\(f_1\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\). Pour tout réel \(x\)
\[ f_1′(x)=5\times 3x^2 + 2 \times 2x -3 = 15x^2+4x-3\]

\(f_2\) est définie et dérivable sur \(]-\infty;0[\) et \(]0;+\infty[\). Pour tout réel non nul \(x\),
\[ f_2′(x)=8\times 7x^6 + 4 \times \left(-\dfrac{2}{x^3}\right)=56x^6-\dfrac{8}{x^3}\]
Remarque : en mettant au même dénominateur, on a \(f’_2(x)=\dfrac{56x^9-8}{x^3}\)

\(f_3\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\). Pour tout réel \(x\)
\[f_3′(x)=2\times 4x^3+3e^{3x-1}=8x^3+3e^{3x-1}\]

\(f_4\) est définie sur \(\mathbb{R}\). Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=5x^2+2x-1\) et \(v(x)=e^x\)

• \(u\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(u'(x)=10x+2\)
• \(v\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(v'(x)=e^x\)

Ainsi, puisque \(f_4=uv\), \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f_4’=u’v+uv’\). Pour tout réel \(x\), on a donc
\[ f_4′(x)=(10x+2)e^x+(5x^2+2x-1)e^x=(5x^2+12x+1)e^x\]

Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=1-6x^2\) et \(v(x)=e^{3x+2}\)

• \(u\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(u'(x)=-12x\)
• \(v\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(v'(x)=3e^{3x+2}x\)

Ainsi, puisque \(f_5=uv\), \(f_5\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f’=u’v+uv’\). Pour tout réel \(x\), on a donc
\[ f_5′(x)=-12xe^{3x+2}+(1-6x^2)\times 3e^{3x+2}=[-12x+(1-6x^2)\times 3] e^{3x+2}=(-18x^2-12x+3)e^{3x+2}\]

\(f_6\) est définie sur sur \(]-\infty;0[\) et \(]0;+\infty[\). Pour tout réel non nul \(x\), on pose \(u(x)=e^x\) et \(v(x)=x\)

• \(u\) est dérivable sur \(]-\infty;0[\) et \(]0;+\infty[\), et pour tout réel non nul \(x\), \(u'(x)=e^x\)
• \(v\) est dérivable et ne s’annule pas sur \(]-\infty;0[\) et \(]0;+\infty[\), et pour tout réel non nul \(x\), \(v'(x)=1\)

Ainsi, puisque \(f_6=\dfrac{u}{v}\), \(f\) est dérivable sur \(]-\infty;0[\) et \(]0;+\infty[\) et \(f_6’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}\). Pour tout réel non nul \(x\), on a donc
\[ f_6′(x)=\dfrac{e^x\times x-e^x\times 1}{x^2}=\dfrac{(x-1)e^x}{x^2}\]

1. Pour tout réel \(x\)
   \[f'(x)=3x^2+6x-45\]
2. Notons \(\Delta\) le discriminant du polynôme \(3x^2+6x-45\).
   \[ \Delta = 6^2-4\times 3 \times (-45)=576>0\]
   Le polynôme \(3x^2+6x-45\) possède donc deux racines réelles distinctes
   \[ x_1 = \dfrac{-6-\sqrt{576}}{2\times 3}=-5 \quad \text{et}\quad x_2= \dfrac{-6+\sqrt{576}}{2\times 3}=3\]
   Par ailleurs, le signe d’un polynôme est celui de son coefficient dominant (ici, 3) à l’extérieur des racines. Il est du signe opposé entre les racines. On peut alors dresser le tableau de signe de \(f’\) et en déduire le tableau de variations de \(f\).

   

1. Pour tout réel \(x\neq -1\), on pose \(u(x)=e^x\) et \(v(x)=1+x\)
   • \(u\) est dérivable sur \(]-\infty;-1[\) et \(]-1;+\infty[\), et pour tout réel \(x\neq -1\), \(u'(x)=e^x\)
   • \(v\) est dérivable et ne s’annule pas sur \(]-\infty;-1[\) et \(]-1;+\infty[\), et pour tout réel \(x\neq -1\), \(v'(x)=1\)

   Ainsi, puisque \(f=\dfrac{u}{v}\), \(f\) est dérivable sur \(]-\infty;-1[\) et \(]-1;+\infty[\) et \(f’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}\). Pour tout réel \(x\neq -1\), on a donc
   \[ f'(x)=\dfrac{e^x \times (1+x)-e^x\times 1}{(1+x)^2}=\dfrac{xe^x}{(1+x)^2}\]

