Sur l’intervalle \(]-\pi;\pi]\)….

• \(\cos (x)=\dfrac{1}{2}\) ssi \(x=\dfrac{\pi}{3}\) ou \(x=-\dfrac{\pi}{3}\)
• \(\sin (x) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ssi \(x=\dfrac{\pi}{4}\) ou \(x=\dfrac{3\pi}{4}\)
• \(\cos (x)=0\) ssi \(x=\dfrac{\pi}{2}\) ou \(x=-\dfrac{\pi}{2}\)
• \(\sin (x)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ssi \(x=-\dfrac{\pi}{3}\) ou \(x=-\dfrac{2\pi}{3}\)

Sur l’intervalle \([0;2\pi[\)…

• \(\sin (x)=\dfrac{1}{2}\) ssi \(x=\dfrac{\pi}{6}\) ou \(x=\dfrac{5\pi}{6}\)
• \(\cos (x) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ssi \(x=\dfrac{3\pi}{4}\) ou \(x=\dfrac{5\pi}{4}\)
• \(\cos (x)=0\) ssi \(x=\dfrac{\pi}{2}\) ou \(x=\dfrac{3\pi}{2}\)
• \(\sin (x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ssi \(x=\dfrac{\pi}{3}\) ou \(x=\dfrac{2\pi}{3}\)

Soit \(x\in[0;2\pi]\), \(\cos(x)^2-\dfrac{1}{2}=0\) ssi \(\cos(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ou \(\cos(x)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

Les solutions sont \(\dfrac{\pi}{4}\), \(\dfrac{3\pi}{4}\), \(\dfrac{5\pi}{4}\) et \(\dfrac{7\pi}{4}\).

Sur l’intervalle \([-\pi;\pi]\)…

• \(\cos (x) \leqslant \dfrac{1}{2}\) ssi \(x \in \left[-\pi ; -\dfrac{\pi}{3}\right] \cup \left[\dfrac{\pi}{3};\pi\right]\)
• \(\cos (x) \geqslant 0\) ssi \(x \in \left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]\)
• \(\cos (x) \leqslant -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ssi \(x \in \left[-\pi ; -\dfrac{5\pi}{6}\right] \cup \left[\dfrac{5\pi}{6};\pi\right]\)
• \(\cos (x) < \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ssi \(x \in \left[-\pi ; -\dfrac{\pi}{4}\right[ \cup \left]\dfrac{\pi}{4};\pi\right]\)

Sur l’intervalle \([-\pi;\pi]\)…

• \(2\cos(x)+1 > 2\) ssi \(\cos(x)> \dfrac{1}{2}\) ssi \(x \in \left]-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{3}\right[\).
• \(-\dfrac{1}{2} \leqslant \cos(x) \leqslant \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ssi \(x \in \left[-\dfrac{2\pi}{3} ; -\dfrac{\pi}{6}\right] \cup \left[\dfrac{\pi}{6};\dfrac{2\pi}{3} \right]\)
• \(1-\sqrt{3} \leqslant -2\cos(x)+1 \leqslant 0\) ssi \(\dfrac{\sqrt{3}}{2} \geqslant \cos(x) \geqslant \dfrac{1}{2}\) ssi \(x \in \left[-\dfrac{\pi}{3} ; -\dfrac{\pi}{6}\right] \cup \left[\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{3} \right]\)

Soit \(x\) un réel. \[(\cos(x)+\sin(x))^2+(\cos(x)-\sin(x))^2 = \cos(x)^2+2\cos(x)\sin(x)+\sin(x)^2+\cos(x)^2 +2\sin(x)\cos(x)+\sin(x)^2\]
Ainsi, \((\cos(x)+\sin(x))^2+(\cos(x)-\sin(x))^2 = 2 (\cos(x)^2+\sin(x)^2)=2\).

Pour tout réel \(x\), \(\cos(x)\leqslant -1\) et donc \(2+\cos(x) \leqslant 1\). En particulier, \(2+\cos(x) \neq 0\). \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\).

\(f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2+\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)}=\dfrac{1}{2+\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{\frac{5}{2}}=\dfrac{2}{5}\) et \(f(-\pi)=\dfrac{1}{2+\cos(-\pi)}=\dfrac{1}{2-1}=1\).

Par ailleurs, pour tout réel \(x\), \(-1 \leqslant \cos(x) \leqslant 1\) donc \(1 \leqslant 2+\cos(x) \leqslant 3\) et finalement \(1 \geqslant \dfrac{1}{2+\cos(x)} \geqslant \dfrac{1}{3}\).

