Primitives et équations différentielles : exercices corrigés

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Notion d’équation différentielle

Vérifier qu’une fonction est solution (1)

Montrer que \(f:x \mapsto e^{3x}+1\) est solution de l’équation différentielle \(y’=3y-3\).
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Pour tout réel \(x\), \(f'(x)=3e^{3x}\) et \(3f(x)-3=3(e^{3x}+1)-3=3e^{3x}+3-3=3e^{3x}\).

Ainsi, pour tout réel \(x\), \(f'(x)=3f(x)-3\). \(f\) est donc solution de l’équation différentielle \(y’=3y-3\).

Vérifier qu’une fonction est solution (2)

Pour tout réel \(x\neq -1\), on pose \(f(x)=\dfrac{1}{1+x}\). Montrer que \(f\) est solution de l’équation différentielle \((1+x)y’+y=0\).
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Pour tout réel \(x\neq -1\), \(f'(x)=-\dfrac{1}{(1+x)^2}\) et donc
\[(1+x)f'(x)+f(x)=(1+x)\times \left(-\dfrac{1}{(1+x)^2}\right)=0\]

\(f\) est solution de l’équation différentielle \((1+x)y’+y=0\).

Vérifier qu’une fonction est solution (3)

Montrer que \(f:x \mapsto \dfrac{1}{1+e^{-x}}\) est solution de l’équation différentielle \(y’=y(1-y)\)
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Pour tout réel \(x\), on pose \(f(x)=\dfrac{1}{1+e^{-x}}\). \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(f'(x)=\dfrac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}\). De plus,

\[f(x) \times (1-f(x)) = \dfrac{1}{1+e^{-x}} \times \left(1-\dfrac{1}{1+e^{-x}}\right)=\dfrac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}=f'(x)\]

\(f\) est bien solution de l’équation différentielle \(y’=y(1-y)\).

Avec une dérivée seconde

Montrer que pour tous réels \(\lambda\) et \(\mu\), la fonction \(f:x\mapsto (\lambda x + \mu)e^{x}\) est solution de l’équation différentielle \(y^{\prime\prime}-2y’+y=0\).
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Pour tout réel \(x\), \[f'(x)= \lambda e^x + (\lambda x + \mu) e^x = (\lambda x + \lambda + \mu) e^x\]
et
\[f^{\prime\prime}(x)=\lambda e^x + (\lambda x + \lambda + \mu) e^x = (\lambda x + 2\lambda + \mu) e^x\]
Ainsi, pour tout réel \(x\),
\[\begin{array}{rcl}f^{\prime\prime}(x)-2f'(x)+f(x)&=&(\lambda x + 2\lambda + \mu) e^x – 2 (\lambda x + \lambda + \mu) e^x + (\lambda x + \mu)e^{x} \\ &=& (\lambda x – 2 \lambda x + \lambda x +2 \lambda + \mu -2 \lambda – 2 \mu + \mu)e^x \\&=&0\end{array}\]

\(f\) est bien solution de l’équation différentielle \(y^{\prime\prime}-2y’+y=0\).

Primitives

Primitive du logarithme

Montrer que \(f:x\mapsto x\ln(x)-x\) est une primitive de \(\ln\) sur \(]0;+\infty [\).
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Pour tout réel \(x>0\), on pose \(f(x)=x\ln(x)-x\).

\(f\) est dérivable sur \(]0;+\infty [\) et pou tout réel \(x>0\),
\[f'(x)=1 \times \ln(x) + x \times \dfrac{1}{x}-1=\ln(x)\]

\(f\) est une primitive de \(\ln\) sur \(]0;+\infty [\).

Polynôme et exponentielle

Pour tout réel \(x\), on pose \(F(x)=(2x+1)e^{x^2-1}\) et \(f(x)=(4x^2+2x+2)e^{x^2-1}\). Montrer que \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\)
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Pour tout réel \(x\), on pose \(F(x)=(2x+1)e^{x^2-1}\) et \(f(x)=(4x^2+2x+2)e^{x^2-1}\). Montrer que \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) revient à montrer que \(F’=f\).

La dérivée de \(x\mapsto e^{x^2-1}\) est \(x\mapsto 2xe^{x^2-1}\) et celle de \(x\mapsto (2x+1)\) est \(x\mapsto 2\). Ainsi, pour tout réel \(x\),

\[F'(x)=2 \times e^{x^2-1} + (2x+1) \times 2xe^{x^2-1}=(4x^2+2x+2)e^{x^2-1}=f(x)\]

\(F\) est bien une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

Avec une condition initiale (1)

Pour tout réel \(x\), on pose \(F(x)=\dfrac{1}{1+x^2}\) et \(f(x)=\dfrac{-2x}{(x^2+1)^2}\).

  1. Montrer que \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\)
  2. Déterminer l’unique primitive \(F_0\) de \(f\) telle que \(F_0(1)=3\).
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Pour tout réel \(x\), on pose \(F(x)=\dfrac{1}{1+x^2}\) et \(f(x)=\dfrac{-2x}{(x^2+1)^2}\).

Pour tout réel \(x\), \(F'(x)=\dfrac{-2x}{(1+x^2)^2}=f(x)\). \(F\) est donc une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

Notons \(F_0\) l’unique primitive de \(f\) telle que \(F_0(0)=0\). Puisque toutes les primitives de \(f\) ne varient que d’une constante, on sait qu’il existe un réel \(C\) tel que, pour tout réel \(x\), \(F_0(x)=F(x)+C\).
Ainsi, \(F_0(0)=F(0)+C=1+C=0\) et donc \(C=-1\). Finalement, pour tout réel \(x\), \(F_0(x)=\dfrac{1}{1+x^2}-1\).

Avec une condition initiale (2)

Pour tout réel \(x\), on pose \(f(x)=\dfrac{e^x}{1+e^x}\) et \(F(x)=\ln(1+e^x)\).

  1. Montrer que \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
  2. Déterminer l’unique primitive \(F_0\) de \(f\) telle que \(F_0(0)=0\)
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  1. Pour tout réel \(x\), \(F'(x)=\dfrac{e^x}{1+e^x}=f(x)\). \(F\) est bien une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
  2. Il existe un réel \(C\) tel que, pour tout réel \(x\), \(F_0(x)=F(x)+C=\ln(1+e^x)+C\). Or, \(F_0(0)=\ln(2)+C=0\). On a donc \(C=-\ln(2)\).

    Finalement, pour tout réel \(x\), \(F_0(x)=\ln(1+e^x)-\ln(2)=\ln\left(\dfrac{1+e^x}{2}\right)\).

Primitive de forme donnée (1)

Déterminer deux réels \(a\) et \(b\) tels que la fonction \(x\mapsto (ax+b)e^{4x+3}\) soit une primitive de la fonction \(x\mapsto (8x+14)e^{4x+3}\) sur \(\mathbb{R}\).
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Soit \(f:x\mapsto (ax+b)e^{4x+3}\). Pour tout réel \(x\), \(f'(x)=ae^{4x+3}+(ax+b)\times 4e^{4x+3}=(4ax+a+4b)e^{4x+3}\). En prenant \(a=2\) et \(b=3\). On obtient \(f'(x)=(8x+14)e^{4x+3}\). \(f\) est bien une primitive de la focntion demandée.

Primitive de forme donnée (2)

Pour tout réel \(x\), on pose \(f(x)=(-3x^2+2x+12)e^{1-3x}\). Déterminer trois réels \(a\), \(b\) et \(c\) tels que la fonction \(x\mapsto (ax^2+bx+c)e^{1-3x}\) soit une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
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Notons \(g:x\mapsto (ax^2+bx+c)e^{1-3x}\).

Pour tout réel \(x\),
\[g'(x)=(2ax+b)e^{1-3x}+(ax^2+bx+c)\times (-3e^{1-3x})=(-3ax^2+(2a-3b)x+b-3c)e^{1-3x}\]
En prenant \(a=1\), \(b=0\) et \(c=-4\), on obtient \(g'(x)=f(x)\). \(g\) est alors une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

Primitives usuelles

Déterminer une primitive des fonctions suivantes sur les intervalles donnés.

