Exercices corrigés : limites de suite

Accéder au cours sur les limites de suite

Notion de limite

Racine carrée

Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(u_n=\sqrt{n}\)

  1. Résoudre l’inéquation \(u_n \geqslant 100\)
  2. Résoudre l’inéquation \(u_n \geqslant 100000\)
  3. Soit \(A\) un réel quelconque. Résoudre l’inéquation \(u_n \geqslant A\)
  4. Que peut-on en déduire sur la limite de la suite \((u_n)\) ?
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  1. Puisque \(n \geqslant 0\), \(u_n \geqslant 100\) si et seulement si \(n \geqslant 100^2\) c’est-à-dire \(n \geqslant 10000\).
  2. Puisque \(n \geqslant 0\), \(u_n \geqslant 100000\) si et seulement si \(n \geqslant 100^2\) c’est-à-dire \(n \geqslant 10000000000\).
  3. On considère un réel \(A\) quelconque.
    • Si \(A<0\), alors pour tout \(n\), \(u_n>A\).
    • Si \(A\geqslant 0\), on sait que \(\sqrt{n} \geqslant A \Leftrightarrow n \geqslant A^2\). Ainsi, dès que \(n\geqslant A^2\), on a \(u_n \geqslant A\) et ceci est valable quelque soit la valeur de \(A\)
  4. Puisque pour tout \(A\), on a \(u_n \geqslant A\) à partir d’un certain rang, on peut en conclure que \(\displaystyle \lim _{n\to +\infty} u_n = +\infty\)

Une autre limite

On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout \(n\in \mathbb{N}\) par \(u_n=4-3n\).

  1. Calculer \(u_{30}\), \(u_{70}\), \(u_{1000}\). Quelle semble être la limite de la suite \((u_n)\) ?
  2. Soit \(A\) un réel. Résoudre l’équation \(u_n \leqslant A\), d’inconnue \(n\in\mathbb{N}\).
  3. Que peut-on en conclure sur la limite de la suite \((u_n)\) ?
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  1. \(u_{30}=-86\), \(u_{70}=-206\), \(u_{1000}=-2996\). Il semble que la limite de la suite \((u_n)\) soit \(-\infty\).
  2. \(u_n\leqslant A\) si et seulement si \(4-3n \leqslant A\) si et seulement si \(n\geqslant \dfrac{A-4}{-3}\).
  3. Puisque pour tout \(A\), on a \(u_n \leqslant A\) à partir d’un certain rang, on peut en conclure que \(\displaystyle \lim _{n\to +\infty} u_n = -\infty\)

Tendre vers l’infini ?

Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on note \(u_n=\left\{\begin{array}{ll} 1 & \text{si } n \text{ est premier}\\
n^2 & \text{sinon} \end{array}\right.\). A-t-on \(\displaystyle \lim _{n\to +\infty} u_n = +\infty\) ?
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Cette suite tend pas vers \(+\infty\). En effet, on rappelle qu’il existe une infinité de nombres premiers, et donc une infinité de valeur de \(n\) pour lesquels \(u_n = 1\). Prenons en particulier \(A=2\) dans la définition de la limite infinie. On a donc que, pour tout \(N\), il existe un rang \(n \geqslant N\) tel que \(u_n < 2\) : il n'est pas possible d'avoir tous les termes de la suite supérieurs à 2 à partir d'un certain rang. La limite de la suite ne peut donc être \(+\infty\).

Conjecturer une limite

Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on pose \(u_n=\dfrac{3-5n}{10n+2}\). Quelle semble être la limite de la suite \((u_n)\) ?
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En calculant des termes de la suite avec des valeurs grandes de \(n\), il semble que la limite de la suite \((u_n)\) soit \(-\dfrac{1}{2}\)

Avec une suite récurrente

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=12\) et pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}= \dfrac{u_n}{2}+2\).

  1. Quelle semble être la limite de la suite \((u_n)\) ?
  2. Cette limite change-t-elle si \(u_0=3\) ?
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  1. En calculant des termes de la suite, il semblerait que la limite de cette suite soit 4.
  2. On obtient la même limite si on prend \(u_0=3\).

Conjecturer et démontrer une limite

On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout \(n\in\mathbb{N}\) par \(u_n=\dfrac{3n+6}{n+1}\).

