Comparaisons des limites : exercices corrigés

Théorèmes de comparaison

On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(u_n=((-1)^n-4)n^2\).

  1. Montrer que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n \leqslant -3n^2\)
  2. En déduire la limite de \((u_n)\) en \(+\infty\).
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  1. Pour tout entier naturel \(n\), on a \(-1 \leqslant (-1)^n \leqslant 1\).

    Ainsi, \(-1-4 \leqslant (-1)^n -4\leqslant 1-4\), soit \(-5 \leqslant (-1)^n-4 \leqslant -3\).

    En multipliant par \(n^2\) qui est positif, on a \(-5n^2 \leqslant u_n \leqslant -3n^2\)

  2. Puisque \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty} (-3n^2)=-\infty\), on a, par comparaison, \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n=-\infty\)
On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(u_n=\sqrt{n^2+1}\).

  1. Montrer que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n \geqslant n\)
  2. En déduire la limite de \(u_n\) en \(+\infty\).
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  1. Pour tout entier naturel \(n\), on a \(n^2+1 \geqslant n^2\). En appliquant la fonction Racine carrée qui est croissante, on a alors \(\sqrt{n^2+1} \geqslant \sqrt{n^2}\), c’est-à-dire \(u_n \geqslant n\).
  2. Puisque \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty} n=+\infty\), on a, par comparaison, \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n=+\infty\)
A l’aide d’une majoration ou d’une minoration par une autre suite, déterminer la limite de la suite \((u_n)\) dans chacun des cas suivants.

  1. \( u_n = n+3\times (-1)^n\)
  2. \( u_n=n\,(\sin(n)-3)\)
  3. \(u_n = n+\dfrac{\cos(n)}{n}\) pour \(n>0\)
  4. \(u_n=\sin(3n^2+1)-n^3\)
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  1. Pour tout entier naturel \(n\), \(u_n=n+3\times (-1)^n\). Or, \(-1 \leqslant (-1)^n \leqslant 1\), on a donc \(u_n \geqslant n-3\). Or, \(\displaystyle \lim_{n\to + \infty}(n-3) = +\infty\). D’après le théorème de comparaison, \(\displaystyle \lim_{n\to + \infty} u_n = +\infty\).
  2. Pour tout entier naturel \(n\), \(-1 \leqslant \sin(n) \leqslant 1\) et donc \(-4 \leqslant \sin(n)-3 \leqslant -2\) et finalement \(-4n \leqslant u_n \leqslant -2n\).

    Puisque \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty} (-2n)=-\infty\), on a, par comparaison, \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n=-\infty\)

  3. Pour tout entier naturel \(n\), \(-1 \leqslant \cos(n) \leqslant 1\) et donc \(-\dfrac{1}{n} \leqslant \dfrac{\cos(n)}{n} \leqslant \dfrac{1}{n}\) et finalement \(n-\dfrac{1}{n} \leqslant u_n \leqslant n+\dfrac{1}{n}\).

    Puisque \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(n-\dfrac{1}{n}\right)=+\infty\), on a, par comparaison, \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n=+\infty\).

  4. Pour tout entier naturel \(n\), \(u_n=\sin (3n^2+1)-n^3\). Or, \(\sin (3n^2+1) \leqslant 1\). Ainsi, \(u_n \leqslant 1-n^3\). Or, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (1-n^3)=-\infty\). Ainsi, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty\).
A l’aide d’un encadrement par deux suites convergentes, déterminer la limite de la suite \((u_n)\) dans chacun des cas suivants.

  1. \( u_n = \dfrac{3+\sin(n)}{n^3}\) pour \(n>0\)
  2. \(u_n=2+\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\) pour \(n>0\)
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  1. Pour tout entier naturel non nul \(n\), \(u_n=\dfrac{3+\sin(n)}{n^3}\). Or, \(-1 \leqslant \sin(n) \leqslant 1\) d’où \(\dfrac{2}{n^3} \leqslant u_n \leqslant \dfrac{4}{n^3}\). Or, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{2}{n^3}=\displaystyle \lim_{n \to +\infty}\dfrac{4}{n^3}=0\). Ainsi, d’après le théorème d’encadrement, \((u_n)\) converge et \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty}u_n=0\)
  2. Pour tout entier naturel non nul \(n\), \(u_n=2+\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\). Or, \(-1 \leqslant (-1)^n \leqslant 1\) d’où \(2-\dfrac{1}{\sqrt{n}} \leqslant u_n \leqslant 2+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\). Or, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty}\left( 2+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)=\displaystyle \lim_{n \to +\infty}\left( 2-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)=2\). Ainsi, d’après le théorème d’encadrement, \((u_n)\) converge et \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty}u_n=2\)
A l’aide d’un encadrement, d’une majoration ou d’une minoration par une autre suite, déterminer la limite de la suite \((u_n)\) dans chacun des cas suivants.