2. Pour tout réel \(x\), \((1+x)^2\geqslant 0\) et \(e^x >0\). On peut utiliser un tableau de signes.

   

Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=-x^2+x+1\) et \(v(x)=e^x\)

• • \(u\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(u'(x)=-2x+1\)
  • \(v\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(v'(x)=e^x\)
    Ainsi, puisque \(f=uv\), \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f’=u’v+uv’\). Pour tout réel \(x\), on a donc

• • \[ f'(x)=(-2x+1)e^x+(-x^2+x+1)e^x=(-x^2-x+2)e^x\]

• • Pour tout réel \(x\), \(e^x>0\). Il ne reste donc qu’à étudier le signe de \(-x^2-x+2\). Il s’agit d’un polynôme du second degré. Son discriminant vaut \(\Delta = (-1)^2*4\times(-1)\times 2 = 9>0\). Le polynôme \(-x^2-x+2\) admet donc deux racines réelles distinctes

• • \[ x_1=\dfrac{-(-1)-\sqrt{9}}{2\times(-1)}=1 \quad\text{et}\quad x_2=\dfrac{-(-1)+\sqrt{9}}{2\times(-1)}=-2\]

• • Notez que ces racines plutôt évidentes auraient également pu être trouvées de tête.

On peut alors construire le tableau de signes de \(f’\) et en déduire le tableau de variations de \(f\).

Pour tout réel \(x\), on pose \(f(x)=e^x-x-1\). \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(f'(x)=e^x-1\). On sait par ailleurs que \(e^x \geqslant 1 \Leftrightarrow x\geqslant 0\). On en déduit le tableau de signes de \(f’\) et le tableau de variations de \(f\).

On a en effet \(f(0)=e^0-0-1=0\).

Ainsi, pour tout réel \(x\), \(f(x)\geqslant 0\), soit \(e^x-x-1 \geqslant 0\) et donc \(e^x \geqslant 1+x\)

Graphiquement, cela signifie que la courbe de la fonction exponentielle est toujours au-dessus de sa tangente en 0.

• Pour tout réel \(x\), \(f_1′(x)=12x+2\) et \(f_1^{\prime\prime}(x)=12\).
• Pour tout réel \(x<0\), \(f_2′(x)=6x+\dfrac{3}{x^2}\) et \(f_2^{\prime\prime}(x)=6-\dfrac{6}{x^3}\).
• Pour tout réel \(x\), on pose \(u_1(x)=x^2\) et \(v_1(x)=e^{3x+1}\). \(u_1\) et \(v_1\) sont dérivables sur \(\mathbb{R}\). \(f\) est donc également dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f’=u_1’v_1+u_1v_1’\). Ainsi, pour tout réel \(x\),\[ f_3′(x)= 2x \times e^{3x+1} + x^2 \times 3e^{3x+1} = (3x^2+2x)e^{3x+1}\]Pour tout réel \(x\), on pose \(u_2(x)=3x^2+2x\) et \(v_2(x)=e^{3x+1}\). \(u_2\) et \(v_2\) sont dérivables sur \(\mathbb{R}\), \(f_3’\) l’est donc également et \(f_3^{\prime\prime}=u_2’v_2+u_2v_2’\). Ainsi, pour tout réel \(x\),\[f^{\prime\prime}(x)=(6x+2)e^{3x+1}+(3x^2+2x)\times 3e^{3x+1}=(3x^2+12x+2)e^{3x+1}\]
• On peut remarquer que pour tout réel \(x<0\), \(f_4(x)=\dfrac{3x^2}{x}-\dfrac{1}{x}=3x-\dfrac{1}{x}\). Ainsi, pour tout réel \(x<0\), \(f_4′(x)=3+\dfrac{1}{x^2}\) et \(f_4^{\prime\prime}(x)=-\dfrac{2}{x^3}\).
• Pour tout réel \(x\), on pose \(u_1(x)=1-6x^2\) et \(v_1(x)=e^{3x+2}\)
  • \(u_1\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(u_1′(x)=-12x\)
  • \(v_1\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(v_1′(x)=3e^{3x+2}x\)

