Dérivation : exercices corrigés

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Rappels sur la dérivation

Calculs de dérivée

Dériver les fonctions suivantes, en précisant leur domaine de définition et de dérivation.

\( f_1 : x \mapsto 5x^3+2x^2-3x+1\) \(f_2 : x \mapsto 8x^7+\dfrac{4}{x^2}\)
\( f_3 : x \mapsto 2x^4 + e^{3x-1}\) \( f_4 : x \mapsto (5x^2+2x-1)e^x\)
\( f_5 : x \mapsto (1-6x^2)e^{3x+2}\) \( f_6 : x \mapsto \dfrac{e^x}{x}\)
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\(f_1\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\). Pour tout réel \(x\)
\[ f_1′(x)=5\times 3x^2 + 2 \times 2x -3 = 15x^2+4x-3\]

\(f_2\) est définie et dérivable sur \(]-\infty;0[\) et \(]0;+\infty[\). Pour tout réel non nul \(x\),
\[ f_2′(x)=8\times 7x^6 + 4 \times \left(-\dfrac{2}{x^3}\right)=56x^6-\dfrac{8}{x^3}\]
Remarque : en mettant au même dénominateur, on a \(f’_2(x)=\dfrac{56x^9-8}{x^3}\)

\(f_3\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\). Pour tout réel \(x\)
\[f_3′(x)=2\times 4x^3+3e^{3x-1}=8x^3+3e^{3x-1}\]

\(f_4\) est définie sur \(\mathbb{R}\). Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=5x^2+2x-1\) et \(v(x)=e^x\)

  • \(u\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(u'(x)=10x+2\)
  • \(v\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(v'(x)=e^x\)

Ainsi, puisque \(f_4=uv\), \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f_4’=u’v+uv’\). Pour tout réel \(x\), on a donc
\[ f_4′(x)=(10x+2)e^x+(5x^2+2x-1)e^x=(5x^2+12x+1)e^x\]

Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=1-6x^2\) et \(v(x)=e^{3x+2}\)

  • \(u\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(u'(x)=-12x\)
  • \(v\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(v'(x)=3e^{3x+2}x\)

Ainsi, puisque \(f_5=uv\), \(f_5\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f’=u’v+uv’\). Pour tout réel \(x\), on a donc
\[ f_5′(x)=-12xe^{3x+2}+(1-6x^2)\times 3e^{3x+2}=[-12x+(1-6x^2)\times 3] e^{3x+2}=(-18x^2-12x+3)e^{3x+2}\]

\(f_6\) est définie sur sur \(]-\infty;0[\) et \(]0;+\infty[\). Pour tout réel non nul \(x\), on pose \(u(x)=e^x\) et \(v(x)=x\)

  • \(u\) est dérivable sur \(]-\infty;0[\) et \(]0;+\infty[\), et pour tout réel non nul \(x\), \(u'(x)=e^x\)
  • \(v\) est dérivable et ne s’annule pas sur \(]-\infty;0[\) et \(]0;+\infty[\), et pour tout réel non nul \(x\), \(v'(x)=1\)

Ainsi, puisque \(f_6=\dfrac{u}{v}\), \(f\) est dérivable sur \(]-\infty;0[\) et \(]0;+\infty[\) et \(f_6’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}\). Pour tout réel non nul \(x\), on a donc
\[ f_6′(x)=\dfrac{e^x\times x-e^x\times 1}{x^2}=\dfrac{(x-1)e^x}{x^2}\]

Etude de fonction polynôme

On considère la fonction \(f:x\mapsto x^3+3x^2-45x+21\) définie sur \(\mathbb{R}\)

  1. \(f\) est dérivable pour tout \(x\in\mathbb{R}\). Que vaut \(f'(x)\) ?
  2. Construire le tableau de signes de \(f’\) et en déduire le tableau de variations de \(f\).
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  1. Pour tout réel \(x\)
    \[f'(x)=3x^2+6x-45\]
  2. Notons \(\Delta\) le discriminant du polynôme \(3x^2+6x-45\).
    \[ \Delta = 6^2-4\times 3 \times (-45)=576>0\]
    Le polynôme \(3x^2+6x-45\) possède donc deux racines réelles distinctes
    \[ x_1 = \dfrac{-6-\sqrt{576}}{2\times 3}=-5 \quad \text{et}\quad x_2= \dfrac{-6+\sqrt{576}}{2\times 3}=3\]
    Par ailleurs, le signe d’un polynôme est celui de son coefficient dominant (ici, 3) à l’extérieur des racines. Il est du signe opposé entre les racines. On peut alors dresser le tableau de signe de \(f’\) et en déduire le tableau de variations de \(f\).

