1. \(f'(0)\) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de \(f\) à l’abscisse 0. Ce coefficient directeur vaut \(-1\). Ainsi, \(f'(0)=-1\).
2. La tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse 0 a pour coefficient directeur \(-1\) et pour ordonnée à l’origine 2. L’équation réduite de cette tangente est donc \(y=-x+2\).
3. \(f\) est dérivable et croissante sur \([2;4]\). Ainsi, pour tout réel \(x \in [2;4]\), \(f'(x)\geqslant 0\). En particulier, \(f'(3)\geqslant 0\).
4. La fonction \(f\) semble convexe \([-5\, ;\, -2]\), concave sur \([-2\,;\,1]\) et convexe sur \([1 \, ; 2\,]\).

La fonction suivante convient :

1. 1. 1. 1. Puisque \((-2)^2=4\) et que \(3^2=9\), les points \(A\) et \(B\) appartiennent bien à la courbe \(\mathcal{C}\).

       

      1. 1. Le coefficient directeur de la droite \((AB)\) vaut \(\dfrac{9-4}{3-(-2)}\), c’est-à-dire 1. L’équation réduite de la droite \((AB)\) est donc de la forme \(y=x+p\). Par ailleurs, le point \(A\) appartient à cette droite, ses coordonnées en vérifient donc l’équation. Ainsi, \(4=-2+p\) et donc \(p=6\). L’équation réduite de la droite \((AB)\) est \(y=x+6\).

       

      1. \(x^2-(x+6)\) est un polynôme du second degré dont les racines sont \(-2\) et \(3\) (ce sont les abscisses des points \(A\) et \(B\), qui sont les points d’intersection de la courbe de \(f\) et de la droite \((AB)\)). Ainsi, \(x^2-(x+6)\) est négatif pour \(x \in [-2;3]\), ce qui signifie que sur cet intervalle, \(x^2 \leqslant x+6\) : la courbe de la fonction \(f\) se situe sous la droite \((AB)\).

1. 1. 1. Le coefficient directeur de la droite \((AB)\) vaut \(\dfrac{b^2-a^2}{b-a}\), c’est-à-dire \(\dfrac{(b-a)(b+a)}{b-a}\) et donc vaut \(a+b\). L’équation réduite de la droite \((AB)\) est donc de la forme \(y=(a+b)x+p\). Par ailleurs, le point \(A\) appartient à cette droite, ses coordonnées en vérifient donc l’équation. Ainsi, \(a^2=(a+b)a+p\) et donc \(p=a^2-a(a+b)=-ab\). L’équation réduite de la droite \((AB)\) est \(y=(a+b)x-ab\).

    

   1. \(x^2-((a+b)x-ab)\) est un polynôme du second degré dont les racines sont \(a\) et \(b\) (ce sont les abscisses des points \(A\) et \(B\), qui sont les points d’intersection de la courbe de \(f\) et de la droite \((AB)\)). Ces racinces peuvent par ailleurs se trouver en utilisant les relations entre coefficients et racines. Ainsi, \(x^2-((a+b)x-ab)\) est négatif pour \(x \in [a;b]\), ce qui signifie que sur cet intervalle, \(x^2 \leqslant (a+b)x-ab\) : la courbe de la fonction \(f\) se situe sous la droite \((AB)\). CEci valant peu importe les valeurs de \(a\) et \(b\), on trouve bien que la fonction \(f\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).

Pour tout réel strictement positif \(x\),

\[\begin{eqnarray*} f(x)-(f'(a)(x-a)+f(a)) & =& \dfrac{1}{x} – \left( -\dfrac{1}{a^2}(x-a)+\dfrac{1}{a}\right) \\
&=& \dfrac{1}{x}+ \dfrac{x}{a^2} – \dfrac{1}{a} -\dfrac{1}{a} \\
&=& \dfrac{1}{x} + \dfrac{x}{a^2}-\dfrac{2}{a} \\
&=&\dfrac{a^2}{xa^2}+\dfrac{x^2}{xa^2} – \dfrac{2ax}{xa^2} \\
&=& \dfrac{a^2-2ax+x^2}{xa^2}\\
&=& \dfrac{(a-x)^2}{xa^2} \end{eqnarray*} \]

