D’après cette représentation graphique,

• \(\displaystyle \lim_{x \to 1^+} f(x)=+\infty\)
• \(\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x)=-\infty\)
• \(\displaystyle \lim_{x \to (-2)^+} f(x)=-\infty\)
• \(\displaystyle \lim_{x \to (-2)^-} f(x)=-\infty\)
• \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=2\)
• \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)=3\)

De plus,

• La droite d’équation \(x=1\) est asymptote verticale à la courbe de \(f\).
• La droite d’équation \(x=-2\) est asymptote verticale à la courbe de \(f\).
• La droite d’équation \(y=2\) est asymptote horizontale à la courbe de \(f\) en \(+\infty\).
• La droite d’équation \(y=3\) est asymptote horizontale à la courbe de \(f\) en \(-\infty\).

• \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)=-\infty\),
• \(\displaystyle \lim_{x \to (-2)^-} f(x)=-\infty\)
• \(\displaystyle \lim_{x \to (-2)^+} f(x)=+\infty\)
• \(\displaystyle \lim_{x \to 2^-} f(x)=-\infty\)
• \(\displaystyle \lim_{x \to 2^+} f(x)=+\infty\)
• \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=2\)

Par ailleurs,

• La droite d’équation \(x=2\) est une asymptote verticale à la courbe de \(f\).
• La droite d’équation \(x=-2\) est asymptote verticale à la courbe de \(f\).
• La droite d’équation \(y=2\) est asymptote horizontale à la courbe de \(f\) en \(+\infty\).

1. On a :
   • \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)=2\),
   • \(\displaystyle \lim_{x \to (-4)^-} f(x)=-\infty\)
   • \(\displaystyle \lim_{x \to (-4)^+} f(x)=+\infty\)
   • \(\displaystyle \lim_{x \to 5^-} f(x)=+\infty\)
   • \(\displaystyle \lim_{x \to 5^+} f(x)=+\infty\)
   • \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=1\)
2. Les droites d’équation \(x=-4\) et \(x=5\) sont asymptotes verticales à la courbe de \(f\). La droite d’équation \(y=2\) en est une asymptote horizontale en \(-\infty\) et la droite d’équation \(y=1\) l’est en \(+\infty\).

3. 

• Puisque \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty}x^3=+\infty\) et \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x = +\infty\), on a \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x^3+x-3)=+\infty\)
• Puisque \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}x^3=-\infty\) et \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} x = -\infty\), on a \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (x^3+x-3)=-\infty\)
• Puisque \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty}x^3=+\infty\) et \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty\), on a alors \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x^3+x^2-3)=+\infty\)
• Puisque \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}-2x^3=+\infty\) et \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} x^2 = +\infty\), on a alors \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (-2x^3+x^2-3)=+\infty\)
• On a \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} e^{-x}=0\). Ainsi, \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{1}{1+e^{-x}}\right)=1\).
• On a que \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} e^{-x}=+\infty\). Ainsi, \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{1}{1+e^{-x}}\right)=0\).
• \(\displaystyle \lim_{x \to 0+} \dfrac{1}{x^3}=+\infty\) et \(\displaystyle \lim_{x \to 0+}\sqrt{x}=0\). Ainsi, \(\displaystyle \lim_{x \to 0+} \left(\dfrac{1}{x^3}+4\sqrt{x}\right)=+\infty\)
• \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x^3}=0\) et \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x}=+\infty\). Ainsi, \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{1}{x^3}+4\sqrt{x}\right)=+\infty\)
• On a \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (-x^2+7x-3)=-\infty\) et \(\displaystyle \lim_{X \to -\infty} e^X=0\). Ainsi, \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\left( e^{-x^2+7x-3}\right)=0\)
• \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty}(1-2x)=-\infty\) et \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} e^x =+\infty\). Ainsi, \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=-\infty\)

En appliquant les règles de calcul sur les limites en \(+\infty\), nous tombons sur une forme indéterminée ‘\(\infty – \infty \)’. Factorisons par le terme de plus haut degré.