\(f_1 : x\mapsto x^5 + x^4 – x^3 + x -1\) sur \(\mathbb{R}\) \(f_2:x \mapsto \dfrac{3}{x}-\dfrac{2}{x^2}\) sur \(]0;+\infty[\).
\(f_3:x \mapsto 7x^6+8e^{4x+2}-\dfrac{1}{x^3}\) sur \(]-\infty;0[\) \(f_4:x\mapsto 4x^4+3x^2-\dfrac{5}{x^2}+\dfrac{4}{x^7}\) sur \(]-\infty;
0[\)
\(f_5:x\mapsto 3e^{5x+2}\) sur \(\mathbb{R}\) \(f_6:x\mapsto e^{3x}+x^4-\dfrac{1}{x}\) sur \(]0;+\infty[\)
\(f_7:x \mapsto \dfrac{1}{x^3}-\dfrac{5}{x^4}\) sur \(]0;+\infty[\). \(f_8:x\mapsto \dfrac{2x^5+3x^2+1}{x^3}\) sur \(]0;+\infty[\)
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  • \(F_1:x\mapsto \dfrac{x^6}{6} + \dfrac{x^5}{5}-\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^2}{2}-x\) est une primitive de \(f_1 : x\mapsto x^5 + x^4 – x^3 + x -1\) sur \(I=\mathbb{R}\).
  • \(F_2:x\mapsto 3\ln(x) +\dfrac{2}{x}\) est une primitive de \(f_2:x \mapsto \dfrac{3}{x}-\dfrac{2}{x^2}\) sur \(I=]0;+\infty[\).
  • \(F_3:x \mapsto x^7 + 2 e^{4x+2} + \dfrac{1}{2x^2}\) est une primitive de \(f_3:x \mapsto 7x^6+8e^{4x+2}-\dfrac{1}{x^3}\) sur \(I=]-\infty;0[\).
  • \(F_4:x\mapsto \frac{4}{5}x^5 + x^3 + \dfrac{5}{x} – \dfrac{2}{3x^6}\) est une primitive de \(f_4:x\mapsto 4x^4+3x^2-\dfrac{5}{x^2}+\dfrac{4}{x^7}\) sur \(]-\infty;
    0[\)
  • \(F_5:x\mapsto \dfrac{3}{5}e^{5x+2}\) est une primitive de \(f_5:x\mapsto 3e^{5x+2}\) sur \(\mathbb{R}\)
  • \(F_6:x\mapsto \dfrac{e^{3x}}{3} + \dfrac{x^5}{5} – \ln(x)\) est une primitive de \(f_6:x\mapsto e^{3x}+x^4-\dfrac{1}{x}\) sur \(]0;+\infty[\)
  • \(F_7:x\mapsto -\dfrac{1}{2x^2}+\dfrac{5}{3x^3}\) est une primitive de \(f_7:x \mapsto \dfrac{1}{x^3}-\dfrac{5}{x^4}\) sur \(]0;+\infty[\).
  • Pour tout réel \(x>0\), \[f_8(x)=\dfrac{2x^5+3x^2+1}{x^3}=\dfrac{2x^5}{x^3}+\dfrac{3x^2}{x^3}+\dfrac{1}{x^3}=2x^2+\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^3}\]
    \(F_8:x\mapsto \dfrac{2}{3}x^3+3\ln (x) – \dfrac{1}{2x^2}\) est une pritimiive de \(f_8:x\mapsto \dfrac{2x^5+3x^2+1}{x^3}\) sur \(]0;+\infty[\)

Primitives usuelles avec condition initiale

Dans chacun des cas suivants, déterminer l’unique primitive \(F_i\) de la fonction \(f_i\) donnée vérifiant la condition indiquée.

\(f_1 : x\mapsto 2x+1\) sur \(\mathbb{R}\) avec \(F_1(3)=2\) \(f_2:x \mapsto \dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}\) sur \(]0;+\infty[\) avec \(F_2(1)=3\)
\(f_3:x \mapsto 2e^{3x-4}+1\) sur \(\mathbb{R}\) avec \(F_3\left(\dfrac{4}{3}\right)=5\) \(f_4 : x \mapsto \dfrac{3}{x}+x\) sur \(]-\infty ; 0[\) avec \(F_4(-1)=2\)
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  • La fonction \(F:x\mapsto x^2+x\) est une primtive de \(f_1\) sur \(\mathbb{R}\). Ainsi, il existe un réel \(C\) tel que, pour tout réel \(x\), \(F_1(x)=x^2+x+C\). Or, \(F_1(3)=2=3^2+3+C=12+C\) et donc, \(C=-10\). La fonction recherchée est la fonction \(F_1:x\mapsto x^2+x-10\).
  • La fonction \(F:x\mapsto 2\ln(x)-\dfrac{1}{x}\) est une primtive de \(f_2\) sur \(]0;+\infty[\). Ainsi, il existe un réel \(C\) tel que, pour tout réel \(x\), \(F_2(x)=2\ln(x)-\dfrac{1}{x}\). Or, \(F_2(1)=3=2\ln(1)-\dfrac{1}{1}+C=C-1\) et donc, \(C=4\). La fonction recherchée est la fonction \(F_2:x\mapsto 2\ln(x)-\dfrac{1}{x}+4\).
  • La fonction \(F:x\mapsto \dfrac{2}{3}e^{3x-4}+x\) est une primitive de \(f_3\) sur \(\mathbb{R}\). Ainsi, il existe un réel \(C\) tel que, pour tout réel \(x\), \(F_3(x)=\dfrac{2}{3}e^{3x-4}+x+C\). Or, \(F_3\left(\dfrac{4}{3}\right)=\dfrac{2}{3}e^{3 \times (4/3)-4}+\dfrac{4}{3}+C=\dfrac{2}{3}+\dfrac{4}{3}+C=2+C=5\) et donc, \(C=3\). La fonction recherchée est la fonction \(F_3:x\mapsto \dfrac{2}{3}e^{3x-4}+x+3\).
  • Attention au fait que l’intervalle est \(]-\infty ; 0[\) ! La fonction \(F:x \mapsto 3\ln(-x)+\dfrac{x^2}{2}\) est une primitive de \(f_4\) sur \(]-\infty ; 0[\). Ainsi, il existe un réel \(C\) tel que, pour tout réel \(x\), \(F_4(x)=3\ln(-x)+\dfrac{x^2}{2}+C\). Or, \(F_4(-1)=3\ln(1)+\dfrac{(-1)^2}{2}+C=\dfrac{1}{2}+C=2\) et donc, \(C=\dfrac{3}{2}\). La fonction recherchée est la fonction \(F_4:x\mapsto 3\ln(-x)+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{3}{2}\).

Primitives et fonctions composées

Donner une primitive des fonctions suivantes en reconnaissant la primitive d’une fonction composée

