Loi binomiale

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Répétition d’épreuves indépendantes

Soit $n$ un entier naturel. On considère $n$ épreuves aléatoires dont les univers sont respectivement $\Omega_1$, $\Omega_2$, … , $\Omega_n$.

L’univers $\Omega$ de la succession de ces $n$ épreuves est le produit cartésien $\Omega_1 \times \Omega_2 \times \dots \times \Omega_n$.

Les issues de cette succession d’expériences sont les $n$-uplets $(i_1\, ;\, i_2\,;\,\dots\,;\,i_n)$ de $\Omega_1 \times \Omega_2 \times \dots \times \Omega_n$.

Exemple : On lance 2 fois un dé à 6 faces, numérotées de $1$ à $6$ et on regarde à chaque fois le numéro obtenu. L’univers de cette expérience est $\{1;2;3;4;5;6\}^2$. L’issue $(1\,;\,3)$ signifie que l’on a obtenu 1 au premier lancer et 3 au deuxième.

Soit $n$ un entier naturel. On considère $n$ épreuves aléatoires dont les univers sont respectivement $\Omega_1$, $\Omega_2$, … , $\Omega_n$, de lois respectives $\mathbb{P}_1$, $\mathbb{P}_2$, … , $\mathbb{P}_n$.

Les épreuves sont dites mutuellement indépendantes (ou tout simplement indépendantes) si, pour toute issue $(i_1,i_2,…,i_n)$ de $\Omega_1 \times \Omega_2 \times \dots \times \Omega_n$.
\[ \mathbb{P}((i_1,i_2,…,i_n))=\mathbb{P}_1(i_1) \times \mathbb{P}_2(i_2) \times \dots \times \mathbb{P}_n(i_n)\]
La probabilité d’une issue est égale au produit des probabilités.

Exemple : M. Lapeyronnie a décidé de faire un petit contrôle surprise à ses élèves. Il place les noms des élèves de la classe dans une urne et une liste d’exercices dans une autre.

Il y a 29 élèves dans la classe. Parmi eux, 12 suivent l’option Maths expertes.
L’urne des exercices en contient 40 : 20 sur les fonctions, 15 sur les suites et 5 sur la géométrie.

M. Lapeyronnie tire alors simultanément, de manière indépendante, un nom d’élève et un exercice.

La probabilité qu’il s’agisse d’un élève suivant l’option Maths expertes est de $\dfrac{12}{29}$.
La probabilité de tirer un exercice de géométrie est de $\dfrac{5}{40}=\dfrac{1}{8}$.
On modélise le tirage d’un exercice et d’un élève par une succession de deux épreuves indépendantes. Ainsi, la probabilité qu’un élève suivant l’option Maths Expertes soit envoyé au tableau faire un exercice de géométrie est donc de $\dfrac{12}{29} \times \dfrac{1}{8} = \dfrac{3}{58}$

Si l’on essaie de représenter une succession d’épreuves indépendantes sous la forme d’un arbre de probabilités, on place alors toujours le même sous-arbre à chaque noeud d’un étage fixé. De plus, cet arbre peut être construit « dans un sens comme dans l’autre ».

Exemple : Les arbres suivants traduisent la succession des deux épreuves précédentes.

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Cliquer ici pour s’entraîner : Planche de Galton

Epreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire dont l’univers ne comporte que deux issues : le succès $S$ et l’échec $\overline{S}$. On note $p$ la probabilité de succès, aussi appelé paramètre de l’épreuve de Bernoulli. La probabilité d’échec vaut donc $1-p$.

Une variable aléatoire $X$ sur cet univers suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$ si $\mathbb{P}(X=1)=p$ et $\mathbb{P}(X=0)=1-p$. On écrit $X \sim \mathcal{B}(p)$.

$\textbf{Epreuve de Bernoulli}\\ \renewcommand{\arraystretch}{1.2} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|X|X|X|} \hline Evt & $S$ & $\overline{S}$\\ \hline Proba & $p$ & $1-p$\\ \hline \end{tabularx}$

$\textbf{Variable de Bernoulli}\\ \renewcommand{\arraystretch}{1.2} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|X|X|X|} \hline $k$ & 1 & 0\\ \hline $\mathbb{P}(X=k)$ & $p$ & $1-p$\\ \hline \end{tabularx}$

Exemple : On lance un dé équilibré à 6 faces, numérotées de 1 à 6. Si on considère le succès « Obtenir le nombre 6 », cette expérience est une épreuve de Bernoulli de paramètre $p=\dfrac{1}{6}$.