Pour tout réel \(x\neq 0\), \(f(x)=x^2\left(1-\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^2}\right)\) . Ainsi, \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left( x^2-3x+1\right)=+\infty\) et \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left( x^2-3x+1\right)=+\infty\).

On notera par ailleurs que cette factorisation n’était pas nécessaire pour la limite en \(-\infty\).

Pour tout réel non nul \(x\),
\[\dfrac{1-x^4}{2+x+x^3}=\dfrac{x^4\left(\frac{1}{x^4}-1\right)}{x^3\left(\frac{2}{x^3}+\frac{1}{x^2}+1\right)}=x \times \dfrac{\frac{1}{x^4}-1}{\frac{2}{x^3}+\frac{1}{x^2}+1}\]
Ainsi,

• \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} x=-\infty\) et donc, en appliquant la règle des signes, \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\dfrac{1-x^4}{2+x+x^3}=+\infty\). Or, \(\displaystyle \lim_{X \to +\infty} e^X=+\infty\). Finalement, \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\left( \exp\left( \dfrac{1-x^4}{2+x+x^3}\right)\right)=+\infty\)
• \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x=+\infty\) et donc, en appliquant la règle des signes, \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\dfrac{1-x^4}{2+x+x^3}-+\infty\). Or, \(\displaystyle \lim_{X \to -\infty} e^X=0\). Finalement, \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\left( \exp\left( \dfrac{1-x^4}{2+x+x^3}\right)\right)=0\)

1. \(f\) est définie sur \(]-\infty;1[\cup]1;+\infty [\)
2. On a :
   • Lorque \(x \geqslant 1\), \(1-x \leqslant 0\). Ainsi, \(\displaystyle \lim_{x \to 1^+} (1-x)=0^-\). Par ailleurs, \(\displaystyle \lim_{x \to 1^+} 2x=2\) qui est positif. Ainsi, en appliquant la règle des signes, \(\displaystyle \lim_{x \to 1^+}\left( \dfrac{2x}{1-x}\right)= -\infty\)
   • Lorque \(x \leqslant 1\), \(1-x \geqslant 0\). Ainsi, \(\displaystyle \lim_{x \to 1^-} (1-x)=0^+\). Par ailleurs, \(\displaystyle \lim_{x \to 1^-} 2x=2\) qui est positif. Ainsi, en appliquant la règle des signes, \(\displaystyle \lim_{x \to 1^-}\left( \dfrac{2x}{1-x}\right)= +\infty\)
   • Pour tout réel \(x\neq 1\) et \(x\neq 0\), \(f(x)=\dfrac{2}{\dfrac{1}{x}-1}\). Ainsi, \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\left( \dfrac{2x}{1-x}\right)=-2\) et \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\left( \dfrac{2x}{1-x}\right)=-2\)

1. On développe l’expression de droite. Pour tout réel \(x\),
   \[(x-1)(ax^2+bx+c) = ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c\]
   En prenant \(a=2\), \(b=8\) et \(c=-1\), on a alors \((x-1)(2x^2+8x-1)(x-1)=2x^3+6x^2-9x+1\).
2. Les racines du polynôme \(3x^2-x-2\) sont 1 et \(-\dfrac{2}{3}\). Ainsi, pour tout réel \(x\), \(3x^2-x-2=3(x-1)\left(x+\dfrac{2}{3}\right)\).

   Alors, pour tout réel \(x\) différent de \(1\) et \(-\dfrac{2}{3}\), \(\dfrac{2x^3+6x^2-9x+1}{3x^2-x-2}=\dfrac{(x-1)(2x^2+8x-1)}{3(x-1)\left(x+\dfrac{2}{3}\right)}=\dfrac{2x^2+8x-1}{3x+2}\)

   Ainsi, \(\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{2x^3+6x^2-9x+1}{3x^2-x-2}=\dfrac{2\times 1^2+8\times 1 -1}{3 \times 1 +2 }=\dfrac{9}{5}\)

1. Ce taux vaut \(\dfrac{e^h-e^0}{h-0}\) soit \(\dfrac{e^h-1}{h}\)
2. \(\exp'(0)=e^0=1\). Ainsi, par définition de la dérivée, \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x-1}{x} = 1\)

\(f\) est définie pour tout réel \(x\neq-1\).

