• \(\displaystyle\int_{-2}^0f(x)dx\) est l’aire d’un triangle et vaut \(\dfrac{2 \times 2}{2}=2\)
• \(\displaystyle\int_{0}^5f(x)dx\) est l’aire de deux trapèzes. Le premier a une aire de \(\dfrac{(2+3)\times 1}{2}\) et le deuxième une aire de \(\dfrac{(3+2)\times 4}{2}\). L’aire total vaut donc \(12.5\).
• \(\displaystyle\int_{-1}^3f(x)dx\) est l’aire de deux trapèzes. Le premier a une aire de \(\dfrac{(1+3) \times 2}{2}\) et le deuxième a une aire de \(\dfrac{(3+2.5)\times 2}{2}\). L’aire totale vaut donc 9.5.
• Pour calculer l’aire \(\displaystyle\int_{-2}^5f(x)dx\), il suffit d’ajouter les aires \(\displaystyle\int_{-2}^0f(x)dx\) et \(\displaystyle\int_{0}^5f(x)dx\). L’aire recherchée vaut donc \(14.5\)

Il est possible d’encadrer l’intégrale en comptant le nombre de carreaux sous la courbe pour avoir un minorant. On ajoute les carreaux que la courbe traverse pour obtenir un majorant. On a donc \(19 \leqslant \displaystyle\int_{-4}^5f(x)dx \leqslant 30\). Cet encadrement peut largement être amélioré (en ne considérant que des demi-carreaux par exemple).

Pour tout réel \(x\), on pose \(f(x)=2x+8\). \(\displaystyle\int_{-3}^5 f(x)dx\) désigne l’aire ci-dessous

Il s’agit de l’aire d’un trapèze dont les bases ont pour longueur 2 et 18 et la hauteur a pour longueur 8. Cette aire vaut donc \(\dfrac{(2+18)\times 8}{2}\). Ainsi, \(\displaystyle\int_{-3}^5 f(x)dx = \dfrac{2+18}{2} \times 8 = 80\).

L’intégrale \(\displaystyle\int_{-3}^5 |x|dx\) est représentée par l’aire ci-dessous.

Il s’agit de l’aire de deux triangles. Le premier a une aire de \(\dfrac{3\times 3}{2}\) et le deuxième une aire de \(\dfrac{5\times 3}{2}\). Ainsi, \(\displaystyle\int_{-3}^5 |x|dx = 17\).

L’intégrale \(\displaystyle\int_{4}^{x} (2t+3)dt\) représente l’aire de la surface grisée ci-dessous.

Il s’agit de l’aire d’un trapèze dont les bases ont pour longueur 11 et \(2x+3\) et la hauteur a pour longueur \(x-4\). Cette aire vaut donc \(\dfrac{(2x+3+11)\times (x-4)}{2}\) soit \(x^2+3x-28\). Ainsi, \(\displaystyle\int_{4}^{x} (2t+3)dt=x^2+3x-28\)

Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que, pour tous réels \(x\), \(f(x)=ax+b\). Représentons la situation

L’aire \(\displaystyle\int_{-3}^5 f(x)dx\) correspond à l’aire jointe des deux trapèzes. Celle-ci vaut \(\dfrac{-3a+b+5a+b}{2} \times (5-(-3))=8(a+b)\).

L’aire \(\displaystyle\int_{1}^5 f(x)dx\) correspond à l’aire du trapèze foncé. Celle-ci vaut \(\dfrac{a+b+5a+b}{2} \times (5-1)=2(6a+2b)\).

Ainsi, on a \(\displaystyle\int_{-3}^5 f(x)dx=24\) et \(\displaystyle\int_{1}^5 f(x)dx=14\) si et seulement si \(\left\{\begin{array}{l} 8(a+b) = 24 \\ 2(6a+2b)=14\end{array}\right.\).

Ce système est équivalent à \(\left\{\begin{array}{l} a+b = 3 \\ 6a+2b=7\end{array}\right.\).

En soustrayant deux fois la première ligne à la deuxième ligne, on obtient \(\left\{\begin{array}{l} a+b = 3 \\ 4a=1\end{array}\right.\).

Finalement, \(\left\{\begin{array}{l} b = \frac{11}{4} \\ a=\frac{1}{4}\end{array}\right.\).

Ainsi, pour tout réel \(x\), \(f(x)=\dfrac{x}{4}+\dfrac{11}{4}\).

• \(\displaystyle\int_{-5}^{7} \sqrt{2} dx = [\sqrt{2}x]_{-5}^7=\sqrt{2}(7-(-5))=12\sqrt{2}\). Il est aussi possible de procéder à un calcul d’aire.
• \(\displaystyle\int_{3}^{14} \dfrac{1}{x} dx = [\ln(x)]_3^{14}=\ln(14)-\ln(3)=\ln\left(\dfrac{14}{3}\right)\)
• \(\displaystyle\int_{1}^{9} \dfrac{3}{2\sqrt{x}} dx = \left[3\sqrt{x}\right]_1^9=6\)

• \(\displaystyle\int_{-2}^4 (x^2+3x+4) dx = \left[\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{3}{2}x^2+4x\right]_{-2}^4= \dfrac{4^3}{3}+\dfrac{3}{2}\times 4^2 + 4 \times 4 -\left( \dfrac{(-2)^3}{3}+\dfrac{3}{2}\times (-2)^2+4\times (-2)\right)=66\)
• \(\displaystyle\int_{-1}^{1} (x^4-x^2+x-1) dx = \left[\dfrac{x^5}{5}-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}-x\right]_{-1}^{1}=-\dfrac{34}{15}\)
• \(\displaystyle\int_{-2}^{2} (8x^5+5x^3+2x) dx = \left[\dfrac{4}{3}x^6+\dfrac{5}{4}x^4+x^2\right]_{-2}^2=0\). On aurait également pu tout simplement remarquer que la fonction intégrée était impaire et l’intervalle d’intégration symétrique par rapport à 0.

