Vecteurs de l’espace
Deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction, la même norme et le même sens.
Toutes les notions vues en géométrie plane sur les vecteurs s’étendent dans l’espace : égalité de vecteurs, somme de vecteurs, produit d’un réel par un vecteur, relation de Chasles, vecteur nul, etc…
Le vecteur \(\vec u = \lambda_1 \vec u_1 + \lambda_2 \vec u_2 + \ldots + \lambda_n \vec u_n = \sum_{i=1}^n \lambda_i \vec u_i\) est appelé combinaison linéaire des vecteurs \(\vec u_1\), \(\vec u_2\), \(\ldots\), \(\vec u_n\).
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On a les égalités de vecteurs suivantes
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Droites et plans de l’espace
Droites de l’espace
On dit que \(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires s’il existe un nombre réel \(\lambda\) tel que \(\vec u = \lambda \vec v\) ou \(\vec v = \lambda \vec u\).
Une droite est donc entièrement déterminée par un point et un vecteur non nul. On dit que \((A ; \vec u)\) est un repère de la droite passant par \(A\) dirigée par \(\vec u\). Une droite peut également être déterminée par deux points distincts.
Plans de l’espace
Soit \(\vec u\) et \(\vec v\) deux vecteurs non colinéaires et \(A\) un point du plan.
Le plan passant par \(A\) et dirigé par les vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) est l’ensemble des points \(M\) pour lesquels le vecteur \(\overrightarrow{AM}\) s’exprime comme une combinaison linéaire des vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\).
Autrement dit, \(M\) appartient au plan passant par \(A\), dirigé par \(\vec u\) et \(\vec v\) si et seulement s’il existe deux réels \(\lambda\) et \(\mu\) tels que
\[ \overrightarrow{AM}= \lambda \vec u + \mu \vec v \]
On dit que \((A ; \vec u, \vec v)\) est un repère de ce plan.
Cette définition implique que par trois points non alignés de l’espace passe un unique plan.
On dit que \(\vec u\), \(\vec v\) et \(\vec w\) sont coplanaires s’il existe deux réels \(\lambda\) et \(\mu\) tels que \(\vec u = \lambda \vec v+ \mu \vec w\).
Les vecteurs \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{EL}\) et \(\overrightarrow{FG}\) sont coplanaires. En effet, \(\overrightarrow{EL}=2\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{FG}\).
Cliquer ici pour s’entraîner : vecteurs coplanaires dans un cube
Exemple : On considère un cube \(ABCDEFGH\) ainsi que les points \(I\), \(J\), \(K\) et \(L\), milieux respectifs des segments \([AB]\), \([AE]\), \([CG]\) et \([EH]\).
- D’après la relation de Chasles, \(\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EH}\). Or, \(J\) étant le milieu de \([AE]\), on a \(\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{JE}\). De même, \(\overrightarrow{EH}=2\overrightarrow{EL}\). Ainsi, \(\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{JE}+2\overrightarrow{EL}=2\overrightarrow{JL}\). Les vecteurs \(\overrightarrow{AH}\) et \(\overrightarrow{JL}\) sont colinéaires.
Les droites \((AH)\) et \((JL)\) sont donc parallèles. - De la même manière, on montre que \(\overrightarrow{EB}=2\overrightarrow{JI}\).
- On a \(\overrightarrow{JK}=\overrightarrow{EG}\) D’après la relation de Chasles, on a donc \(\overrightarrow{JK}=\overrightarrow{EH}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{EH}+\overrightarrow{EB}\). En utilisant les points précédents, on a donc que \(\overrightarrow{JK}=2\overrightarrow{JL}+2\overrightarrow{JI}\). Les vecteurs \(\overrightarrow{JK}\), \(\overrightarrow{JI}\) et \(\overrightarrow{JL}\) sont donc coplanaires. Les points \(I\), \(J\), \(K\) et \(L\) sont donc coplanaires : ces quatre points appartiennent à un même plan.
Positions relatives
Positions relatives de deux droites
Autrement dit, il existe un plan qui contiennent les droites \((AB)\) et \((CD)\).