  1. Donner des valeurs approchées au centième de \(u_{10}\), \(u_{100}\), \(u_{1000}\)
  2. La suite \((u_n)\) semble-t-elle convergente ? Quelle serait sa limite ?
  3. Montrer que pour \(n\in\mathbb{N}\), \(u_n-3=\dfrac{3}{n+1}\). Quel est le signe de cette quantité ?
  4. En déduire que \(|u_n-3|=u_n-3\). On rappelle que la valeur absolue d’un réel \(x\) vaut \(x\) si ce réel est positif et \(-x\) sinon.
  5. Soit \(\varepsilon >0\). Résoudre l’inéquation \(\left\lvert u_n – 3 \right\rvert < \varepsilon\), d'inconnue \(n\in\mathbb{N}\). Conclure
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  1. On a \(u_{10}=\dfrac{36}{11}\simeq 3.272\), \(u_{100}=\dfrac{306}{101}\simeq 3.030\), \(u_{1000}=\dfrac{3006}{1001}\simeq 3.003\)
  2. Il semblerait que la suite \((u_n)\) soit convergente, de limite 3.
  3. Pour \(n\in\mathbb{N}\), \(u_n-3=\dfrac{3n+6}{3+1}-\dfrac{3(n+1)}{n+1}=\dfrac{3n+6-3n-3}{n+1}=\dfrac{3}{n+1}\)
  4. Puisque cette valeur est positive, on a \(|u_n-3|=u_n-3=\dfrac{3}{n+1}\)
  5. Soit \(\varepsilon >0\).
    \[\left\lvert u_n – 3 \right\rvert < \varepsilon \Leftrightarrow \dfrac{3}{n+1}< \varepsilon \Leftrightarrow \dfrac{n+1}{3} > \dfrac{1}{\varepsilon} \Leftrightarrow n > \dfrac{3}{\varepsilon}-1\]

    Ainsi, pour tout \(\varepsilon > 0\), dès que \(n > \dfrac{3}{\varepsilon}-1\), on a \(\left\lvert u_n – 3 \right\rvert < \varepsilon\). Ainsi, la suite \((u_n)\) est convergente et \(\displaystyle \lim _{n\to + \infty}u_n=3\).

Opérations sur les limites

Avec des sommes

Dans chacun des cas suivants, déterminer la limite, si elle existe, de la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel non nul \(n\),

1. \(u_n= n^2+\sqrt{n}\) 2. \(u_n = \dfrac{1}{n}-n^3\) 3. \(u_n = e^{-n}+3n\)
4. \(u_n = \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n^2}+n\) 5. \( u_n =-6n^2+1+ \dfrac{1}{n}\) 6. \(u_n=\dfrac{1+n}{n}\)
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  1. On sait que \(\displaystyle \lim _{n\to +\infty} n^2 = +\infty\), \(\displaystyle \lim _{n\to +\infty} \sqrt{n} = +\infty\). Ainsi, d’après les règles de la limite de la somme, \(\displaystyle \lim _{n\to +\infty} n^2+\sqrt{n} = +\infty\)
  2. On sait que \(\displaystyle \lim _{n\to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0\) et \(\displaystyle \lim _{n\to +\infty} -n^3 = -\infty\). Ainsi, d’après les règles de la limite de la somme, \(\displaystyle \lim _{n\to +\infty} \left( \dfrac{1}{n}-n^3 \right) = -\infty\)
  3. On sait que \(\displaystyle \lim _{n\to +\infty} e^{-n} = 0\) et \(\displaystyle \lim _{n\to +\infty} (3n)= +\infty\). Ainsi, d’après les règles de la limite de la somme, \(\displaystyle \lim _{n\to +\infty} \left(e^{-n}+3n\right) = +\infty\)
  4. On sait que \(\displaystyle \lim _{n\to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0\), \(\displaystyle \lim _{n\to +\infty} \dfrac{1}{n^2} = 0\) et \(\displaystyle \lim _{n\to +\infty} n = +\infty\). Ainsi, d’après les règles de la limite de la somme, \(\displaystyle \lim _{n\to +\infty} \left( \dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}+n \right) = +\infty\)
  5. On sait que \(\displaystyle \lim _{n\to +\infty}-n^2 = -\infty\), \(\displaystyle \lim _{n\to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0\) et \(\displaystyle \lim _{n\to +\infty} 1 = 1\). Ainsi, d’après les règles de la limite de la somme, \(\displaystyle \lim _{n\to +\infty} \left( -6n^2+1+ \dfrac{1}{n} \right) = -\infty\)
  6. Pour tout entier naturel non nul \(n\), \(u_n=\dfrac{1}{n}+\dfrac{n}{n}=1+\dfrac{1}{n}\). On sait que \(\displaystyle \lim _{n\to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0\) et \(\displaystyle \lim _{n\to +\infty} 1 = 1\). Ainsi, d’après les règles de la limite de la somme, \(\displaystyle \lim _{n\to +\infty} \left( \dfrac{1+n}{n} \right) = 1\)