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Exponentielle et quotient

Pour tout réel \(x \neq -1\), on pose \(f(x)=\dfrac{e^x}{1+x}\)

  1. Justifier que \(f\) est dérivable sur \(]-\infty ; -1[\) et sur \(]-1;+\infty[\) et que pour tout réel \(x\) dans ces intervalles
    \[f'(x)=\dfrac{x\,e^x}{(1+x)^2}\]
  2. Étudier le signe de \(f'(x)\) et en déduire le tableau de variations de \(f\).
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  1. Pour tout réel \(x\neq -1\), on pose \(u(x)=e^x\) et \(v(x)=1+x\)
    • \(u\) est dérivable sur \(]-\infty;-1[\) et \(]-1;+\infty[\), et pour tout réel \(x\neq -1\), \(u'(x)=e^x\)
    • \(v\) est dérivable et ne s’annule pas sur \(]-\infty;-1[\) et \(]-1;+\infty[\), et pour tout réel \(x\neq -1\), \(v'(x)=1\)

    Ainsi, puisque \(f=\dfrac{u}{v}\), \(f\) est dérivable sur \(]-\infty;-1[\) et \(]-1;+\infty[\) et \(f’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}\). Pour tout réel \(x\neq -1\), on a donc
    \[ f'(x)=\dfrac{e^x \times (1+x)-e^x\times 1}{(1+x)^2}=\dfrac{xe^x}{(1+x)^2}\]

  2. Pour tout réel \(x\), \((1+x)^2\geqslant 0\) et \(e^x >0\). On peut utiliser un tableau de signes.

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Exponentielle et produit

Construire le tableau de variations de la fonction \(f:x\mapsto (-x^2+x+1)e^x\) définie sur \(\mathbb{R}\).
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Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=-x^2+x+1\) et \(v(x)=e^x\)

    • \(u\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(u'(x)=-2x+1\)
    • \(v\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(v'(x)=e^x\)
        Ainsi, puisque \(f=uv\), \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f’=u’v+uv’\). Pour tout réel \(x\), on a donc
      • \[ f'(x)=(-2x+1)e^x+(-x^2+x+1)e^x=(-x^2-x+2)e^x\]
      • Pour tout réel \(x\), \(e^x>0\). Il ne reste donc qu’à étudier le signe de \(-x^2-x+2\). Il s’agit d’un polynôme du second degré. Son discriminant vaut \(\Delta = (-1)^2*4\times(-1)\times 2 = 9>0\). Le polynôme \(-x^2-x+2\) admet donc deux racines réelles distinctes
      • \[ x_1=\dfrac{-(-1)-\sqrt{9}}{2\times(-1)}=1 \quad\text{et}\quad x_2=\dfrac{-(-1)+\sqrt{9}}{2\times(-1)}=-2\]
      • Notez que ces racines plutôt évidentes auraient également pu être trouvées de tête.

On peut alors construire le tableau de signes de \(f’\) et en déduire le tableau de variations de \(f\).

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Montrer une inégalité

A l’aide d’une étude de fonction, montrer que pour tout réel \(x\), \(e^x \geqslant 1+x\)
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Pour tout réel \(x\), on pose \(f(x)=e^x-x-1\). \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(f'(x)=e^x-1\). On sait par ailleurs que \(e^x \geqslant 1 \Leftrightarrow x\geqslant 0\). On en déduit le tableau de signes de \(f’\) et le tableau de variations de \(f\).

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On a en effet \(f(0)=e^0-0-1=0\).

Ainsi, pour tout réel \(x\), \(f(x)\geqslant 0\), soit \(e^x-x-1 \geqslant 0\) et donc \(e^x \geqslant 1+x\)

Graphiquement, cela signifie que la courbe de la fonction exponentielle est toujours au-dessus de sa tangente en 0.

Dérivée seconde

Dériver deux fois

Pour chacune des fonctions suivantes, deux fois dérivables sur l’intervalle mentionné, donner une expression de la dérivée seconde.