Deux droites de l’espace coplanaires sont…
- parallèles ou confondues si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires,
- sécantes en un unique point sinon.
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Exemple : On considère un cube \(ABCDEFGH\) ainsi qu’un point \(I\) sur le segment \([BF]\).
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Cliquer pour s’entraîner : droites coplanaires dans un cube
Positions relatives d’une droite et d’un plan
Une droite est…
- parallèle ou contenue dans un plan si tout vecteur de la droite est aussi un vecteur directeur du plan,
- sécante au plan en un unique point sinon.
| Droite sécante à un plan | Droite parallèle à un plan |
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Positions relatives de deux plans
Deux plans de l’espace sont…
- parallèles ou confondus si les vecteurs directeurs de l’un sont aussi directeurs de l’autre,
- sécants sinon. L’intersection de ces deux plans est alors une droite.
| Plans sécants selon une droite | Plans parallèles |
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- Puisque la droite \((IJ)\) est dans le plan \((IJK)\) et la droite \((BC)\) est dans le plan \((ABC)\), le point d’intersection de ces deux droites se trouve dans l’intersection des plans \((ABC)\) et \((IJK)\).
- Puisque la droite \((IK)\) est dans le plan \((IJK)\) et la droite \((AB)\) est dans le plan \((ABC)\), le point d’intersection de ces deux droites se trouve dans l’intersection des plans \((ABC)\) et \((IJK)\).
- L’intersection de deux plans sécants étant une droite, l’intersection des plans \((ABC)\) et \((IJK)\) est la droite \((ST)\).
Repère de l’espace
Un repère de l’espace est un quadruplet \((O;\vec i , \vec j , \vec k)\) où
- \(O\) est un point de l’espace
- \(\vec i\), \(\vec j\) et \(\vec k\) sont des vecteurs non coplanaires.
On dit que les vecteurs \(\vec i\), \(\vec j\) et \(\vec k\) forment une base de l’espace.
\[ \vec u = x \vec i + y \vec j + z \vec k \]
\(x\), \(y\) et \(z\) sont appelés les coordonnées du vecteur \(\vec u\). On notera \(\vec u \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\).
Les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AG}\) dans le repère \((A;\overrightarrow{AI}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE})\) sont \(\begin{pmatrix}0,5\\1\\ 1 \end{pmatrix}\).
On a en effet \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}\).
On a en effet \(\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AE}\)
Cliquer ici pour s’entraîner : Coordonnées dans un cube
Dans un repère \((O;\vec i , \vec j , \vec k)\), on considère les points \(A(x_A;y_A;z_A)\) et \(B(x_B;y_B;z_B)\).
- Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) a pour coordonnées \(\begin{pmatrix}x_B-x_A \\y_B-y_A \\z_B-z_A\end{pmatrix}\).
- Le point \(I\), milieu de \([AB]\), a pour coordonnées \(\left( \dfrac{x_A+x_B}{2} ; \dfrac{y_A+y_B}{2} ; \dfrac{z_A+z_B}{2} \right)\).
Encore une fois, tout se passe comme dans le plan…
Cliquer ici pour s’entraîner : coordonnées d’un vecteur de l’espace
Dans un repère \((O;\vec i , \vec j , \vec k)\), on considère les vecteurs \(\vec u \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\) et \(\vec v \begin{pmatrix}x’\\y’\\z’\end{pmatrix}\). Soit \(\lambda\) et \(\mu\) des réels.
Le vecteur \(\lambda \vec u + \mu \vec v\) a pour coordonnées \(\begin{pmatrix}\lambda x + \mu x’\\ \lambda y + \mu y’\\ \lambda z + \mu z’ \end{pmatrix}\)
Cliquer ici pour s’entraîner : Alignement de points
Cliquer ici pour s’entraîner : colinéarité et alignement avec coordonnées
Exemple : Dans le repère \((O;\vec i , \vec j , \vec k)\), on considère les vecteurs \(\vec u \begin{pmatrix}0\\6\\3\end{pmatrix}\), \(\vec v \begin{pmatrix}2\\4\\-7\end{pmatrix}\) et \(\vec w \begin{pmatrix}-1\\1\\5\end{pmatrix}\). Les vecteurs \(\vec u\), \(\vec v\) et \(\vec w\) sont-ils coplanaires ?