Etude du signe de \(f\)

\(2x+2\) s’annule en \(x=-1\). \(x^2+3x-4\) est un polynôme du second degré dont les racines sont 1 et \(-4\). On construit alors le tableau de signe de \(f\).

Etude des limites

Pour tout réel \(x\) différent de 0 et \(-1\)
\[f(x)=\dfrac{x^2}{x} \times \dfrac{1+\frac{3}{x}-\dfrac{4}{x^2}}{2+\frac{2}{x}}=x \times \dfrac{1+\frac{3}{x}-\dfrac{4}{x^2}}{2+\frac{2}{x}}\]

Or, \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{1+\frac{3}{x}-\dfrac{4}{x^2}}{2+\frac{2}{x}}=\dfrac{1}{2}\) et \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty}x=+\infty\). Ainsi, \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty\). De la même manière, \(\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty\).

De plus, \(\displaystyle \lim_{x \to (-1)^+} (2x+2)=0^+\) et \(\displaystyle \lim_{x \to (-1)^+} (x^2+3x-4)=(-1)^2+3\times(-1)-4=-6\). En appliquant la règle des signes, on a alors \(\displaystyle \lim_{x \to (-1)^+}f(x)=-\infty\). De la même manière, \(\displaystyle \lim_{x \to (-1)^-}f(x)=+\infty\)

Etude des variations

Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=x^2+3x-4\) et \(v(x)=2x+2\). \(u\) et \(v\) sont dérivables sur \(]-\infty;-1[\) et \(]-1;+\infty[\) et \(v\) ne s’annule pas sur ces intervalles. \(f\) est donc dérivable sur ces intervalles et pour tout réel \(x\neq -1\), on a

\[f'(x)=\dfrac{(2x+3)(2x+2)-(x^2+3x-4) \times 2}{(2x+2)^2}\]

et donc

\[f'(x)=\dfrac{x^2+2x+7}{(2x+2)^2}\]

Puisque pour tout réel \(x\neq -1\), \((2x+2)^2>0\), \(f'(x)\) est du signe de \(x^2+2x+7\). C’est un polynôme du second degré dont le discriminant vaut \(\Delta = 2^2-4 \times 7 \times 1 = -24 >0\). Ainsi, pour tout réel \(x\neq 2\), \(f'(x)>0\).

Résumé dans un tableau

On met toutes ces informations dans un tableau et on en profite pour vérifier si le tout est cohérent.

Pour tout réel \(x\neq -1\),

\[ \dfrac{x^2+3x-4}{2x+2} – \left(\dfrac{1}{2}x+1\right)=\dfrac{x^2+3x-4-\left(\dfrac{1}{2}x+1\right)(2x+2)}{2x+2}\]

Ainsi,

\[g(x)=\dfrac{x^2+3x-4-x^2-x-2x-2}{2x+2}=-\dfrac{6}{2x+2}\]

Ainsi, \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{x^2+3x-4}{2x+2} – \left(\dfrac{1}{2}x+1\right)\right)=0\) et \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \left(\dfrac{x^2+3x-4}{2x+2} – \left(\dfrac{1}{2}x+1\right)\right)=0\).