• \(\displaystyle\int_{0}^1 e^{2x} dx=\left[\dfrac{e^{2x}}{2}\right]_0^1=\dfrac{e^2-1}{2}\)
• \(\displaystyle\int_{0}^{10} e^{-5x} dx = \left[ \dfrac{e^{-5x}}{-5}\right]_0^{10}= -\dfrac{e^{-50}}{5}+\dfrac{1}{5}\). Attention à d’éventuelles erreurs de signe ici !
• \(\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{1}{1+x} dx = \left[ \ln(1+x) \right]_0^1=\ln(2)\)

• \(\displaystyle\int_{0}^{2} \left((x+1)(x+2)\right) dx = \displaystyle\int_{0}^{2} (x^2+3x+2)dx = \left[\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{3x^2}{2}+2x\right]_0^2 = \dfrac{38}{3}\)
• \(\displaystyle\int_1^2 \dfrac{x+1}{x^3}dx = \displaystyle\int_1^2 \left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}\right)dx = \left[-\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2x^2}\right]_1^2 = \dfrac{7}{8} \)
• \(\displaystyle\int_3^7 \dfrac{1}{x^2}dx = \left[-\dfrac{1}{x}\right]_3^7 = \dfrac{4}{21}\)

• Pour tout réel \(x \in [-2;4]\), on pose \(u(x)=x^2\). On a alors \(u'(x)=2x\) et \(2xe^{x^2} = u'(x) \times e^{u(x)}\). Une primitive de \(x\mapsto 2xe^{x^2}\) sur \([-2;4]\) est donc la fonction \(x \mapsto e^{x^2}\). Ainsi, \[\displaystyle\int_{-2}^4 2xe^{x^2} dx=\left[e^{x^2}\right]_{-2}^4=e^{16}-e^4\]
• Pour tout réel \(x \in [2;e]\), on pose \(u(x)=\ln(x)\) (qui est alors strictement positif). On a alors \(u'(x)=\dfrac{1}{x}\) et \(\dfrac{1}{x\ln(x)} = \dfrac{\frac{1}{x}}{\ln(x)} = \dfrac{u'(x)}{u(x)}\). Une primitive de \(x\mapsto \dfrac{1}{x\ln(x)}\) sur \([2;e]\) est donc la fonction \(x \mapsto \ln(\ln(x))\). Ainsi, \[\displaystyle\int_{2}^e \dfrac{1}{x\ln(x)} dx=\left[\ln \ln (x)\right]_{2}^e=-\ln(\ln(2))\]
• Pour tout réel \(x \in [1;3]\), on pose \(u(x)=\dfrac{1}{x}\). On a alors \(u'(x)=-\dfrac{1}{x^2}\) et \(\dfrac{e^{1/x}}{x^2} = – \left(-\dfrac{1}{x^2}\right)e^{1/x} = -u'(x) \times e^{u(x)}\). Une primitive de \(x\mapsto \dfrac{e^{1/x}}{x^2}\) sur \([1;3]\) est donc la fonction \(x \mapsto -e^{1/x}\). Ainsi, \[\displaystyle\int_{1}^{3} \dfrac{e^{1/x}}{x^2} dx=\left[-e^{1/x}\right]_{1}^3=e-e^{1/3}\]

• Pour tout réel \(x \in [0;4]\), on pose \(u(x)=1+x^2\). On a alors \(u'(x)=2x\) et \(\dfrac{2x}{1+x^2} = \dfrac{u'(x)}{u(x)}\). Une primitive de \(x\mapsto \dfrac{2x}{1+x^2}\) sur \([0;4]\) est donc la fonction \(x \mapsto \ln (1+x^2)\). Ainsi, \[\displaystyle\int_{0}^{4} \dfrac{2x}{1+x^2} dx=\left[\ln(1+x^2)\right]_0^4=\ln(17)\]
• Pour tout réel \(x \in [-1;4]\), on pose \(u(x)=9+x^2\). On a alors \(u'(x)=2x\) et \(\dfrac{x}{\sqrt{9+x^2}}=\dfrac{2x}{2\sqrt{9+x^2}} = \dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}\). Une primitive de \(x\mapsto \dfrac{x}{\sqrt{9+x^2}}\) sur \([-1;4]\) est donc la fonction \(x \mapsto \sqrt{9+x^2}\). Ainsi, \[\displaystyle\int_{-1}^{4} \dfrac{x}{\sqrt{9+x^2}} dx=\left[\sqrt{9+x^2}\right]_{-1}^4=5-\sqrt{10}\]
• Pour tout réel \(x \in [-3;2]\), on pose \(u(x)=1+e^x\). On a alors \(u'(x)=e^x\) et \(\dfrac{e^x}{(1+e^x)^2} = -\dfrac{u'(x)}{u(x)^2}\). Une primitive de \(x\mapsto \dfrac{e^x}{(1+e^x)^2}\) sur \([-3;2]\) est donc la fonction \(x \mapsto -\dfrac{1}{1+e^x}\). Ainsi, \[\displaystyle\int_{-3}^{2} \dfrac{e^x}{(1+e^x)^2} dx=\left[-\dfrac{1}{1+e^x}\right]_{-3}^2=\dfrac{1}{1+e^{-3}}-\dfrac{1}{1+e^2}\]

1. Pour tout réel \(x>-1\),
   \[\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{(x+1)^2}=\dfrac{(x+1)-1}{(x+1)^2}=\dfrac{x}{(x+1)^2}=f(x)\]
2. Une primitive de \(f\) sur \(]-1;+\infty[\) est donc \(F:x\mapsto \ln(x+1)+\dfrac{1}{x+1}\)
3. \(\displaystyle\int_{1}^3 f(x)dx = \left[ \ln(x+1)+\dfrac{1}{x+1} \right]_1^3=\ln(4)+\dfrac{1}{4}-\ln(2)-\dfrac{1}{2}=\ln(2)-\dfrac{1}{4}\)

Le seul problème éventuel se situe en \(-1\). On a \(\displaystyle\lim_{x \to -1^1}f(x)=(-1)^2+(-1)=0\) et \(\displaystyle\lim_{x \to -1^+}f(x)=2 \times (-1)^3-(-1)+1=0\). Ainsi, \(f\) est continue sur \([-4;1]\).