Avec des produits

Dans chacun des cas suivants, déterminer la limite, si elle existe, de la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel non nul \(n\),

1. \(u_n = (2n+1)\left(\dfrac{1}{ n}+2\right)\) 2. \( u_n = \left(3+\dfrac{2}{n}\right) \left( \dfrac{5}{n^2}-2\right)\) 3. \(u_n=\sqrt{n}-n^2\sqrt{n}\)
4. \(u_n=n^2-n\) 5. \(u_n=\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(2+\dfrac{3}{n^2}\right)\) 6. \(u_n = (3n+1)\left(\dfrac{1}{n}-2\right)\)
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  1. D’une part, \(\displaystyle \lim _{n\to +\infty} (2n+1) = +\infty\). D’autre part, \(\displaystyle \lim _{n\to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0\) d’où \(\displaystyle \lim _{n\to +\infty} \left(\dfrac{1}{n}+2\right) = 2\). Ainsi, d’après les règles de calcul de la limite d’un produit, \(\displaystyle \lim _{n\to +\infty} (2n+1)\left(\dfrac{1}{n}+2\right) = +\infty\).
  2. D’une part, \(\displaystyle \lim _{n\to +\infty} \dfrac{2}{n}=0\), d’où \(\displaystyle \lim _{n\to +\infty} \left(3+\dfrac{2}{n}\right)=3\). D’autre part, \(\displaystyle \lim _{n\to +\infty} \dfrac{5}{n^2}=0\) d’où \(\displaystyle \lim _{n\to +\infty} \left(\dfrac{5}{n^2}-2\right)=-2\). Finalement, en utilisant les règles de calcul de la limite d’un produit, \(\displaystyle \lim _{n\to +\infty} \left(3+\dfrac{2}{n}\right)\left(\dfrac{5}{n^2}-2\right)=3\times (-2)=-6\).
  3. Si l’on fait la limite de chaque terme de la somme, on aboutit à une forme indéterminée, de type « \)\infty – \infty \(. Il faut donc factoriser \(u_n\). Pour tout entier \(n\), \(u_n=\sqrt{n}(1-n^2)\). Or, \(\displaystyle \lim _{n\to +\infty} \sqrt{n}=+\infty\) et \(\displaystyle \lim _{n\to +\infty} (1-n^2)=-\infty\). Ainsi, \(\displaystyle \lim _{n\to +\infty} u_n = -\infty\).
  4. Si l’on fait la limite de chaque terme de la somme, on aboutit à une forme indéterminée, de type « \)\infty – \infty \(. Il faut donc factoriser \(u_n\). Pour tout entier naturel \(n\), \(u_n=n(n-1)\). Or, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty}n=+\infty\) et \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty}(n+1)=+\infty\). Ainsi, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty}u_n=+\infty\).
  5. D’une part, \(\displaystyle\lim _{n\to + \infty} \left( 1-\dfrac{1}{n}\right)=1\). D’autre part, \(\displaystyle\lim _{n\to + \infty} \left(2+\dfrac{3}{n^2}\right)=2\). Ainsi, par limite du produit, \(\displaystyle\lim _{n\to + \infty} u_n=2\)

    D’une part, \(\displaystyle\lim _{n\to + \infty}(3n+1)=+\infty\). D’autre part, \(\displaystyle\lim _{n\to + \infty}\left(\dfrac{1}{n}-2\right)=-2\). Ainsi, en utilisant la règle des limites sur les produits, \(\displaystyle\lim _{n\to + \infty}u_n=-\infty\) (ne pas oublier la règle des signes).