\(f_1 : x\mapsto (4x+1)e^{2x^2+x+3}\) sur \(\mathbb{R}\) \(f_2 :x\mapsto \dfrac{2x+3}{x^2+3x+3}\) sur \(\mathbb{R}\)
\(f_3:x\mapsto -\dfrac{2e^{2x}}{(3+e^{2x})^2}\) sur \(\mathbb{R}\) \(f_4:x \mapsto x^2e^{x^3}\) sur \(\mathbb{R}\).
\(f_5:x \mapsto \dfrac{4x+10}{x^2+5x+7}\) sur \(\mathbb{R}\) \(f_6:x\mapsto \dfrac{x^2+1}{\sqrt{x^3+3x}}\) sur \(]0;+\infty [\)
\(f_7:x \mapsto -\dfrac{e^{1/x}}{x^2}\) sur \(]0;+\infty[\) \(f_8:x\mapsto xe^{x^2-5}\) sur \(\mathbb{R}\)
\(f_9:x\mapsto 3e^{5x+2}\) sur \(\mathbb{R}\) \(f_{10}:x \mapsto \dfrac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\) sur \(]0;+\infty[\)
\(f_{11}:x\mapsto \dfrac{4x^3-6x}{x^4-3x^2+5}\) sur \(\mathbb{R}\) \(f_{12}:x\mapsto \dfrac{1}{x\ln(x)}\) sur \(]1;+\infty[\)
\(f_{13} : x \mapsto \dfrac{10x}{(5x^2+7)^2}\) sur \(\mathbb{R}\) \(f_{14}:x \mapsto \dfrac{-2x-5}{x^4+10x^3+25x^2}\) sur \(]0;+\infty[\)
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  • On reconnait une fonction de la forme \(u’e^u\) avec pour tout réel non nul \(x\), \(u(x)=2x^2+x+3\). Une primitive de \(f_1\) sur \(\mathbb{R}\) est donc la fonction \[F_1:x\mapsto e^{2x^2+x+3}\]
  • Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=x^2+3x+3\). Pour tout réel \(x\), \(u(x)>0\) (c’est une fonction polynôme du second degré dont le discriminant est strictement négatif et dont le coefficient dominant est positif). Par ailleurs, pour tout réel \(x\), \(f_2(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}\). Une primitive de \(f_2\) est donc \(\ln(u)\), soit la fonction \[F_2:x\mapsto \ln(x^2+3x+3)\]
  • Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=3+e^{2x}\). Pour tout réel \(x\), \(u(x) \neq 0\) et \(f_3(x)=-\dfrac{u'(x)}{(u(x))^2}\). Une primitive de \(f_3\) est donc \(\dfrac{1}{u}\), soit la fonction \[F_3:x\mapsto \dfrac{1}{3+e^{2x}}\]
  • Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=x^3\). Pour tout réel \(x\), \(f_4(x)=\dfrac{1}{3} \times 3x^2e^{x^3}=\dfrac{1}{3}\times u'(x) \times e^{u(x)}\). Une primitive de \(f_4\) est donc \(\dfrac{1}{3}e^{u(x)}\), soit la fonction \[F_3:x\mapsto \dfrac{1}{3}e^{x^3}\]
  • Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=x^2+5x+7\). Pour tout réel \(x\), \(u(x)>0\) (c’est une fonction polynôme du second degré dont le discriminant est strictement négatif et dont le coefficient dominant est positif). Par ailleurs, pour tout réel \(x\), \(f_5(x)=\dfrac{2u'(x)}{u(x)}\). Une primitive de \(f_5\) est donc \(2\ln(u)\), soit la fonction \[F_2:x\mapsto 2\ln(x^2+5x+7)\]
  • Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=x^3+3x\). Pour tout réel \(x>0\), \(f_6(x)=\dfrac{x^2+1}{\sqrt{x^3+3x}} = \frac{2}{3} \times\dfrac{3x^2+3}{2\sqrt{x^3+3x}}=\dfrac{2}{3}\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}\). Une primitive de \(f_6\) est donc \(\dfrac{2}{3}\sqrt{u}\), soit la fonction \[F_6:x\mapsto \dfrac{2}{3}\sqrt{x^3+3x}\]
  • Pour tout réel \(x\) strictement positif, \(f_7(x)=-\dfrac{1}{x^2}\times e^{1/x}\). On reconnait une fonction de la forme \(u’e^u\) avec pour tout réel non nul \(x\), \(u(x)=\dfrac{1}{x}\). Une primitive de \(f_7\) sur \(]0;+\infty[\) est donc la fonction \[F_7:x\mapsto e^{1/x}\]
  • Pour tout réel \(x\), \(f_8(x)=\dfrac{1}{2} \times (2xe^{x^2-5})\). On reconnait une fonction de la forme \(\dfrac{1}{2}u’e^u\) avec \(u:x\mapsto x^2-5\). Une primitive est donc \(\dfrac{1}{2}e^u\). Une primitive de \(f_8\) sur \(I\) est fonc la fonction \[F_8:x\mapsto \dfrac{1}{2}e^{x^2-5}\]
  • Pour tout réel \(x>0\), on a \(f_9(x)= \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \times e^{\sqrt{x}}\). On reconnaît une fonction de la forme \(u’ \times e^u\) avec \(u:x\mapsto \sqrt{x}\). Une primitive de cette fonction est \(e^u\). Ainsi, une primitive de \(g\) sur \(]0;+\infty[\) est
    \[ F_9: x \mapsto e^{\sqrt{x}}\]
  • Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=\sqrt{x}\). Pour tout réel \(x>0\), \(f_{10}(x)=2 \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \times e^{\sqrt{x}} = 2u'(x) \times e^{u(x)}\). Une primitive de \(f_{10}\) est donc \(2e^u\), soit la fonction \[F_{10}:x\mapsto 2e^{\sqrt{x}}\]
  • On reconnaît une fonction de la forme \(\dfrac{u’}{u}\) avec \(u:x\mapsto x^4-3x^2+5\). Une primitive de cette fonction est \(\ln(u)\), à condition que \(u\) soit strictement positive. Or, pour tout réel \(x\), \(u(x)=x^4-3x^2+5=X^2-3X+5\) en posant \(X=x^2\). Le polynôme \(X^2-3X+5\) a pour discriminant \(-11\) qui est strictement négatif. On en conclut que pour tout réel \(x\), \(u(x)>0\). Ainsi, une primitive de \(f_{11}\) sur \(\mathbb{R}\) est
    \[ F_{11}: x \mapsto \ln(x^4-3x^2+5)\]
  • Pour tout réel\(x>1\), \(f_{12}(x)=\dfrac{\frac{1}{x}}{\ln (x)}\). On reconnaît une fonction de la forme \(\dfrac{u’}{u}\) avec \(u:x\mapsto \ln(x)\). Par ailleurs, pour \(x \in \(]1;+\infty[\), \(u(x)>0\). Une primitive de \(\dfrac{u’}{u}\) est donc \(\ln(u)\). Une primitive de \(f_{12}\) sur \(I\) est donc la fonction \[F_{12}:x\mapsto \ln(\ln(x))\]
  • Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=5x^2+7\). Pour tout réel \(x>0\), \(f_{13}(x)=\dfrac{u'(x)}{(u(x))^2}=-\left(-\dfrac{u(x)}{(u(x))^2}\right)\). Une primitive de \(f_{13}\) est donc \(-\dfrac{1}{u}\), soit la fonction \[F_{13}:x\mapsto -\dfrac{1}{5x^2+7}\]
  • Pour tout réel \(x>0\), \(f_{14}(x)=\dfrac{-(2x+5)}{(x^2+5x)^2}\). On reconnaît une fonction de la forme \(-\dfrac{u’}{u^2}\) avec \(u:x\mapsto x^2+5x\). Une primitive de cette fonction est \(\dfrac{1}{u}\). Ainsi, une primitive de \(f_{14}\) sur \(]0;+\infty[\) est

    \[ F_{14} : x \mapsto \dfrac{1}{x^2+5x}\]

Primitives, fonctions composées et condition initiale

Dans chacun des cas suivants, déterminer l’unique primitive \(F\) de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\) qui respecte la condition initiale indiquée.