Pour tout réel \(x\)…

• \(f_1′(x)=-3\sin(3x)+1\)
• \(f_2′(x)=\cos(x)\cos(x)+\sin(x) \times (-\sin(x))=\cos(x)^2-\sin(x)^2\)
• \(f_3′(x)=e^x\cos(e^x)\)
• \(f_4′(x)=3\cos(x)\sin(x)^2\)
• \(f_5′(x)=\dfrac{\cos(x)(2+ \cos(x))-\sin(x)\times(-\sin(x))}{(2+\cos(x))^2}=\dfrac{2\cos(x)+\cos(x)^2+\sin(x)^2}{(2+\cos(x))^2}=\dfrac{1+2\cos(x)}{(2+\cos(x))^2}\)
• \(f_6′(x)=\dfrac{-2\sin(x)\cos(x)}{1+\cos(x)^2}\)

On a \(f(0)=\cos(0)^2+\sin(0)^2=1^2+0^2=1\).

Par ailleurs, \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(f'(x)=-2\sin(x)\cos(x)+2\cos(x)\sin(x)=0\).

\(f\) est donc constante : pour tout réel \(x\), \(f(x)=1\).

Pour tout réel \(x\), \(x-1 \leqslant f(x) \leqslant x+1\). Or, \(\displaystyle\lim_{x\to + \infty}(x-1)=+\infty\). Ainsi, par comparaison, \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x)= +\infty\). Par ailleurs, \(\displaystyle\lim_{x\to – \infty}(x+1)=-\infty\). Par comparaison, \(\displaystyle\lim_{x \to – \infty}f(x)=- \infty\).

\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(f'(x)=1-\sin(x)\). Or, puisque pour tout réel \(x\), \(\sin(x)\leqslant 1\), on en déduit que pour tout réel \(x\), \(f'(x)\geqslant 0\). \(f\) est donc croissante sur \(\mathbb{R}\).

La tangente à la courbe de \(f\) à l’abscisse 0 a pour équation \(y=f'(0)(x-0)+f(0)\) soit \(y=x+1\).

\(f\) est dérivable comme quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas (en effet, pour tout réel \(x\), \(2+\cos(x) \geqslant 1 >0\)). De plus, pour tout réel \(x\),
\[f'(x)=\dfrac{\cos(x)(2+ \cos(x))-\sin(x)\times(-\sin(x))}{(2+\cos(x))^2}=\dfrac{2\cos(x)+\cos(x)^2+\sin(x)^2}{(2+\cos(x))^2}=\dfrac{1+2\cos(x)}{(2+\cos(x))^2}\]

\(f'(x)\) est donc du signe de \(1+2\cos(x)\).

Or, sur \([0;2\pi]\), \(1+2\cos(x) \geqslant 0\) ssi \(\cos(x) \geqslant -\dfrac{1}{2}\) soit \(x\in \left[0;\dfrac{2\pi}{3} \right] \cup \left[\dfrac{4\pi}{3};2\pi\right]\).

Pour tout réel \(x\geqslant 0\), on pose \(f(x)=x-\sin(x)\). \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+\) et pour tout réel \(x\geqslant 0\), \(f'(x)=1-\cos(x) \geqslant 0\).

\(f\) est donc croissante sur \() \mathbb{R}_+\). Ainsi, pour tout réel \(x \geqslant 0\), \(f(x) \geqslant f(0)\), soit \(x-\sin(x) \geqslant 0\) et donc \(x\geqslant \sin(x)\).

1. On sait que \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}-x^2 = -\infty\), \(\displaystyle\lim_{X\to -\infty}e^X=0\) et \(\displaystyle\lim_{Y\to 0}\cos(x)=1\). Par composition de limite, \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=1\). De même, \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=1\).
2. \(f\) est la composée de fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}\), elle est donc également dérivable sur \(\mathbb{R}\). De plus, pour tout réel \(x\), \(f'(x)=2xe^{-x^2}\sin(e^{-x^2})\)
3. D’une part, pour tout réel \(x\), \(e^{-x^2}\geqslant 0\). Par ailleurs, pour tout réel \(x\), \(-x^2 \leqslant 0\) et, par croissance de l’exponentielle sur \(\mathbb{R}\), \(e^{-x^2} \leqslant e^0\) soit \(e^{-x^2} \leqslant 1\).
4. Pour tout réel \(x\), \(0\leqslant e^{-x^2} \leqslant 1\). Or, la fonction \(\sin\) est croissante sur \([0;1]\). Ainsi, pour tout réel \(x\), \(\sin(0)\leqslant \sin(e^{-x^2}) \leqslant \sin(1)\) et en particulier, \(\sin(e^{-x^2})\geqslant 0\).
5. Pour tout réel \(x\), \(f'(x)\) est donc du signe de \(x\).