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre $p$. L’espérance, la variance et l’écart-type de $X$ valent respectivement \[E[X]=p, \quad Var(X)=p(1-p), \quad \sigma(X)=\sqrt{p(1-p)}\]

La variable aléatoire $X$ prend les valeurs 0 et 1. De plus $\mathbb{P}(X=0)=1-p$ et $\mathbb{P}(X=1)=p$. Ainsi,

$E[X] = 0 \times \mathbb{P}(X=0)+1 \times \mathbb{P}(X=1)=0 \times (1-p)+1 \times p = p$.
$Var(X)=\mathbb{P}(X=0) \times (0- E[X])^2 + \mathbb{P}(X=1) \times (1- E[X])^2)$Ainsi, $Var(X)=(1-p) \times (-p)^2+p \times (1-p)^2= p(1-p)(p+1-p)=p(1-p)$

Exemple : Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre $0,2$. On a alors $E[X]=0,2$, $Var(X)=0,2 \times 0,8 = 0,16$ et $\sigma (X)= \sqrt{0,16}=0,4$.

Schéma de Bernoulli

Un schéma de Bernoulli de paramètre $p$ est une succession d’épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, chacune de paramètre $p$.

Exemple : On lance cinq fois de suite une pièce de monnaie équilibrée. On considère comme succès « la pièce tombe sur FACE ». Il s’agit d’un schéma de Bernoulli de paramètres 5 et $\dfrac{1}{2}$.

Exemple : On lance 42 fois de suite un dé. On considère comme succès « le dé fait tombe sur 5 ou 6 ». Il s’agit d’un schéma de Bernoulli de paramètres 42 et $\dfrac{2}{3}$.

Coefficients binomiaux

Les coefficients binomiaux ont déjà été abordés dans le chapitre Combinatoire et dénombrement. Nous en proposons ici une nouvelle interprétation.

Soit $n$ un entier naturel. On note $n!$ (factorielle de $n$) le produit de tous les entiers de 1 à $n$ (et on convient que $0!=1$.\[n!=n\times (n-1) \times \ldots \times 2 \times 1\]

Exemple : $5!=5\times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \quad ;\quad \dfrac{8!}{6!}=\dfrac{8 \times 7 \times 6!}{6!}=8\times 7 = 56$

Soit $n$ un entier naturel et $k$ un entier compris entre 0 et $n$. Le coefficient binomial $\dbinom{n}{k}$ ($k$ parmi $n$ est le nombre de chemins qui, dans un chemin de Bernoulli à $n$ épreuves, aboutissent à exactement $k$ succès.

Exemple : On considère un schéma de Bernoulli à 3 épreuves

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Pour obtenir 2 succès en 3 expériences, il y a 3 chemins possibles : $SS\overline{S}$, $S\overline{S}S$ et $\overline{S}SS$. Ainsi, $\dbinom{3}{2} = 3$

Soit $n$ un entier naturel et $k$ un entier compris entre 0 et $n$.
\[ \dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}\]

Exemple : $\dbinom{5}{3} = \dfrac{5!}{3!2!}= \dfrac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times (2 \times 1)} = 5 \times 2 = 10$.

Loi binomiale

Soit $n$ un entier naturel et $p$ un réel compris entre 0 et 1. On considère un schéma de Bernoulli à $n$ épreuve de paramètre $p$. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de succès de ce schéma de Bernoulli. On dit que $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$. On écrit $X\sim \mathcal{B}(n,p)$.

Exemple : On lance une pièce équilibrée 5 fois de suite et on appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de FACE obtenus

On a bien des épreuves de Bernoulli indépendantes et identiques.
Ces épreuves sont au nombre de 5.
Pour chaque épreuve, la probabilité de succès (c’est-à-dire ici la probabilité d’obtenir FACE) vaut $\dfrac{1}{2}$

Ainsi, $X$ suit une loi binomiale de paramètres 5 et $\dfrac{1}{2}$.

Lorsque $n$ vaut 1, on a une loi de Bernoulli de paramètre $p$.

La première mention de la loi binomiale date de 1713, année de parution de l’Ars Conjectandi de Jacques Bernoulli. Ce livre publié à titre posthume – Jacques Bernoulli est décédé en 1705 – marquera un tournant dans l’histoire des probabilités. Y figurera notamment l’énoncé de la loi faible des grands nombres qui sera l’objet d’un chapitre ultérieur…

Exemple : On considère un schéma de Bernoulli de paramètres 4 et $p$. Ce schéma peut se traduire par l’arbre suivant :

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Les chemins menant à deux succès sont $SS\overline{S}\overline{S}$, $S\overline{S}S\overline{S}$, $S\overline{S}\overline{S}S$, $\overline{S}\overline{S}SS$, $\overline{S}S\overline{S}S$ et $\overline{S}SS\overline{S}$. De plus,