D’après la relation de Chasles,

\[\displaystyle\int_{-4}^1 f(t)dt = \displaystyle\int_{-4}^{-1} f(t)dt+\displaystyle\int_{-1}^1 f(t)dt = \displaystyle\int_{-4}^{-1} (t^2+t)dt
+\displaystyle\int_{-1}^1 (2t^3-t+1)dt \]

Or,

• \( \displaystyle\int_{-4}^{-1} (t^2+t)dt = \left[ \dfrac{t^3}{3}+\dfrac{t^2}{2}\right]_{-4}^{-1}=\dfrac{27}{2}\)
• \(\displaystyle\int_{-1}^1 (2t^3-t+1)d=\left[\dfrac{t^4}{2}-\dfrac{t^2}{2}+t\right]_{-1}^1=2\)

Ainsi, \(\displaystyle\int_{-4}^1 f(t)dt=\dfrac{31}{2}\)

On a \[\displaystyle \int_{0}^1 \dfrac{e^x}{1+e^x}dx + \int _0^1 \dfrac{1}{1+e^x}dx = \int _0^1 \dfrac{1+e^x}{1+e^x}dx = \int _0^1 1dx = 1 \]

Par ailleurs, si on pose pour tout \(x\in [0,1]\), \(u(x)=1+e^x\), on a \(\dfrac{e^x}{1+e^x}=\dfrac{u'(x)}{1+u(x)}\). \(u\) étant strictement positive, une primitive de \(x \mapsto \dfrac{e^x}{1+e^x}\) sur \([0;1]\) est la fonction \(x \mapsto \ln(1+e^x)\). Ainsi,

\[\displaystyle \int_{0}^1 \dfrac{e^x}{1+e^x}dx = \left[ \ln(1+e^x)\right]_0^1 = \ln(1+e)-\ln(2)=\ln\left(\dfrac{1+e}{2}\right) \]

Finalement,

\[ \int _0^1 \dfrac{1}{1+e^x}dx = 1 – \ln\left(\dfrac{1+e}{2}\right) = \ln(e)-\ln\left(\dfrac{1+e}{2}\right) = \ln\left(\dfrac{2e}{1+e}\right) \]

1. Soit \(x\in[0;1]\). On a alors \(0\leqslant x \leqslant 1\) puis, en multipliant cette ingéalité par \(x^2\), \(0\leqslant x^3 \leqslant x^2\), et donc \(g(x)\leqslant f(x)\).
2. L’aire de la surface grisée vaut \[\int_0^1 (f-g)(x)dx = \int_0_1 (x^2-x^3)dx = \left[\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}\right]_0^1=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{12}\]

Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(u_n=\displaystyle \int _{0}^ne^{-x^2}dx\)

1. Pour tout entier naturel \(n\)

   \[ u_{n+1}-u_n = \displaystyle \int _{0}^{n+1}e^{-x^2dx}-\displaystyle \int _{0}^ne^{-x^2dx}=\displaystyle \int _{n}^{n+1}e^{-x^2}dx\]

   Puisque pour tout réel \(x\) entre \(n\) et \(n+1\), \(e^{-x^2}>0\), il en vient que \(\int _{n}^{n+1}e^{-x^2}dx \geqslant 0\) et donc \(u_{n+1} \geqslant u_n\). La suite \((u_n)\) est croissante.

2. Soit \(x\geqslant 0\). Alors \((x-1)^2\geqslant 0\), c’est-à-dire, \(x^2-2x+1 \geqslant 0\) et donc \(-x^2 \leqslant -2x+1\). La fonction exponentielle étant croissante, on a alors \(e^{-x^2}\leqslant e^{-2x+1}\)
3. Ainsi, pour tout entier naturel \(n\),
   \[u_n=\int _{0}^ne^{-x^2}dx \leqslant \int _{0}^ne^{-2x+1}dx = \left[\dfrac{e^{-2x+1}}{-2}\right]_0^n=-\dfrac{e^{2n+1}}{2}+\dfrac{e}{2}\leqslant \dfrac{e}{2}\]
4. La suite \((u_n)\) est croissante et majorée : cette suite est donc convergente.