  1. \( u_n = \dfrac{2+\cos(2n)+4\sin(n)}{n}\)
  2. \( u_n=\dfrac{18n^3}{2\sin(n)+3\cos(2n)-9}\)
  3. \( u_n=n^2-2\cos(n)+3\sin(5n+1)\)
  4. \(u_n = \dfrac{n^2+2\cos(n)-5\sin(n)}{3n^2}\)
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  1. Pour tout entier naturel non nul \(n\), \(u_n=\dfrac{2+\cos(2n)+4\sin(n)}{n}\). On a donc \(-\dfrac{3}{n} \leqslant u_n \leqslant \dfrac{7}{n}\). Or, \(\displaystyle \lim_{n\to + \infty} \left( -\dfrac{3}{n}\right)=\displaystyle \lim_{n\to + \infty} \left( \dfrac{7}{n}\right)=0\). D’après le théorème d’encadrement, on a donc \(\displaystyle \lim_{n\to + \infty} u_n=0\)
  2. Pour tout entier naturel \(n\), \(u_n=\dfrac{18n^3}{2\sin(n)+3\cos(2n)-9}\), on a donc \(u_n \leqslant \dfrac{18n^3}{-4}=-\dfrac{9}{2}n^3\). Or, \(\displaystyle \lim_{n\to + \infty} \left( -\dfrac{9}{2}n^3 \right)=-\infty\). Ainsi, d’après le théorème de comparaison, \(\displaystyle \lim_{n\to + \infty} u_n = -\infty\).
  3. Puisque pour tout entier naturel \(n\), \(-1\leqslant \cos(n) \leqslant 1\), et \(-1 \leqslant \sin(5n+1) \leqslant 1\), on a alors \( n^2-5 \leqslant u_n \leqslant n^2+5\). En particulier, le fait que \(u_n \geqslant n^2-5\) nous permet d’affirmer que \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n=+\infty \).
  4. Pour tout entier naturel non nul \(n\), on a \(u_n=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2\cos(n)-5\sin(n)}{3n^2}\)
    Puisque pour tout entier naturel \(n\), \(-1\leqslant \cos(n) \leqslant 1\), et \(-1 \leqslant \sin(n) \leqslant 1\), on a \(\dfrac{1}{3}-\dfrac{7}{3n^2}\leqslant u_n \leqslant \dfrac{1}{3}+\dfrac{7}{3n^2}\). Par encadrement, on a donc \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n=\dfrac{1}{3}\).

Bac 2021 : Métropole sujet 1

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=1\) et, pour tout entier naturel \(n\),

\[u_{n+1}=\dfrac{3}{4}u_n+\dfrac{1}{4}n+1\]

  1. Calculer, en détaillant les calculs, \(u_1\) et \(u_2\) sous forme de fraction irréductible.
  2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(n \leqslant u_n \leqslant n+1\)
  3. En déduire le sens de variations de la suite \((u_n)\) ainsi que la limite de \(u_n\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).
  4. Montrer que
    \[ \lim_{n \to +\infty} \dfrac{u_n}{n}=1\]
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1. On a

  • \(u_1 = \dfrac{3}{4}u_0+\dfrac{1}{4} \times 0 + 1 = \dfrac{3}{4}+1=\dfrac{7}{4}\)
  • \(u_2 = \dfrac{3}{4}u_1+\dfrac{1}{4} \times 1 + 1 = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{7}{4} +\dfrac{1}{4} +1=\dfrac{41}{16}\)

2. Pour tout entier naturel \(n\), on note \(\mathcal{P}(n)\) la proposition « \(n \leqslant u_n \leqslant n+1\) »

  • Initialisation : On sait que \(u_0=1\). On a bien \(0 \leqslant u_0 \leqslant 1\). \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.
  • Hérédité : Soit \(n\) un entier naturel. Supposons que \(\mathcal{P}(n)\) est vraie. On a donc
    \[n \leqslant u_n \leqslant n+1\]
    En multipliant par \(\dfrac{3}{4}\) puis en ajoutant \(\dfrac{1}{4}n+1\), on obtient
    \[\dfrac{3}{4}n +\dfrac{1}{4}n+1 \leqslant \dfrac{3}{4}u_n + \dfrac{1}{4}n+1 \leqslant \dfrac{3}{4}(n+1)+\dfrac{1}{4}n+1\]
    c’est-à-dire
    \[n+1 \leqslant u_{n+1} \leqslant n + \dfrac{7}{4} \]
    Or, puisque \(\dfrac{7}{4} \leqslant 2\), on a bien que
    \[n+1 \leqslant u_{n+1} \leqslant n+2 \]
    \(\mathcal{P}(n+1)\) est donc vraie
  • Conclusion : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie et \(\mathcal{P}\) est héréditaire. Par récurrence, \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).