\(f:x\mapsto x^2e^{x^3}\) avec \(F(0)=3\) \(f:x\mapsto \dfrac{2x}{1+x^2}\) avec \(F(2)=7\)
\(f:x\mapsto \dfrac{8x+4}{2x^2+2x+1}\) avec \(F(-1)=3\) \(f:x\mapsto \dfrac{-3x}{(x^2+1)^2}\) avec \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}F(x)=2\)
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  1. Les primitives de \(f:x\mapsto x^2e^{x^3}\) sont les fonctions \(F:x\mapsto \dfrac{1}{3}e^{x^3}+C\), pour \(C\) réel (voir exercice précédent). Soit donc \(C\in\mathbb{R}\) tel que pour tout réel \(x\), \(F(x)= \dfrac{1}{3}e^{x^3}+C\). On a alors \(F(0)=\dfrac{1}{3}+C=3\) et donc \(C=\dfrac{8}{3}\). La primitive recherchée est \(F:x\mapsto \dfrac{1}{3}e^{x^3}+\dfrac{8}{3}\).
  2. Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=1+x^2\). Pour tout réel \(x\), \(u(x)>0\) et \(f(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}\). Une primitive de \(f\) est donc \(ln(u)\). Les primitives de \(f\) sont donc les fonctions \(x\mapsto \ln(1+x^2)+C\). Soit donc \(C\in\mathbb{R}\) tel que, pour tout réel \(x\), \(F(x)=\ln(1+x^2)+C\). On a alors \(F(2)=\ln(5)+C=7\) et donc \(C=7-\ln(5)\). Ainsi, pour tout réel \(x\), \(F(x)=\ln(1+x^2)+7-\ln(5)=\ln\left(\dfrac{1+x^2}{5}\right)+7\).
  3. Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=2x^2+2x+1\). Pour tout réel \(x\), \(u(x)>0\) (c’est une fonction polynôme du second degré dont le discriminant est strictement négatif et le coefficient dominant est positif) et \(f(x)=\dfrac{2u'(x)}{u(x)}\). Une primitive de \(f\) est donc \(2ln(u)\). Les primitives de \(f\) sont donc les fonctions \(x\mapsto 2\ln(2x^2+2x+1)+C\). Soit donc \(C\in\mathbb{R}\) tel que, pour tout réel \(x\), \(F(x)=\ln(2x^2+2x+1)+C\). On a alors \(F(-1)=\ln(1)+C=C=3\). Ainsi, pour tout réel \(x\), \(F(x)=\ln(2x^2+2x+1)+3\).
  4. Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=x^2+1\). Pour tout réel \(x\), \(u(x)>0\) et \(f(x)=\dfrac{3}{2} \times \left(-\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}\right)=\dfrac{3}{2}\times \left(-\dfrac{u'(x)}{(u(x))^2}\right)\). Une primitive de \(f\) est donc \(\dfrac{3}{2u}\). Les primitives de \(f\) sont donc les fonctions \(x\mapsto \dfrac{3}{2(x^2+1)}+C\). Soit donc \(C\in\mathbb{R}\) tel que, pour tout réel \(x\), \(F(x)=\dfrac{3}{2^(x^2+1)}+C\). On a alors \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}F(x)=C=2\). Ainsi, pour tout réel \(x\), \(F(x)=\dfrac{3}{2(x^2+1)}+2\).

Décomposition en éléments simples

Pour tout réel \(x\) différent de 1 et \(-3\), on pose \(f(x)=\dfrac{1}{(x-1)(x+3)}\)

  1. Déterminer deux réels \(a\) et \(b\) tels que pour tout \(x \in \mathbb{R}\setminus \{ -3;1\}\), \(f(x)=\dfrac{a}{x-1}+\dfrac{b}{x+3}\)
  2. En déduire une primitive de \(f\) sur \(]1;+\infty[\).
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  1. On considère deux réels \(a\) et \(b\) ,
    \[\dfrac{a}{x-1}+\dfrac{b}{x+3}=\dfrac{a(x+3)+b(x-1)}{(x-1)(x+3)}=\dfrac{(a+b)x+3a-b}{(x-1)(x+3)}\]

    Ainsi, pour avoir, pour tout réel \(x\), \((a+b)x+3a-b=1\), il suffit que \(a+b=0\) et \(3a-b=1\) soit \(a=\dfrac{1}{4}\) et \(b=-\dfrac{1}{4}\).

    On a donc, pour tout réel \(x\),

    \[f(x)=\dfrac{1}{(x-1)(x+3)}=\dfrac{1}{4(x-1)}-\dfrac{1}{4(x+3)}\]

  2. Pour tout \(x>1\), \(x+3>0\) et \(x-1>0\). Une primitive de \(f\) sur \(]1;+\infty[\) est donc \(F:x\mapsto \dfrac{1}{4}\ln(x-1)-\dfrac{1}{4}\ln(x+3)=\dfrac{1}{4}\ln\left(\dfrac{x-1}{x+3}\right)\).

Équations différentielles du premier ordre

Résolution avec condition initiale

Dans chacun des cas suivants, déterminer l’unique solution \(f\) de l’équation différentielle donnée telle que \(f(x_0)=y_0\)

\(y’=8y\) avec \(x_0=-2\) et \(y_0=-7\) \(y’=2y\) avec \(x_0=2\), \(y_0=3\)
\(y’=-4y\) avec \(x_0=-1\), \(y_0=-5\) \(y’+7y=0\) avec \(x_0=0\), \(y_0=2\)
\(3y’+2y=0\) avec \(x_0=1\), \(y_0=3\) \(y’-9y=0\) avec \(x_0=47\), \(y_0=0\)
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  • Les fonction solutions de l’équation différentielle \(y’=8y\) sont les fonctions \(x\mapsto Ce^{8x}\), \(C\) étant un réel.
    On cherche donc le réel \(C\) tel que \(Ce^{-16}=7\). On a donc \(C=7e^{16}\). Ainsi, l’unique solution de l’équation différentielle \(y’=8y\) telle que \(y(-2)=7\) est la fonction \(x\mapsto 7e^{8x+16}\).
  • Les solutions générales sont les fonctions \(x\mapsto Ce^{-4x}\). Pour avoir \(f(-1)=-5\), il faut que \(C=-5e^{-4}\). Ainsi, pour tout réel \(x\), \(f(x)=-5e^{-4x-4}\).
  • Attention à la forme : on a alors \(y’=-7y\). Les solutions générales sont les fonctions \(x\mapsto Ce^{-7x}\). Pour avoir \(f(0)=2\), il faut que \(C=2\). Ainsi, pour tout réel \(x\), \(f(x)=2e^{-7x}\).
  • On a alors \(y’=-\dfrac{2}{3}y\). Les solutions générales sont les fonctions \(x\mapsto Ce^{-2x/3}\). Pour avoir \(f(1)=3\), il faut que \(C=3e^{2/3}\). Ainsi, pour tout réel \(x\), \(f(x)=3e^{-2x/3+2/3}\).
  • La fonction nulle \(f:x\mapsto 0\) est solution de cette équation. La solution étant unique, il s’agit de la fonction recherchée.

Décroissance radioactive

Certaines proportions de protons et neutrons dans le noyau d’un atome ne permettent pas la stabilité du noyau. Le noyau est alors dit radioactif. Les noyaux instables se désintègrent spontanément mais on ne peut prévoir à quel instant. Néanmoins, sur des échantillons comportant de très nombreux noyaux radioactifs, on sait que la variations de noyaux radioactifs est proportionnelle au nombre de noyaux présents au temps \(t\).

On note \(N_0\) le nombre initial de noyaux radioactifs d’un échantillon et \(N(t)\) le nombre de noyaux au temps \(t\). Il existe alors un réel \(k\) tel que pour tout réel \(t>0\), \(N'(t)+kN(t)=0\). Cette constante \(k\) dépend de l’élément chimique étudiée.

  1. En résolvant cette équation différentielle, déterminer l’expression de \(N(t)\).
  2. On appelle demi-vie d’un élément radioactif le temps \(\tau\) nécessaire pour que la moitié des noyaux radioactifs se désintègre.
    1. Exprimer \(\tau\) en fonction de \(k\)
    2. La demi-vie du carbone 14 est de 5730 ans. Donner une valeur approchée de la constante \(k\) en années\(^{-1}\).
  3. Le 19 septembre 1991, des explorateurs trouvent la momie d’un homme piégée dans la glace à 3000 m d’altitude. A l’aide de mesures, on estime que 47\% des atomes de carbone 14 de son corps se sont alors désintégrés. Donner une estimation de la période durant laquelle a vécu Otzi, au siècle près.
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  1. Les solutions de l’équation \(y’+ky=0\) sont les fonctions \(f:t\mapsto Ce^{-kt}\), pour \(C\) réel. Par ailleurs, on cherche l’unique solution \(N\) vérifiant \(N(0)=N_0 = Ce^0=C\). Ainsi, pour tout réel \(t\), \(N(t)=N_0e^{-kt}\).
    1. On a \(N(\tau)=\dfrac{N_0}{2}\) par définition. Or, \(N(\tau)=N_0e^{-k\tau}\). Ainsi, \(\dfrac{N_0}{2}=N_0e^{-k\tau}\) et donc \(e^{-k\tau}=\dfrac{1}{2}\). En appliquant le logarithme népérien, on obtient \(-k\tau=\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\ln (2)\) et donc \(\tau = \dfrac{\ln(2)}{k}\).
    2. On a \(5730=\dfrac{\ln(2)}{k}\) d’où \(k=\dfrac{\ln (2)}{5730}\simeq 1.21 \times 10^{-4}\) années-1
  2. Notons \(t\) le temps écoulé depuis la période où a vécu Otzi et \(N_0\) le nombre initial d’atomes de carbone 14 dans son corps. On a alors \(N(t)=N_0e^{-kt}\) d’une part et \(N(t)=0.53N_0\) d’autre part. Il en vient que \(N_0e^{-kt}=0.53N_0\) et donc \(t=-\dfrac{ln(0.53)}{k}\simeq 5248\). Otzi a vécu il y a environ 53 siècles.