  • \(f_1 : x \mapsto 6x^2+2x-1\) sur \(\mathbb{R}\)
  • \(f_2 : x \mapsto 3x^2+2x-\dfrac{3}{x}\), sur \(]-\infty;0[\)
  • \(f_3 : x \mapsto x^2e^{3x+1}\), sur \(\mathbb{R}\)
  • \(f_4 : x \mapsto \dfrac{3x^2-1}{x}\), sur \(]-\infty;0[\)
  • \(f_5 : x \mapsto (1-6x^2)e^{3x+2}\), sur \(\mathbb{R}\)
  • \(f_6 : x \mapsto \dfrac{e^x}{x}\), sur \(]0;+\infty[\)
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  • Pour tout réel \(x\), \(f_1′(x)=12x+2\) et \(f_1^{\prime\prime}(x)=12\).
  • Pour tout réel \(x<0\), \(f_2′(x)=6x+\dfrac{3}{x^2}\) et \(f_2^{\prime\prime}(x)=6-\dfrac{6}{x^3}\).
  • Pour tout réel \(x\), on pose \(u_1(x)=x^2\) et \(v_1(x)=e^{3x+1}\). \(u_1\) et \(v_1\) sont dérivables sur \(\mathbb{R}\). \(f\) est donc également dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f’=u_1’v_1+u_1v_1’\). Ainsi, pour tout réel \(x\),\[ f_3′(x)= 2x \times e^{3x+1} + x^2 \times 3e^{3x+1} = (3x^2+2x)e^{3x+1}\]Pour tout réel \(x\), on pose \(u_2(x)=3x^2+2x\) et \(v_2(x)=e^{3x+1}\). \(u_2\) et \(v_2\) sont dérivables sur \(\mathbb{R}\), \(f_3’\) l’est donc également et \(f_3^{\prime\prime}=u_2’v_2+u_2v_2’\). Ainsi, pour tout réel \(x\),\[f^{\prime\prime}(x)=(6x+2)e^{3x+1}+(3x^2+2x)\times 3e^{3x+1}=(3x^2+12x+2)e^{3x+1}\]
  • On peut remarquer que pour tout réel \(x<0\), \(f_4(x)=\dfrac{3x^2}{x}-\dfrac{1}{x}=3x-\dfrac{1}{x}\). Ainsi, pour tout réel \(x<0\), \(f_4′(x)=3+\dfrac{1}{x^2}\) et \(f_4^{\prime\prime}(x)=-\dfrac{2}{x^3}\).
  • Pour tout réel \(x\), on pose \(u_1(x)=1-6x^2\) et \(v_1(x)=e^{3x+2}\)
    • \(u_1\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(u_1′(x)=-12x\)
    • \(v_1\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(v_1′(x)=3e^{3x+2}x\)

    Ainsi, puisque \(f_5=u_1v_1\), \(f_5\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f_5’=u_1’v_1+u_1v_1’\). Pour tout réel \(x\), on a donc
    \[ f_5′(x)=-12xe^{3x+2}+(1-6x^2)\times 3e^{3x+2}=[-12x+(1-6x^2)\times 3] e^{3x+2}=(-18x^2-12x+3)e^{3x+2}\]

    Pour tout réel \(x\), on pose alors \(u_2(x)=-18x^2-12x+3\) et \(v_2(x)=e^{3x+2}\). \(u_2\) et \(v_2\) sont dérivables sur \(\mathbb{R}\), \(f_5’\) l’est donc également. Pour tout réel \(x\),

    \[ f_5^{\prime\prime}(x)= (-36x-12)e^{3x+2} + (-18x^2-12x+3) \times 3e^{3x+2}=(-54x^2-72x-3)e^{3x+2}\]