3. Pour tout entier naturel \(n\), on \[u_n \leqslant n+1 \leqslant u_{n+1} \]
En particulier, \(u_n \leqslant u_{n+1}\). La suite \((u_n)\) est donc croissante. Par ailleurs, puisque pour tout entier naturel \(n\), \(u_n \geqslant n\) et que \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} n = +\infty \), on en déduit d’après le théorème de comparaison que \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty \)

4. Pour tout entier naturel non nul \(n\), on a que
\[n \leqslant u_n \leqslant n+1\]
et donc, en divisant par \(n\), on obtient que
\[1 \leqslant \dfrac{u_n}{n} \leqslant \dfrac{n+1}{n}\]
Or, pour tout entier naturel \(n\), \(\dfrac{n+1}{n}=1+\dfrac{1}{n}\) et donc \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \dfrac{n+1}{n} = 1\). De plus, \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} 1 = 1\). D’après le théorème d’encadrement, \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{u_n}{n}\) existe et vaut 1

Bac 2021 : Métropole sujet 2

On considère les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) définies pour tout entier naturel \(n\) par
\[\left\{\begin{array}{l}u_0 = v_0=1\\u_{n+1}=u_n+v_n\\v_{n+1}=2u_n+v_n\end{array}\right.\]
Dans tout l’exercice, on admet que les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont strictement positives.

    1. Calculer \(u_1\) et \(v_1\)
    2. Démontrer que la suite \((v_n)\) est strictement croissante et en déduire que pour tout entier naturel \(n\), \(v_n \geqslant 1\)
    3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n \geqslant n+1\)
    4. En déduire la limite de la suite \((u_n)\).
  1. On pose pour tout entier naturel \(n\)
    \[r_n = \dfrac{u_n}{v_n}\]
    On admet que
    \[ r_n^2 = 2 + \dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}\]

    1. Démontrer que pour tout entier naturel \(n\),
      \[ \dfrac{-1}{u_n^2} \leqslant \dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2} \leqslant \dfrac{1}{u_n^2} \]
    2. En déduire \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}\)
    3. En déduire la limite de la suite \((r_n^2)\) puis celle de la suite \((r_n)\).
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1.a. On a

  • \(u_1=u_0+v_0=1+1=2\)
  • \(v_1=2u_0+v_0=2\times 1 + 1 = 3\)

1.b. Pour tout entier naturel \(n\),
\[v_{n+1}-v_n = 2u_n + v_n-v_n=2u_n\]
Or, d’après l’énoncé, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n > 0\). La suite \((v_n)\) est donc strictement croissante.

Ainsi, pour tout entier naturel \(n\), \(v_n \geqslant v_0\) et donc \(v_n \geqslant 1\).

1.c. Pour tout entier naturel \(n\), on note \(\mathcal{P}(n)\) la proposition « \(u_n \geqslant n+1\) »

  • Initialisation : On sait que \(u_0=1\). On a bien \(u_0 \geqslant 0 +1\). \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.
  • Hérédité : Soit \(n\) un entier naturel. Supposons que \(\mathcal{P}(n)\) est vraie. On a donc
    \(u_n \geqslant n+1\). Mais d’après la question précédente, on a aussi que \(v_n \geqslant 1\). Ainsi, en sommant ces deux inégalités, on obtient que \( u_n + v_n \geqslant n+1 +1\), c’est-à-dire \(u_{n+1} \geqslant (n+1)+1\).
    \(\mathcal{P}(n+1)\) est donc vraie
  • Conclusion : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie et \(\mathcal{P}\) est héréditaire. Par récurrence, \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).

1.d. On sait que \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(n+1)=+\infty\). Or, d’après la question précédente, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n \geqslant n+1\). D’après le théorème de comparaison, \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty\).

2.a. \((-1)^{n+1}\) vaut \(-1\) ou \(1\), selon la partié de l’entier \(n\). Ainsi, pour tout entier naturel \(n\),
\[ -1 \leqslant (-1)^n \leqslant 1\]
En divisant par \(u_n^2\), qui est strictement positif, on obtient que \[\dfrac{-1}{u_n^2} \leqslant \dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2} \leqslant \dfrac{1}{u_n^2}\]

2.b. Puisque \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty\), il en vient que \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{u_n^2}=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{-1}{u_n^2}=0\). D’après le théorème de comparaison, \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}\) existe et vaut 0.

