Convexité, concavité
- On dit que \(f\) est convexe sur \(I\) si tout segment reliant deux points de la courbe se trouve au-dessus de la courbe
- On dit que \(f\) est concave sur \(I\) si tout segment reliant deux points de la courbe se trouve en-dessous de la courbe
Exemple : Les fonction \(x\mapsto x^2\), \(x\mapsto |x|\) et \(x\mapsto e^x\) sont convexes sur \(\mathbb{R}\).
La fonction \(x\mapsto \sqrt{x}\) est concave sur \(\mathbb{R}_+\).
La fonction \(x\mapsto x^3\) est concave sur \(\mathbb{R}_-\) et convexe sur \(\mathbb{R}_+\).
Exemple : Attention : on parle bien de convexité sur un intervalle. Par ailleurs, ce n’est pas parce qu’une fonction \(f\) est convexe sur deux intervalles \([a,b]\) et \([b,c]\) que \(f\) est aussi convexe sur \([a,c]\).
La fonction représentée ci-dessus est convexe sur \([-3;0]\) et sur \([0;3]\) mais n’est pas convexe sur \([-3,3]\).
Fonctions dérivables
Caractérisation des fonctions convexes
- \(f\) est convexe sur \(I\) si la courbe \(\mathcal{C}_f\) se trouve au-dessus de toutes ses tangentes aux points d’abscisses \(x\in I\).
- \(f\) est concave sur \(I\) si la courbe \(\mathcal{C}_f\) se trouve en-dessous de toutes ses tangentes aux points d’abscisses \(x\in I\).
Exemple : Montrons que la fonction \(x\mapsto x^2\) est convexe sur \(\mathbb{R}\). Notons \(\mathcal{C}_f\) la courbe de \(f\) dans un repère \((O,\vec i, \vec j)\). Soit \(a\) un réel.
- \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(f'(x)=2x\).
- La tangente à \(\mathcal{C}_f\) a pour équation \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\), c’est-à-dire \(y=2ax-2a^2+a^2\) ou encore \(y=2ax-a^2\).
- Pour tout réel \(x\),
\[f(x)-(2ax-a^2)=x^2-2ax+a^2=(x-a)^2 \geqslant 0\]
Ainsi, pour tout réel \(x\), \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de sa tangente à l’abscisse \(a\), et ce, peu importe le réel \(a\) choisi. \(f\) est donc convexe sur \(\mathbb{R}\).
- \(f\) est convexe sur \(I\) si et seulement si \(f’\) est croissante sur \(I\)
- \(f\) est concave sur \(I\) si et seulement si \(f’\) est décroissante sur \(I\).
De cette propriété vient naturellement la suivante…
- \(f\) est convexe sur \(I\) si et seulement si pour tout \(x\in I\), \(f^{\prime\prime}(x) \geqslant 0\)
- \(f\) est concave sur \(I\) si et seulement si pour tout \(x\in I\), \(f^{\prime\prime}(x) \leqslant 0\)
Soit \(a\in I\). La tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse \(a\) a pour équation
\[ y = f'(a)(x-a)+f(a) \]
Pour tout \(x\in I\), posons alors \(g(x)=f(x)-(f'(a)(x-a)+f(a))\). \(g\) est deux fois dérivable sur \(I\), et pour tout \(x\in I\)
- \(g'(x)=f'(x)-f'(a)\)
- \(g^{\prime\prime}(x)=f^{\prime\prime}(x)\)
Ainsi, puisque pour tout \(x\in I\), \(f^{\prime\prime}(x)\geqslant 0\), on a aussi \(g^{\prime\prime}(x) \geqslant 0\). \(g’\) est donc croissante sur \(I\). Or, \(g'(a)=0\).
- Soit \(x\in I\) tel que \(x<a\).
- Par croissance de \(g’\) sur \(I\), on a alors \(g'(x) \leqslant g'(a)\) c’est-à-dire \(g'(x) \leqslant 0\).
- \(g\) est donc décroissante sur \(]-\infty ; a ] \cap I\).
- On a donc \(g(x) \geqslant g(a)\).
- Or, \(g(a)=f(a)-f'(a)\times (a-a)-f(a)=0\). Ainsi, \(g(x) \geqslant 0\)
- Soit \(x \in I\) tel que \(x >a\)
- Par croissance de \(g’\) sur \(I\), on a alors \(g'(x) \geqslant g'(a)\) c’est-à-dire \(g'(x) \geqslant 0\).