   

1. \(f\) est dérivable sur \(\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]\) et pour tout réel \(x\) de cet intervalle, \(f'(x)=1-\cos(x) \geqslant 0\) car \(\cos(x) \leqslant 1\). Par ailleurs, \(f’\) s’annule uniquement en \(0\). \(f\) est donc strictement croissante sur \(\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]\).
2. On a \(f\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=-\dfrac{\pi}{2}+1 \leqslant 0\) et \(f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{\pi}{2}-1 \geqslant 0\). Par ailleurs, \(f\) est continue sur \(\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]\). D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation \(f(x)=0\) possède une solution sur cet intervalle. De plus, la fonction \(f\) étant strictement croissante sur \(\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]\), cette solution est unique. Or, \(f(0)=0\). \(0\) est donc l’unique solution sur \(\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]\) de l’équation \(x-\sin(x)=0\), c’est-à-cire \(\sin(x)=x\).
3. Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(P(n)\) : « \(0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant \dfrac{\pi}{2}\) »
   • On a \(u_0=1\) et \(u_1=\sin(1)\geqslant 1\). On a bien \(0 \leqslant u_{1} \leqslant u_0 \leqslant \dfrac{\pi}{2}\). \(P(0)\) est vraie.
   • Soit \(n\in\mathbb{N}\) tel que \(P(n)\) est vraie. On a alors \(0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant \dfrac{\pi}{2}\). En appliquant la fonction sinus qui est croissante sur \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\), on a alors \(\sin(0) \leqslant \sin(u_{n+1}) \leqslant \sin(u_n) \leqslant \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\). Or, \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1 \leqslant \dfrac{\pi}{2}\). On a donc bien \(0 \leqslant u_{n+2} \leqslant u_{n+1} \leqslant \dfrac{\pi}{2}\)
   • Par récurrence, \(P(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).
4. La suite \((u_n)\) est décroissante et minorée, elle est donc convergente, de limite \(l \in \left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\). La fonction sinus étant continue sur cet intervalle, on a alors \(\sin(l)=l\) et donc \(l=0\) d’après la question 2.

Pour tout réel \(x>0\), posons \(u(x)=\sin(\ln(x))\) et \(v(x)=\cos(\ln(x))\). \(u\) et \(v\) sont dérivables et pour tout réel \(x>0\), \(u'(x)=\dfrac{\cos(\ln(x))}{x}\) et \(v'(x)=-\dfrac{\sin(\ln(x))}{x}\). Ainsi, pour tout réel \(x>0\),
\[f'(x)=\dfrac{1}{2}(\sin(\ln x)-\cos(\ln x))+\dfrac{x}{2}\left(\dfrac{\cos(\ln(x))}{x} -\left(-\dfrac{\sin(\ln(x))}{x}\right)\right)=\sin(\ln(x))\]
\(f\) est une primitive de \(g\) sur \(]0;+\infty[\).

Une primitive de \(f_1:x\mapsto \cos(3x)-2\sin(5x)\) est \(F_1:x \mapsto \dfrac{1}{3}\sin(3x)+\dfrac{2}{5}\sin(5x)\).

Une primitive de \(f_2:x\mapsto \cos(x)-\sin(x\) est \(F_2:x \mapsto \sin(x) + \cos(x)\).

Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=x^2\). On a alors \(f_3 = u’\cos(u)\), une primitive de \(f_3\) est donc \(\sin(u)\) soit \(x\mapsto \sin(x^2)\).

Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=\sin(x)\). On a alors \(f_4=u’u = \dfrac{1}{2} (2u’u)\). Une primitive de \(f_4\) est donc \(\dfrac{u^2}{2}\) soit \(x\mapsto \dfrac{\sin(x)^2}{2}\).

Calculer les intégrales suivantes

a. \(\displaystyle\int_0^{\pi} \cos(x)dx = [\sin(x)]_0^{\pi}=\sin(\pi)-\sin(0)=0-0=0\)

b. \(\displaystyle\int_0^{\pi /4} \sin(x)dx = [-\cos(x)]_0^{\pi /4}=-\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)-(-\cos(0))=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+1=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}\)

c.\(\displaystyle\int_0^{\pi / 6} \sin(2x)dx = \left[-\dfrac{\cos(2x)}{2}\right]_0^{\pi/6} = -\dfrac{\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)}{2}-\left(-\dfrac{\cos(0)}{2}\right)=-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}\)

d. Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=\sin(x)\). On a alors \(\cos(x)\sin(x)^3 = u'(x) \times u(x)^3 = \dfrac{1}{4} \times 4u'(x)u(x)^3\).
Une primitive de \(x\mapsto \cos(x)\sin(x)^3\) est donc \(x\mapsto \dfrac{\sin(x)^4}{4}\). Ainsi, \[\displaystyle\int_0^{\pi} \cos(x)\sin(x)^3dx = \left[\dfrac{\sin(x)^4}{4}\right]_0^{\pi}=0-0=0\]

e. Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=2x^2\). On a alors \(x\cos(2x^2) = \dfrac{1}{4}u'(x)\cos(u(x))\). Une primitive de \(x\mapsto x\cos(2x^2)\) est donc \(x\mapsto \dfrac{\sin(2x^2)}{4}\). Ainsi, \[\displaystyle\int_0^{\sqrt{\pi}}x\cos(2x^2) = \left[\dfrac{\sin(2x^2)}{4}\right]_0^{\sqrt{\pi}}= \dfrac{\sin(2\pi)}{4}-\dfrac{\sin(0)}{4}=0-0=0\]

f. Pour tout réel \(x\in \left[0;\dfrac{\pi}{4}\right]\), \(\dfrac{\sin(x)}{1-\sin(x)^2}=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)^2} = -\dfrac{u'(x)}{u(x)^2}\) en posant \(u(x)=\cos(x)\).
Une primitive de \(x\mapsto \dfrac{\sin(x)}{1-\sin(x)^2}\) sur \(\left[0;\dfrac{\pi}{4}\right]\) est donc \(x\mapsto \dfrac{1}{\cos(x)}\). Ainsi, \[\displaystyle\int_0^{\pi/4} \dfrac{\sin(x)}{1-\sin(x)^2}dx=\left[\dfrac{1}{\cos(x)}\right])_0^{\pi/4}=\dfrac{1}{\cos(\pi/4)}-\dfrac{1}{\cos(0)}=\sqrt{2}-1\]

Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=x\) on cherche \(v\) tel que \(v'(x)=\cos(x)\) : on prend donc \(v:x\mapsto \sin(x)\). D’après la formule d’intégrations par parties, \(\displaystyle \int _{0}^{\pi /2} uv’ (x) dx = [uv]_0^{\pi/2}-\displaystyle \int _{0}^{\pi /2} u’v(x) dx\).Ainsi,
\[\displaystyle \int _{0}^{\pi /2} x\cos (x) dx = [x\sin(x)]_0^{\pi/2}-\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\sin(x)dx=\dfrac{\pi}{2}-0-[-\cos(x)]_0^{\pi/2}=\dfrac{\pi}{2}-(-0-(-1))=\dfrac{\pi}{2}-1\]

Notons \(I=\displaystyle \int _{0}^{\pi /2} e^x\cos (x) dx\)

Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=e^x\) on cherche \(v\) tel que \(v'(x)=\cos(x)\) : on prend donc \(v:x\mapsto \sin(x)\). D’après la formule d’intégrations par parties, \(\displaystyle \int _{0}^{\pi /2} uv’ (x) dx = [uv]_0^{\pi/2}-\displaystyle \int _{0}^{\pi /2} u’v(x) dx\).

Ainsi, \(\displaystyle \int _{0}^{\pi /2} e^x\cos (x) dx = [e^x\sin(x)]_0^{\pi/2}-\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}e^x\sin(x)dx=e^{\pi/2}-\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}e^x\sin(x)dx\)

Cherchons alors à calculer \(\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}e^x\sin(x)dx\). Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=e^x\) on cherche \(v\) tel que \(v'(x)=\sin(x)\) : on prend donc \(v:x\mapsto -\cos(x)\). D’après la formule d’intégrations par parties, \(\displaystyle \int _{0}^{\pi /2} uv’ (x) dx = [uv]_0^{\pi/2}-\displaystyle \int _{0}^{\pi /2} u’v(x) dx\).

Ainsi, \(\displaystyle \int _{0}^{\pi /2} e^x\cos (x) dx = [-e^x\cos(x)]_0^{\pi/2}-\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}(-e^x\cos(x))dx=1+I\).

Ainsi, en reprenant la première IPP, on a \(I=e^{\pi/2}-(1+I)\) et donc \(2I=e^{\pi/2}-1\) et finalement, \(I=\dfrac{e^{\pi/2}-1}{2}\).

