Inégalité de Bienaymé-Tchebychev et loi des grands nombres : exercices corrigés

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Format PDF : Exercices corrigés : Somme de variables aléatoires et loi des grands nombres

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Soit \(X\) une variable aléatoire d’espérance 4 et de variance 2. On considère un échantillon \((X_1, \ldots, X_n)\) de variables aléatoires indépendantes de même loi que \(X\) et on note \(M_n = \dfrac{1}{n} (X_1+X_2+\ldots + X_n)\).

Donner l’espérance et la variance de \(M_n\).
Pour quelle valeur de \(n\) la variance de \(M_n\) est-elle inférieure à \(10^{-4}\) ?

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L’espérance de \(M_n\) vaut 4 et sa variance \(\dfrac{2}{n}\).
La variance de \(M_n\) est inférieure à \(10^{-4}\) dès que \(n\geqslant 2 \times 10^{4}\).

Soit \(X\) une variable aléatoire d’espérance 4 et de variance 1.

Traduire l’inégalité \(|X-4|\geqslant 2\) en terme d’intervalle.
Donner une minoration de \(\mathbb{P}(X \in ]2;6[)\).

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On a \(|X-4|\geqslant 2\) si et seulement si \(X \in ]2;6[\).

D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, \(\mathbb{P}(|X-E(X)|\geqslant 2)\leqslant \dfrac{V(X)}{2^2} =\dfrac{1}{4}\).

Ainsi, \(\mathbb{P}(X \in ]2;6[) \geqslant \dfrac{3}{4}\).

Soit \(X\) une variable aléatoire non constante. À l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Thecbychev, minorer les probabilités \(\mathbb{P}(|X-E(X)|<2 \sigma(X))\) et \(\mathbb{P}(|X-E(X)|< 3 \sigma(X))\).

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D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a \(\mathbb{P}(|X-E(X)|\geqslant 2\sigma (X)) \geqslant \dfrac{V(X)}{(2\sigma(X))^2}\). Or, \((2\sigma(X))^2=4\sigma(X)^2=4V(X)\).

Ainsi, \(\mathbb{P}(|X-E(X)|\geqslant 2\sigma (X)) \leqslant \dfrac{1}{4}\) et donc \(\mathbb{P}(|X-E(X)|< 2\sigma (X)) = 1- \mathbb{P}(|X-E(X)|\geqslant 2\sigma (X)) \geqslant \dfrac{3}{4}\).

De même, on montrer que \(\mathbb{P}(|X-E(X)|< 3\sigma (X)) \geqslant \dfrac{8}{9}\).

En 2018, le trafic moyen quotidien de véhicules sur le réseau autoroutier s’élevait à 24000 voitures, avec une variance de 6000. Majorer la probabilité que l’écart entre le nombre de véhicules en circulation lors d’une journée prise au hasard et la moyenne de véhicules recensés soit supérieure ou égal à 1000, puis à 100.

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Notons \(X\) la variable aléatoire qui donne le nombre de véhicules en circulation lors d’une journée prise au hasard. D’après l’énoncé, on a donc \(E(X)=24000\) et \(V(X)=6000\). D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, la probabilité que l’écart entre le nombre de véhicules en circulation lors d’une journée prise au hasard et la moyenne de véhicules recensés soit supérieure ou égal à 1000 peut être majorée comme suit :
\[ \mathbb{P}(|X-E(X)| \geqslant 1000) \leqslant \dfrac{V(X)}{1000^2} = 0,006.\]
De la même manière,
\[ \mathbb{P}(|X-E(X)| \geqslant 100) \leqslant \dfrac{V(X)}{100^2} = 0,6.\]

Pour progresser…

Un client arrive à une station-service et se dirige vers une pompe. Il constate que deux voitures sont
devant lui, la première accédant à la pompe au moment de son arrivée.

On désigne par \(T_1\), \(T_2\), \(T_3\) les variables aléatoires qui modélisent les temps passés en minute par chacun des trois clients, dans leur ordre d’arrivée, pour alimenter son véhicule entre l’instant où la pompe est disponible pour lui et celui où il la libère.

On suppose que \(T_1\), \(T_2\), \(T_3\) sont des variables aléatoires indépendantes de même espérance égale à 6 et de même variance égale à 1.