- \(g\) est donc croissante sur \([a;+\infty[ \cap I\).
- On a donc \(g(x) \geqslant g(a)\).
- Or, \(g(a)=f(a)-f'(a)\times (a-a)-f(a)=0\). Ainsi, \(g(x) \geqslant 0\)
Finalement, pour tout \(x\in I\), \(g(x)\geqslant 0\), ce qui signifie que le courbe de \(f\) est au-dessus de la tangente à cette courbe au point d’abscisse \(a\).
Exemple : Pour tout entier naturel pair \(n\), la fonction \(x \mapsto x^n\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).
Exemple : La fonction \(f:x\mapsto x^3\) est concave sur \(]-\infty ; 0]\) et convexe sur \([0;+\infty[\).
En effet, \(f\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(f^{\prime\prime}(x)=6x\), qui est positif si et seulement si \(x\) l’est aussi.
Point d’inflexion
Un point d’inflexion est un point où la convexité de la fonction \(f\) change. La tangente à la courbe de \(f\) en un point d’inflexion traverse la courbe de \(f\).
- Si \(f\) présente un point d’inflexion à l’abscisse \(a\), alors \(f^{\prime\prime}(a)\).
- Réciproquement, si \(f^{\prime\prime}(a)=0\) et \(f^{\prime\prime}\) change de signe en \(a\), alors \(f\) présente un point d’inflexion en \(a\).
Exemple : Pour tout réel \(x\), on pose \(f(x)=\dfrac{x^3}{2}+1\). La fonction \(f\) est deux fois dérivable et pour tout réel \(x\), \(f^{\prime\prime}(x)=3x\).
- Lorsque \(x<0\), \(f^{\prime\prime}(x)<0\), la fonction est concave, la courbe est sous ses tangentes.
- Lorsque \(x>0\), \(f^{\prime\prime}(x)>0\), la fonction est convexe, la courbe est au-dessus de ses tangentes.
Exemple : Pour tout réel \(x\), on pose \(g(x)=\dfrac{1}{12}x^4-\dfrac{2}{3}x^3+2x^2\). La fonction \(g\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(g'(x)=\dfrac{1}{3}x^3-2x^2+4x\) et \(g^{\prime\prime}(x)=x^2-4x+4=(x-2)^2\).
Ainsi, pour tout réel \(x\), \(g^{\prime\prime}(x)\geqslant 0\). \(g\) est donc convexe sur \(\mathbb{R}\). Puisqu’il n’y a pas de changement de convexité, \(g\) ne présente pas de point d’inflexion, et ce, même si \(g^{\prime\prime}(2)=0\).
Applications de la convexité
Inégalité des milieux
\[ f\left( \dfrac{a+b}{2} \right) \leqslant \dfrac{f(a)+f(b)}{2}\]
Or, la fonction \(f\) étant convexe sur \(I\), le segment \([AB]\) se situe au-dessus de la courbe représentative de \(f\). En particulier, \[ f\left( \dfrac{a+b}{2} \right) \leqslant \dfrac{f(a)+f(b)}{2}\]
Exemple : La fonction exponentielle est convexe sur \(\mathbb{R}\). Pour tous réels \(a\) et \(b\), \[\exp\left(\dfrac{a+b}{2}\right) \leqslant \dfrac{e^a+e^b}{2}\]
\[ f\left( \dfrac{a+b}{2} \right) \geqslant \dfrac{f(a)+f(b)}{2}\]
Exemple : La fonction Racine carrée est concave sur \([0;+\infty[\). Pour tous réels \(a\) et \(b\) positifs, \[\sqrt{\dfrac{a+b}{2}} \geqslant \dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\]
Inégalités avec les tangentes
La convexité des fonctions dérivables permet d’établir des inégalités en utilisant les équations des tangentes.
Exemple : La tangente à la courbe de la fonction exponentielle au point d’abscisse \(0\) a pour équation \(y=\exp'(0)(x-0)+\exp(0)\), c’est-à-dire \(y=x+1\).
Puisque la fonction \(\exp\) est convexe sur \(\mathbb{R}\), la courbe de la fonction exponentielle est donc au-dessus de toutes ses tangentes et donc, en particulier, la tangente au point d’abscisse 0. On a donc, pour tout réel \(x\), \(e^x \geqslant x+1\).
