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Dans tout ce chapitre, on note \(\Omega\) l’univers non vide d’une expérience aléatoire. Le caractère \(\mathbb{P}\) signifie « Probabilité ».
On rappelle que pour deux événements \(A\) et \(B\) de \(\Omega\), l’événement \(A \cap B\) est l’événement qui est réalisé si et seulement si « à la fois \(A\) et \(B\) sont réalisés ».
De plus, l’événement \(\bar{A}\), appelé contraire de \(A\), est réalisé si et seulement si \(A\) ne l’est pas.
Notion de probabilité conditionnelle
Soit \(A\) et \(B\) deux événements tels que \(\mathbb{P}(A)\neq 0\). On appelle probabilité conditionnelle de \(B\) sachant \(A\), la quantité \[ \mathbb{P}_A(B)=\dfrac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(A)}\]
Exemple : On considère l’univers \(\Omega = \{ 1;2;3;4;5;6\}\). On tire un nombre uniformément au hasard sur \(\Omega\). On considère les événements
- \(A\) : le nombre est pair
- \(B\) : le nombre est supérieur ou égal à 3
Puisque l’on est en situation d’équiprobabilité, on a alors \(\mathbb{P}(A)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\), \(\mathbb{P}(B)=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}\).
Par ailleurs, \(A\cap B = \{4;6\}\). Ainsi, \(\mathbb{P}(A \cap B) = \dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\).
Appliquant la définition, on trouve donc
\[ \mathbb{P}_A(B)=\dfrac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(A)}=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{2}{3}\quad
\text{et}
\quad \mathbb{P}_B(A)=\dfrac{\mathbb{P}(B\cap A)}{\mathbb{P}(B)}=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{1}{2}\]
Cette probabilité s’interprète comme la probabilité de l’événement \(B\) sachant que l’événement \(A\) est réalise.
Exemple : Dans l’exemple précédent, la probabilité \(\mathbb{P}_A(B)\) correspondant à la probabilité que le nombre soit supérieur ou égal à 3 sachant qu’il est pair.
- Puisque l’on sait qu’il est pair, les seules possibilités sont 2, 4 et 6.
- Il y a équiprobabilité, la probabilité que le nombre soit supérieur ou égal à 3 sachant qu’il est pair est donc \(\dfrac{2}{3}\)
Soit \(A\) et \(B\) deux événements tels que \(\mathbb{P}(A)\neq 0\).
- \(0 \leqslant \mathbb{P}_A (B) \leqslant 1\)
- \(\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}_A(B) \times \mathbb{P}(A)\)
- \(\mathbb{P}_A(B) +\mathbb{P}_A(\overline{B}) =1\)
Exemple : On note \(A\) et \(B\) deux événements tels que \(\mathbb{P}(A)=\dfrac{1}{10}\) et \(\mathbb{P}_A(B)=\dfrac{2}{3}\). On a alors :
- \(\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}_A(B) \times \mathbb{P}(A) =\dfrac{1}{10}\times \dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{15}\)
- \(\mathbb{P}_A(\overline{B})=1-\mathbb{P}_A(B) = 1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}\)
Indépendance
Soit \(A\) et \(B\) deux événements de \(\Omega\).
On dit que \(A\) et \(B\) sont indépendants lorsque \(\mathbb{P}(A\cap B) = \mathbb{P}(A) \times \mathbb{P}(B)\)
Exemple : On choisit un nombre uniformément au hasard sur \(\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}\). On considère les événements :
- \(A\) : le nombre obtenu est pair
- \(B\) : le nombre obtenu est supérieur ou égal à 5
L’événement \(A\cap B\) est donc « le nombre obtenu est pair ET est supérieur ou égal à 5 ». Puisque l’on est en situation d’équiprobabilité, on a alors :
- \(\mathbb{P}(A)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\)
- \(\mathbb{P}(B)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\)
- \(\mathbb{P}(A \cap B)=\dfrac{1}{6}\)
On a bien \(\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A) \times \mathbb{P}(B)\). Les événements \(A\) et \(B\) sont indépendants.
Soit \(A\) et \(B\) deux événements tels que \(\mathbb{P}(A)\neq 0\).
\(A\) et \(B\) sont indépendants si et seulement si \(\mathbb{P}_A(B)=\mathbb{P}(B)\)
Démonstration : Supposons que \(A\) et \(B\) sont indépendants. Alors, \[\mathbb{P}_A(B)=\dfrac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(A)}=\dfrac{\mathbb{P}(A) \times \mathbb{P}(B)}{\mathbb{P}(A)}=\mathbb{P}(B)\] Réciproquement, supposons que \(\mathbb{P}_A(B)=\mathbb{P}(B)\). Alors, \(\dfrac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(A)}=\mathbb{P}(B)\) d’où \(\mathbb{P}(A\cap B) = \mathbb{P}(A) \mathbb{P}(B)\). Les événements \(A\) et \(B\) sont donc indépendants.