On note \(S\) la variable aléatoire correspondant au temps d’attente total passé à la station du troisième client entre son arrivée à la station et son départ de la pompe après avoir alimenté son véhicule.

Exprimer \(S\) en fonction de \(T_1\), \(T_2\) et \(T_3\).
1. Déterminer l’espérance de \(S\) et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
2. Quelle est la variance du temps d’attente total S de ce troisième client ?
Montrer que la probabilité que le troisième client passe un temps strictement compris entre 14 et 22 minutes à la station est supérieure ou égale à 0,81.

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On a \(S=T_1+T_2+T_3\). Ainsi, \(E(S)=E(T_1+T_2+T_3)=E(T_1)+E(T_2)+E(T_3)=18\). En moyenne, un automobiliste qui a deux personnes devant lui dans la file d’attente attendra 18 minutes avant de pouvoir repartir.

Par ailleurs, puisque \(T_1\), \(T_2\) et \(T_3\) sont indépendantes, on a \(V(S)=V(T_1)+V(T_2)V(T_3)=3\).

On cherche alors à minorer la probabilité \(\mathbb{P}(S \in ]14;22[)\), c’est-à-dire \(\mathbb{P}(S \in ]18-4;18+4[)\).

La probabilité recherchée est donc \(\mathbb{P}(|S-18|<4)\), c’est-à-dire \(\mathbb{P}(|S-E(S)|<4)\).

D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, pour tout réel \(\delta\) strictement positif, \(\mathbb{P}(|S-E(S)|\geqslant \delta) \leqslant \dfrac{V(S)}{\delta ^2}\). En prenant \(\delta=4\), on a donc \(\mathbb{P}(|S-E(S)|\geqslant 4)\leqslant \dfrac{3}{16}\).

Ainsi, \(\mathbb{P}(|S-E(S)|<4)=1-\mathbb{P}(|S-E(S)|\geqslant 4)\geqslant 1- \dfrac{3}{16}\). On a donc \(\mathbb{P}(|S-E(S)|<4)\geqslant \dfrac{13}{16}\).

Or, \(\dfrac{13}{16}=0,8125>0,81\). Finalement, la probabilité que le troisième client passe un temps strictement compris entre 14 et 22 minutes à la station est supérieure ou égale à 0,81.

La directrice d’une école souhaite réaliser une étude auprès des étudiants qui ont passé l’examen de fin d’étude.

On interroge au hasard dix étudiants. Les variables aléatoires \(N_1\), \(N_2\), …, \(N_{10}\) modélisent la note sur 20 obtenue à l’examen par chacun d’entre eux. On admet que ces variables sont indépendantes et suivent la même loi binomiale de paramètres \((20 ; 0,615)\).

Soit \(S\) la variable définie par \(S = N_1 + N_2 +··· + N_{10}\).

Calculer l’espérance \(E(S)\) et la variance \(V(S)\) de la variable aléatoire \(S\).
On considère la variable aléatoire \(M=\dfrac{S}{10}\).
1. Que modélise cette variable aléatoire M dans le contexte de l’exercice ?
2. Justifier que \(E(M) = 12,3\) et \(V (M) = 0,47355\).
3. À l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, justifier l’affirmation ci-dessous.
  « La probabilité que la moyenne des notes de dix étudiants pris au hasard soit
  strictement comprise entre 10,3 et 14,3 est d’au moins 80% ».

On jette 3600 fois un dé équilibré à 6 faces, numérotées de 1 à 6. On note \(X\) la variable aléatoire qui compte le nombre de 1 obtenus.

Quelle est la loi de \(X\) ? Quelle est son espérance ? sa variance ?
Minorer la probabilité que le nombre d’apparitions du numéro 1 soit compris entre 480 et 720.

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\(X\) suit une loi binomiale de paramètres \(3600\) et \(\dfrac{1}{6}\).
Ainsi, \(E[X]=3600 \times \dfrac{1}{6} = 600\) et \(V(X)=3600 \times \dfrac{1}{6} \times \dfrac{5}{6}=500\).