La valeur moyenne de la fonction \(f:x\mapsto 3x+2\) sur \([-2;3]\) vaut

\[ \dfrac{1}{3-(-2)}\int_{-2}^3(3x+2)dx = \dfrac{1}{5}\left[\dfrac{3}{2}x^2+2x\right]_{-2}^3=\dfrac{7}{2}\]

La valeur moyenne de la fonction \(f:x\mapsto -x^2+4x\) sur \([0;4]\) vaut

\[ \dfrac{1}{4-(0)}\int_{0}^4(-x^2+4x)dx = \dfrac{1}{4}\left[-\dfrac{x^3}{3}+2x^2\right]_{0}^4=-\dfrac{64}{3}+32 = \dfrac{1}{4}\times \dfrac{32}{3} = \dfrac{8}{3}\]

1. On rappelle que si \(u\) est dérivable sur un intervalle \(I\), alors \(u^2\) l’est également et \((u^2)’=2u’u\). Pour tout réel \(x\in[2;4]\),
   \[F'(x)=\dfrac{5}{2} \times 2 \times \dfrac{1}{x} \times \ln (x) + 3 = f(x)\]
   \(F\) est donc une primitive de \(f\) sur \([2;4]\).
2. La valeur moyenne du bénéfice lorsque la production varie de 2000 à 4000 pièces vaut

   \[\dfrac{1}{4-2}\int_{2}^{4} f(x)dx = \dfrac{1}{2}\left[F(x)\right]_{2}^4 = \dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{5 \ln(4)^2}{2}+3 \times 4 – \dfrac{5 \ln(2)^2}{2}-3\times 2\right)\]

   En utilisant le fait que \(\ln(4) = 2 \ln(2)\), on obtient
   \[ \dfrac{1}{4-2}\int_{2}^{4} f(x)dx = 3 + \dfrac{15\ln(2)^2}{4}\]

Soit \(m\) et \(p\) les réels tels que, pour tout réel \(x\), \(f(x)=mx+p\). La valeur moyenne de \(f\) sur \([a;b]\) vaut

\[\dfrac{1}{b-a} \int_a^b (mx+p)dx = \dfrac{1}{b-a} \left[\dfrac{mx^2}{2}+px\right]_a^b = \dfrac{1}{b-a} \times \left(\dfrac{mb^2-ma^2}{2}+p(b-a)\right)\]

puis

\[\dfrac{1}{b-a} \int_a^b (mx+p)dx = \dfrac{1}{b-a} \times (b-a) \times \left(\dfrac{m(b+a)+2p}{2}\right)\]

et donc

\[\dfrac{1}{b-a} \int_a^b (mx+p)dx = \dfrac{mb+ma+2p}{2} = \dfrac{ma+p+mb+p}{2}=\dfrac{f(a)+f(b)}{2}\]

Pour tout réel \(x\in[1;4]\), on pose…

• \(v(x)=\ln(x)\). On a alors \(v'(x)=\dfrac{1}{x}\)
• \(u(x)=\dfrac{x^2}{2}\) de sorte que \(u'(x)=\dfrac{x^2}{2}\)

On souhaite alors calculer \(\displaystyle\int_{1}^4 (u’v)(x)dx\). D’après la formule d’intégration par parties,

\[ \displaystyle\int_{1}^4 (u’v)(x)dx = [uv]_1^4 – \displaystyle\int_{1}^4 (uv’)(x)dx=\left[\dfrac{x^2}{2}\ln(x)\right]_1^4-\displaystyle\int_{1}^4 \dfrac{x^2}{2} \times \dfrac{1}{x}dx=8\ln(4)- \left[ \dfrac{x^2}{4}\right]_1^4 = 8\ln(4)-\dfrac{15}{4}\]

On souhaite calculer \(\displaystyle\int_0^1x^2e^xdx\)

Pour tout réel \(x\in[0;1]\), on pose…

• \(v(x)=x^2\). On a alors \(v'(x)=2x\)
• \(u(x)=e^x\) de sorte que \(u'(x)=e^x\)

On souhaite alors calculer \(\displaystyle\int_{0}^1 (u’v)(x)dx\). D’après la formule d’intégration par parties,

\[ \displaystyle\int_{0}^1 (u’v)(x)dx = [uv]_0^1 – \displaystyle\int_{0}^1 (uv’)(x)dx=\left[x^2e^x\right]_0^1-\displaystyle\int_{0}^12xe^xdx=e-2\displaystyle\int_{0}^1xe^xdx\]

On souhaite maintenant calculer \(\displaystyle\int_{0}^12xe^xdx\)

• Pour tout réel \(x\in[0;1]\), on pose \(v_2(x)=x\). On a alors \(v_2′(x)=1\)
• Pour tout réel \(x\in[0;1]\), on pose \(u_2(x)=e^x\) de sorte que \(u_2′(x)=e^x\)

On cherche alors à calculer \(\displaystyle\int_{0}^1 (u_2’v_2)(x)dx\). D’après la formule d’intégration par parties,

\[\displaystyle\int_{0}^1 (u_2’v_2)(x)dx=[u_2v_2]_0^1-\displaystyle\int_{0}^1 (u_2v_2′)(x)dx = \left[xe^x\right]_0^1-\displaystyle\int_{0}^1 e^x dx=e-[e^x]_0^1=e-(e-1)=1 \]

Finalement,

\[\displaystyle\int_0^1x^2e^xdx=e-2\]

1. On a \(I_0=\int_0^1e^{1-x}dx=\left[-e^{1-x}\right]_0^1=e-1\)
2. Soit \(n\) un entier naturel.
   • Pour tout réel \(x\in [0,1]\), on pose \(v(x)=x^{n+1}\). On a alors \(v'(x)=(n+1)x^{n}\)
   • Pour tout réel \(x\in [0;1]\), on pose \(u(x)=-e^{1-x}\) de sorte que \(u'(x)=e^{1-x}\)

Ainsi,

\[I_{n+1}=\int_0^1x^{n+1}e^{1-x}dx=\int_{0}^1 (u’v)(x)dx\]

D’après la formule d’intégrations par parties,

\[ I_{n+1}= \left[-x^{n+1}e^{1-x}\right]_0^1-\int_0^1 (n+1)x^n \times (-e^{1-x})dx=-1+(n+1)\int_0^1x^ne^{1-x}dx=-1+(n+1)I_n\]

3. Ainsi,
   • \(I_1=-1+1\times I_0=-1+e-1=e-2\)
   • \(I_2=-1+2\times I_1 = -1+2(e-2)=2e-5\)

Pour tout réel \(x \in [0;1]\), on pose \(v(x)=\ln(x)\) et \(u(x)=x\). Ainsi, par intégration par parties,

\[\displaystyle\int_{1}^t \ln(x)dx = \displaystyle\int_{1}^t u'(x)v(x)dx = \left[uv\right]_1^t-\displaystyle\int_{1}^t u(x)v'(x)dx\]

Il en vient que

\[\displaystyle\int_{1}^t \ln(x)dx = [x\ln(x)]_1^t-\displaystyle\int_{1}^t 1dx = t\ln(t)-t-1\]

En particulier, la fonction \(t \mapsto t\ln(t)-t\) est une primitive de \(\ln\) sur \([1;+\infty[\) (mais aussi sur \(]0;+\infty[\) en réalité !).