  • Pour tout réel \(x>0\), on pose \(u_1(x)=e^x\) et \(v_1(x)=x\). \(u_1\) et \(v_1\) sont dérivables sur \(]0;+\infty[\) et \(v\) ne s’annule pas sur cet intervalle. Ainsi, \(f_6\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\) et pour tout réel \(x\),\[ f_6′(x)= \dfrac{e^x \times x – e^x \times 1}{x^2}=\dfrac{(x-1)e^x}{x^2}\]Posons alors, pour tout réel \(x>0\), \(u_2(x)=(x-1)e^x\) et \(v_2(x)=x^2\). \(v_2\) est dérivable et ne s’annule pas sur \(]0;+\infty[\). Par ailleurs, \(u_1\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\) car c’est un produit de fonctions dérivables sur cet intervalle. Par ailleurs, pour tout réel \(x>0\)\[ u_1′(x)= 1 \times e^x + (x-1)e^x =xe^x\]Ainsi, pour tout réel \(x>0\)\[ f_6^{\prime\prime}(x)=\dfrac{xe^x \times x^2-(x-1)e^x \times 2x}{x^4}=\dfrac{(x^3-2x^2+2x)e^x}{x^4}=\dfrac{(x^2-2x+2)e^x}{x^3}\]

Application de la dérivée seconde

On considère la fonction \(f\) définie pour tout \(x\in\mathbb{R}\) par \(f(x)=3x^4+16x^3-66x^2-360x+120\).

  1. Soit \(x\) un réel. Que vaut \(f'(x)\) ?
  2. On note \(f^{\prime\prime}\) la dérivée de \(f’\). Que vaut \(f^{\prime\prime}(x)\) ?
  3. Construire la tableau de signes de \(f^{\prime\prime}\).
  4. En déduire le tableau de variations de \(f’\).
  5. On indique de plus que \(f'(-5)=f'(3)=f'(-2)=0\). Construire le tableau de signes de \(f’\) et en déduire le tableau de variations de \(f\).
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Pour tout réel \(x\), \(f^{\prime}(x)=12x^3+48x^2-132x-360\) et \(f^{\prime\prime}(x)=36x^2+96x-132\)

\(f^{\prime\prime}\) est une fonction polynôme du second degré dont le discriminant vaut \(96^2-4 \times 36 \times (-132)=28224>0\). L’équation \(f »(x)=0\) admet donc deux solutions réels
\[x_1=\dfrac{-96-\sqrt{28224}}{2 \times 36}=-\dfrac{11}{3} \quad \text{et}x_2=\dfrac{-96+\sqrt{28224}}{2 \times 36}=1\]

On peut alors construire le tableau de signes de \(f^{\prime\prime}\). Par ailleurs, \(f^{\prime\prime}\) étant la dérivée de \(f’\), on en déduit le tableau de variations de \(f’\).

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Puisque \(f’\) est croissante sur \(]-\infty;5]\) et que \(f'(5)=0\), on en déduit que pour tout réel \(x\leqslant 5\), \(f'(x)\leqslant 0\). En raisonnant de même sur les autres intervalles, on en déduit le tableau de signes de \(f’\) et donc le tableau de variations de \(f\).

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Étude graphique

On considère une fonction \(f\) deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\). On a représenté ci-dessous la courbe de \(f’\) dans un repère orthonormé.

On sait par ailleurs que \(f(-6)=-1\), \(f(-5,5)=0\) et \(f(-1)=2\). Construire le tableau de signes de \(f^{\prime\prime}\) et \(f\) sur l’intervalle \([-6;7]\)

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\(f^{\prime\prime}\) est la dérivée de \(f’\). Les variations de \(f’\) nous donnent donc le signe de \(f^{\prime\prime}\).

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Par ailleurs, à l’aide du signe de \(f’\), on peut construire le tableau de variations de \(f\). Les informations sur les valeurs extrêmes de \(f\) nous permettent de construire son tableau de signes.

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Dérivée seconde d’un produit

Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions deux fois dérivables sur un intervalle \(I\). Justifier que \((fg)\) est deux fois dérivable sur \(I\) et exprimer \((fg)^{\prime\prime}\) en fonction de \(f\), \(g\) et de leurs dérivées.
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Si \(f\) et \(g\) sont dérivables, alors \(fg\) l’est également et \((fg)’=f’g+fg’\). Si de plus \(f’\) et \(g’\) sont dérivables, alors \(f’g\) et \(fg’\) le sont également et

  • \((f’g)’=f^{\prime\prime}g+f’g’\)
  • \((fg’)’=f’g’+fg^{\prime\prime}\)

Ainsi, \((fg)’\) est dérivable et
\[(fg)^{\prime\prime}=f^{\prime\prime}g+f’g’+f’g’+fg^{\prime\prime}=f^{\prime\prime}g+2f’g’+fg^{\prime\prime}\]