Résolution avec second membre constant

Déterminer l’ensemble des solutions de l’équation différentielle \((E)\,:\,y’=4y+1\).

  1. Déterminer les solutions de l’équation homogène associée \(y’=4y\)
  2. Déterminer une solution constante de l’équation \((E)\)
  3. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation \((E)\)
  4. Déterminer l’unique solution \(f_0\) de \((E)\) telle que \(f_0(3)=5\).
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  1. Les solutions de l’équation \(y’=4y\) sont les fonctions \(x\mapsto Ce^{4x}\), pour \(C\) réel.
  2. Soit \(\varphi\) une solution constante de \((E)\). On a alors \(0 = 4 \varphi + 1\) et donc \(\varphi= \dfrac{-1}{4}\). Réciproquement, la fonction constante égale à \(-\dfrac{1}{4}\) est bien solution de l’équation \((E)\).
  3. L’ensemble des solutions de \((E)\) est l’ensemble des fonctions \(x\mapsto Ce^{4x}-\dfrac{1}{4}\), pour \(C\) dans \(\mathbb{R}\).
  4. Soit \(C\) le réel tel que, pour tout réel \(x\), \(f_0(x)=Ce^{4x}-\dfrac{1}{4}\). On a alors \(f_0(3)=Ce^{12}-\dfrac{1}{4}=5\) et donc \(C=\frac{21}{4}e^{-12}\). Ainsi, pour tout réel \(x\), \(f_0(x)=\dfrac{21}{4}e^{4x-12}-\dfrac{1}{4}\).

Résolution d’équation \(y’=ay+b\) avec condition initiale

Dans chacun des cas suivants, déterminer l’unique solution \(f\) de l’équation différentielle donnée telle que \(f(x_0)=y_0\)

  1. \(y’=3y+2\) avec \(x_0=3\) et \(y_0=1\)
  2. \(2y’=5y-1\) avec \(x_0=0\) et \(y_0=2\)
  3. \(y’-4y=8\) avec \(x_0=11\) et \(y_0=-2\)
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  1. Les solutions générales sont les fonctions \(x\mapsto Ce^{3x}-\dfrac{2}{3}\). Pour avoir \(f(3)=1\), il faut que \(C=\dfrac{5}{3}e^{-9}\). Ainsi, pour tout réel \(x\), \(f(x)=\dfrac{5}{3}e^{3x-9}-\dfrac{2}{3}\).
  2. On a alors \(y’=\dfrac{5}{2}y-\dfrac{1}{2}\). Les solutions générales sont les fonctions \(x\mapsto Ce^{5x/2}+\dfrac{1}{5}\). Pour avoir \(f(0)=2\), il faut que \(C=\dfrac{9}{5}\). Ainsi, pour tout réel \(x\), \(f(x)=\dfrac{9}{5}e^{5x/2}+\dfrac{1}{5}\).
  3. La fonction constante égale à \(-2\) convient. Par unicité de la solution, on a alors \(f(x)=-2\) pour tout réel \(x\).

Une dérivée seconde ?

Donner l’ensemble des solutions de l’équation différentielle \((E)\, ;\,y^{\prime\prime}+2y’-3=0\).
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Notons \(z=y^{\prime}\). Alors \(y\) est solution de \((E)\) si et seulement si \(z\) est solution de l’équation \(z’+2z-3=0\) ou encore \(z’=-2z+3\).

Les solutions de cette équation sont les fonctions \(x\mapsto Ce^{-2x}+\dfrac{3}{2}\). Ainsi, \(y\) est solution de \((E)\) si et seulement si il existe un réel \(C\) tel que, pour tout réel \(x\), \(y'(x)=Ce^{-2x}+\dfrac{3}{2}\) et donc si et seulement s’il existe deux réels \(C\) et \(k\) tels que, pour tout réel \(x\), \(y(x)=\dfrac{C}{-2}e^{-2x}+\dfrac{3}{2}x+k\) (ou simplement \(y(x)=C’e^{-2x}+\dfrac{3}{2}x+k\), en posant \(C’=\dfrac{C}{-2}\).)

Refroidissement d’une tasse de thé

La loi de refroidissement de Newton stipule que le taux de perte de chaleur d’un corps est proportionnel à la différence de température entre ce corps et l’environnement.

On place une tasse de thé bouillant dans une pièce où la température est constante, égale à \(20^{\circ}C\). On note \(T(t)\) la température du thé après \(t\) minutes.

  1. D’après la loi de refroidissement de Newton, on a
    \[T’=-\dfrac{\ln(2)}{7}(T-20)\]
    Résoudre cette équation différentielle sachant que \(T(0)=100\)
  2. Quelle est la limite de \(T(t)\) lorsque \(t\) tend vers \(+\infty\) ?
  3. Au bout de combien de temps la température du thé sera-t-elle inférieure à \(25^{\circ}C\) ?
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  1. Les solutions de l’équation différentielle \(y’=-\dfrac{\ln(2)}{7}y+\dfrac{20\ln(2)}{7}\) sont les fonctions \(t\mapsto Ce^{-\ln(2)t/7}+20\). Soit donc \(C\) un réel tel que, pour tout réel positif \(t\), \(T(t)=Ce^{-\ln(2)t/7}+20\). On a alors \(T(0)=C+20=100\) et donc \(C=80\). Ainsi, pour tout réel \(t\), \(T(t)=80e^{-\ln(2)t/7}+20\).
  2. On a \(\displaystyle\lim_{t\to +\infty}T(t)=20\)
  3. On a \(T(t) \leqslant 25\) si et seulement si \(80e^{-\ln(2)t/7}+20 \leqslant 25\) soit \(e^{-\ln(2)t/7} \leqslant \dfrac{1}{16}\). En appliquant le logarithme népérien, qui est une fonction croissante sur \(]0;+\infty[\), cela équivaut donc à \(-\dfrac{\ln(2)t}{7} \leqslant – \ln(16)\) et donc \(t \geqslant \dfrac{7\ln(16)}{\ln(2)}\). Or, \(\dfrac{7\ln(16)}{\ln(2)} = \dfrac{7\ln(2^4)}{\ln(2)} = \dfrac{7 \times 4\ln(2)}{\ln(2)}=28\). Il faut donc attendre 28 minutes pour que la température du thé soit inférieur à 25 degrés.

Charge d’un condensateur

Le condensateur est un composant électronique qui peut stocker des charges électriques sur ses armatures.

On considère un condensateur déchargé de capacité \(C\), monté en série avec un conducteur ohmique de résistance \(R\) et une différence de potentiel \(E\). \(R\), \(C\) et \(U\) sont des réels strictement positifs. On note \(u(t)\) la tension aux bornes du condensateur au temps \(t\).