  Ainsi, puisque \(f_5=u_1v_1\), \(f_5\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f_5’=u_1’v_1+u_1v_1’\). Pour tout réel \(x\), on a donc
  \[ f_5′(x)=-12xe^{3x+2}+(1-6x^2)\times 3e^{3x+2}=[-12x+(1-6x^2)\times 3] e^{3x+2}=(-18x^2-12x+3)e^{3x+2}\]

  Pour tout réel \(x\), on pose alors \(u_2(x)=-18x^2-12x+3\) et \(v_2(x)=e^{3x+2}\). \(u_2\) et \(v_2\) sont dérivables sur \(\mathbb{R}\), \(f_5’\) l’est donc également. Pour tout réel \(x\),

  \[ f_5^{\prime\prime}(x)= (-36x-12)e^{3x+2} + (-18x^2-12x+3) \times 3e^{3x+2}=(-54x^2-72x-3)e^{3x+2}\]

• Pour tout réel \(x>0\), on pose \(u_1(x)=e^x\) et \(v_1(x)=x\). \(u_1\) et \(v_1\) sont dérivables sur \(]0;+\infty[\) et \(v\) ne s’annule pas sur cet intervalle. Ainsi, \(f_6\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\) et pour tout réel \(x\),\[ f_6′(x)= \dfrac{e^x \times x – e^x \times 1}{x^2}=\dfrac{(x-1)e^x}{x^2}\]Posons alors, pour tout réel \(x>0\), \(u_2(x)=(x-1)e^x\) et \(v_2(x)=x^2\). \(v_2\) est dérivable et ne s’annule pas sur \(]0;+\infty[\). Par ailleurs, \(u_1\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\) car c’est un produit de fonctions dérivables sur cet intervalle. Par ailleurs, pour tout réel \(x>0\)\[ u_1′(x)= 1 \times e^x + (x-1)e^x =xe^x\]Ainsi, pour tout réel \(x>0\)\[ f_6^{\prime\prime}(x)=\dfrac{xe^x \times x^2-(x-1)e^x \times 2x}{x^4}=\dfrac{(x^3-2x^2+2x)e^x}{x^4}=\dfrac{(x^2-2x+2)e^x}{x^3}\]

Pour tout réel \(x\), \(f^{\prime}(x)=12x^3+48x^2-132x-360\) et \(f^{\prime\prime}(x)=36x^2+96x-132\)

\(f^{\prime\prime}\) est une fonction polynôme du second degré dont le discriminant vaut \(96^2-4 \times 36 \times (-132)=28224>0\). L’équation \(f »(x)=0\) admet donc deux solutions réels
\[x_1=\dfrac{-96-\sqrt{28224}}{2 \times 36}=-\dfrac{11}{3} \quad \text{et}x_2=\dfrac{-96+\sqrt{28224}}{2 \times 36}=1\]

On peut alors construire le tableau de signes de \(f^{\prime\prime}\). Par ailleurs, \(f^{\prime\prime}\) étant la dérivée de \(f’\), on en déduit le tableau de variations de \(f’\).

Puisque \(f’\) est croissante sur \(]-\infty;5]\) et que \(f'(5)=0\), on en déduit que pour tout réel \(x\leqslant 5\), \(f'(x)\leqslant 0\). En raisonnant de même sur les autres intervalles, on en déduit le tableau de signes de \(f’\) et donc le tableau de variations de \(f\).

\(f^{\prime\prime}\) est la dérivée de \(f’\). Les variations de \(f’\) nous donnent donc le signe de \(f^{\prime\prime}\).

Par ailleurs, à l’aide du signe de \(f’\), on peut construire le tableau de variations de \(f\). Les informations sur les valeurs extrêmes de \(f\) nous permettent de construire son tableau de signes.

Si \(f\) et \(g\) sont dérivables, alors \(fg\) l’est également et \((fg)’=f’g+fg’\). Si de plus \(f’\) et \(g’\) sont dérivables, alors \(f’g\) et \(fg’\) le sont également et

• \((f’g)’=f^{\prime\prime}g+f’g’\)
• \((fg’)’=f’g’+fg^{\prime\prime}\)

Ainsi, \((fg)’\) est dérivable et
\[(fg)^{\prime\prime}=f^{\prime\prime}g+f’g’+f’g’+fg^{\prime\prime}=f^{\prime\prime}g+2f’g’+fg^{\prime\prime}\]

1. Pour tout entier naturel \(n\), on considère la proposition \(P(n)\) : « \(f\) est \(n\) fois dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(f^{(n)}(x)=(x+n)e^x\) »