1. D’eun part, \(\displaystyle\lim_{x \to – \infty}e^{-x}=+\infty\) et donc, par produit, \(\displaystyle\lim_{x \to – \infty}f(x)=+\infty\). Par ailleurs, pour tout réel \(x\), \(f(x)=\dfrac{x^2}{e^x}\). Par croissances comparées, \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x)=0\)

   La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\),

   \[f'(x) = 2xe^{-x}+x^2\times(-e^{-x})=x(2-x)e^{-x}\]

   On en déduit le tableau de variations de \(f\)

   

2. D’après la question précédente, pour tout réel \(x\in [0;4]\), \(0 \leqslant f(x) \leqslant 4e^{-4}\).
3. On en déduit que \(\displaystyle \int _0^4 0 dx \leqslant \displaystyle \int _0^4 f(x)dx \leqslant \displaystyle \int _0^4 4e^{-4}dx\) soit \(0 \leqslant \displaystyle \int _0^4 f(x)dx \leqslant 16e^{-4}\).
4. Soit \(g:x\mapsto (ax^2+bx+c)e^{-x}\). \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\),
   \[g'(x)=(2ax+b)e^{-x} -(ax^2+bx+c)e^{-x}=(-ax^2 +(2a-b)x + b-c)e^{-x}\]

   Il suffit alors de prendre \(a\), \(b\) et \c\) de telle sorte que \(-a=1\), \(2a-b=0\) et \(b-c = 0\). Ainsi, \(a=-1\), \(b=-2\) et \(c=-2\) conviennent. Une primitive de \(f\) est donc \(g:x\mapsto -(x^2+2x+2)e^{-x}\). De fait,

   \[\displaystyle \int _0^4 f(x)dx = \left[-(x^2+2x+2)e^{-x}\right]_0^4 = 2 -26e^{-4}\]

5. Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=x^2\) et \(v(x)=-e^{-x}\). On a alors \(u'(x)=2x\) et \(v'(x)=e^{-x}\). D’après la formule d’intégration par parties, on a

   \[ \displaystyle \int _0^4 x^2e^{-x}dx = \displaystyle \int _0^4 (uv’)(x)dx = [uv]_0^4 – \displaystyle \int _0^4 (u’v)(x)dx\]
   Ainsi,

   \[ \displaystyle \int _0^4 x^2e^{-x}dx = \left[-x^2e^{-x}\right]_0^4 – \displaystyle \int _0^4 2x \times (-e^{-x})dx = -16e^{-4}+2\displaystyle \int _0^4xe^{-x}dx\]

   Pour tout réel \(x\), on pose alors \(w(x) =x\). D’après la formule d’intégration par parties, on a

   \[ \displaystyle \int _0^4 xe^{-x}dx = \displaystyle \int _0^4 (wv’)(x)dx = [wv]_0^4 – \displaystyle \int _0^4 (w’v)(x)dx\]

   et donc

   \[ \displaystyle \int _0^4 xe^{-x}dx = \left[-xe^{-x}\right]_0^4 – \displaystyle \int _0^4 -e^{-x}dx = -4e^{-4} – \left[e^{-x}\right]_0^4 = 1-5e^{-4}\]

   Ainsi,

   \[ \displaystyle \int _0^4 x^2e^{-x}dx = -16e^{-4}+2(1-5e^{-4})=2-26e^{-4}\]