$\mathbb{P}(SS\overline{S}\overline{S})=p\times p \times (1-p) \times (1-p)=p^2(1-p)^2$
$\mathbb{P}(S\overline{S}S\overline{S})=p\times (1-p) \times p \times (1-p)=p^2(1-p)^2$
$\mathbb{P}(S\overline{S}\overline{S}S)=p\times (1-p) \times (1-p) \times p=p^2(1-p)^2$
$\mathbb{P}(\overline{S}\overline{S}SS)=(1-p)\times (1-p) \times p \times p=p^2(1-p)^2$
$\mathbb{P}(\overline{S}S\overline{S}S)=(1-p)\times p \times (1-p) \times p=p^2(1-p)^2$
$\mathbb{P}(\overline{S}SS\overline{S})=(1-p)\times p \times p \times (1-p)=p^2(1-p)^2$

On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de succès à l’issue de ce schéma. On a donc
\[ \mathbb{P}(X=2) = 6 p^2(1-p)^2\]
En modifiant cette écriture, on a en réalité
\[ \mathbb{P}(X=2) = \dbinom{4}{2} p^2(1-p)^{4-2}\]

Soit $n$ un entier naturel, $p$ un réel compris entre 0 et 1 et $X$ une variable aléatoire qui suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$.

Pour tout entier naturel $k$ inférieur ou égal à $n$, $\mathbb{P}(X=k)=\dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$.

On considère un schéma de Bernoulli de paramètre $p$ à $n$ épreuves.

L’ensemble des issues aboutissant à $k$ succès correspond à l’ensemble des chemins aboutissant à $k$ succès : il y en a $\dbinom{n}{k}$.

Or, chacune de ces issues a pour probabilité $p^k(1-p)^{n-k}$ : chacun des $k$ succès a une probabilité de $p$ et chacun des $n-k$ échecs a une probabilité $1-p$.

Ainsi, $\mathbb{P}(X=k)=\dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$.

Exemple : On lance 3 fois un dé équilibré à 6 faces, numérotées de 1 à 6.

Quelle est la probabilité d’obtenir exactement 2 fois le nombre 4 ?
On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de 4 obtenus. $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=3$ (le nombre de lancers) et $p=\dfrac{1}{6}$ (la probabilité de succès, obtenir 4, en un lancer). On cherche donc la probabilité de l’événement $X=2$, c’est-à-dire « obtenir exactement 2 succès ».

\[ \mathbb{P}(X=2)=\dbinom{n}{2} \times p^2 \times (1-p)^{n-2}=\dbinom{3}{2} \times \left(\dfrac{1}{6}\right)^2 \times \left(\dfrac{5}{6}\right)^1=3\times \dfrac{1}{36}\times \dfrac{5}{6}=\dfrac{5}{75}\]

Quelle est la probabilité d’obtenir au moins une fois le nombre 6 ? On note $Y$ la variable aléatoire qui compte le nombre de 6 obtenus. $Y$ suit une loi binomiale de paramètres $n=3$ (le nombre de lancers) et $p=\dfrac{1}{6}$ (la probabilité de succès, obtenir 6, en un lancer). On cherche donc la probabilité de l’événement $Y\geqslant 1$, c’est-à-dire « obtenir au moins 1 succès ». Il y a plusieurs manières de procéder

Décomposer l’événement $Y \geqslant 1$ en donnant tous les cas possibles : $Y=1$, $Y=2$ ou $Y=3$
Passer par le complémentaire : $\mathbb{P}(Y \geqslant 1) = 1 – \mathbb{P}(Y < 1)$. Or, la seule valeur pour laquelle $Y<1$ est $Y=0$. Ainsi, $\mathbb{P}(Y \geqslant 1)=1- \mathbb{P}(Y=0)$. Or, $\mathbb{P}(Y=0)=\dbinom{3}{0} \times \left(\dfrac{1}{6}\right)^0 \times \left(\dfrac{5}{6}\right)^3=\dfrac{125}{216}$. Finalement, $\mathbb{P}(Y\geqslant 1)=1-\dfrac{125}{216}=\dfrac{91}{216}$.

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$. L’espérance, la variance et l’écart-type de $X$ valent respectivement \[E[X]=np, \quad Var(X)=np(1-p), \quad \sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}\]

Cliquer ici pour s’entraîner : Calcul d’une probabilité avec une loi binomiale

Exemple : Un élève répond au hasard et de manière indépendante à un QCM de 20 questions. Chaque question laisse le choix entre 4 propositions dont une seule est correcte.

On note $X$ le nombre de bonnes réponses de l’élève. $X$ désigne donc le nombre de succès (bonnes réponses) d’un schéma de Bernoulli à 20 épreuves, chaque épreuve ayant une probabilité de succès de $\dfrac{1}{4}$. $X$ suit donc une loi binomiale $\mathcal{B}\left(20,\dfrac{1}{4}\right)$.

Ainsi, $E[X]=20 \times \dfrac{1}{4}=5$. L’élève peut espérer avoir 5 bonnes réponses.

Cliquer ici pour s’entraîner : loi binomiale, exercice complet

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