Partie A : Étude de la fonction \(f\)

1. Pour tout réel \(x\), \(-1 \leqslant \sin(x) \leqslant \) et \(-1\leqslant -\cos(x) \leqslant 1\). En ajoutant ces inégalités puis en ajoutant 1 à chauqe membre, on a que pour tout réel \(x\), \(-1 \leqslant -\cos(x)+\sin(x)+1 \leqslant 3\), puis, en multipliant par \(e^{-x}\) qui est positif, \(-e^{-x} \leqslant f(x) \leqslant 3e^{-x}\).
2. On a \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty}-e^{-x}=\displaystyle\lim_{x \to + \infty}3e^{-x}=0\). Ainsi, d’après le théorème d’encadrement, \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x)\) existe et vaut 0.
3. Pour tout réel \(x\), \(f'(x)=-e^{-x}(-\cos(x)+\sin(x)+1)+e^{-x}(\sin(x)+\cos(x))=e^{-x}(2\cos(x)-1)\)
4. Sur \([-\pi ; \pi]\), \(f’\) est du signe de \(2\cos(x)-1\). Or, sur cet intervalle, \(2\cos(x)-1\geqslant 0\) ssi \(\cos(x)\geqslant \dfrac{1}{2}\) soit \(x\in\left[-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{3}\right]\).

   

Partie B : Aire du logo

1. Pour tout réel \(x\), \(f(x)-g(x)=e^{-x}(\sin(x)+1)\)
2. Pour tout réel \(x\), \(e^{-x}>0\) et \(\sin(x)+1 \geqslant 0\). Ainsi, pour tout réel \(x\), \(f(x)-g(x)\geqslant 0\) : la courbe de \(f\) est toujours au dessus de la courbe de \(g\).
3. Pour tout réel \(x\),
   \[H'(x)=\left(\dfrac{\sin(x)}{2}-\dfrac{\cos(x)}{2}\right)e^{-x}+\left(-\dfrac{\cos(x)}{2}-\dfrac{ \sin(x)}{2}-1\right) \times(-e^{-x})\]
   Ainsi,
   \[H'(x)=e^{-x}\left(\dfrac{\sin(x)}{2}-\dfrac{\cos(x)}{2}-\left(-\dfrac{\cos(x)}{2}-\dfrac{ \sin(x)}{2}-1\right) \right)=(\sin(x)+1)e^{-x}\]
   \(H\) est une primitive de la fonction \(x\mapsto (\sin(x)+1)e^{-x}\) sur \(\mathbb{R}\).
4. L’aire du logo en unité d’aires vaut \(\displaystyle\int_{-\pi/2}^{3\pi/2}(f(x)-g(x))\). Or, pour tout réel \(x\), \(f(x)-g(x)=(\sin(x)+1)e^{-x}\). Une primitive de \(f-g\) est \(H\).

   Ainsi, \(\displaystyle\int_{-\pi/2}^{3\pi/2}(f(x)-g(x)) = \left[H(x)\right]_{-\pi/2}^{3\pi/2} \simeq 2.4\). L’aire du logo est d’environ 2.4 unités d’aire.

Partie A : Quelques valeurs

1. \(\tan \left( \dfrac{\pi}{4} \right) = \dfrac{\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)}=\dfrac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=1\)

   \( \tan \left( \dfrac{2\pi}{3} \right)=\dfrac{\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)}{\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)}=\dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}}=-\sqrt{3}\)

   \(\tan \left( \dfrac{-3\pi}{4} \right)=\dfrac{\sin\left(\frac{-3\pi}{4}\right)}{\cos\left(\frac{-3\pi}{4}\right)}=\dfrac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}}=1\)

2. Puisque \(x \in \left] -\pi ; \dfrac{-\pi}{2} \right[\), alors \(\cos(x)\leqslant 0\). De plus, \(\cos(x)^2+\sin(x)^2=1\).

   Ainsi, \(\cos(x)^2=1-\dfrac{121}{3721}=\dfrac{3600}{3721}\) et donc \(\cos(x)=-\sqrt{\dfrac{3600}{3721}}=-\dfrac{60}{61}\) Ainsi, \(\tan(x)=\dfrac{-\frac{11}{61}}{-\frac{60}{61}}=\dfrac{11}{60}\).

3. Soit \(x \in \left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right[\). Alors \(\cos(x)>0\), \(\tan(x)\) est donc du signe de \(\sin(x)\). Ainsi, \(\tan(x)\leqslant 0\) ssi \(x\in \left]-\dfrac{\pi}{2};0\right]\).