Dérivée d’ordre \(n\)

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(n\) un entier naturel. Lorsqu’il est possible de dériver \(n\) fois la fonction \(f\) sur \(I\), on dit que \(f\) est \(n\) fois dérivable et on note \(f^{(n)}\) la fonction obtenue en dérivant \(n\) fois. On a alors \(f^{(0)}=f\), \(f^{(1)}=f’\), \(f^{(2)}=f^{\prime\prime}\)…

  1. On considère la fonction \(f:x\mapsto x e^x\). Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(f\) est \(n\) fois dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(f^{(n)}(x)=(x+n)e^x\)
  2. On considère la fonction \(g:x\mapsto x e^{-x}\). Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(g\) est \(n\) fois dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(g^{(n)}(x)=(-1)^n (x-n)e^{-x}\)
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1. Pour tout entier naturel \(n\), on considère la proposition \(P(n)\) : « \(f\) est \(n\) fois dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(f^{(n)}(x)=(x+n)e^x\) »

  • Initialisation : \(f\) est bien dérivable 0 fois et pour tout réel \(x\), \(f^{(0)}(x)=f(x)=(x+0)e^x\). \(P(0)\) est vraie.
  • Hérédité : Soit \(n\) un entier naturel. Supposons que \(P(n)\) est vraie. Alors \(f\) est \(n\) fois dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(f^{(n)}(x)=(x+n)e^x\). \(f^{(n)}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) car c’est le produit de deux fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}\). \(f\) est donc \(n+1\) fois dérivable sur \(\mathbb{R}\). Par ailleurs, pour tout réel \(x\),
    \[f^{(n+1)}(x) = (f^{(n)})'(x)=e^x+(x+1)e^x=(x+n+1)e^x\]
    \(P(n+1)\) est donc vraie
  • \(P(0)\) est vraie, \(P\) est héréditaire. Par récurrence, \(P(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).

2. Pour tout entier naturel \(n\), on considère la proposition \(P(n)\) : « \(g\) est \(n\) fois dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(g^{(n)}(x)=(-1)^n (x-n)e^{-x}\) »

  • Initialisation : \(g\) est bien dérivable 0 fois et pour tout réel \(x\), \(g^{(0)}(x)=g(x)=(x-0)e^{-x}\). \(P(0)\) est vraie.
  • Hérédité : Soit \(n\) un entier naturel. Supposons que \(P(n)\) est vraie. Alors \(g\) est \(n\) fois dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(g^{(n)}(x)=(-1)^n(x-n)e^{-x}\). \(g^{(n)}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) car c’est le produit de deux fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}\). \(g\) est donc \(n+1\) fois dérivable sur \(\mathbb{R}\). Par ailleurs, pour tout réel \(x\),
    \[g^{(n+1)}(x) = (g^{(n)})'(x)=(-1)^n \times(e^{-x}+(x-n)\times(-e^{-x})) = (-1)^n (1-x+n) e^{-x}=(-1)^n \times (-(x-n-1))e^{-x}=(-1)^{n+1}(x-(n+1))e^{-x} \]
    \(P(n+1)\) est donc vraie
  • \(P(0)\) est vraie, \(P\) est héréditaire. Par récurrence, \(P(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).

Une équation avec des fonctions ?

Pour cet exercice, on pourra utiliser le résultat suivant : soit \(h\) une fonction définie et deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\). Alors \(h^{\prime\prime}=0\) si et seulement si \(h\) est affine.

On souhaite déterminer toutes les fonctions \(f\) définies et deux fois dérivables sur \(\mathbb{R}\) telles que

\((E)\) : Pour tout réel \(x\), \(f^{\prime\prime}(x)-2f'(x)+f(x)=0\)

