1. Pour tout entier naturel \(n\), on a \(-1 \leqslant (-1)^n \leqslant 1\).

   Ainsi, \(-1-4 \leqslant (-1)^n -4\leqslant 1-4\), soit \(-5 \leqslant (-1)^n-4 \leqslant -3\).

   En multipliant par \(n^2\) qui est positif, on a \(-5n^2 \leqslant u_n \leqslant -3n^2\)

2. Puisque \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty} (-3n^2)=-\infty\), on a, par comparaison, \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n=-\infty\)

1. Pour tout entier naturel \(n\), on a \(n^2+1 \geqslant n^2\). En appliquant la fonction Racine carrée qui est croissante, on a alors \(\sqrt{n^2+1} \geqslant \sqrt{n^2}\), c’est-à-dire \(u_n \geqslant n\).
2. Puisque \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty} n=+\infty\), on a, par comparaison, \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n=+\infty\)

1. Pour tout entier naturel \(n\), \(u_n=n+3\times (-1)^n\). Or, \(-1 \leqslant (-1)^n \leqslant 1\), on a donc \(u_n \geqslant n-3\). Or, \(\displaystyle \lim_{n\to + \infty}(n-3) = +\infty\). D’après le théorème de comparaison, \(\displaystyle \lim_{n\to + \infty} u_n = +\infty\).
2. Pour tout entier naturel \(n\), \(-1 \leqslant \sin(n) \leqslant 1\) et donc \(-4 \leqslant \sin(n)-3 \leqslant -2\) et finalement \(-4n \leqslant u_n \leqslant -2n\).

   Puisque \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty} (-2n)=-\infty\), on a, par comparaison, \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n=-\infty\)

3. Pour tout entier naturel \(n\), \(-1 \leqslant \cos(n) \leqslant 1\) et donc \(-\dfrac{1}{n} \leqslant \dfrac{\cos(n)}{n} \leqslant \dfrac{1}{n}\) et finalement \(n-\dfrac{1}{n} \leqslant u_n \leqslant n+\dfrac{1}{n}\).

   Puisque \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(n-\dfrac{1}{n}\right)=+\infty\), on a, par comparaison, \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n=+\infty\).

4. Pour tout entier naturel \(n\), \(u_n=\sin (3n^2+1)-n^3\). Or, \(\sin (3n^2+1) \leqslant 1\). Ainsi, \(u_n \leqslant 1-n^3\). Or, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (1-n^3)=-\infty\). Ainsi, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty\).

1. Pour tout entier naturel non nul \(n\), \(u_n=\dfrac{3+\sin(n)}{n^3}\). Or, \(-1 \leqslant \sin(n) \leqslant 1\) d’où \(\dfrac{2}{n^3} \leqslant u_n \leqslant \dfrac{4}{n^3}\). Or, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{2}{n^3}=\displaystyle \lim_{n \to +\infty}\dfrac{4}{n^3}=0\). Ainsi, d’après le théorème d’encadrement, \((u_n)\) converge et \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty}u_n=0\)
2. Pour tout entier naturel non nul \(n\), \(u_n=2+\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\). Or, \(-1 \leqslant (-1)^n \leqslant 1\) d’où \(2-\dfrac{1}{\sqrt{n}} \leqslant u_n \leqslant 2+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\). Or, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty}\left( 2+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)=\displaystyle \lim_{n \to +\infty}\left( 2-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)=2\). Ainsi, d’après le théorème d’encadrement, \((u_n)\) converge et \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty}u_n=2\)