Cela revient à dire que les informations obtenues sur l’événement \(A\) n’apportent aucune information sur la réalisation ou non de l’événement \(B\).
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Arbre pondéré
Construction d’un arbre
Exemple : On considère une succession de deux expériences aléatoires dont l’arbre pondéré associé est représentée ci-dessous.
Règle de la somme : Dans un arbre pondéré, la somme des probabilités issues d’un noeud est égale à 1.
- Sur cet arbre, on voit que \(\mathbb{P}(A)=0.3\) et \(\mathbb{P}(C)=0.6\).
- Puisque la somme des probabilités issues d’une branche vaut 1, on a \(\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)+\mathbb{P}(C)=1\), soit \(\mathbb{P}(B)=0.1$\).
- La probabilité conditionnelle \(\mathbb{P}_A(D)\) se lit sur la branche qui relie \(A\) à \(D\).
Ainsi, \(\mathbb{P}_A(D)=0.8\). - La somme des probabilités issues du noeud \(C\) doit valoir 1.
On a donc \(\mathbb{P}_C(D)+\mathbb{P}_C(E)+\mathbb{P}_C(F)=1\). Ainsi, \(\mathbb{P}_C(D)=0.3\).
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Règle du produit : Dans un arbre pondéré, la probabilité d’une issue est égale au produit des probabilités rencontrées sur le chemin aboutissant à cette issue.
Exemple : Pour obtenir l’issue \(A\cap D\), on passe par les sommets \(A\) puis \(D\).
On a alors \(\mathbb{P}(A\cap D)=0.3 \times 0.8=0.24\).
Cette règle traduit la relation \(\mathbb{P}(A \cap D)= \mathbb{P}(A) \times \mathbb{P}_A(D)\)
Formule des probabilités totales
Soit \(\Omega\) l’univers d’une expérience aléatoires.
On dit que les événements \(A_1\), \(A_2\), …, \(A_n\) forment une partition de \(\Omega\) lorsque :
- les ensembles \(A_1\), \(A_2\), …, \(A_n\) sont non vides ;
- les ensembles \(A_1\), \(A_2\), …, \(A_n\) sont deux à deux disjoints ;
- \(A_1\cup A_2\cup \ldots \cup A_n = \Omega \)
Exemple : On considère \(\Omega = \{1;2;3;4;5;6;7;8\}\) ainsi que les événements \(A_1=\{1;3\}\), \(A_2=\{2;4;5;6;7\}\) et \(A_3=\{8\}\).
- Ces trois événements sont bien non vides ;
- Ils sont deux à deux disjoints – aucune issue n’apparaît dans deux événements différents ;
- Leur union vaut \(\Omega\) – toute issue apparaît dans au moins un de ces trois événements.
\(A_1\), \(A_2\) et \(A_3\) forment donc une partition de \(\Omega\).
Dans le cadre des probabilités, on parle également de système complet d’événements.
(Formule des probabilités totales) On considère un événement \(B\) et une partition \(A_1\), \(A_2\), …, \(A_n\) de l’univers \(\Omega\). Alors, \[ \mathbb{P}(B)=\mathbb{P}(B \cap A_1) + \mathbb{P}(B \cap A_2) + \ldots + \mathbb{P}(B \cap A_n) = \sum_{i=1}^{n} \mathbb{P}(B\cap A_i)\] De manière, équivalent, on a \[ \mathbb{P}(B)=\mathbb{P}_{A_1}(B)\mathbb{P}(A_1) + \mathbb{P}_{A_2}(B)\mathbb{P}(A_1) + \ldots + \mathbb{P}_{A_n}(B)\mathbb{P}(A_n) = \sum_{i=1}^{n} \mathbb{P}_{A_i}(B)\mathbb{P}(A_i)\]
Exemple : On reprend l’exemple de la partie précédente. On souhaite calculer la probabilité \(\mathbb{P}(D)\). Pour cela, on regarde l’ensemble des branches qui contiennent l’événement \(D\).
- \(A\), \(B\) et \(C\) forment une partition de \(\Omega\).
- On a \(\mathbb{P}(D)=\mathbb{P}(A\cap D) + \mathbb{P}(B\cap D) + \mathbb{P}(C\cap D)\). De plus,
- \(\mathbb{P}(A\cap D)=\mathbb{P}_A(D) \times \mathbb{P}(A)= 0.8 \times 0.3 = 0.24\)
- \(\mathbb{P}(B\cap D)=\mathbb{P}_B(D) \times \mathbb{P}(B)= 0.4 \times 0.1 = 0.04\)
- \(\mathbb{P}(C\cap D)=\mathbb{P}_C(D) \times \mathbb{P}(C)= 0.6 \times 0.3 = 0.18\)
- Ainsi, \(\mathbb{P}(D)=0.24+0.04+0.18=0.46\).
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