  1. Vérifier que la fonction \(\exp\) est solution de ce problème.
  2. Soit \(f\) une solution de \((E)\)et \(g\) la fonction définie pour tout réel \(x\) par \(g(x)=f(x)e^{-x}\)
    1. Vérifier que \(g\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\) et que \(g^{\prime\prime}=0\)
    2. En déduire qu’il existe des réels \(a\) et \(b\) tels que pour tout réel \(x\), \(f(x)=(ax+b)e^x\)
  3. Réciproquement, vérifier que les fonctions trouvées sont bien solutions du problème.
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1. \(\exp\) est bien deux fois dérivable. On a par ailleurs \(\exp ‘ = \exp\) et \(\exp^{\prime\prime}=\exp\). Ainsi, pour tout réel \(x\),
\[ \exp^{\prime\prime}(x)-2\exp'(x)+\exp(x)=\exp(x)-2\exp(x)+\exp(x) = 0\]

2.1. \(g\) est dérivable (par produit) sur \(\mathbb{R}\). Pour tout réel \(x\),
\[ g'(x)=f'(x)e^{-x}-f(x)e^{-x}=(f'(x)-f(x))e^{-x}\]
\(g’\) est donc dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\),
\[g^{\prime\prime}(x)=(f^{\prime\prime}(x)-f'(x))e^{-x}-(f'(x)-f(x))e^{-x}=(f^{\prime\prime}(x)-2f'(x)+f(x))e^{-x}\]
Or, \(f\) est solution de \((E)\) et donc, pour tout réel \(x\), \(f^{\prime\prime}(x)-2f'(x)+f(x)=0\).

Finalement, pour tout réel \(x\), \(g^{\prime\prime}(x)=0\)

2.2. D’après le résultat admis dans l’énoncé, puisque \(g^{\prime\prime}=0\), \(g\) est affine. Il existe donc deux réels \(a\) et \(b\) tels que pour tout réel \(x\), \(g(x)=ax+b\). Par définition de \(g\), on a donc \(ax+b=f(x)e^{-x}\) et donc \(f(x)=(ax+b)e^x\)

3. Soit \(a\) et \(b\) deux réels. On considère la fonction \(f\) définie pour tout réel \(x\) par \(f(x)=(ax+b)e^x\). \(f\) est dérivable (par produit) sur \(\mathbb{R}\). Pour tout réel \(x\),
\[f'(x) = a\,e^x+(ax+b)e^x=(ax+b+a)e^x\]
\(f’\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\),
\[f^{\prime\prime}(x)=a\,e^x+(ax+b+a)e^x=(ax+b+2a)e^x\]
Ainsi, pour tout réel \(x\)
\[ f^{\prime\prime}(x)-2f'(x)+f(x)=(ax+b+2a)e^x-2(ax+b+a)e^x+(ax+b)e^x=(ax+b+2a-2ax-2b-2a+b)e^x=0\]
\(f\) est bien une solution du problème.

Fonctions composées

Composition de fonctions

Pour tout réel \(x\), on pose \(f(x)=x^2+1\), \(g(x)=3x+2\) et \(h(x)=2-x\).

Donner une expression de \((f \circ g) (x)\), \((g \circ f) (x)\), \((h \circ g) (x)\) et \((f \circ g \circ h) (x)\).

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  • Pour tout réel \(x\), \((f \circ g) (x)=f(g(x))=g(x)^2+1=(3x+2)^2+1=9x^2+12x+5\)
  • Pour tout réel \(x\), \((g \circ f) (x)=3f(x)+2=3(x^2+1)+2=3x^2+5\)
  • Pour tout réel \(x\), \((h \circ g) (x)=2-g(x)=2-(3x+2)=-3x\)
  • Pour tout réel \(x\)
    \[(f \circ g \circ h) (x)=(f \circ g)(h(x))=(3h(x)+2)^2+1=(8-3x)^2+1=9x^2-48x+65\]

Involutions

Soit \(f\) une fonction définie sur un ensemble \(E\). On dit que \(f\) est une involution de \(E\) si pour tout \(x\in E\), \((f \circ f)(x)=x\).

  1. Montrer que la fonction \(f:x\mapsto \dfrac{1}{x}\) est une involution de \(\mathbb{R}^*\)
  2. Soit \(a\) un réel. Montrer que la fonction \(g:x\mapsto a-x\) est une involution de \(\mathbb{R}\)
  3. Soit \(a\) et \(b\) deux réels, avec \(b\neq 0\). Montrer que la fonction \(h:x\mapsto \dfrac{b}{x-a}+a\) est une involution de \(\mathbb{R}\setminus \{a\}\).
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  1. Pour tout réel \(x\neq 0\), \(f(f(x))=\dfrac{1}{\frac{1}{x}}=x\). \(f\) est bien une involution de \(\mathbb{R}^*\).
  2. Pour tout réel \(x\), \(g(g(x))=a-(a-x)=x\). \(g\) est une involution de \(\mathbb{R}\).
  3. Pour tout réel \(x\neq a\),\[h(h(x))=\dfrac{b}{\left(\frac{b}{x-a}+a\right)-a}+a=\dfrac{b}{\dfrac{b}{x-a}}+a=x-a+a=x\]
    \(h\) est une involution de \(\mathbb{R}\setminus \{a\}\).