Or, puisque \(x > 0\), cette quantité est positive. Il en vient que pour tout \(x>0\), \(f(x)-(f'(a)(x-a)+f(a)) \geqslant 0\) et donc que \(f(x)\geqslant (f'(a)(x-a)+f(a) \). Cela se traduit par le fait que sur \(]0;+\infty[\), la courbe de la fonction inverse est au-dessus de toutes ses tangentes : cette fonction est donc convexe sur \(]0;+\infty[\)

La fonction \(f:x\mapsto e^{ax+b}\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\). De plus, pour tout réel \(x\), \(f'(x)=ae^{ax+b}\) et \(f^{\prime\prime}(x)=a^2e^{ax+b}\geqslant 0\). Cette fonction est donc convexe sur \(\mathbb{R}\).

La fonction \(ln\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\) et, pour tout réel \(x>0\), \(\ln ‘(x)=\dfrac{1}{x}\) et \(\ln^{\prime\prime}(x)=-\dfrac{1}{x^2}\leqslant 0\). Il en vient que la fonction \(\ln\) est concave sur \(]0;+\infty[\)

Il faut bien remarquer que la courbe fournie ici est celle de la dérivée, et non de la fonction \(f\) !

1. 1. On voit que \(f’\) semble positive sur \(]-\infty ; -1]\) puis négative sur \([-1;+\infty[\). La fonction \(f\) est donc croissante sur \(]-\infty ; -1]\) puis décroissante sur \([-1;+\infty[\)

1. On voit que \(f’\) semble décroissante sur \(]-\infty ; 0]\) puis croissante sur \([0;+\infty[\). La fonction \(f\) est donc concave sur \(]-\infty ; 0]\) puis convexe sur \([0;+\infty[\)

1. Pour tout réel \(x\), \(f'(x)=9x^2+6x-4\) et \(f^{\prime\prime}(x)=18x+6\)
2. On a \(f^{\prime\prime}(x)\geqslant 0\) si et seulement si \(x \geqslant – \dfrac{1}{3}\). \(f\) est donc convexe sur \(\left]-\dfrac{1}{3};+\infty\right[\)
3. La convexité de \(f\) change à l’abscisse \(-\dfrac{1}{3}\). La courbe de \(f\) présente donc un point d’inflexion à cette abscisse.

\(f\) est deux fois dérivables sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(f^{\prime\prime}(x)=12x^2+4\) qui est strictement positif. La fonction \(f\) est convexe sur \(\mathbb{R}\). Sa convexité ne change pas, la courbe de \(f\) ne possède donc pas de point d’inflexion.

1. La fonction \(x\mapsto 1+x^2\) est dérivable et positive sur \(\mathbb{R}\), \(f\) l’est donc également et pour tout réel \(x\),
   \[f'(x)=\dfrac{2x}{1+x^2}\]
2. \(f'(x)\) est du signe de \(x\)

   

3. Soit \(x\) un réel,
   \[f(x)=1 \Leftrightarrow \ln(1+x^2)=1 \Leftrightarrow 1+x^2=e \Leftrightarrow x^2=e-1 \Leftrightarrow x=\sqrt{e-1} \text{ ou }x = -\sqrt{e-1}\]
4. \(f’\) est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas. Pour tout réel \(x\),
   \[f^{\prime\prime}(x)= \dfrac{2(1+x^2)-2x \times 2x}{(1+x^2)^2}=\dfrac{2-2x^2}{(1+x^2)2}\]
   Or, \(f^{\prime\prime}(x)\geqslant 0\) si et seulement si \(x \in [-1;1]\). \(f\) est donc convexe sur \([-1;1]\) et concave sur \(]-\infty;-1]\) et \([1;+\infty[\).
5. La tangente à la courbe de\(f\) à l’abscisse \(-1\) a pour équation réduite \[y = f'(-1)(x+1)+f(-1) = -(x+1)+\ln(2)=-x+\ln(2)-1\]
   La tangente à la courbe de\(f\) à l’abscisse \(1\) a pour équation réduite \[y = f'(1)(x-1)+f(1) = x-1+\ln(2)\]

6. 