Avec des quotients

Dans chacun des cas suivants, déterminer la limite, si elle existe, de la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel non nul \(n\),

1. \( u_n = \dfrac{e^n}{1+\frac{1}{n}}\) 2. \( u_n = \dfrac{6+\frac{3}{n^2}}{\frac{5}{n}-1}\) 3.
\( u_n = \dfrac{-1+\frac{3}{n}}{\frac{1}{n^2}}\)
4. \(u_n=\dfrac{3+\sqrt{n}}{1+\dfrac{2}{n}}\) 5. \(u_n=-2n^2-\dfrac{5}{n+1}\) \(u_n=\dfrac{5}{-1-n}\)
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  1. D’une part, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} e^n = +\infty\). D’autre part, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0\) d’où \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(1+\dfrac{1}{n}\right)=1\). Finalement, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{e^n}{1+\dfrac{1}{n}}=+\infty\)
  2. D’une part, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{3}{n^2}=0\) d’où \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(6+\dfrac{3}{n^2}\right)=6\). D’autre part, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{5}{n}=0\) d’où \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(\dfrac{5}{n}-1\right)=-1\). Finalement, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty}\dfrac{6+\dfrac{3}{n^2}}{\dfrac{5}{n}-1}=\dfrac{6}{-1}=-6\).
  3. D’une part, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{3}{n}=0\), d’où \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(1+\dfrac{3}{n}\right)=1\). Par ailleurs, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^2}=0\) par valeurs supérieures. Ainsi, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1+\dfrac{3}{n}}{\dfrac{1}{n^2}}=+\infty\). Il est également possible de remarquer que dans ce cas, pour nous \(n>0\), \(u_n=n^2\left(1+\dfrac{3}{n}\right)\) et utiliser les règles de calcul sur un produit.
  4. D’une part, \(\displaystyle\lim _{n\to + \infty} (3+\sqrt{n})=+\infty\). D’autre part, \(\displaystyle\lim _{n\to + \infty} \left(1+\dfrac{2}{n}\right)=1\). Finalement, \(\displaystyle\lim _{n\to + \infty}u_n=+\infty \).
  5. D’une part, \(\displaystyle\lim _{n\to + \infty}(-2n^2=-\infty\). D’autre part, \(\displaystyle\lim _{n\to + \infty} -\dfrac{5}{n}=0\). Ainsi, \(\displaystyle\lim _{n\to + \infty} u_n=-\infty\)
  6. Puisque \(\displaystyle\lim _{n\to + \infty}(-1-n)=-\infty\), on a \(\displaystyle\lim _{n\to + \infty}u_n=0\).

Formes indéterminées

Terme de plus haut degré

En factorisant par le terme dominant, déterminer la limite de la suite \((u_n)\) dans chacun des cas suivants.

