : On se place dans un repère de l’espace \((O;\vec i, \vec j, \vec k)\). Les vecteurs \(\vec u \begin{pmatrix}2\\5\\-3\end{pmatrix}\) et \(\vec v\begin{pmatrix}-6\\-15\\9\end{pmatrix}\) sont colinéaires. En effet, \(\vec v = -3\vec u\).
Exemple : Dans le repère \((O;\vec i , \vec j , \vec k)\), on considère les vecteurs \(\vec u \begin{pmatrix}0\\6\\3\end{pmatrix}\), \(\vec v \begin{pmatrix}2\\4\\-7\end{pmatrix}\) et \(\vec w \begin{pmatrix}-1\\1\\5\end{pmatrix}\). Les vecteurs \(\vec u\), \(\vec v\) et \(\vec w\) sont-ils coplanaires ?

Supposons qu’il existe deux réels \(\lambda\) et \(\mu\) tels que \(\vec u = \lambda v + \mu w\). Alors \(\begin{pmatrix}0\\6\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\lambda – \mu \\ 4\lambda + \mu \\ -7\lambda + 5\mu \end{pmatrix} \)

Nous sommes donc amenés à résoudre le système \(\left\{\begin{array}{lll} 2\lambda – \mu & =&0 \\
4 \lambda + \mu &=& 6 \\
-7 \lambda + 5\mu &=& 3 \end{array}\right.\)

  • D’après la première ligne, on a \( \mu=2\lambda \).
  • Remplaçons \(\mu\) par \(2\lambda\) dans la deuxième ligne. On a alors \(4\lambda+2\lambda=6\) soit \(6\lambda=6\) et \(\lambda =1\)
  • Puisque \( \mu=2\lambda \), on a alors \(\mu=2\)

Il faut maintenant vérifier que les valeurs trouvées pour \(\lambda\) et \(\mu\) conviennent ! En effet, nous n’avons utilisé que deux des trois équations. Il se peut que les valeurs trouvées ne conviennent pas pour la troisième de ces équations.

Les coordonnées de \(\vec v + 2 \vec w\) sont en effet \(\begin{pmatrix}2 + 2 \times (-1) \\ 4 + 2 \times 1 \\ -7 + 2 \times 5\end{pmatrix}\) soit \(\begin{pmatrix}0\\6\\3\end{pmatrix}\). On a donc \(\vec u = \vec v + 2 \vec w\). Les vecteurs \(\vec u\), \(\vec v\) et \(\vec w\) sont donc coplanaires.

Dans un repère \((O;\vec i , \vec j , \vec k)\), on considère les points \(A(x_A;y_A;z_A)\) et \(B(x_B;y_B;z_B)\).

  • Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) a pour coordonnées \(\begin{pmatrix}x_B-x_A \\y_B-y_A \\z_B-z_A\end{pmatrix}\).
  • Le point \(I\), milieu de \([AB]\), a pour coordonnées \(\left( \dfrac{x_A+x_B}{2} ; \dfrac{y_A+y_B}{2} ; \dfrac{z_A+z_B}{2} \right)\).

Encore une fois, tout se passe comme dans le plan…

Représentation paramétrique de droite

L’espace est muni d’un repère \((O,\vec i, \vec j, \vec k)\).

Soit \(A (x_A,y_A,z_A)\) un point de l’espace et \(\vec u \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\) un vecteur non nul de l’espace.

On note \((d)\) la droite passant par le point \(A\) et dirigée par \(\vec u\).

Un point \(M(x,y,z)\) appartient à la droite \((d)\) si et seulement s’il existe un réel \(t\) tel que
\[ \left\{ \begin{array}{l}x=x_A+ta \\ y=y_A+tb \\ z = z_A + tc \end{array}\right.\]

Le point \(M\) appartient à la droite \((d)\) si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{AM}\) et \(\vec u\) sont colinéaires. Puisque \(\vec u\) est non nul, cela revient à dire qu’il existe un réel \(t\) tel que \(\overrightarrow{AM}=t \vec u\).

Ainsi, \(\begin{pmatrix}x-x_A\\y-y_A\\z-z_A\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}ta\\tb\\tc\end{pmatrix}\) ou encore \(\left\{ \begin{array}{l}x=x_A+ta \\ y=y_A+tb \\ z = z_A + tc \end{array}\right.\)

Soit \(A (x_A,y_A,z_A)\) un point de l’espace, \(\vec u \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\) un vecteur non nul de l’espace et \((d)\) la droite passant par le point \(A\) et dirigée par \(\vec u\).

Le système \[ \left\{ \begin{array}{l}x=x_A+ta \\ y=y_A+tb \\ z = z_A + tc \end{array}\right.,\,t\in\mathbb{R}\] est appelé représentation paramétrique de la droite \((d)\).

Exemple : La droite passant par le point \(A(2;1;3)\) et dirigée par le vecteur \(\vec u \begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\) admet pour représentation paramétrique \[ \left\{ \begin{array}{l}x=2+t \\ y=1-3t \\ z = 3+2t \end{array}\right., t \in \mathbb{R}\]
Exemple : On considère la droite admettant pour représentation paramétrique \[ \left\{ \begin{array}{l}x=5-2t \\ y=8-4t \\ z =3+t \end{array}\right., t \in \mathbb{R}\]
Cette droite passe par le point \(A(5,8,3)\) et est dirigée par le vecteur \(\vec u \begin{pmatrix}-2\\-4\\1\end{pmatrix}\).
En prenant \(t=2\), on obtient que cette droite passe par le point de coordonnées \((1,0,5)\).