1. Pour tout réel \(x\), \(e^x+\sin(x) \geqslant e^x -1\). Or, \(\displaystyle \lim_{x \to + \infty}(e^x-1)=+\infty\). Ainsi, par comparaison, \(\displaystyle \lim _{x\to + \infty}(e^x + \sin (x))=+\infty\).
2. Pour tout réel \(x>0\), \(x^2+\dfrac{3}{x}\geqslant x^2\) Or, \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty}x^2=+\infty\). Ainsi, par comparaison, \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(x^2+\dfrac{3}{x}\right)=+\infty\)
3. Pour tout réel \(x\), \(-1\leqslant \cos(4x) \leqslant 1\). Ainsi, \(-4 \leqslant \cos(4x)-3 \leqslant -2\). En particulier, pour \(x>0\), \(f(x) \leqslant -2x^3\). Or, \(\displaystyle\lim _{x \to +\infty} (-2x^3)=-\infty\). Ainsi, par comparaison, \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left((\cos(4x)-3)x^3\right)=-\infty.\).

   Par ailleurs, pour \(x<0\), on a \(\left((\cos(4x)-3)x^3\right) \geqslant -4x^3\). Or, \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (-4x^3)=+\infty\). Ainsi, \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left((\cos(4x)-3)x^3\right)=+\infty\)

1. Pour tout réel non nul \(x\), \(\dfrac{-5}{x^3} \leqslant\dfrac{3\sin(x)+2 \cos(x)}{x^3}\leqslant \dfrac{5}{x^3}\). Or, \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{-5}{x^3}=\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{3\sin(x)+2 \cos(x)}{x^3}=0\). Ainsi, d’après le théorème d’encadrement, \[\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{3\sin(x)+2 \cos(x)}{x^3}=0\]
2. Pour tout réel non nul \(x\), \(1-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\leqslant 1+\dfrac{\sin(x)}{\sqrt{x}} \leqslant 1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\). Or, \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \left(1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)=\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \left(1-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)=1\). Ainsi, d’après le théorème d’encadrement, \[\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(1+\dfrac{\sin (x)}{\sqrt{x}}\right)=1\]
3. Pour tout réel non nul \(x\), \(\dfrac{x+2\sin(x)}{x}=1+2\dfrac{\sin(x)}{x}\). Or, pour tout réel \(x>0\), \(1-\dfrac{2}{x}\leqslant 1+\dfrac{2\sin (x)}{x} \leqslant 1+\dfrac{2}{x}\). Or, \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \left(1+\dfrac{2}{x}\right)=\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \left(1-\dfrac{2}{x}\right)=1\). Ainsi \[\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left( \dfrac{x+2\sin(x)}{x}\right)=1\] De la même manière, \[\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left(\dfrac{x+2\sin (x)}{x}\right)=1\]

1. Pour tout réel \(x>-2\), \(x+\sin(x)+3\geqslant x+2\) et donc \(\sqrt{x+\sin(x)+3} \geqslant \sqrt{x+2}\). Or, \(\displaystyle \lim _{x\to +\infty} \sqrt{x+2}=+\infty\). Ainsi, \(\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x)=+\infty\).
2. Pour tout réel \(x\), \(2x^2-3x+\sin(4x)\geqslant 2x^2-3x-1\). Or, pour tout \(x \neq 0\), \(2x^2-3x-1=x^2\left(2-\dfrac{3}{x}-\dfrac{1}{x^2}\right)\). Ainsi, \(\displaystyle \lim_{x \to + \infty} (2x^2-3x-1)=+\infty\) et \(\displaystyle \lim_{x \to – \infty} (2x^2-3x-1)=+\infty\). D’après le théorème de comparaison, on a donc \(\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x)=+\infty\) et \(\displaystyle \lim_{x \to – \infty} f(x)=+\infty\)
3. Pour tout réel \(x \neq 0\), \(\dfrac{3x^2+\sin(x)}{2x}=3x+\dfrac{\sin(x)}{2x}\). Or, pour tout réel \(x>0\), \(-\dfrac{1}{2x} \leqslant \dfrac{\sin (x)}{2x} \leqslant \dfrac{1}{2x}\). Par théorème d’encadrement, \(\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \dfrac{\sin(x)}{2x}
   =0\) et donc \(\displaystyle \lim_{x \to + \infty}f(x)=+\infty\).