1. On a \(I_0=\displaystyle\int_0^1\ln(1+x)dx\). On procède à une intégration par parties, en posant, pour tout réel \(x\) entre 0 et 1, \(u(x)=x\) (et donc \(u'(x)=1\)) et \(v(x)=\ln(1+x)\). Ainsi,
   \[\displaystyle\int_0^1\ln(1+x)dx = \left[x\ln(1+x)\right]_0^1-\displaystyle\int_0^1 \dfrac{x}{1+x}dx\]
   D’une part, \(\left[x\ln(1+x)\right]_0^1=\ln(2)\). Par ailleurs, pour tout réel \(x \in [0;1]\), \(\dfrac{x}{1+x}=1-\dfrac{1}{1+x}\). Ainsi,
   \[\displaystyle\int_0^1\ln(1+x)dx = \ln (2)- \left[x-\ln(1+x)\right]_0^1 = \ln(2)-(1-\ln(2))=2\ln(2)-1\]
2. Pour tout entier naturel \(n\), pour tout réel \(x \in [0;1]\) on a \(0 \leqslant x^{n+1}\leqslant x^n\). Par ailleurs, pour tout réel \(x\in[0;1]\), \(1+x \geqslant 1\) et donc, en appliquant la fonction logarithme népérien qui est croissante sur \([1;+\infty[\), on a donc que \(\ln(1+x)\geqslant 0\).
   Finalement, pour tout entier naturel \(n\), pour tout réel \(x \in [0;1]\), \(0 \leqslant x^{n+1}\ln(1+x) \leqslant x^n\ln(1+x)\). En intégrant cette inégalité entre 0 et 1, on a donc que, pour tout entier naturel \(n\), \(0 \leqslant I_{n+1} \leqslant I_n\). La suite \((I_n)\) est positive et décroissante, elle est donc convergente.
3. 1. Pour tout \(x\in [0,1]\), \(1 \leqslant 1+x \leqslant 2\) et donc \(0 \leqslant\ln(1+x)\leqslant \ln(2)\), qui est lui-même inférieur à 1. Ainsi, pour tout entier naturel \(n\) et tout \(x\in [0;1]\), \(x^n \ln(1+x) \leqslant x^n\)
   2. En intégrant cette dernière inégalité entre 0 et 1, on en déduit que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(I_n \leqslant \displaystyle\int_0^1x^ndx\). Or, \[\displaystyle\int_0^1 x^n dx=\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^1=\dfrac{1}{n+1}\]
      Ainsi, pour tout entier naturel \(n\), \(I_n \leqslant \dfrac{1}{n+1}\).
   3. On sait que pour tout entier naturel \(n\), \(0 \leqslant I_n \leqslant \dfrac{1}{n+1}\). Or, \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty}0 = \displaystyle\lim_{n \to + \infty}\dfrac{1}{n+1}=0\). D’après le théorème d’encadrement, la suite \((I_n)\) converge (ce que l’on avait déjà démontré) et \(\displaystyle\lim_{n \to+\infty}I_n=0\)
4. 1. Soit \(n\) un entier naturel. Pour tout \(x\in [0;1]\), on pose \(u(x)=\ln(1+x)\) et \(v(x)=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) (on a alors \(v'(x)=x^n\)). Par intégration par parties, on a alors
      \[I_n = \left[\dfrac{x^{n+1}\ln(1+x)}{n+1}\right]_0^1-\dfrac{1}{n+1}\int_0^1\dfrac{x^{n+1}}{1+x}dx = \dfrac{\ln(2)}{n+1}-\dfrac{1}{n+1}\int_0^1\dfrac{x^{n+1}}{1+x}dx \]
   2. Pour tout entier naturel \(n\),
      \[nI_n = \dfrac{n\ln(2)}{n+1}-\dfrac{n}{n+1}\int_0^1\dfrac{x^{n+1}}{1+x}dx \]
      Or, \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\dfrac{n}{n+1}=1\) (on peut factoriser par \(n\) ou écrire \(\dfrac{n}{n+1}=1-\dfrac{1}{n+1}\)). Par ailleurs, pour tout réel \(x\in [0;1]\), \(\dfrac{x^n}{2} \leqslant \dfrac{x^{n+1}}{1+x} \leqslant x^n\) et donc, en intégrant entre 0 et 1,
      \[ \dfrac{1}{2(n+1)} \leqslant \int_0^1\dfrac{x^{n+1}}{1+x}dx \leqslant \dfrac{1}{n+1}\]
      Ainsi, en utilisant le théorème d’encadrement, on trouve que cette intégrale converge et que \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\int_0^1\dfrac{x^{n+1}}{1+x}dx =0\). Finalement, la suite \((nI_n)\) converge et \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty} nI_n=\ln(2)\).

Calculer les intégrales suivantes

a. \(\displaystyle\int_0^{\pi} \cos(x)dx = [\sin(x)]_0^{\pi}=\sin(\pi)-\sin(0)=0-0=0\)

b. \(\displaystyle\int_0^{\pi /4} \sin(x)dx = [-\cos(x)]_0^{\pi /4}=-\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)-(-\cos(0))=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+1=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}\)

c.\(\displaystyle\int_0^{\pi / 6} \sin(2x)dx = \left[-\dfrac{\cos(2x)}{2}\right]_0^{\pi/6} = -\dfrac{\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)}{2}-\left(-\dfrac{\cos(0)}{2}\right)=-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}\)

d. Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=\sin(x)\). On a alors \(\cos(x)\sin(x)^3 = u'(x) \times u(x)^3 = \dfrac{1}{4} \times 4u'(x)u(x)^3\).
Une primitive de \(x\mapsto \cos(x)\sin(x)^3\) est donc \(x\mapsto \dfrac{\sin(x)^4}{4}\). Ainsi, \[\displaystyle\int_0^{\pi} \cos(x)\sin(x)^3dx = \left[\dfrac{\sin(x)^4}{4}\right]_0^{\pi}=0-0=0\]

e. Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=2x^2\). On a alors \(x\cos(2x^2) = \dfrac{1}{4}u'(x)\cos(u(x))\). Une primitive de \(x\mapsto x\cos(2x^2)\) est donc \(x\mapsto \dfrac{\sin(2x^2)}{4}\). Ainsi, \[\displaystyle\int_0^{\sqrt{\pi}}x\cos(2x^2) = \left[\dfrac{\sin(2x^2)}{4}\right]_0^{\sqrt{\pi}}= \dfrac{\sin(2\pi)}{4}-\dfrac{\sin(0)}{4}=0-0=0\]

f. Pour tout réel \(x\in \left[0;\dfrac{\pi}{4}\right]\), \(\dfrac{\sin(x)}{1-\sin(x)^2}=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)^2} = -\dfrac{u'(x)}{u(x)^2}\) en posant \(u(x)=\cos(x)\).
Une primitive de \(x\mapsto \dfrac{\sin(x)}{1-\sin(x)^2}\) sur \(\left[0;\dfrac{\pi}{4}\right]\) est donc \(x\mapsto \dfrac{1}{\cos(x)}\). Ainsi, \[\displaystyle\int_0^{\pi/4} \dfrac{\sin(x)}{1-\sin(x)^2}dx=\left[\dfrac{1}{\cos(x)}\right])_0^{\pi/4}=\dfrac{1}{\cos(\pi/4)}-\dfrac{1}{\cos(0)}=\sqrt{2}-1\]

Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=x\) on cherche \(v\) tel que \(v'(x)=\cos(x)\) : on prend donc \(v:x\mapsto \sin(x)\). D’après la formule d’intégrations par parties, \(\displaystyle \int _{0}^{\pi /2} uv’ (x) dx = [uv]_0^{\pi/2}-\displaystyle \int _{0}^{\pi /2} u’v(x) dx\).Ainsi,
\[\displaystyle \int _{0}^{\pi /2} x\cos (x) dx = [x\sin(x)]_0^{\pi/2}-\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\sin(x)dx=\dfrac{\pi}{2}-0-[-\cos(x)]_0^{\pi/2}=\dfrac{\pi}{2}-(-0-(-1))=\dfrac{\pi}{2}-1\]

Notons \(I=\displaystyle \int _{0}^{\pi /2} e^x\cos (x) dx\)

Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=e^x\) on cherche \(v\) tel que \(v'(x)=\cos(x)\) : on prend donc \(v:x\mapsto \sin(x)\). D’après la formule d’intégrations par parties, \(\displaystyle \int _{0}^{\pi /2} uv’ (x) dx = [uv]_0^{\pi/2}-\displaystyle \int _{0}^{\pi /2} u’v(x) dx\).

Ainsi, \(\displaystyle \int _{0}^{\pi /2} e^x\cos (x) dx = [e^x\sin(x)]_0^{\pi/2}-\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}e^x\sin(x)dx=e^{\pi/2}-\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}e^x\sin(x)dx\)

Cherchons alors à calculer \(\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}e^x\sin(x)dx\). Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=e^x\) on cherche \(v\) tel que \(v'(x)=\sin(x)\) : on prend donc \(v:x\mapsto -\cos(x)\). D’après la formule d’intégrations par parties, \(\displaystyle \int _{0}^{\pi /2} uv’ (x) dx = [uv]_0^{\pi/2}-\displaystyle \int _{0}^{\pi /2} u’v(x) dx\).

Ainsi, \(\displaystyle \int _{0}^{\pi /2} e^x\cos (x) dx = [-e^x\cos(x)]_0^{\pi/2}-\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}(-e^x\cos(x))dx=1+I\).

Ainsi, en reprenant la première IPP, on a \(I=e^{\pi/2}-(1+I)\) et donc \(2I=e^{\pi/2}-1\) et finalement, \(I=\dfrac{e^{\pi/2}-1}{2}\).

On considère la fonction \(F:x\mapsto \dfrac{I_{max}^2}{2}\left(x-\dfrac{\sin(\omega x)\cos(\omega x)}{\omega}\right)\). \(f\) est dérivable et pour tout réel \(x\),
\[F'(x)=\dfrac{I_{max}^2}{2}\left(1-\dfrac{\omega \cos(\omega x) \cos (\omega x)- \omega \sin( \omega x) \sin (\omega x)}{\omega}\right)=\dfrac{I_{max}^2}{2}\left(1-\cos^2(\omega x)+\sin^2(\omega x)\right)\]

En rappelant que pour tout réel \(X\), \(\cos^2(X)+\sin^2(X)=1\), on obtient alors
\[ F'(x) = \dfrac{I_{max}^2}{2}(\sin^2(\omega x)+\sin^2(\omega x))=I_{max}^2\sin^2(\omega x)=i^2(x)\]

$F\) est une primitive de \(i^2\) sur \([0;2\pi]\). L’intensité efficace d’un tel courant vaut
\[ \sqrt{ \dfrac{1}{\frac{2\pi}{\omega}-0}\int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}} i^2(x)dx} = \dfrac{\sqrt{\omega}}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{F\left(\frac{2\pi}{\omega}\right)-F(0)}\]
Or, \(F\left(\frac{2\pi}{\omega}\right)=\dfrac{\pi I_{max}^2}{\omega}\) et \(F(0)=0\). Ainsi, l’intensité efficace vaut \(\dfrac{\sqrt{\omega}}{\sqrt {2\pi}} \times \sqrt{\dfrac{\pi I_{max}^2}{\omega}}=\dfrac{I_{max}}{\sqrt{2}}\)

Partie A : Convergence de la suite \((W_n)\)

1. On a \(W_0 = \int_0^{\pi/2} 1 dx = \dfrac{\pi}{2}\) et \(W_n = \int_0^{\pi/2} \sin^1(x) dx=[-\cos(x)]_0^{\pi/2}=0-(-1)=1\)
2. Pour tout \(x\in \left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\), \(\sin(x)\geqslant 0\). Il en vient que, pour tout entier naturel \(n\), \(W_n\geqslant 0\). De plus, pour tout \(x \in \left[\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{2}\right]\), \(\sin(x)\geqslant \dfrac{1}{2}\) et donc
   \[W_n \geqslant \int_{\pi/6}^{\pi/2} \sin^n(x) dx \geqslant \int_{\pi/6}^{\pi/2} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n dx = \dfrac{\pi}{3}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n >0\]
3. Pour tout entier naturel \(n\),
   \[W_{n+1}-W_n=\int_0^{\pi/2} (\sin^{n+1}(x)-\sin^n(x)) dx = \int_0^{\pi/2} \sin^n(x)(\sin(x)-1) dx \]
   Or, pour tout \(x\in \left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\), \(\sin^n(x)\geqslant 1\) et \(\sin(x)-1 \leqslant 0\). Il en vient que \(W_{n+1}-W_n \leqslant 0\). La suite \((W_n)\) est donc décroissante.
4. La suite \((W_n)\) est décroissante et minorée par 0, elle est donc convergente.