Partie B : Un peu d’étude de la tangente

1. L’intervalle \(\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right[\) est centré en 0. De plus, pour tout réel \(x\) de cet intervalle, \(\tan(-x)=\dfrac{\sin(-x)}{\cos(-x)}=\dfrac{-\sin(x)}{\cos(x)}=-\tan(x)\). La fonction \(\tan\) est impaire.
2. Pour tout réel \(x\in\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right[\), \(1+(\tan(x))^2=1+\dfrac{\sin(x)^2}{\cos(x)^2}=\dfrac{\cos(x)^2+\sin(x)^2}{(\cos(x))^2}=\dfrac{1}{\cos(x)^2}\)
3. \(\tan\) est dérivable sur \(\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right[\) comme quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur cet intervalle. De plus, pour tout réel \(x\in\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right[\), \[\tan'(x)=\dfrac{\cos(x)\cos(x)-\sin(x) \times (-\sin(x))}{\cos(x)^2}=\dfrac{\cos(x)^2+\sin(x)^2}{\cos(x)^2}=\dfrac{1}{\cos(x)^2}=1+\tan(x)^2\] \(\tan\) est solution de l’équation différentielle \(y’=1+y^2\) sur \(\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right[\).
4. Pour tout réel \(x\in\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right[\), \(\tan'(x)\geqslant 0\). \(\tan\) est donc croissante sur \(\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right[\).
5. La fonction \(\tan’ : x\mapsto \dfrac{1}{\cos(x)^2}\) est dérivable sur \(\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right[\) et pour tout réel \(x\) de cet intervalle, \(\tan^{\prime\prime}(x)=-\dfrac{-\sin(x)}{\cos(x)^4}=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)^4}\). \(\tan^{\prime\prime}\) est donc du signe de \(\sin\). Or, la fonction sinus est négative sur \(\left]-\dfrac{\pi}{2};0\right]\) et positive sur \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right[\). \(\tan\) est donc concave sur \(\left]-\dfrac{\pi}{2};0\right]\) et convexe sur \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right[\)
6. On trace la courbe représentative de la fonction \(\tan\) sur \(\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right[\) dans un repère orthogonal

   

7. Pour tout \(x\in\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right[\), \(\tan(x)=-\dfrac{\cos'(x)}{\cos(x)}\). De plus, sur \(\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right[\), \(\cos(x)>0\). Les primitives de \(\tan\) sur \(\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right[\) sont donc les fonctions \(x\mapsto -\ln(\cos(x)) +C\), où \(C\) est un réel. Or, \(-\ln(\cos(0))=-\ln(1)=0\).

   L’unique primitive de \(\tan\) sur \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\) qui vaut 0 en 0 est donc la fonction \(x\mapsto -\ln(\cos(x))\).

On considère la fonction \(F:x\mapsto \dfrac{I_{max}^2}{2}\left(x-\dfrac{\sin(\omega x)\cos(\omega x)}{\omega}\right)\). \(f\) est dérivable et pour tout réel \(x\),
\[F'(x)=\dfrac{I_{max}^2}{2}\left(1-\dfrac{\omega \cos(\omega x) \cos (\omega x)- \omega \sin( \omega x) \sin (\omega x)}{\omega}\right)=\dfrac{I_{max}^2}{2}\left(1-\cos^2(\omega x)+\sin^2(\omega x)\right)\]

En rappelant que pour tout réel \(X\), \(\cos^2(X)+\sin^2(X)=1\), on obtient alors
\[ F'(x) = \dfrac{I_{max}^2}{2}(\sin^2(\omega x)+\sin^2(\omega x))=I_{max}^2\sin^2(\omega x)=i^2(x)\]

$F\) est une primitive de \(i^2\) sur \([0;2\pi]\). L’intensité efficace d’un tel courant vaut
\[ \sqrt{ \dfrac{1}{\frac{2\pi}{\omega}-0}\int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}} i^2(x)dx} = \dfrac{\sqrt{\omega}}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{F\left(\frac{2\pi}{\omega}\right)-F(0)}\]
Or, \(F\left(\frac{2\pi}{\omega}\right)=\dfrac{\pi I_{max}^2}{\omega}\) et \(F(0)=0\). Ainsi, l’intensité efficace vaut \(\dfrac{\sqrt{\omega}}{\sqrt {2\pi}} \times \sqrt{\dfrac{\pi I_{max}^2}{\omega}}=\dfrac{I_{max}}{\sqrt{2}}\)

1. La fonction sinus est continue et strictement croissante sur l’intervalle \(\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]\). Par ailleurs, \(\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=-1\) et \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1\). Ainsi, d’après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué aux fonctions strictement monotones, l’équation \(\sin(a)=x\) admet une unique solution sur \(\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]\) pour tout réel \(x\) dans l’intervalle \([-1;1]\).
2. Soit \(x\in [-1;1]\). Par définition, \(\sin(\arcsin(x))=x\).

   En revanche \(\arcsin(\sin(\pi))=\arcsin(0)=0\). En particulier, on n’a pas \(\arcsin(\sin(x))=x\) pour tout réel \(x\) : cette égalité n’est vraie que sur l’intervalle \(\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]\).

3. Pour tout \(x\in[-1;1]\), \(\cos^2(\arcsin(x))+\sin^2(\arcsin(x))=1\) d’où \(\cos^2(\arcsin(x))+x^2=1\) et donc \(\cos^2(\arcsin(x))=1-x^2\). Par ailleurs, puisque \(\arcsin(x)\in \left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]\), on a \(\cos(\arcsin(x))\geqslant 0\). On en déduit que \(\cos(\arcsin(x))=\sqrt{1-x^2}\).
4. On admet que la fonction \(x\mapsto \arcsin (x)\) est dérivable sur \(]-1;1[\).