1.\( u_n = \dfrac{3n^3+2n-5}{2-4n^3}\) 2. \( u_n = \dfrac{n^2+1}{n+3}\) 3. \(u_n=\dfrac{1-2n^3}{n^2-3n^3}\)
4. \(u_n = \dfrac{1-6n^4}{5n^6+2n^2+1}\) 5. \(u_n=\dfrac{(n-1)(n^2+1)}{2-3n^2}\) 6. \( u_n = \dfrac{n^2-\dfrac{1}{n^4}}{n^3+3}\) pour \(n>0\)
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  1. Pour tout entier naturel non nul \(n\), \[\dfrac{3n^3+2n-5}{2-4n^3}=\dfrac{n^3\left(3+\dfrac{2}{n^2}-\dfrac{5}{n^3}\right)}{n^3\left(\dfrac{2}{n^3}-4\right)}=\dfrac{3+\dfrac{2}{n^2}-\dfrac{5}{n^3}}{\dfrac{2}{n^3}-4}\] En appliquant les règles de calcul classiques sur les limites, on en déduit que \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{3n^3+2n-5}{2-4n^3} = -\dfrac{3}{4}\)
  2. Pour tout entier naturel non nul \(n\), \[\dfrac{n^2+1}{n+3}=\dfrac{n^2\left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)}{n\left(1+\dfrac{3}{n}\right)}=n\times\dfrac{1+\dfrac{1}{n^2}}{1+\dfrac{3}{n}}\] Or, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1+\dfrac{1}{n^2}}{1+\dfrac{3}{n}}=1\) et \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} n = +\infty\). Ainsi, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{n^2+1}{n+3} = +\infty\)
  3. Pour tout entier naturel non nul \(n\), \[\dfrac{1-2n^3}{n^2-3n^3}=\dfrac{n^3\times \left(\dfrac{1}{n^3}-2\right)}{n^3\times\left(\dfrac{1}{n}-3\right)}=\dfrac{\dfrac{1}{n^3}-2}{\dfrac{1}{n}-3}\] Ainsi, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty}\dfrac{1-2n^3}{n^2-3n^3}==\dfrac{-2}{-3}=\dfrac{2}{3}\)
  4. Pour tout entier naturel non nul \(n\), \[\dfrac{1-6n^4}{5n^6+2n^2+1}=\dfrac{n^4\left(\dfrac{1}{n^4}-6\right)}{n^6\left(5+\dfrac{2}{n^4}+\dfrac{1}{n^6}\right)}=\dfrac{1}{n^2} \times \dfrac{\dfrac{1}{n^4}-6}{5+\dfrac{2}{n^4}+\dfrac{1}{n^6}}\] Or, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{\dfrac{1}{n^4}-6}{5+\dfrac{2}{n^4}+\dfrac{1}{n^6}} = -\dfrac{6}{5}\) et \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^2}=0\). Ainsi, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty}\dfrac{1-6n^4}{5n^6+2n^2+1}=0\)
  5. Pour tout entier naturel non nul \(n\), \[\dfrac{(n-1)(n^2+1)}{2-3n^2}=\dfrac{n \times \left(1-\dfrac{1}{n}\right) \times n^2 \times \left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)}{n^2\times \left(\dfrac{2}{n^2}-3\right)}=n \times \dfrac{ \left(1-\dfrac{1}{n}\right) \left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)}{\left(\dfrac{2}{n^2}-3\right)}\]
    Or, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty}n=+\infty\), \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty}\left(\dfrac{2}{n^2}-3\right)=-3\) et \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty}\left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)=1\). Ainsi, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty}\dfrac{(n-1)(n^2+1)}{2-3n^2}=-\infty\).
  6. Pour tout entier naturel non nul \(n\), \[\dfrac{n^2-\dfrac{1}{n^4}}{n^3+3}=\dfrac{n^2 \times \left(1-\dfrac{1}{n^6}\right)}{n^3\times\left(1+\dfrac{3}{n^3}\right)}=\dfrac{1}{n} \times \dfrac{1-\dfrac{1}{n^6}}{1+\dfrac{3}{n^3}}\]

    Or, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n}=0\), \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty}\left(1-\dfrac{1}{n^6}\right)=1\) et \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty}\left(1+\dfrac{3}{n^3}\right)=1\). Ainsi, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty}\dfrac{n^2-\dfrac{1}{n^4}}{n^3+3}=0\)

Une suite auxiliaire

On considère la suite \((u_n)\) définie par
\[ \left\{ \begin{array}{l}
u_0 = 1 \\
\text{Pour tout entier naturel } n,\; u_{n+1}=\dfrac{9}{6-u_n}
\end{array}\right.\]