Supposons qu’il existe deux réels \(\lambda\) et \(\mu\) tels que \(\vec u = \lambda v + \mu w\). Alors \(\begin{pmatrix}0\\6\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\lambda – \mu \\ 4\lambda + \mu \\ -7\lambda + 5\mu \end{pmatrix} \)
Nous sommes donc amenés à résoudre le système \(\left\{\begin{array}{lll} 2\lambda – \mu & =&0 \\
4 \lambda + \mu &=& 6 \\
-7 \lambda + 5\mu &=& 3 \end{array}\right.\)
- D’après la première ligne, on a \( \mu=2\lambda \).
- Remplaçons \(\mu\) par \(2\lambda\) dans la deuxième ligne. On a alors \(4\lambda+2\lambda=6\) soit \(6\lambda=6\) et \(\lambda =1\)
- Puisque \( \mu=2\lambda \), on a alors \(\mu=2\)
Il faut maintenant vérifier que les valeurs trouvées pour \(\lambda\) et \(\mu\) conviennent ! En effet, nous n’avons utilisé que deux des trois équations. Il se peut que les valeurs trouvées ne conviennent pas pour la troisième de ces équations.
Les coordonnées de \(\vec v + 2 \vec w\) sont en effet \(\begin{pmatrix}2 + 2 \times (-1) \\ 4 + 2 \times 1 \\ -7 + 2 \times 5\end{pmatrix}\) soit \(\begin{pmatrix}0\\6\\3\end{pmatrix}\). On a donc \(\vec u = \vec v + 2 \vec w\). Les vecteurs \(\vec u\), \(\vec v\) et \(\vec w\) sont donc coplanaires.
Cliquer ici pour s’entraîner : Vecteurs coplanaires et coordonnées
Représentation paramétrique de droite
L’espace est muni d’un repère \((O,\vec i, \vec j, \vec k)\).
Soit \(A (x_A,y_A,z_A)\) un point de l’espace et \(\vec u \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\) un vecteur non nul de l’espace.
On note \((d)\) la droite passant par le point \(A\) et dirigée par \(\vec u\).
Un point \(M(x,y,z)\) appartient à la droite \((d)\) si et seulement s’il existe un réel \(t\) tel que
\[ \left\{ \begin{array}{l}x=x_A+ta \\ y=y_A+tb \\ z = z_A + tc \end{array}\right.\]
Le point \(M\) appartient à la droite \((d)\) si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{AM}\) et \(\vec u\) sont colinéaires. Puisque \(\vec u\) est non nul, cela revient à dire qu’il existe un réel \(t\) tel que \(\overrightarrow{AM}=t \vec u\).
Ainsi, \(\begin{pmatrix}x-x_A\\y-y_A\\z-z_A\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}ta\\tb\\tc\end{pmatrix}\) ou encore \(\left\{ \begin{array}{l}x=x_A+ta \\ y=y_A+tb \\ z = z_A + tc \end{array}\right.\)
Soit \(A (x_A,y_A,z_A)\) un point de l’espace, \(\vec u \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\) un vecteur non nul de l’espace et \((d)\) la droite passant par le point \(A\) et dirigée par \(\vec u\).
Le système \[ \left\{ \begin{array}{l}x=x_A+ta \\ y=y_A+tb \\ z = z_A + tc \end{array}\right.,\,t\in\mathbb{R}\] est appelé représentation paramétrique de la droite \((d)\).
Cette droite passe par le point \(A(5,8,3)\) et est dirigée par le vecteur \(\vec u \begin{pmatrix}-2\\-4\\1\end{pmatrix}\).
En prenant \(t=2\), on obtient que cette droite passe par le point de coordonnées \((1,0,5)\).