   Par ailleurs, pour tout réel \(x<0\), \(\dfrac{1}{2x} \leqslant \dfrac{\sin(x)}{2x} \leqslant -\dfrac{1}{2x}\). Par théorème d'encadrement, \(\displaystyle \lim_{x \to - \infty} \dfrac{\sin (2x)}{x}=0\) et donc \(\displaystyle \lim_{x \to - \infty} = -\infty\)

• Pour tout réel \(x\), \(\dfrac{e^x-1}{e^x+x}=\dfrac{e^x\left(1-\dfrac{1}{e^x}\right)}{e^x\left(1+\dfrac{x}{e^x}\right)}=\dfrac{1-\dfrac{1}{e^x}}{1+\dfrac{x}{e^x}}\). Or, \(\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{e^x}=0\) et, par croissances comparées, \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty} \dfrac{x}{e^x}=0\). Ainsi \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x-1}{e^x+x}=1\).

  Par ailleurs, \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty} (e^x-1)=-1\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(e^x+x)=-\infty\). Ainsi, \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \dfrac{e^x-1}{e^x+x}=0\)

• Pour tout réel \(x\),

  \[ \dfrac{3xe^x+4e^x+3x}{e^{2x}+e^x+1}=\dfrac{xe^x \left(3+\dfrac{4}{x}+\dfrac{3}{e^x}\right)}{e^{2x}\left(1+\dfrac{1}{e^x}+\dfrac{1}{e^{2x}}\right)}=\dfrac{x}{e^x}\times \dfrac{3+\dfrac{4}{x}+\dfrac{3}{e^x}}{1+\dfrac{1}{e^x}+\dfrac{1}{e^{2x}}}\]

  Or, \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{3+\dfrac{4}{x}+\dfrac{3}{e^x}}{1+\dfrac{1}{e^x}+\dfrac{1}{e^{2x}}} = 3\) et, par croissances comparées, \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty} \dfrac{x}{e^x}=0\). Ainsi,
  \[\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{3xe^x+4e^x+3x}{e^{2x}+e^x+1}=0\]

  Par ailleurs, \(\displaystyle\lim_{x \to – \infty}(e^{2x}+e^x+1)=1\) et \(\displaystyle\lim_{x \to – \infty}(3xe^x+4e^x+3x)=-\infty\). Ainsi, \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \dfrac{3xe^x+4e^x+3x}{e^{2x}+e^x+1}=-\infty\)

• Pour tout réel \(x\), \(\dfrac{e^{3x}}{28x}=\dfrac{3}{28} \times \dfrac{e^{3x}}{3x}\). Or, par croissances comparées, \(\displaystyle\lim _{x\to + \infty} \dfrac{e^{3x}}{3x}=+\infty\) . Ainsi, \(\displaystyle\lim _{x\to + \infty} \dfrac{e^{3x}}{28x}=+\infty\).

  Par ailleurs, \(\displaystyle\lim _{x\to – \infty}e^{3x}=0\) et \(\displaystyle\lim _{x\to – \infty} 28x=-\infty\). Ainsi, \(\displaystyle\lim _{x\to – \infty} \dfrac{e^{3x}}{28x}=0\).

• Pour tout réel \(x\neq 0\), \(e^x – 3x^2+5x-1=e^x\left(1-3\dfrac{x^2}{e^x}+5\dfrac{x}{e^x}-\dfrac{1}{e^x}\right)\) Or, \(\displaystyle\lim _{x\to + \infty} \left( 1-\dfrac{3x^2}{e^x}+5\dfrac{x}{e^x}-\dfrac{1}{e^x}\right)=1\) par croissances comparées. Ainsi, \(\displaystyle\lim _{x\to + \infty}f(x)=+\infty\).

  Par ailleurs, en faisant simplement la règle de somme de limites, on obtient, \(\displaystyle\lim _{x\to – \infty}f(x)=-\infty\).