  1. Calculer \(u_1\) et \(u_2\)
  2. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(0<u_n<3\)
  3. Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(a_n=\dfrac{1}{3-u_n}\)
    1. Justifier que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n=\dfrac{3a_n-1}{a_n}\)
    2. Montrer que pour tout entier naturel \(n\), \(a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{3}\). Pour cela, on exprimera \(a_{n+1}\) en fonction de \(u_{n+1}\), puis en fonction de \(u_n\), puis en fonction de \(a_n\).
    3. En déduire que la suite \((a_n)\) est arithmétique. Préciser sa raison et son premier terme.
    4. Exprimer \(a_n\) en fonction de \(n\) pour tout entier naturel \(n\).
    5. En déduire une expression de \(u_n\) en fonction de \(n\) pour tout entier naturel \(n\)
    6. Quelle est la limite de la suite \((u_n)\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\) ?
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  1. \(u_1=\dfrac{9}{6-1}=\dfrac{9}{5}\), \(u_2=\dfrac{9}{6-\frac{9}{5}}=\dfrac{9}{\frac{21}{5}}=\dfrac{45}{21}=\dfrac{15}{7}\)
  2. Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(P(n): 0<u_n<3\)
    • Initialisation : Puisque \(u_0=1\), on a bien \(0<u_0<3\). \(P(0)\) est vraie.
    • Hérédité : Soit \(n\in\mathbb{N}\). Supposons \(P(n)\) vraie. Ainsi, \(0<u_n<3\)
      En multipliant par \(-1\), qui est négatif, on a donc \(0>-u_n>-3\). On ajoute 6 pour avoir \(6>6-u_n>3\). On applique alors la fonction inverse qui est décroissante sur \(]0;+\infty[\). On a donc \(\dfrac{1}{6} < \dfrac{1}{6-u_n} <\dfrac{1}{3}\). Enfin, on multiplie par 9 pour obtenir \(\dfrac{3}{2} < \dfrac{9}{6-u_n} <3\). Or, puisque \(0<\dfrac{3}{2}\), on a bien \(0<u_{n+1}<3\). \(P(n+1)\) est vraie.
    • Conclusion : \(P(0)\) est vraie, \(P\) est héréditaire. Par récurrence, \(P(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).
  3. Soit \(n\in\mathbb{N}\). On a \(a_n=\dfrac{1}{3-u_n}\). Puisque \(a_n \neq 0\), on peut appliquer la fonction inverse à cette égalité. On a alors \(\dfrac{1}{a_n}=3-u_n\). Ainsi, \(u_n=3-\dfrac{1}{a_n}=\dfrac{3a_n-1}{a_n}\)
  4. Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on a \(a_n=\dfrac{1}{3-u_n}\). Ainsi, \(a_{n+1}=\dfrac{1}{3-u_{n+1}}\).

    Or, \(u_{n+1}=\dfrac{9}{6-u_n}\). Ainsi

    \[ a_{n+1}=\dfrac{1}{3-\dfrac{9}{6-u_n}}=\dfrac{1}{\dfrac{3(6-u_n)-9}{6-u_n}}=\dfrac{6-u_n}{9-3u_n}\]

    Or, d’après la question précédente, \(u_n=\dfrac{3a_n-1}{a_n}\). Ainsi,

    \[ a_{n+1}=\dfrac{6-\dfrac{3a_n-1}{a_n}}{9-3\times \dfrac{3a_n-1}{a_n}}=\dfrac{\dfrac{6a_n-(3a_n-1)}{a_n}}{\dfrac{9a_n-3\times(3a_n-1)}{a_n}}\]

    et donc
    \[a_{n+1}=\dfrac{3a_n+1}{a_n}\times \dfrac{a_n}{3}=\dfrac{3a_n+1}{3}=a_n+\dfrac{1}{3}\]

  5. La suite \((a_n)\) est donc arithmétique de raison \(r=\dfrac{1}{3}\). Son premier terme vaut \(a_0=\dfrac{1}{3-u_0}=\dfrac{1}{3-1}=\dfrac{1}{2}\).
  6. On rappelle que si \((a_n)\) est une suite arithmétique de raison \(r\), alors pour tout entier naturel \(n\), \(a_n=a_0+rn\).

    Dans notre cas, pour tout entier naturel \(n\), \(a_n=\dfrac{1}{2}+\dfrac{n}{3}\)

  7. On sait que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n=\dfrac{3a_n-1}{a_n}\). Ainsi, pour tout entier naturel \(n\)

    \[u_n =\dfrac{3 \times \left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{n}{3}\right)-1}{\dfrac{1}{2}+\dfrac{n}{3}} =\dfrac{\dfrac{3}{2}+n-1}{\dfrac{3+2n}{6}}=\dfrac{6\times\left(n+\dfrac{1}{2}\right)}{3+2n}=\dfrac{6n+3}{3+2n}\]

  8. En utilisant les règles sur les calculs de limites, on aboutit à une forme indéterminée \(\dfrac{\infty}{\infty} \). Or, pour tout entier naturel \(n\),
    \[u_n=\dfrac{n\left(6+\dfrac{3}{n}\right)}{n\left(\dfrac{3}{n}+2\right)}=\dfrac{6+\dfrac{3}{n}}{\dfrac{3}{n}+2}\]

    Ainsi, \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n=\dfrac{6}{2}=3\).