• Initialisation : \(f\) est bien dérivable 0 fois et pour tout réel \(x\), \(f^{(0)}(x)=f(x)=(x+0)e^x\). \(P(0)\) est vraie.
• Hérédité : Soit \(n\) un entier naturel. Supposons que \(P(n)\) est vraie. Alors \(f\) est \(n\) fois dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(f^{(n)}(x)=(x+n)e^x\). \(f^{(n)}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) car c’est le produit de deux fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}\). \(f\) est donc \(n+1\) fois dérivable sur \(\mathbb{R}\). Par ailleurs, pour tout réel \(x\),
  \[f^{(n+1)}(x) = (f^{(n)})'(x)=e^x+(x+1)e^x=(x+n+1)e^x\]
  \(P(n+1)\) est donc vraie
• \(P(0)\) est vraie, \(P\) est héréditaire. Par récurrence, \(P(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).

2. Pour tout entier naturel \(n\), on considère la proposition \(P(n)\) : « \(g\) est \(n\) fois dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(g^{(n)}(x)=(-1)^n (x-n)e^{-x}\) »

• Initialisation : \(g\) est bien dérivable 0 fois et pour tout réel \(x\), \(g^{(0)}(x)=g(x)=(x-0)e^{-x}\). \(P(0)\) est vraie.
• Hérédité : Soit \(n\) un entier naturel. Supposons que \(P(n)\) est vraie. Alors \(g\) est \(n\) fois dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(g^{(n)}(x)=(-1)^n(x-n)e^{-x}\). \(g^{(n)}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) car c’est le produit de deux fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}\). \(g\) est donc \(n+1\) fois dérivable sur \(\mathbb{R}\). Par ailleurs, pour tout réel \(x\),
  \[\begin{eqnarray*}g^{(n+1)}(x) = (g^{(n)})'(x)&=&(-1)^n \times(e^{-x}+(x-n)\times(-e^{-x}))\\& =& (-1)^n (1-x+n) e^{-x} \\&=&(-1)^n \times (-(x-n-1))e^{-x}\\&=&(-1)^{n+1}(x-(n+1))e^{-x}\end{eqnarray*} \]
  \(P(n+1)\) est donc vraie
• \(P(0)\) est vraie, \(P\) est héréditaire. Par récurrence, \(P(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).

1. \(\exp\) est bien deux fois dérivable. On a par ailleurs \(\exp ‘ = \exp\) et \(\exp^{\prime\prime}=\exp\). Ainsi, pour tout réel \(x\),
\[ \exp^{\prime\prime}(x)-2\exp'(x)+\exp(x)=\exp(x)-2\exp(x)+\exp(x) = 0\]

2.1. \(g\) est dérivable (par produit) sur \(\mathbb{R}\). Pour tout réel \(x\),
\[ g'(x)=f'(x)e^{-x}-f(x)e^{-x}=(f'(x)-f(x))e^{-x}\]
\(g’\) est donc dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\),
\[g^{\prime\prime}(x)=(f^{\prime\prime}(x)-f'(x))e^{-x}-(f'(x)-f(x))e^{-x}=(f^{\prime\prime}(x)-2f'(x)+f(x))e^{-x}\]
Or, \(f\) est solution de \((E)\) et donc, pour tout réel \(x\), \(f^{\prime\prime}(x)-2f'(x)+f(x)=0\).

Finalement, pour tout réel \(x\), \(g^{\prime\prime}(x)=0\)

2.2. D’après le résultat admis dans l’énoncé, puisque \(g^{\prime\prime}=0\), \(g\) est affine. Il existe donc deux réels \(a\) et \(b\) tels que pour tout réel \(x\), \(g(x)=ax+b\). Par définition de \(g\), on a donc \(ax+b=f(x)e^{-x}\) et donc \(f(x)=(ax+b)e^x\)

3. Soit \(a\) et \(b\) deux réels. On considère la fonction \(f\) définie pour tout réel \(x\) par \(f(x)=(ax+b)e^x\). \(f\) est dérivable (par produit) sur \(\mathbb{R}\). Pour tout réel \(x\),
\[f'(x) = a\,e^x+(ax+b)e^x=(ax+b+a)e^x\]
\(f’\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\),
\[f^{\prime\prime}(x)=a\,e^x+(ax+b+a)e^x=(ax+b+2a)e^x\]
Ainsi, pour tout réel \(x\)
\[ f^{\prime\prime}(x)-2f'(x)+f(x)=(ax+b+2a)e^x-2(ax+b+a)e^x+(ax+b)e^x=(ax+b+2a-2ax-2b-2a+b)e^x=0\]
\(f\) est bien une solution du problème.