\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme composée de fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\). Pour tout réel \(x\),

\[f'(x)=2 \times (x-1) \times \dfrac{x^2-2x-3}{2}=(x-1)(x^2-2x-3)\]

Le polynôme \(x^2-2x-3\) s’annule en \(-1\) et en \(3\). Ainsi, pour tout réel \(x\), \(f'(x)=(x-1)(x+1)(x-3)\). On peut alors construire le tableau de signes de \(f’\) et le tableau de variations de $f$.

Pour tout réel \(x\)

\[f^{\prime\prime}(x)=1 \times (x^2-2x-3) + (x-1) \times (2x-2)=3x^2-6x-1\]
qui est positif sur \(\left]-\infty; 1-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right[\) et \(\left[1+\dfrac{2\sqrt{3}}{3};+\infty \right[\). \(f\) est donc convexe sur ces intervalles

La courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé est tracée ci-dessous

On a \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(-2x^2+4x-\frac{3}{2}\right)=-\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty}\left(-2x^2+4x-\frac{3}{2}\right)=-\infty\). Ainsi, \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty}f(x)=0$\) et \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}=0\)

\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) par composition de fonctions dérivables. Pour tout réel \(x\),

\[f'(x)=(-4x+4)e^{-2x^2+4x-\frac{3}{2}}\]

Par ailleurs, pour tout réel \(x\), \(e^{-2x^2+4x-\frac{3}{2}}>0\). \(f'(x)\) est donc du signe de \(-4x+4\)

\(f’\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme produits de fonctions dérivables. Pour tout réel \(x\),

\[ f^{\prime\prime}(x)=-4 \times e^{-2x^2+4x-\frac{3}{2}} + (-4x+4)\times(-4x+4)e^{-2x^2+4x-\frac{3}{2}}=(16x^2-32x+12)e^{-2x^2+4x-\frac{3}{2}}\]

\(f^{\prime\prime}(x)\) est du signe de \(16x^2-32x+12\). C’est un polynôme du second degré de discriminant \((-32)^2-4\times12\times16=256\). Ses racines sont \(\dfrac{1}{2}\) et \(\dfrac{3}{2}\). \(f\) est convexe sur \(\left[\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}\right]\). La fonction admet des points d’inflexion aux abscisses \(\dfrac{1}{2}\) et \(\dfrac{3}{2}\)

Les équations des tangentes…

• A l’abscisse \(\dfrac{1}{2}\) : \(y=f’\left(\dfrac{1}{2}\right)\left(x-\dfrac{1}{2}\right)+f\left(\dfrac{1}{2}\right)\) soit \(y=2x\)
• A l’abscisse \(\dfrac{3}{2}\) : \(y=f’\left(\dfrac{3}{2}\right)\left(x-\dfrac{3}{2}\right)+f\left(\dfrac{3}{2}\right)\) soit \(y=-2x+4\)

Pour tout réel \(x\),
\[f(2-x)=e^{-2(2-x)^2+4(2-x)-\frac{3}{2}}=e^{-2(4-4x+x^2)+8-4x-\frac{3}{2}}=e^{-8+8x-2x^2-4x-\frac{3}{2}}=e^{-2x^2+4x-\frac{3}{2}}=f(x)\]

La courbe de \(f\) est symétrique par rapport à la droite d’équation \(x=1\).

L’allure de la courbe \(\mathcal{C}_f\) dans un repère orthogonal est la suivante

Puisque \(f\) est dérivable est strictement croissante sur \([a;+\infty[\), il existe donc un réel \(c\) dans cet intervalle tel que \(f'(c)>0\).

Or, \(f\) est convexe sur \([a;+\infty[\), la courbe de \(f\) est donc au-dessus de ses tangentes sur cet intervalle, et en particulier au-dessus de la tangente en \(c\).

Une équation réduite de cette tangente est de la forme \(y = f'(c)x -cf'(c)+f(c)\).