Quantité conjuguée

Déterminer la limite de la suite \((u_n)\) dans chacun des cas suivants

1. \( u_n = \sqrt{n-3}-\sqrt{n+8}\) 2. \( u_n=\sqrt{n+2}+\sqrt{2n+5}\)
3. \(u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n+2}}\)
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  1. Pour tout entier naturel \(n>3\), \[\sqrt{n-3}-\sqrt{n+8}=\sqrt{n-3}-\sqrt{n+8} \times \dfrac{\sqrt{n-3}+\sqrt{n+8}}{\sqrt{n-3}+\sqrt{n+8}}=\dfrac{n-3-(n+8)}{\sqrt{n-3}+\sqrt{n+8}}\]
    et donc
    \[\sqrt{n-3}-\sqrt{n+8}=-\dfrac{11}{\sqrt{n-3}+\sqrt{n+8}}\]
    Ainsi, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (\sqrt{n-3}-\sqrt{n+8}) = 0\).
  2. Attention à ne pas se lancer dans des calculs par pur automatisme, il ne s’agit pas ici d’une forme indéterminée ! \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n+2}+\sqrt{2n+5} = +\infty\).
  3. Pour tout entier naturel non nul \(n\),

    \[u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n+2}} \times \dfrac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}}\]

    et donc

    \[u_n=\dfrac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}}{(n+1)-(n+2)}=\dfrac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}}{-1}\]

    Or, \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2})=+\infty\) et donc \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=-\infty\).

Les deux à la fois !

Pour tout entier naturel \(n>1\), on pose \( u_n = \sqrt{n^2+3n-2}-\sqrt{n^2-n-1}\).

  1. En utilisant la quantité conjuguée, montrer que pour tout entier naturel \(n>1\)
    \[ u_n=\dfrac{4n-1}{ \sqrt{n^2+3n-2}+\sqrt{n^2-n-1}}\]

  2. Montrer que pour tout entier naturel \(n>1\),
    \[u_n = \dfrac{4-\dfrac{1}{n}}{\sqrt{1+\dfrac{3}{n}-\dfrac{2}{n^2}}+\sqrt{1-\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n^2}}}\]

  3. En déduire, si elle existe, la limite en \(+\infty\) de la suite \((u_n)\).
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  1. Pour tout entier naturel \(n\),
    \[ u_n= \sqrt{n^2+3n-2}-\sqrt{n^2-n-1} \times \dfrac{ \sqrt{n^2+3n-2}+\sqrt{n^2-n-1}}{ \sqrt{n^2+3n-2}+\sqrt{n^2-n-1}}\]
    En développant le numérateur, on a alors
    \[u_n= \dfrac{n^2+3n-2-(n^2-n-1)}{ \sqrt{n^2+3n-2}+\sqrt{n^2-n-1}}=\dfrac{4n-1}{ \sqrt{n^2+3n-2}+\sqrt{n^2-n-1}}\]
  2. On a en effet \[\sqrt{n^2+3n-2}=\sqrt{n^2} \times \sqrt{1+\dfrac{3}{n}-\dfrac{2}{n^2}}=n\sqrt{1+\dfrac{3}{n}-\dfrac{2}{n^2}}\] et \[\sqrt{n^2-n-1}=\sqrt{n^2} \times \sqrt{1-\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n^2}}=n \sqrt{1-\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n^2}}\].
    Ainsi
    \[u_n=\dfrac{n\left(4-\dfrac{1}{n}\right)}{n\left(\sqrt{1+\dfrac{3}{n}-\dfrac{2}{n^2}}+\sqrt{1-\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n^2}}\right)} = \dfrac{4-\dfrac{1}{n}}{\sqrt{1+\dfrac{3}{n}-\dfrac{2}{n^2}}+\sqrt{1-\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n^2}}}\]
  3. Or, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty}\left(4+\dfrac{3}{n}\right)=4\), \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(\sqrt{1+\dfrac{3}{n}-\dfrac{2}{n^2}}\right)=1\) et \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty}\left(\sqrt{1-\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n^2}}\right)=1\).

    Ainsi, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(\sqrt{n^2+3n-2}-\sqrt{n^2-n-1}\right)=\dfrac{4}{1+1}=2\)

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