• Pour tout réel \(x\), \((f \circ g) (x)=f(g(x))=g(x)^2+1=(3x+2)^2+1=9x^2+12x+5\)
• Pour tout réel \(x\), \((g \circ f) (x)=3f(x)+2=3(x^2+1)+2=3x^2+5\)
• Pour tout réel \(x\), \((h \circ g) (x)=2-g(x)=2-(3x+2)=-3x\)
• Pour tout réel \(x\)
  \[(f \circ g \circ h) (x)=(f \circ g)(h(x))=(3h(x)+2)^2+1=(8-3x)^2+1=9x^2-48x+65\]

1. Pour tout réel \(x\neq 0\), \(f(f(x))=\dfrac{1}{\frac{1}{x}}=x\). \(f\) est bien une involution de \(\mathbb{R}^*\).
2. Pour tout réel \(x\), \(g(g(x))=a-(a-x)=x\). \(g\) est une involution de \(\mathbb{R}\).
3. Pour tout réel \(x\neq a\),\[h(h(x))=\dfrac{b}{\left(\frac{b}{x-a}+a\right)-a}+a=\dfrac{b}{\dfrac{b}{x-a}}+a=x-a+a=x\]
   \(h\) est une involution de \(\mathbb{R}\setminus \{a\}\).

• Pour tout réel \(x\), \(f’_1(x)=3\times 2 (3x+2)=18x+12\)
• Pour tout réel \(x\), \(f’_2(x)=(12x+3)\times 3(6x^2+3x+4)^2=(36x+9)(6x^2+3x+4)^2\)
• Pour tout réel \(x>0\), \(f’_3(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\times e^{\sqrt{x}}\)
• Pour tout réel \(x\), \(f’_4(x)=\dfrac{4x-5}{2\sqrt{2x^2-5x+7}}\)
• Pour tout réel \(x>2\), \(f_5′(x)=3 \times \left(-\dfrac{2}{(3x+6)^3}\right)=-\dfrac{6}{(3x+6)^3}\)
• Pour tout réel \(x\neq 0\), \(f’_6(x)=\left(1-\dfrac{1}{x^2}\right)e^{x+\frac{1}{x}}\)

1. Pour tout réel \(x\), \(f(x)=e^{u(x)}\) avec \(u(x)=3x^2+2x-1\). \(u\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), \(f\) l’est donc aussi et \(f’=u’e^u\). Ainsi, pour tout réel \(x\),
   \[f'(x)=(6x+2)e^{3x^2+2x-1}\]
2. Pour tout réel \(x\), \(e^{3x^2+2x-1}>0\), \(f'(x)\) est donc du signe de \(6x+2\).

   

3. La tangente à la courbe de \(f\) à l’abscisse \(-1\) a pour équation
   \[y=f'(-1)(x+1)+f(-1)=-4(x+1)+1=-4x-3\]

Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=x^2-4x+5\). \(u\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(x^2-4x+5>0\). En effet, il s’agit d’un polynôme du second degré dont le discriminant est strictement négatif.

De plus, \(f(x)=\sqrt{u(x)}\). Ainsi, \(f\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f’=\dfrac{u’}{2\sqrt{u}}\). Pour tout réel \(x\), on a donc

\[f'(x)=\dfrac{2x-4}{2\sqrt{x^2-4x+5}}\]

Puisque pour tout réel \(x\), \(\sqrt{x^2-4x+5}>0\), \(f'(x)\) est du signe de \(2x-4\)

On peut tracer l’allure de la courbe de \(f\)

1. \(\sqrt{1-x^2}\) existe si et seulement si \(1-x^2 \geqslant 0\), c’est-à-dire \((1-x)(1+x) \geqslant 0\) et donc \(x\in [-1;1]\). Par ailleurs, la fonction racine carrée n’est pas dérivable en zéro. Ainsi, \(f\) n’est pas dérivable en \(-1\) et \(1\), qui sont les solutions de l’équation \(f(x)=0\). On a donc \(D’=]-1;1[\)
2. Pour tout \(x\in D’\), \(f'(x)=\dfrac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}=-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\).
   1. On a \(g=e^f\). Or, \(f\) est dérivable sur \(D’\), \(g\) l’est donc également et pour tout réel \(x\) de \(D’\),
      \[g'(x)=f'(x) \times e^{f(x)}=-\dfrac{xe^{\sqrt{1-x^2}}}{\sqrt{1-x^2}}\]
   2. Puisque pour tout réel \(x\in D\), \(\sqrt{1-x^2}>0\) et \(e^{-\sqrt{1-x^2}}>0\), \(g'(x)\) est du signe de \(-x\).