  1. On admet que \(u\) vérifie l’équation différentielle \(u+RCu’=E\). Exprimer \(u(t)\) en fonction de \(t\), \(R\), \(C\) et \(E\).
  2. Quelle est la limite de \(u(t)\) lorsque \(t\) tend vers \(+\infty\) ?
  3. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de \(u\) à l’abscisse 0.
  4. Déterminer le point d’intersection de cette tangente avec la droite d’équation \(y=E\). L’abscisse de ce point est appelé « constante de temps » et est notée \(\tau\).
  5. Montrer que \(u(\tau)\simeq 0.63 E\).
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  1. Soit \(y\) une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\). On a \(y+RCy’=E\) si et seulement si \(y’=-\dfrac{1}{RC}y+\dfrac{E}{RC}\). Les solutions de cette équation sont les fonctions \(t \mapsto ke^{-\frac{t}{RC}}+E\). Soit dont \(k\) le réel tel que, pour tout réel \(t\), \(u(t)=ke^{-\frac{t}{RC}}+E\). Puisque le condensateur est initialement déchargé, on a \(u(0)=0\) et donc \(ke^{-\frac{0}{RC}}+E=0\) soit \(k+E=0\) et finalement, \(k=-E\). Ainsi, pour tout réel \(t>0\), \(u(t)=E(1-e^{-\frac{t}{RC}})\).
  2. Puisque \(R\) et \(C\) sont positifs, on a \(\displaystyle\lim_{t \to + \infty}e^{-\frac{t}{RC}}=0\) et donc \(displaystyle\lim_{t \to +\infty}u(t)=E\).
  3. Pour tout réel \(t>0\), \(u'(t)=\dfrac{E}{RC}e^{-\frac{t}{RC}}\). Ainsi, la tangente à la courbe de \(u\) à l’abscisse 0 a pour équation \(y=u'(0)(x-0)+u(0)\) soit \(y=\dfrac{E}{RC}t\).
  4. On a \(\dfrac{E}{RC}t=E\) si et seulement si \(t=RC\). Ainsi, \(\tau =RC\).
  5. On a \(u(\tau)= E(1-e^{-\frac{RC}{RC}})=E(1-e^{-1})\simeq0.63E\).

Résolution avec une solution particulière donnée (1)

On considère l’équation différentielle \((E)\, :\,y’=4y+3x-1\)

  1. Donner l’ensemble des solutions de l’équation homogène associée \((H)\).
  2. Soit \(\varphi\) une solution de \((E)\) et \(f\) une fonction. Montrer que \(f\) est solution de \((E)\) si et seulement si \(f-\varphi\) est solution de \((H)\).
  3. Montrer que \(v:x\mapsto -\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{16}\) est solution de l’équation différentielle \(y’=4y+3x-1\)
  4. En déduire l’ensemble des solutions de cette équation différentielle.
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  1. Les solutions de l’équation homogène associée sont les fonctions \(x\mapsto Ce^{4x}\) où \(C\) est un réel.
  2. On considère la fonction \(v:x\mapsto -\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{16}\). Pour tout réel \(x\), \(v'(x)=-\dfrac{3}{4}\). Ainsi,

    \[v'(x)-4v(x)=-\dfrac{3}{4}-4\times\left( -\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{16}\right)=3x-1\]
    Ainsi, \(v\) est solution de l’équation différentielle \(y’=4y+3x-1\).

  3. \(f\) est solution de \((E)\) si et seulement si, pour tout réel \(x\), \(f'(x)=4f(x)+3x-1\). En retirant \(\varphi'(x)\) aux deux membres de cette équation, on obtient que \(f\) est solution de \((E)\) si et seulement si \(f'(x)-\varphi ‘(x)=4f(x)+3x-1-\varphi ‘(x)\). Or, \(\varphi\) est solution de l’équation \((E)\), et donc, pour tout réel \(x\), \(\varphi’ (x) = 4\varphi (x)+3x-1\).

    On a donc que \(f\) est solution de \((E)\) si et seulement si \(f'(x)-\varphi ‘(x)=4f(x)+3x-1-(4\varphi (x)+3x-1)\) soit \((f-\varphi)'(x) = 4 (f-\varphi(x))\), c’est-à-dire \(f-\varphi\) est solution de \((H)\).

  4. Ainsi, \(f\) est solution de l’équation \(y’=4y+3x-1\) si et seulement si \(f-v\) est solution de l’équation homogène \(y’=4y\), c’est-à-dire qu’il existe un réel \(C\) tel que pour tout réel \(x\), \(f(x)-v(x)=Ce^{4x}\) ou encore \(f(x)=Ce^{4x}+v(x)=Ce^{4x}-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{16}\).

Résolution avec une solution particulière donnée (1)

On considère l’équation différentielle \((E)\, :\, y’+y=e^{-x }\)

  1. Résoudre l’équation homogène associée \((H)\,:\, y’+y=0\)
  2. Soit \(\varphi\) une solution de \((E)\) et \(f\) une fonction. Montrer que \(f\) est solution de \((E)\) si et seulement si \(f-\varphi\) est solution de \((H)\).
  3. Montrer que la fonction \(\varphi:x\mapsto xe^{-x}\) est solution de l’équation \((E)\)
  4. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle \((E)\).
Afficher/Masquer la solution
  1. L’équation homogène associée \(y’+y=0\) ou \(y’=-y\) a pour solutions les fonctions \(x\mapsto Ce^{-x}\) où \(C\) est un réel.
  2. \(f\) est solution de \((E)\) si et seulement si, pour tout réel \(x\), \(f'(x)+f(x)=e^{-x}\). En retirant \(\varphi'(x)\) aux deux membres de cette équation, on obtient que \(f\) est solution de \((E)\) si et seulement si \(f'(x)-\varphi ‘(x)+f(x)=e^{-x}-\varphi ‘(x)\) ce qui équivaut à \(f'(x)-\varphi ‘(x)=-f(x)+e^{-x}-\varphi ‘(x)\). Or, \(\varphi\) est solution de l’équation \((E)\), et donc, pour tout réel \(x\), \(\varphi’ (x) = -\varphi (x)+e^{-x}\).

    On a donc que \(f\) est solution de \((E)\) si et seulement si \(f'(x)-\varphi ‘(x)=-f(x)+e^{-x}+\varphi (x)-e^{-x}\) soit \((f-\varphi)'(x) = – (f-\varphi(x))\), c’est-à-dire \(f-\varphi\) est solution de \((H)\).

  3. On considère la fonction \(\varphi:x\mapsto xe^{-x}\) Pour tout réel \(x\),
    \[\varphi'(x)=1 \times e^{-x}+x\times (-e^{-x})=(1-x)e^{-x}\]
    Ainsi, pour tout réel \(x\),
    \[\varphi'(x)+f(x)=(1-x)e^{-x}+xe^{-x}=e^{-x}\]
    \(\varphi\) est bien solution de l’équation \((E)\)
  4. Les solutions de l’équation différentielle \((E)\) sont les fonctions \(x\mapsto Ce^{-x}+xe^{x}\) où \(C\) est un réel.

Solution particulière de forme donnée

On considère l’équation différentielle \((E)\, :\, 2y’+y=(x+1)e^{-x/2}\).

  1. Résoudre l’équation différentielle homogène \((H) \,:\, 2y’+y=0\)
  2. Déterminer deux réels \(a\) et \(b\) tels que la fonction \(f:x\mapsto (ax^2+bx)e^{-x/2}\) soit solution de l’équation \((E)\)
  3. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation \((E)\).
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  1. L’équation différentielle homogène est \(2y’+y=0\) ou \(y’=-\dfrac{1}{2}y\). Les solutions de cette équation sont les fonctions \(x\mapsto Ce^{-x/2}\) où \(C\) est un réel.
  2. Soit \(a\) et \(b\) deux réels. On considère la fonction \(f:x\mapsto e^{-\frac{x}{2}}(ax^2+bx)\). Pour tout réel \(x\), on a alors

    \[f'(x)=(2ax+b) \times e^{-\frac{x}{2}}+(ax^2+bx) \times \left(-\dfrac{1}{2}\right)e^{-\frac{x}{2}}=\left(-\dfrac{1}{2} ax^2+\left(2a-\dfrac{b}{2}\right)x+b\right)e^{-\frac{x}{2}}\]

    Ainsi, \(f\) est solution de \((E)\) si et seulement si pour tout réel \(x\), \(2f'(x)+f(x)=e^{-\frac{x}{2}}(x+1)\), c’est-à-dire

    \[2 \times \left(-\dfrac{1}{2} ax^2+\left(2a-\dfrac{b}{2}\right)x+b\right)e^{-\frac{x}{2}} + (ax^2+bx)e^{\frac{x}{2}}=(x+1)e^{-\frac{x}{2}}\]

    Les coefficients de \(x^2\) dans le premier membre s’annulent, on doit donc avoir \(\left(4a+b\right)x+2b=x+1\). On a alors \(4a=1\) et \(b=\dfrac{1}{2}\). Ainsi, \(a=\dfrac{1}{4}\) et \(b=\dfrac{1}{2}\).