Partie B : Calcul du terme général

1. Soit \(n\) un entier naturel. On considère la fonction \(u : x \mapsto \sin^{n+1}(x)\) et \(v:x\mapsto -\cos(x)\), définies sur \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\). Pour tout réel \(x\) de cet intervalle, on a alors \(u'(x)=(n+1)\cos(x)\sin^n(x)\) et \(v'(x)=\sin(x)\). Par intégration par parties, on obtient alors
   \[W_{n+2}\int_0^{\pi/2} \sin^{n+2}(x)dx = \int_0^{\pi/2} \sin^{n+1}(x) \times \sin(x) dx = \left[-\sin^{n+1}(x)\cos(x)\right]_0^{\pi/2}+(n+1)\int_0^{\pi/2}\cos^2(x)\sin^n(x)dx\]

   D’une part, \(\left[-\sin^{n+1}(x)\cos(x)\right]_0^{\pi/2}=0\). Par ailleurs, pour tout réel \(x\), \(\cos^2(x)=1-\sin^2(x)\). Ainsi,
   \[W_{n+2}=(n+1)\int_0^{\pi/2}(1-\sin^2(x))\sin^n(x)dx = (n+1)\int_0^{\pi/2}(\sin^n(x)-\sin^{n+2}(x))dx = (n+1)(W_n-W_{n+2})\]

   On a donc \(W_{n+2}=(n+1)W_n-(n+1)W_{n+2}\) et donc \((n+2)W_{n+2}=(n+1)W_n\) et, finalement, \(W_{n+2}=\dfrac{n+1}{n+2}W_n\).

2. Pour tout entier naturel \(p\), on a alors
   \[W_{2p}=\dfrac{2p-1}{2p}W_{2p-2}=\dfrac{2p-1}{2p}\dfrac{2p-3}{2p-2}W_{2p-4}= \dots =\dfrac{2p-1}{2p} \times \dfrac{2p-3}{2p-2} \times \dots \times \dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{2} W_0\]

   Or, en factorisant chaque terme par 2, on a \(2p(2p-2)(2p-4)…\times 4 \times 2=2^p \times p(p-1)(p-2)… \times 1 = 2^pp!\).

   On retrouve au numérateur le produit de tous les nombres impairs de 1 à \(2p-1\) et au dénominateur le produit de tous les nombres pairs de 2 à \(2p-2\).
   En multipliant numérateur et dénominateur par le produit \(2p(2p-2)(2p-4)…\times 4 \times 2\), on complète alors le produit du numérateur : on multiplie tous les nombres de \(1\) à \(2p\) : il s’agit tout simplement de \((2p)!\).

   Finalement, pour tout entier naturel \(p\), \(W_{2p}=\dfrac{(2p)!}{(2^pp)^2}W_0 = \dfrac{\pi}{2}\dfrac{(2p)!}{(2^pp!)^2}\). De même, pour tout entier naturel \(p\),
   \[W_{2p+1}=\dfrac{2p}{2p+1}W_{2p-1}=\dfrac{2p}{2p+1}\dfrac{2p-2}{2p-1}W_{2p-3}= \dots =\dfrac{2p}{2p+1} \times \dfrac{2p-2}{2p-1} \times \dots \times \dfrac{2}{3} \times W_1\]

   En multipliant encore une fois le numérateur et le dénominateur par \(2p(2p-2)(2p-4)…\times 4 \times 2\), on a alors \(W_{2p+1}=\dfrac{(2^pp!)^2}{(2p+1)!}W_1=\dfrac{(2^pp!)^2}{(2p+1)!}\)

   Si vous savez manipuler la notation produit \(\prod\), n’hésitez pas à l’utiliser pour résoudre cet exercice.

Partie C : Étude asymptotique

Pour tout entier naturel \(n\), on pose
\[J_n=(n+1)W_{n+1}W_n \quad \text{et}\]

1. Pour tout entier naturel \(n\), \(J_{n+1}-J_n = (n+2)W_{n+2}W_{n+1}-(n+1)W_{n+1}W_n\). Or, d’après la question B1, \(W_{n+2}=\dfrac{n+1}{n+2}W_n\). Ainsi, \(J_{n+1}-J_n = (n+2)\dfrac{n+1}{n+2}W_nW_{n+1}-(n+1)W_{n+1}W_n=0\).
   Or, \(J_0=W_1W_0=\dfrac{\pi}{2}\). La suite \((J_n)\) est donc constante égale à \(\dfrac{\pi}{2}\).
2. D’une part, la suite \((W_n)\) est décroissante et positive. Ainsi, pour tout entier naturel \(n\), \(\dfrac{W_{n+1}}{W_n} \leqslant 1\). Par ailleurs, toujours par décroissance de la suite \((W_n)\), pour tout entier naturel \(n\), \(W_{n+1} \geqslant W_{n+2}\) et donc, en utilisant la question B1, \(W_{n+1} \geqslant \dfrac{n+1}{n+2}W_n\) d’où \(\dfrac{n+1}{n+2} \leqslant \dfrac{W_{n+1}}{W_n}\)
3. Pour tout entier naturel non nul \(n\), \(nW_nW_{n-1}=\dfrac{\pi}{2}\) d’où \(W_{n-1}=\dfrac{\pi}{2nW_n}\). Or, pour tout entier naturel non nul \(n\), \(\dfrac{n}{n+1} \leqslant \dfrac{W_n}{W_{n-1}} \leqslant 1\).

   Ainsi, en remplaçant \(W_{n-1}\) dans cette inégalité, on a \(\dfrac{n}{n+1} \leqslant \dfrac{2}{\pi}n W_n^2 \leqslant 1\).

   Or, \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{n}{n+1}=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}=1\). D’après le théorème d’encadrement, \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{2}{\pi}n W_n^2\) existe et vaut 1.