2.c. Par somme de limite, on obtient que \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}r_n^2=2\). Or, la suite \((r_n)\) est strictement positive, puisque chaque terme est le quotient de deux réels strictement positifs. De plus, la fonction \(x \mapsto \sqrt{x}\) est continue sur \([0;+\infty[\). Il en vient que \[\displaystyle\lim_{n\to+\infty}r_n = \displaystyle\lim_{n\to+\infty}\sqrt{r_n^2}=\sqrt{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}r_n^2}=\sqrt{2}\]
Pour plus d’informations, se référer au chapitre sur la continuité, notamment la partie sur les suites convergentes.

Suites géométriques

Simples opérations

Dans chacun des cas suivants, déterminer, si elle existe, la limite de la suite \((u_n)\).

1.  \(u_n = 3+6\times \left(\dfrac{7}{8}\right)^n\) 2.  \(u_n=2^n + 4^n + \dfrac{1}{2^n}\)
3.  \( u_n =-2\times 4^n\) 4.  \(u_n=\dfrac{1-2^{n}}{1-\dfrac{1}{3^n}}\)
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1. Puisque \(-1<\dfrac{7}{8}<1\), on a donc \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(\dfrac{7}{8}\right)^n=0\) et donc \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(3+6\times \left(\dfrac{7}{8}\right)^n\right)=3\).

2. On a \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} 2^n=+\infty\), \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} 4^n=+\infty\) et \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{2^n}=0\). Ainsi, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(2^n+4^n+\dfrac{1}{2^n}\right)=+\infty\).

3. Puisque \(4>1\), \(\displaystyle \lim_{n\to + \infty} 4^n=+\infty\) et donc, par produit, \(\displaystyle \lim_{n\to + \infty} u_n = -\infty\).

4. D’une part, puisque \(2>1\), \(\displaystyle \lim_{n\to + \infty} 2^n=+\infty\) et donc \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty}(1-2^{n})=-\infty\). D’autre part, Puisque \(-1<\dfrac{1}{3}<1\), on a donc \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{3}\right)^n=0\) et donc \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty}\left(1-\dfrac{1}{3^n}\right)=1\) . Ainsi, par quotient, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty}u_n=-\infty\).

Formes indéterminées

Dans chacun des cas suivants, déterminer, si elle existe, la limite de la suite \((u_n)\).

1.  \( u_n = 2^n\, 6^{-n}\) 2.  \(u_n = 3^n-2^n\)
3.  \(u_n=\dfrac{3^{n-3}}{2^{2n+5}}\) 4.  \(u_n=\dfrac{1-5^{n}}{1-2^n}\)
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  1. Pour tout entier naturel \(n\), \(u_n = 2^n\,6^{-n} = \dfrac{2^n}{6^n}= \left(\dfrac{2}{6}\right)^n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\)

    Puisque \(-1< \dfrac{1}{3}<1\), \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left( \dfrac{1}{3}\right)^n = 0\)

  2. Pour tout entier naturel \(n\), \(u_n=3^n-2^n=3^n \times \left(1-\dfrac{2^n}{3^n}\right)=3^n \times \left(1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^n\right)\). Or \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty}\left(1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^n\right)=1\) et \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} 3^n = +\infty\). Ainsi, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty\).
  3. Pour tout entier naturel \(n\), \[u_n=\dfrac{3^{n-3}}{2^{2n+5}} = \dfrac{3^n}{3^3 \times (2^2)^n \times 2^5} =\dfrac{1}{3^3 \times 2^5} \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^n\]

    Puisque \(-1< \dfrac{3}{4}<1\), il en vient que \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty}u_n = 0\)

Somme de termes

Soit \(n\) un entier naturel. On rappelle que pour tout réel \(q\) différent de 1,
\[\displaystyle \sum_{k=0}^{n}q^k= 1+q+q^2+q^3+\ldots + q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\]
A l’aide de cette égalité, déterminer la limite de la suite \((u_n)\) dans chacun des cas suivants.

  1. \(u_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\ldots+\dfrac{1}{2^n}=\displaystyle \sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{2^k}\)
  2. \(u_n=1+\dfrac{2}{3}+\dfrac{4}{9}+\ldots+\dfrac{2^n}{3^n}=\displaystyle \sum_{k=0}^{n} \dfrac{2^k}{3^k}\)
  3. \(u_n=8+2+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{8}+\ldots+\dfrac{8}{4^n}=\displaystyle \sum_{k=0}^{n} \dfrac{8}{4^k}\)
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A venir

Curieuse égalité

En vous inspirant de l’exercice précédent, expliquer l’égalité suivante :
\[0,99999999\dots = 1\]
où les 9 continuent à l’infini.
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A venir

Théorème de convergence monotone

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