   Pour tout \(x\in]-1,1[\), on a \(\sin(\arcsin(x)=x\). En dérivant, on en déduit que pour tout \(x\in]-1;1[\), \(\arcsin'(x) \times \cos(\arcsin(x))=1,\) soit \(\arcsin'(x)=\dfrac{1}{\cos(\arcsin(x))}=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\).

5. Pour tout réel \(x\in \left[0;\dfrac{1}{2}\right]\), on pose \(u(x)=\arcsin(x)\) et \(v(x)=x\). On a alors \(u'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) et \(v'(x)=1\). Par intégration par parties,
   \[\displaystyle\int_0^{1/2} \arcsin(x) dx = \left[x\arcsin(x)\right]_0^{1/2}-\int_0^{1/2}\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx\]
   D’une part, \(\left[x\arcsin(x)\right]_0^{1/2} = \dfrac{1}{2}\arcsin\left(\dfrac{1}{2}\right)-0=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{12}\).

   Par ailleurs, si l’on pose, pour tout réel \(x\), \(w(x)=1-x^2\), alors \(w'(x)=-2x\). On a alors \(-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{w'(x)}{2\sqrt{w(x)}}\).

   Ainsi, une primitive de la fonction \(x\mapsto \dfrac{-x}{\sqrt{1-x^2}}\) sur \(\left[0;\dfrac{1}{2}\right]\) est la fonction \(x \mapsto \sqrt{1-x^2}\). Il en vient
   \[-\int_0^{1/2}\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx=[\sqrt{1-x^2}]_0^{1/2}=\sqrt{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}-\sqrt{1-0^2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-1\]

   Finalement,
   \[\displaystyle\int_0^{1/2} \arcsin(x) dx = \dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}-1\]
   Oui, il faut parfois s’attendre à ce genre de résultat pas franchement sexy.

Partie A : Convergence de la suite \((W_n)\)

1. On a \(W_0 = \int_0^{\pi/2} 1 dx = \dfrac{\pi}{2}\) et \(W_n = \int_0^{\pi/2} \sin^1(x) dx=[-\cos(x)]_0^{\pi/2}=0-(-1)=1\)
2. Pour tout \(x\in \left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\), \(\sin(x)\geqslant 0\). Il en vient que, pour tout entier naturel \(n\), \(W_n\geqslant 0\). De plus, pour tout \(x \in \left[\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{2}\right]\), \(\sin(x)\geqslant \dfrac{1}{2}\) et donc
   \[W_n \geqslant \int_{\pi/6}^{\pi/2} \sin^n(x) dx \geqslant \int_{\pi/6}^{\pi/2} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n dx = \dfrac{\pi}{3}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n >0\]
3. Pour tout entier naturel \(n\),
   \[W_{n+1}-W_n=\int_0^{\pi/2} (\sin^{n+1}(x)-\sin^n(x)) dx = \int_0^{\pi/2} \sin^n(x)(\sin(x)-1) dx \]
   Or, pour tout \(x\in \left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\), \(\sin^n(x)\geqslant 1\) et \(\sin(x)-1 \leqslant 0\). Il en vient que \(W_{n+1}-W_n \leqslant 0\). La suite \((W_n)\) est donc décroissante.
4. La suite \((W_n)\) est décroissante et minorée par 0, elle est donc convergente.

Partie B : Calcul du terme général

1. Soit \(n\) un entier naturel. On considère la fonction \(u : x \mapsto \sin^{n+1}(x)\) et \(v:x\mapsto -\cos(x)\), définies sur \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\). Pour tout réel \(x\) de cet intervalle, on a alors \(u'(x)=(n+1)\cos(x)\sin^n(x)\) et \(v'(x)=\sin(x)\). Par intégration par parties, on obtient alors
   \[W_{n+2}\int_0^{\pi/2} \sin^{n+2}(x)dx = \int_0^{\pi/2} \sin^{n+1}(x) \times \sin(x) dx = \left[-\sin^{n+1}(x)\cos(x)\right]_0^{\pi/2}+(n+1)\int_0^{\pi/2}\cos^2(x)\sin^n(x)dx\]

   D’une part, \(\left[-\sin^{n+1}(x)\cos(x)\right]_0^{\pi/2}=0\). Par ailleurs, pour tout réel \(x\), \(\cos^2(x)=1-\sin^2(x)\). Ainsi,
   \[W_{n+2}=(n+1)\int_0^{\pi/2}(1-\sin^2(x))\sin^n(x)dx = (n+1)\int_0^{\pi/2}(\sin^n(x)-\sin^{n+2}(x))dx = (n+1)(W_n-W_{n+2})\]

   On a donc \(W_{n+2}=(n+1)W_n-(n+1)W_{n+2}\) et donc \((n+2)W_{n+2}=(n+1)W_n\) et, finalement, \(W_{n+2}=\dfrac{n+1}{n+2}W_n\).