• Remarquons que pour tout réel \(x\), \(x^2e^{-x}-x=\dfrac{x^2}{e^x}-x\). Or, par croissances comparées, \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \dfrac{x^2}{e^x}=0\) et donc \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{x^2}{e^x}-x\right)=-\infty\).

  Par ailleurs, \(\displaystyle \lim_{x\to-\infty} x^2e^{-x}=+\infty\) et \(\displaystyle \lim_{x\to-\infty} (-x)=+\infty\). Ainsi, \(\displaystyle \lim_{x\to-\infty}(x^2e^{-x}-x)=+\infty\).

Pour tout réel \(x\), \(e^x \leqslant (2+\cos(x))e^x \leqslant 3e^x\).

Pour tout réel \(x>0\), on a donc \(\dfrac{e^x}{x} \leqslant \dfrac{(2+\cos(x))e^x}{x}\). Or, par croissances comparées, \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x}=+\infty\). Par comparaison, on a donc \[\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\dfrac{(2+\cos(x))e^x}{x}=+\infty\]

Par ailleurs, pour tout réel \(x<0\), on a \(\dfrac{e^x}{x} \geqslant \dfrac{(2+\cos(x))e^x}{x}\geqslant \dfrac{3e^x}{x}\). Or, \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\dfrac{3e^x}{x}=\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\dfrac{e^x}{x}=0\). Par encadrement, \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\dfrac{(2+\cos(x))e^x}{x}\) existe et vaut 0.

D’une part, \(\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \dfrac{e^x+e^{-x}}{x} = +\infty\) et \(\displaystyle \lim_{x \to 0^-} \dfrac{e^x+e^{-x}}{x}=-\infty\). On utilise pour ça le fait que \(\displaystyle \lim_{x \to 0} (e^x+e^{-x})=e^0+e^0=2\)

Par ailleurs, pour tout réel \(x>0\), \(e^{-x}>0\). Ainsi, \(e^x+e^{-x}>e^x\) et \(\dfrac{e^x+e^{-x}}{x}>\dfrac{e^x}{x}\). Or, par croissances comparées, \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x}=+\infty\) et donc, par comparaison, \[\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x+e^{-x}}{x}=+\infty\]

Enfin, pour tout réel \(x<0\), \(e^x>0\). Ainsi, \(e^x+e^{-x}>e^{-x}\). En divisant par \(-x\) qui est positif, on a alors \(-\dfrac{e^x+e^{-x}}{x}> \dfrac{e^{-x}}{-x}\).

Or, \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty }(-x)=+\infty\) et par croissances comparées, \(\displaystyle \lim_{X \to +\infty} \dfrac{e^X}{X}=+\infty\). Ainsi, \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \dfrac{e^{-x}}{-x}=+\infty\). Par comparaison, on a donc, \[\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left(-\dfrac{e^x+e^{-x}}{x}\right)=+\infty\] et donc \[\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left(\dfrac{e^x+e^{-x}}{x}\right)=-\infty\]

On considère la fonction \(f:x\mapsto \dfrac{e^x}{x^2+1}\). La fonction \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\), son dénominateur n’étant jamais nul. De plus, on a, pour tout réel \(x\), \(f(x)>0\). \(f\) est de plus dérivable et pour tout réel \(x\),
\[ f'(x)= \dfrac{e^x \times (x^2+1) – e^x \times 2x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{(x-1)^2\,e^x}{(x^2+1)^2}\geqslant 0\].

La fonction \(f\) est donc strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) puisque sa dérivée est positive et ne s’annule qu’en un nombre fini de valeurs. La courbe de \(f\) a une tangente horizontale en \(1\) puisque \(f'(1)=0\). Par ailleurs, pour tout réel \(x\neq 0\), \(f(x)=\dfrac{e^x}{x^2} \times \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x^2}}\). Or, par croissance comparées, \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^2}=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{e^x}{x^2}=0\). \(f\) a donc les mêmes limites.

La courbe de la fonction \(f\) est la suivante. La tangente horizontale en \(1\) est également tracée.