Dériver une composée

Dériver les fonctions suivantes, dérivables sur l’intervalle donné.

  • \(f_1 : x \mapsto (3x+2)^2\), sur \(\mathbb{R}\)
  • \(f_2 : x \mapsto (6x^2+3x+4)^3\), sur \(\mathbb{R}\)
  • \(f_3 : x \mapsto e^{\sqrt{x}}\), sur \(]0;+\infty[\)
  • \(f_4 : x \mapsto \sqrt{2x^2-5x+7}\),sur \(\mathbb{R}\)
  • \(f_5 : x \mapsto \dfrac{1}{(3x+6)^2}\), sur \(]-2;+\infty[\)
  • \(f_6 : x \mapsto e^{x+\frac{1}{x}}\), sur \(]-\infty;0[\)
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  • Pour tout réel \(x\), \(f’_1(x)=3\times 2 (3x+2)=18x+12\)
  • Pour tout réel \(x\), \(f’_2(x)=(12x+3)\times 3(6x^2+3x+4)^2=(36x+9)(6x^2+3x+4)^2\)
  • Pour tout réel \(x>0\), \(f’_3(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\times e^{\sqrt{x}}\)
  • Pour tout réel \(x\), \(f’_4(x)=\dfrac{4x-5}{2\sqrt{2x^2-5x+7}}\)
  • Pour tout réel \(x>2\), \(f_5′(x)=3 \times \left(-\dfrac{2}{(3x+6)^3}\right)=-\dfrac{6}{(3x+6)^3}\)
  • Pour tout réel \(x\neq 0\), \(f’_6(x)=\left(1-\dfrac{1}{x^2}\right)e^{x+\frac{1}{x}}\)

Etude de fonction avec exponentielle

On considère la fonction \(f:x\mapsto e^{3x^2+2x-1}\), définie sur \(\mathbb{R}\)

  1. Justifier que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et calculer \(f'(x)\) pour tout réel \(x\).
  2. Construire le tableau de variations de \(f\).
  3. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse \(-1\).
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  1. Pour tout réel \(x\), \(f(x)=e^{u(x)}\) avec \(u(x)=3x^2+2x-1\). \(u\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), \(f\) l’est donc aussi et \(f’=u’e^u\). Ainsi, pour tout réel \(x\),
    \[f'(x)=(6x+2)e^{3x^2+2x-1}\]
  2. Pour tout réel \(x\), \(e^{3x^2+2x-1}>0\), \(f'(x)\) est donc du signe de \(6x+2\).

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  3. La tangente à la courbe de \(f\) à l’abscisse \(-1\) a pour équation
    \[y=f'(-1)(x+1)+f(-1)=-4(x+1)+1=-4x-3\]

Etude de fonction avec racine carrée

Construire le tableau de variations de la fonction \(f:x\mapsto \sqrt{x^2-4x+5}\), définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) puis tracer l’allure de sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
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Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=x^2-4x+5\). \(u\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(x^2-4x+5>0\). En effet, il s’agit d’un polynôme du second degré dont le discriminant est strictement négatif.

De plus, \(f(x)=\sqrt{u(x)}\). Ainsi, \(f\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f’=\dfrac{u’}{2\sqrt{u}}\). Pour tout réel \(x\), on a donc

\[f'(x)=\dfrac{2x-4}{2\sqrt{x^2-4x+5}}\]

Puisque pour tout réel \(x\), \(\sqrt{x^2-4x+5}>0\), \(f'(x)\) est du signe de \(2x-4\)

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On peut tracer l’allure de la courbe de \(f\)

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Double composée

On considère la fonction \(f:x\mapsto \sqrt{1-x^2}\). On note \(D\) le domaine de définition de \(f\) et \(D’\) son domaine de dérivabilité.