    La fonction \(x\mapsto \left(\dfrac{1}{4}x^2+\dfrac{1}{2}\right)e^{-\frac{x}{2}}\) est solution de l’équation \((E)\)

  3. Les solutions de l’équation \((E)\) sont les fonction \(x\mapsto Ce^{-x/2}+\left(\dfrac{1}{4}x^2+\dfrac{1}{2}\right)e^{-\frac{x}{2}}\) où \(C\) est un réel.

Superposition des solutions

Soit \(g_1\) et \(g_2\) deux fonctions et \(a\) un réel non nul.
On considère l’équation \((E)\,:\,y’=ay+g_1+g_2\).

  1. Montrer que si \(f_1\) est solution de l’équation \(y’=ay+g_1\) et \(f_2\) est solution de l’équation \(y’=ay+g_2\), alors \(f_1+f_2\) est solution de \((E)\). C’est le principe de superposition des solutions.
  2. Application : on souhaite résoudre l’équation \(y’=2y+e^{3x}+2\)
    1. Donner une solution de l’équation \(y’=2y+2\)
    2. Déterminer un réel \(a\) pour que la fonction \(x\mapsto ae^{3x}\) soit solution de \(y’=2y+e^{3x}\)
    3. En déduire l’ensemble des solutions de \((E)\)
Afficher/Masquer la solution
  1. On a \((f_1+f_2)’ = f_1’+f_2’=af_1+g_1+af_2+g_2=a(f_1+f_2)+g_1+g_2\). \(f_1+f_2\) est solution de \((E)\).
    1. Une solution de l’équation \(y’=2y+2\) est la solution constante égale à \(-1\).
    2. Soit \(a\) un réel et \(f:x\mapsto ae^{3x}\). Alors, pour tout réel \(x\), \[f'(x)-2f(x)=3ae^{3x}-2ae^{3x}=ae^{3x}\). Si l’on prend \(a=1\), alors \(f\) est solution de l’équation \(y’=2y+e^{3x}\).
    3. Les solutions de l’équation homogène \(y’=2y\) sont les fonction \(x\mapsto Ce^{2x}\), pour \(C\) réel. Ainsi, les solutions de \((E)\) sont les fonctions \(x\mapsto Ce^{2x}-1+e^{3x}\), pour \(C\) réel.

Pour aller plus loin…

Variation de la constante

La méthode de la variation de la constante permet de trouver, dans certains cas, une solution particulière à une équation différentielle. Dans cet exercice, on cherche à résoudre l’équation différentielle
\[(E)\quad : \quad y’+y=\dfrac{1}{1+e^x}\]

  1. Résoudre l’équation différentielle homogène associée \(y’+y=0\).
  2. Soit \(f\) une solution de l’équation différentielle \(y’+y=\dfrac{1}{1+e^x}\). On cherche alors une fonction \(C\) définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) telle que pour tout réel \(x\), \(f(x)=C(x)e^{-x}\)
    1. Justifier que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et exprimer \(f'(x)\) pour tout réel \(x\).
    2. On rappelle que \(f\) est solution de \((E)\). En déduire que \(C'(x)=\dfrac{e^x}{1+e^x}\) pour tout réel \(x\).
    3. Déterminer une fonction \(C\) qui convienne.
    4. Réciproquement, montrer que la fonction \(f\) trouvée est bien solution de \((E)\)
  3. En déduire l’ensemble des solutions \((E)\).
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  1. Les solutions de l’équation \(y’+y=0\) ou encore \(y’=-y\) sont les fonctions \(x\mapsto Ce^{-x}\) où \(C\) est un réel quelconque.
    1. \(f\) est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(f'(x)=C'(x)e^{-x}-C(x)e^{-x}\)
    2. Puisque \(f\) est solution de \((E)\), on a, pour tout réel \(x\), \(f'(x)+f(x)=\dfrac{1}{1+e^x}\), c’est-à-dire
      \[C'(x)e^{-x}-C(x)e^{-x}+C(x)e^{-x}=\dfrac{e^x}{1+e^x}\]
      On a donc \(C'(x)=\dfrac{e^x}{1+e^x}\) pour tout réel \(x\).
    3. On reconnaît une fonction de la forme \(\dfrac{u’}{u}\) avec \(u:x\mapsto 1+e^x\), qui est une fonction strictement positive. Une primitive de cette fonction est \(\ln(u)\). La fonction \(x\mapsto \ln(1+e^x)\) convient donc.
    4. Pour tout réel \(x\), on pose \(f(x)=\ln(1+e^x)e^{-x}\).
      • Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=\ln(1+e^x)\). \(u\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(u'(x)=\dfrac{e^x}{1+e^x}\)
      • Pour tout réel \(x\), on pose \(v(x)=e^{-x}\). \(v\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(v'(x)=-e^{-x}\)

      Ainsi, \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\)

      \[f'(x)=\dfrac{e^x}{1+e^x}\times e^{-x}+\ln(1+e^x)\times(-e^{-x})=\dfrac{1}{1+e^x}-\ln(1+e^x)e^{-x}\]

      Ainsi, pour tout réel \(x\),

      \[f'(x)+f(x)=\dfrac{1}{1+e^x}-\ln(1+e^x)e^{-x}+\ln(1+e^x)e^{-x}=\dfrac{1}{1+e^x}\]

      \(f\) est donc bien solution de l’équation différentielle \(y’+y=\dfrac{1}{1+e^x}\).

  2. Les solutions de \((E)\) sont donc les fonctions \(x\mapsto Ce^{-x}+\ln(1+e^x)e^{-x}\) où \(C\) est un réel quelconque.

Modèle de Verhulst

Le parc Kruger est un parc animalier situé en Afrique du Sud. Fondé à la fin du XIXe siècle, celui-ci accueillit notamment une population d’éléphants africains, une espèce menacée d’extinction à cause du braconnage intensif.
Le parc accueillait ainsi 10 éléphants en 1905. Les scientifiques ont estimé que la population \(P\) au temps \(t\), exprimé en années, vérifiait l’équation différentielle

\[(E) \quad : \quad P’ = \dfrac{3}{20}P – \dfrac{P^2}{50000}\]