2. Pour tout entier naturel \(p\), on a alors
   \[W_{2p}=\dfrac{2p-1}{2p}W_{2p-2}=\dfrac{2p-1}{2p}\dfrac{2p-3}{2p-2}W_{2p-4}= \dots =\dfrac{2p-1}{2p} \times \dfrac{2p-3}{2p-2} \times \dots \times \dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{2} W_0\]

   Or, en factorisant chaque terme par 2, on a \(2p(2p-2)(2p-4)…\times 4 \times 2=2^p \times p(p-1)(p-2)… \times 1 = 2^pp!\).

   On retrouve au numérateur le produit de tous les nombres impairs de 1 à \(2p-1\) et au dénominateur le produit de tous les nombres pairs de 2 à \(2p-2\).
   En multipliant numérateur et dénominateur par le produit \(2p(2p-2)(2p-4)…\times 4 \times 2\), on complète alors le produit du numérateur : on multiplie tous les nombres de \(1\) à \(2p\) : il s’agit tout simplement de \((2p)!\).

   Finalement, pour tout entier naturel \(p\), \(W_{2p}=\dfrac{(2p)!}{(2^pp)^2}W_0 = \dfrac{\pi}{2}\dfrac{(2p)!}{(2^pp!)^2}\). De même, pour tout entier naturel \(p\),
   \[W_{2p+1}=\dfrac{2p}{2p+1}W_{2p-1}=\dfrac{2p}{2p+1}\dfrac{2p-2}{2p-1}W_{2p-3}= \dots =\dfrac{2p}{2p+1} \times \dfrac{2p-2}{2p-1} \times \dots \times \dfrac{2}{3} \times W_1\]

   En multipliant encore une fois le numérateur et le dénominateur par \(2p(2p-2)(2p-4)…\times 4 \times 2\), on a alors \(W_{2p+1}=\dfrac{(2^pp!)^2}{(2p+1)!}W_1=\dfrac{(2^pp!)^2}{(2p+1)!}\)

   Si vous savez manipuler la notation produit \(\prod\), n’hésitez pas à l’utiliser pour résoudre cet exercice.

Partie C : Étude asymptotique

Pour tout entier naturel \(n\), on pose
\[J_n=(n+1)W_{n+1}W_n \quad \text{et}\]

1. Pour tout entier naturel \(n\), \(J_{n+1}-J_n = (n+2)W_{n+2}W_{n+1}-(n+1)W_{n+1}W_n\). Or, d’après la question B1, \(W_{n+2}=\dfrac{n+1}{n+2}W_n\). Ainsi, \(J_{n+1}-J_n = (n+2)\dfrac{n+1}{n+2}W_nW_{n+1}-(n+1)W_{n+1}W_n=0\).
   Or, \(J_0=W_1W_0=\dfrac{\pi}{2}\). La suite \((J_n)\) est donc constante égale à \(\dfrac{\pi}{2}\).
2. D’une part, la suite \((W_n)\) est décroissante et positive. Ainsi, pour tout entier naturel \(n\), \(\dfrac{W_{n+1}}{W_n} \leqslant 1\). Par ailleurs, toujours par décroissance de la suite \((W_n)\), pour tout entier naturel \(n\), \(W_{n+1} \geqslant W_{n+2}\) et donc, en utilisant la question B1, \(W_{n+1} \geqslant \dfrac{n+1}{n+2}W_n\) d’où \(\dfrac{n+1}{n+2} \leqslant \dfrac{W_{n+1}}{W_n}\)
3. Pour tout entier naturel non nul \(n\), \(nW_nW_{n-1}=\dfrac{\pi}{2}\) d’où \(W_{n-1}=\dfrac{\pi}{2nW_n}\). Or, pour tout entier naturel non nul \(n\), \(\dfrac{n}{n+1} \leqslant \dfrac{W_n}{W_{n-1}} \leqslant 1\).

   Ainsi, en remplaçant \(W_{n-1}\) dans cette inégalité, on a \(\dfrac{n}{n+1} \leqslant \dfrac{2}{\pi}n W_n^2 \leqslant 1\).

   Or, \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{n}{n+1}=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}=1\). D’après le théorème d’encadrement, \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{2}{\pi}n W_n^2\) existe et vaut 1.