1. Pour tout entier naturel non nul \(n\), \(u_n=\dfrac{2+\cos(2n)+4\sin(n)}{n}\). On a donc \(-\dfrac{3}{n} \leqslant u_n \leqslant \dfrac{7}{n}\). Or, \(\displaystyle \lim_{n\to + \infty} \left( -\dfrac{3}{n}\right)=\displaystyle \lim_{n\to + \infty} \left( \dfrac{7}{n}\right)=0\). D’après le théorème d’encadrement, on a donc \(\displaystyle \lim_{n\to + \infty} u_n=0\)
2. Pour tout entier naturel \(n\), \(u_n=\dfrac{18n^3}{2\sin(n)+3\cos(2n)-9}\), on a donc \(u_n \leqslant \dfrac{18n^3}{-4}=-\dfrac{9}{2}n^3\). Or, \(\displaystyle \lim_{n\to + \infty} \left( -\dfrac{9}{2}n^3 \right)=-\infty\). Ainsi, d’après le théorème de comparaison, \(\displaystyle \lim_{n\to + \infty} u_n = -\infty\).
3. Puisque pour tout entier naturel \(n\), \(-1\leqslant \cos(n) \leqslant 1\), et \(-1 \leqslant \sin(5n+1) \leqslant 1\), on a alors \( n^2-5 \leqslant u_n \leqslant n^2+5\). En particulier, le fait que \(u_n \geqslant n^2-5\) nous permet d’affirmer que \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n=+\infty \).
4. Pour tout entier naturel non nul \(n\), on a \(u_n=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2\cos(n)-5\sin(n)}{3n^2}\)
   Puisque pour tout entier naturel \(n\), \(-1\leqslant \cos(n) \leqslant 1\), et \(-1 \leqslant \sin(n) \leqslant 1\), on a \(\dfrac{1}{3}-\dfrac{7}{3n^2}\leqslant u_n \leqslant \dfrac{1}{3}+\dfrac{7}{3n^2}\). Par encadrement, on a donc \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n=\dfrac{1}{3}\).

1. On a

• \(u_1 = \dfrac{3}{4}u_0+\dfrac{1}{4} \times 0 + 1 = \dfrac{3}{4}+1=\dfrac{7}{4}\)
• \(u_2 = \dfrac{3}{4}u_1+\dfrac{1}{4} \times 1 + 1 = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{7}{4} +\dfrac{1}{4} +1=\dfrac{41}{16}\)

2. Pour tout entier naturel \(n\), on note \(\mathcal{P}(n)\) la proposition « \(n \leqslant u_n \leqslant n+1\) »

• Initialisation : On sait que \(u_0=1\). On a bien \(0 \leqslant u_0 \leqslant 1\). \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.
• Hérédité : Soit \(n\) un entier naturel. Supposons que \(\mathcal{P}(n)\) est vraie. On a donc
  \[n \leqslant u_n \leqslant n+1\]
  En multipliant par \(\dfrac{3}{4}\) puis en ajoutant \(\dfrac{1}{4}n+1\), on obtient
  \[\dfrac{3}{4}n +\dfrac{1}{4}n+1 \leqslant \dfrac{3}{4}u_n + \dfrac{1}{4}n+1 \leqslant \dfrac{3}{4}(n+1)+\dfrac{1}{4}n+1\]
  c’est-à-dire
  \[n+1 \leqslant u_{n+1} \leqslant n + \dfrac{7}{4} \]
  Or, puisque \(\dfrac{7}{4} \leqslant 2\), on a bien que
  \[n+1 \leqslant u_{n+1} \leqslant n+2 \]
  \(\mathcal{P}(n+1)\) est donc vraie
• Conclusion : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie et \(\mathcal{P}\) est héréditaire. Par récurrence, \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).

3. Pour tout entier naturel \(n\), on \[u_n \leqslant n+1 \leqslant u_{n+1} \]
En particulier, \(u_n \leqslant u_{n+1}\). La suite \((u_n)\) est donc croissante. Par ailleurs, puisque pour tout entier naturel \(n\), \(u_n \geqslant n\) et que \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} n = +\infty \), on en déduit d’après le théorème de comparaison que \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty \)

4. Pour tout entier naturel non nul \(n\), on a que
\[n \leqslant u_n \leqslant n+1\]
et donc, en divisant par \(n\), on obtient que
\[1 \leqslant \dfrac{u_n}{n} \leqslant \dfrac{n+1}{n}\]
Or, pour tout entier naturel \(n\), \(\dfrac{n+1}{n}=1+\dfrac{1}{n}\) et donc \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \dfrac{n+1}{n} = 1\). De plus, \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} 1 = 1\). D’après le théorème d’encadrement, \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{u_n}{n}\) existe et vaut 1

1.a. On a

• \(u_1=u_0+v_0=1+1=2\)
• \(v_1=2u_0+v_0=2\times 1 + 1 = 3\)

1.b. Pour tout entier naturel \(n\),
\[v_{n+1}-v_n = 2u_n + v_n-v_n=2u_n\]
Or, d’après l’énoncé, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n > 0\). La suite \((v_n)\) est donc strictement croissante.

Ainsi, pour tout entier naturel \(n\), \(v_n \geqslant v_0\) et donc \(v_n \geqslant 1\).