  1. On suppose que la fonction \(P\) ne s’annule pas sur \([0;+\infty [\). On pose alors, pour tout \(t\geqslant 0\), \(F(t)=\dfrac{1}{P(t)}\)
    1. Exprimer \(F'(t)\) en fonction de \(P(t)\) et \(P'(t)\).
    2. Montrer que \(P\) est solution de l’équation différentielle \((E)\) si et seulement si \(F\) est solution de l’équation différentielle \((E’) \, : \, y’=-\dfrac{3}{20}y + \dfrac{1}{50000}\)
    3. Résoudre l’équation \((E’)\)
    4. En déduire que l’unique solution de l’équation \((E)\) ayant pour condition initiale \(P(0)=10\) est \(P : t \mapsto \dfrac{7500}{1+749e^{-0,15t}}\).
  2. Déterminer la population limite d’éléphants dans le parc.
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    1. Pour tout réel \(t\), \(F'(t)=\dfrac{-P'(t)}{P^2(t)}\)
    2. \(P\) est solution de l’équation différentielle \((E)\) si et seulement si \(P’ = \dfrac{3}{20}P – \dfrac{P^2}{50000}\). En divisant par \(P^2\), on obtient \() \dfrac{P’}{P^2} = \dfrac{3}{20P} – \dfrac{1}{50000}\), c’est-à-dire \(-F’=\dfrac{3}{20}F-\dfrac{1}{50000}\) ou encore \(F’=-\dfrac{3}{20}F+\dfrac{1}{50000}\). \(F\) est solution de l’équation différentielle \((E’) \, : \, y’=-\dfrac{3}{20}y + \dfrac{1}{50000}\).
    3. L’équation \((E’)\) est du type \(y’=ay+b\). Ses solutions générales sont donc les fonctions \(t\mapsto C e^{at}-\dfrac{b}{a}\) où \(C\) est un réel. Ainsi, les solutions de \((E’)\) sont les fonctions \(t \mapsto Ce^{-0.15t}+\dfrac{1}{7500}\).
    4. On rappelle que \(F=\dfrac{1}{P}\) et donc \(P=\dfrac{1}{F}\). Ainsi, les solutions de \((E)\) sont les \(P_C:t \mapsto \dfrac{1}{Ce^{-0.15t}+\dfrac{1}{7500}}\) pour \(C\) réel. En multipliant numérateur et dénominateur par 7500, on obtient \(P_C(t)=\dfrac{7500}{1+7500Ce^{-0.15t}}\). Par ailleurs, \(P(0)=10\). Or, \(P_C(0)=\dfrac{7500}{1+7500C}\). Ainsi, pour déterminer l’unique solution de l’équation \((E)\) ayant pour condition initiale \(P(0)=10\), il faut résoudre l’équation \(\dfrac{7500}{1+7500C}=10\). On trouve alors \(C=\dfrac{7490}{75000}=\dfrac{749}{7500}\). Ainsi, l’unique solution de \((E)\) qui vaut \(10\) en 10 est \(P:t \mapsto \dfrac{7500}{1+749e^{-0.15t}}\).
  1. Puisque \(\displaystyle \lim_{t \to + \infty} 749e^{-0.15t} = 0\), il en vient que \(\displaystyle \lim_{t \to + \infty} P(t)=7500\).

Modèle de Gompertz

Un laboratoire de recherche étudie l’évolution d’une population animale qui semble en voie de disparition.

En 2000, une étude est effectuée sur un échantillon de cette population dont l’effectif initial est égal à mille. Cet échantillon évolue et son effectif, exprimé en milliers d’individus, est approché par une fonction \(f\) du temps \(t\), exprimé en années à partir de l’origine 2000.

D’après le module d’évolution choisi, la fonction \(f\) est dérivable, strictement positive sur \([0;+\infty[\) et satisfait l’équation différentielle

\[(E)\,:\,y’=-\dfrac{1}{20}y(3-\ln(y))\]

  1. Soit \(f\) une solution de \((E)\) et \(g=\ln(f)\).
    1. Justifier que \(f\) est dérivable sur \([0;+\infty[\) et exprimer \(g’\) en fonction de \(f’\) et \(f\).
    2. Montrer que \(g\) est solution de l’équation différentielle \((E’)\,:\,y’=\dfrac{1}{20}y-\dfrac{3}{20}\)
    3. Résoudre l’équation \((E’)\)
    4. En déduire qu’il existe un réel \(C\) tel quel pour tout réel \(x\),
      \[f(x)=\exp\left(3+C\;\exp\left(\dfrac{x}{20}\right)\right)\]
  2. Réciproquement, pour \(C\) un réel, on considère la fonction \(f:x\mapsto \exp\left(3+C\;\exp\left(\dfrac{x}{20}\right)\right)\). Montrer que \(f\) est une solution de l’équation \((E)\).
  3. Les conditions initiales conduisent à considérer la fonction \(f\) définie pour tout \(t>0\) par
    \[f(t)= \exp\left(3-3\;\exp\left(\dfrac{t}{20}\right)\right)\]

    1. Déterminer la limite de \(f\) en \(+\infty\)
    2. Déterminer le sens de variations de \(f\) sur \([0;+\infty[\)
    3. Au bout de combien d’années la taille de l’échantillon sera-t-elle inférieure à vingt individus ?
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  1. Soit \(f\) une solution de \((E)\) et \(g=\ln(f)\).
    1. Puisque \(f\) est dérivable et strictement positive, \(\ln(f)\) est dérivable et \((\ln(f))’=\dfrac{f’}{f}\).
    2. Puisque \(f\) est solution de \((E)\), on a alors \(f’=-\dfrac{1}{20}f(3-\ln(f))\). En divisant par \(f\) qui est strictement positive, on a
      \[ \dfrac{f’}{f}=-\dfrac{3}{20}+\dfrac{1}{20}\ln(f)\]
      c’est-à-dire \(g’= \dfrac{1}{20}g-\dfrac{3}{20}\)

      \(g\) est solution de l’équation différentielle \((E’)\,:\,y’=\dfrac{1}{20}y-\dfrac{3}{20}\)

    3. Les solutions de l’équation \((E’)\) sont les fonctions \(x\mapsto Ce^{x/20}+3\) où \(C\) est un réel
    4. Ainsi, il existe un réel \(C\) tel quel pour tout réel \(x\), \(g(x)=\ln(f(x))= Ce^{x/20}+3\) et donc
      \[f(x)=\exp\left(3+C\;\exp\left(\dfrac{x}{20}\right)\right)\]
  2. Réciproquement, pour \(C\) un réel, on considère la fonction \(f:x\mapsto \exp\left(3+C\;\exp\left(\dfrac{x}{20}\right)\right)\).

    \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\),

    \[f'(x)=\dfrac{C}{20}\exp\left(\dfrac{x}{20}\right)\times \exp\left(3+C\;\exp\left(\dfrac{x}{20}\right)\right)=\dfrac{C}{20}\exp\left(3+\dfrac{x}{20}+C\;\exp\left(\dfrac{x}{20}\right)\right)\]

    Par ailleurs, pour tout réel \(x\),

    \[-\dfrac{1}{20} f(x) (3-\ln(f(x))=-\dfrac{1}{20}\exp\left(3+C\;\exp\left(\dfrac{x}{20}\right)\right) \left[3-\ln\left(\exp\left(3+C\;\exp\left(\dfrac{x}{20}\right)\right)\right)\right]\]

    Ainsi,

    \[-\dfrac{1}{20} f(x) (3-\ln(f(x))=-\dfrac{1}{20}\exp\left(3+C\;\exp\left(\dfrac{x}{20}\right)\right) \left[3-\left(3+C\;\exp\left(\dfrac{x}{20}\right)\right)\right]\]

    Et donc,

    \[-\dfrac{1}{20} f(x) (3-\ln(f(x))=-\dfrac{1}{20}\exp\left(3+C\;\exp\left(\dfrac{x}{20}\right)\right) \left[-C\;\exp\left(\dfrac{x}{20}\right)\right]=\dfrac{C}{20}\exp\left(3+\dfrac{x}{20}+C\;\exp\left(\dfrac{x}{20}\right)\right)=f'(x)\]

    \(f\) est donc solution de l’équation \((E)\).

  3. Les conditions initiales conduisent à considérer la fonction \(f\) définie pour tout \(t>0\) par
    \[f(t)= \exp\left(3-3\;\exp\left(\dfrac{t}{20}\right)\right)\]

    1. On a \(\lim_{t \to +\infty} f(t)=0\).
    2. Puisque pour tout réel \(x\), \(f'(x)=-\dfrac{3}{20}\exp\left(3-+\dfrac{3}{20}\;\exp\left(\dfrac{t}{20}\right)\right)<0\), \(f\) est strictement décroissante sur \([0;+\infty[\).
    3. On cherche à résoudre l’équation \(f(t)\leqslant 0.02\), c’est-à-dire

      \[ \exp\left(3-3\;\exp\left(\dfrac{t}{20}\right)\right) \leqslant 0.02\]

      On a alors

      \[ -3\;\exp\left(\dfrac{t}{20}\right) \leqslant \ln(0.02)-3\]
      puis
      \[ \exp\left(\dfrac{t}{20}\right) \geqslant \dfrac{\ln(0.02)-3}{-3}\]

      et enfin

      \[ t \geqslant 20 \ln\left( \dfrac{\ln(0.02)-3}{-3} \right)\]

      Or, \(20 \ln\left( \dfrac{\ln(0.02)-3}{-3} \right) \simeq 16.69\).
      La taille de l’échantillon sera-t-elle inférieure à 20 individus après 17 ans.

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