Ainsi, pour tout \(x \in [a;+\infty[\), on a \(f(x) \geqslant f'(c)x -cf'(c)+f(c)\). Or, \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}(f'(c)x -cf'(c)+f(c))=+\infty\), et il en vient que, par comparaison, \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x)=+\infty\)

\(f\) est deux fois dérivable sur \(]0;+\infty [\)

Pour tout réel \(x>0\), \(f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) et
\[f^{\prime\prime}(x)=\dfrac{-\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}^2}=-\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}\]

Puisque pour tout \(x>0\), \(f^{\prime\prime}(x)\leqslant 0\), \(f\) est concave sur \(]0;+\infty[\)

L’équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse 1 est
\[ y=f'(1)(x-1)+f(1)=\dfrac{1}{2}(x-1)+1\]
soit \(y=\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2}\)

Puisque \(f\) est concave, elle est sous toutes ses tangentes. Ainsi, pour tout réel \(x>0\), \(\sqrt{x} \leqslant \dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2}\)

\(f\) est deux fois dérivable sur \([0;+\infty[\) et pour tout réel \(x\geqslant 0\), \(f'(x)=n(1+x)^{n-1}\) et \(f^{\prime\prime}(x)=n(n-1)(1+x)^{n-2}\). Puisque $x\geqslant 0$, alors \(f^{\prime\prime}(x) \geqslant 0\) et \(f\) est donc convexe sur \([0;+\infty[\)

De plus, la tangente à l’abscisse 0 à la courbe de \(f\) a pour équation \(y=f'(0)(x-0)+f(0)\) soit \(y=1+nx\)

\(f\) étant convexe sur \([0;+\infty[\), sa courbe se trouve au-dessus de toutes ses tangente sur cet intervalle. En particulier, pour tout réel \(x\geqslant 0\),
\[(1+x)^n \geqslant 1+nx \]

On retrouve ici l’inégalité de Bernoulli.

La tangente à la courbe du logarithme népérien à l’abscisse 1 a pour équation
\[ y =\ln'(1)(x-1)+\ln(1)=x-1\]
Le logarithme népérien est concave : sa dérivée seconde est la fonction \(x\mapsto -\dfrac{1}{x^2}\) qui est négative sur \()]0;+\infty[\). Ainsi, la courbe représentative de la fonction \(\ln\) se situe sous ses tangentes.

En particulier, pour tout réel \(x\), \(\ln(x) \leqslant x-1\)

\(f\) est définie sur l’ensemble des réels \(x\) tels que \(ln(x)>0\), c’est-à-dire \(]1;+\infty[\)

\(f\) est dérivable sur \(]1;+\infty[\). De plus, pour tout réel \(x>1\), \(f'(x)=\dfrac{1/x}{\ln(x)}=\dfrac{1}{x\ln(x)}\) qui est strictement positif sur l’intervalle étudié. \(f\) est donc strictement croissante sur \(]1;+\infty[\).

\(f’\) est dérivable sur \(]1;+\infty[\). Pour tout réel \(x>1\), on pose \(u(x)=x\ln(x)\). \(u\) est dérivable sur \(]1;+\infty[\) et pour tout réel \(x>1\),
\[u'(x)=\ln(x)+1\]
Ainsi, \(f’\) est dérivable sur \(]1;+\infty[\) et pour tout réel \(x>1\)
\[f^{\prime\prime}(x)= -\dfrac{u'(x)}{u(x)^2}=-\dfrac{1+ln(x)}{x^2\ln(x)^2}\]
Or, pour \(x>1\), \(\ln(x)>0\) et donc \(f^{\prime\prime}(x)<0\). \(f\) est donc concave sur \(]1;+\infty[\)

\(f\) étant concave, on a, pour tous réels \(x\) et \(y\) strictement supérieurs à 1,
\[f\left(\dfrac{x+y}{2}\right) \geqslant \dfrac{f(x)+f(y)}{2}\]
soit
\[\ln\left(\ln\left(\dfrac{x+y}{2}\right)\right) \geqslant \dfrac{\ln(\ln(x))+\ln(\ln(y))}{2}=\dfrac{1}{2}\ln\left( \ln(x) \times \ln(y)\right)=\ln\left(\sqrt{\ln(x)\ln(y)}\right) \]
En appliquant la fonction exponentielle qui est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), on obtient alors
\[ \ln \left( \dfrac{x+y}{2}\right) \geqslant \sqrt{\ln(x)\ln(y)} \]