1.c. Pour tout entier naturel \(n\), on note \(\mathcal{P}(n)\) la proposition « \(u_n \geqslant n+1\) »

• Initialisation : On sait que \(u_0=1\). On a bien \(u_0 \geqslant 0 +1\). \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.
• Hérédité : Soit \(n\) un entier naturel. Supposons que \(\mathcal{P}(n)\) est vraie. On a donc
  \(u_n \geqslant n+1\). Mais d’après la question précédente, on a aussi que \(v_n \geqslant 1\). Ainsi, en sommant ces deux inégalités, on obtient que \( u_n + v_n \geqslant n+1 +1\), c’est-à-dire \(u_{n+1} \geqslant (n+1)+1\).
  \(\mathcal{P}(n+1)\) est donc vraie
• Conclusion : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie et \(\mathcal{P}\) est héréditaire. Par récurrence, \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).

1.d. On sait que \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(n+1)=+\infty\). Or, d’après la question précédente, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n \geqslant n+1\). D’après le théorème de comparaison, \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty\).

2.a. \((-1)^{n+1}\) vaut \(-1\) ou \(1\), selon la partié de l’entier \(n\). Ainsi, pour tout entier naturel \(n\),
\[ -1 \leqslant (-1)^n \leqslant 1\]
En divisant par \(u_n^2\), qui est strictement positif, on obtient que \[\dfrac{-1}{u_n^2} \leqslant \dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2} \leqslant \dfrac{1}{u_n^2}\]

2.b. Puisque \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty\), il en vient que \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{u_n^2}=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{-1}{u_n^2}=0\). D’après le théorème de comparaison, \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}\) existe et vaut 0.

2.c. Par somme de limite, on obtient que \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}r_n^2=2\). Or, la suite \((r_n)\) est strictement positive, puisque chaque terme est le quotient de deux réels strictement positifs. De plus, la fonction \(x \mapsto \sqrt{x}\) est continue sur \([0;+\infty[\). Il en vient que \[\displaystyle\lim_{n\to+\infty}r_n = \displaystyle\lim_{n\to+\infty}\sqrt{r_n^2}=\sqrt{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}r_n^2}=\sqrt{2}\]
Pour plus d’informations, se référer au chapitre sur la continuité, notamment la partie sur les suites convergentes.

1. Puisque \(-1<\dfrac{7}{8}<1\), on a donc \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(\dfrac{7}{8}\right)^n=0\) et donc \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(3+6\times \left(\dfrac{7}{8}\right)^n\right)=3\).

2. On a \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} 2^n=+\infty\), \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} 4^n=+\infty\) et \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{2^n}=0\). Ainsi, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(2^n+4^n+\dfrac{1}{2^n}\right)=+\infty\).

3. Puisque \(4>1\), \(\displaystyle \lim_{n\to + \infty} 4^n=+\infty\) et donc, par produit, \(\displaystyle \lim_{n\to + \infty} u_n = -\infty\).

4. D’une part, puisque \(2>1\), \(\displaystyle \lim_{n\to + \infty} 2^n=+\infty\) et donc \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty}(1-2^{n})=-\infty\). D’autre part, Puisque \(-1<\dfrac{1}{3}<1\), on a donc \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{3}\right)^n=0\) et donc \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty}\left(1-\dfrac{1}{3^n}\right)=1\) . Ainsi, par quotient, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty}u_n=-\infty\).

1. Pour tout entier naturel \(n\), \(u_n = 2^n\,6^{-n} = \dfrac{2^n}{6^n}= \left(\dfrac{2}{6}\right)^n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\)

   Puisque \(-1< \dfrac{1}{3}<1\), \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left( \dfrac{1}{3}\right)^n = 0\)

2. Pour tout entier naturel \(n\), \(u_n=3^n-2^n=3^n \times \left(1-\dfrac{2^n}{3^n}\right)=3^n \times \left(1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^n\right)\). Or \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty}\left(1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^n\right)=1\) et \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} 3^n = +\infty\). Ainsi, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty\).
3. Pour tout entier naturel \(n\), \[u_n=\dfrac{3^{n-3}}{2^{2n+5}} = \dfrac{3^n}{3^3 \times (2^2)^n \times 2^5} =\dfrac{1}{3^3 \times 2^5} \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^n\]

   Puisque \(-1< \dfrac{3}{4}<1\), il en vient que \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty}u_n = 0\)

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