  1. Déterminer \(D\) et \(D’\).
  2. Donner une expression de \(f'(x)\) pour tout \(x\in D’\).
  3. Pour tout réel \(x\in D\), on pose \(g(x)=e^{\sqrt{1-x^2}}\).
    1. Justifier que \(g\) est dérivable sur \(D’\) et calculer \(g'(x)\) pour tout \(x\) dans \(D’\).
    2. En déduire le sens de variations de \(g\).
    3. Tracer l’allure de la courbe représentative de \(g\) dans un repère orthonormé.
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  1. \(\sqrt{1-x^2}\) existe si et seulement si \(1-x^2 \geqslant 0\), c’est-à-dire \((1-x)(1+x) \geqslant 0\) et donc \(x\in [-1;1]\). Par ailleurs, la fonction racine carrée n’est pas dérivable en zéro. Ainsi, \(f\) n’est pas dérivable en \(-1\) et \(1\), qui sont les solutions de l’équation \(f(x)=0\). On a donc \(D’=]-1;1[\)
  2. Pour tout \(x\in D’\), \(f'(x)=\dfrac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}=-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\).
    1. On a \(g=e^f\). Or, \(f\) est dérivable sur \(D’\), \(g\) l’est donc également et pour tout réel \(x\) de \(D’\),
      \[g'(x)=f'(x) \times e^{f(x)}=-\dfrac{xe^{\sqrt{1-x^2}}}{\sqrt{1-x^2}}\]
    2. Puisque pour tout réel \(x\in D\), \(\sqrt{1-x^2}>0\) et \(e^{-\sqrt{1-x^2}}>0\), \(g'(x)\) est du signe de \(-x\).

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Dérivée seconde d’une fonction composée

Pour chacune des fonctions suivantes, définies et deux fois dérivables sur \(\mathbb{R}\), donner une expression de la dérivée seconde.

  • \(f:x\mapsto e^{x^2+2x-5}\)
  • \(g:x \mapsto \left(\dfrac{x^2-2x-3}{2}\right)^2\)
  • \(h:x \mapsto \dfrac{1}{x^2+1}\)
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  • Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=x^2+2x-5\). \(u\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f=e^u\). \(f\) est donc dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f’=u’ e^u\). Pour tout réel \(x\), \(f'(x)=(2x+2)e^{x^2+2x-5}\) puis, en dérivant ce produit de fonctions,
    \[f^{\prime\prime}(x)=2 \times e^{x^2+2x-5} + (2x+2) \times (2x+2)e^{x^2+2x-5} = (4x^2+8x+6)e^{x^2+2x-5}\]
  • Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=\dfrac{x^2-2x-3}{2}\). \(u\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f=u^2\). \(f\) est donc dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f’=2u’u\). Pour tout réel \(x\),
    \[f'(x)=2 \times (x-1) \times \dfrac{x^2-2x-3}{2}=(x-1)(x^2-2x-3)\]
    \(f’\) est le produit de deux fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}\) et est donc dérivable sur \(\mathbb{R}\). Pour tout réel \(x\)
    \[f^{\prime\prime}(x)=1 \times (x^2-2x-3) + (x-1) \times (2x-2)=3x^2-6x-1\]
  • Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=x^2+1\). \(u\) est dérivable et ne s’annule pas sur \(\mathbb{R}\) et \(f=\dfrac{1}{u}\). \(f\) est donc dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f’=-\dfrac{u’}{u^2}\). Pour tout réel \(x\),
    \[f'(x)=-\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}\]
    Pour tout réel \(x\), on pose \(v(x)=(x^2+1)^2=u(x)^2\). \(v\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(v’=2uu’\). Ainsi, pour tout réel \(x\), \[v'(x)=4x(x^2+1)\]. Il en vient, en dérivant le quotient que, pour tout réel \(x\),

    \[f^{\prime\prime}(x)=-\dfrac{2(x^2+1)^2-2x \times 4x(x^2+1)}{((x^2+1)^2)^2}\]
    ce qui donne
    \[f^{\prime\prime}(x)=-\dfrac{(x^2+1)\times (2(x^2+1)-8x^2)}{(x^2+1)^4}=\dfrac{6x^2-2}{(x^2+1)^3}\]