      

   3. 

1. Les fonctions \(x \mapsto e^x\) et \(x\mapsto \sqrt{x}\) sont dérivables sur \(]0;+\infty[\). De plus, la fonction \(x \mapsto \sqrt{x}\) ne s’annule pas sur cet intervalle. Ainsi, \(f\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\) et, pour tout réel \(x>0\), on a
   \[f'(x)= \dfrac{e^x \times \sqrt{x} – e^x \times \frac{1}{2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}^2} = \dfrac{1}{x} \times \dfrac{e^x\sqrt{x} \times 2 \sqrt{x} – e^x}{2\sqrt{x}} = \dfrac{(2x-1)e^x}{2x\sqrt{x}}\]
2. Pour tout réel \(x>0\), \(f'(x)\) est du signe de \((2x-1)\).

   

3. La fonction \(u : x\mapsto x^2+x+1\) est une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\). Par ailleurs, pour tout réel \(x\), \(x^2+x+1>0\) (on calcule le discriminant du polynôme \(x^2+x+1\), celui-ci est négatif). Ainsi, \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\),

   \[g'(x)= u'(x) \times f'(u(x)) = (2x+1) \times \dfrac{(2(x^2+x+1)-1)e^{x^2+x+1}}{2(x^2+x+1)\sqrt{x^2+x+1}}\]
   et donc
   \[g'(x)= \dfrac{(2x+1)(2x^2+2x+1)e^{x^2+x+1}}{2(x^2+x+1)\sqrt{x^2+x+1}} \]

4. \(g'(x)\) est du signe de \((2x+1)\) (on vérifie que pour tout réel \(x\), \(2x^2+2x+1 > 0\) à l’aide du discriminant par exemple).

   

• Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=x^2+2x-5\). \(u\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f=e^u\). \(f\) est donc dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f’=u’ e^u\). Pour tout réel \(x\), \(f'(x)=(2x+2)e^{x^2+2x-5}\) puis, en dérivant ce produit de fonctions,
  \[f^{\prime\prime}(x)=2 \times e^{x^2+2x-5} + (2x+2) \times (2x+2)e^{x^2+2x-5} = (4x^2+8x+6)e^{x^2+2x-5}\]
• Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=\dfrac{x^2-2x-3}{2}\). \(u\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f=u^2\). \(f\) est donc dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f’=2u’u\). Pour tout réel \(x\),
  \[f'(x)=2 \times (x-1) \times \dfrac{x^2-2x-3}{2}=(x-1)(x^2-2x-3)\]
  \(f’\) est le produit de deux fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}\) et est donc dérivable sur \(\mathbb{R}\). Pour tout réel \(x\)
  \[f^{\prime\prime}(x)=1 \times (x^2-2x-3) + (x-1) \times (2x-2)=3x^2-6x-1\]
• Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=x^2+1\). \(u\) est dérivable et ne s’annule pas sur \(\mathbb{R}\) et \(f=\dfrac{1}{u}\). \(f\) est donc dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f’=-\dfrac{u’}{u^2}\). Pour tout réel \(x\),
  \[f'(x)=-\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}\]
  Pour tout réel \(x\), on pose \(v(x)=(x^2+1)^2=u(x)^2\). \(v\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(v’=2uu’\). Ainsi, pour tout réel \(x\), \[v'(x)=4x(x^2+1)\]. Il en vient, en dérivant le quotient que, pour tout réel \(x\),\[f^{\prime\prime}(x)=-\dfrac{2(x^2+1)^2-2x \times 4x(x^2+1)}{((x^2+1)^2)^2}\]
  ce qui donne
  \[f^{\prime\prime}(x)=-\dfrac{(x^2+1)\times (2(x^2+1)-8x^2)}{(x^2+1)^4}=\dfrac{6x^2-2}{(x^2+1)^3}\]