Par ailleurs, \(X \in ]480;720[\) correspond à \(X-600 \in ]-120;120[\) c’est-à-dire \(|X-600| < 120\).
D’après l’inégalité de Bienaymé-Techebychev,
\(\mathbb{P}(|X-E[X]| \geqslant 120) \leqslant \dfrac{500}{120^2}=0,035\).
Ainsi, \(\mathbb{P}(|X-E[X]| < 120) \geqslant 1-0,035 = 0,965\).

Soit \(X\) une variable aléatoire d’espérance 5 et de variance 2. On considère un échantillon \((X_1, \ldots, X_{100})\) de variables aléatoires indépendantes de même loi que \(X\) et on note \(M_n = \dfrac{1}{n} (X_1+X_2+\ldots + X_n)\).

Soit \(\delta\) un réel strictement positif et \(n\) un entier naturel non nul.
Écrire l’inégalité de concentration pour \(M_n\).
En déduire l’entier \(n\) à partir duquel on a \(\mathbb{P}(|M_n-5|\geqslant 0,05 ) \leqslant 0,01\).

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L’inégalité de concentration pour \(M_n\) s’écrit \(\mathbb{P}(|M_n-E(X_1)|\geqslant \delta )\leqslant \dfrac{V(X)}{n\delta ^2}=\dfrac{2}{n\delta ^2}\).

En prenant \(\delta = 0,05\), on obtient \(\mathbb{P}(|M_n-5|\geqslant 0,05 ) \leqslant \dfrac{2}{0,0025n}\), qui est inférieur à 0,01 lorsque \(n\geqslant 80000\).

Une compagnie aérienne exploite un avion ayant une capacité de 200 places. Pour ce vol, une analyse a montré que chaque passager à une probabilité \(p=0,8\) de se présenter à l’embarquement. On suppose que les présences individuelles des passagers à l’embarquement sont indépendantes. La compagnie souhaite vendre davantage de billets que de places disponibles tout en limitant le risque de voir trop de personnes se présenter à l’embarquement.

Soit \(n\) un entier strictement supérieur à 200, correspondant au nombre de billets vendus. On note \(S_n\) le nombre de personnes se présentant à l’embarquement.

Quelle est la loi de \(S_n\) ? Que valent son espérance et sa variance ?
On suppose que \(n<250\).
1. Justifier que si \(S_n \geqslant 200\), alors \(|S_n-0,8n| \geqslant 200-0,8n\).
2. En déduire que \(\mathbb{P}(S_n \geqslant 200) \leqslant \dfrac{0,16n}{(200-0,8n)^2}\).
3. Combien de billets la compagnie peut-elle vendre tout en ayant une probabilité inférieure à 5% que plus de 200 clients se présentent à l’embarquement ?

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\(S_n\) suit une loi binomiale de paramètres \(n\) et 0,8. Ainsi, \(E[S_n]=0,8n\) et \(V(S_n)=0,16n\).

Si \(S_n \geqslant 200\), alors \(S_n – 0,8n \geqslant 200-0,8n\). Puisque \(n<250\), alors \(200-0,8n >0\) et donc, par croissance de la fonction valeur absolue sur \(\mathbb{R}_+\), \(|S_n-0,8n| \geqslant 200-0,8n\).

Ainsi, \(\mathbb{P}(S_n \geqslant 200) \leqslant \mathbb{P}(|S_n-0,8n| \geqslant 200-0,8n)\). Or, d’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, \(\mathbb{P}(|S_n-0,8n| \geqslant 200-0,8n) \leqslant \dfrac{0,16n}{(200-0,8n)^2}\), d’où le résultat voulu.

On a \(\dfrac{0,16n}{(200-0,8n)^2} \leqslant 0,05\) si et seulement si \(0,032n^2-16,16n+2000 \geqslant 0\). Il s’agit d’un polynôme du second degré dont les racines valent environ \(217,06\) et \(287.94\). En particulier, si \(n <250\), cette quantité est positive pour \(n \leqslant 217\). La compagnie peut vendre 217 billets : elle aura alors moins de 5% de chance que plus de 200 clients se présentent à l’embarquement.

Un joueur joue à la roulette en misant à chaque fois un euro sur une couleur (rouge ou noir). A chaque partie, il récupère sa mise et gagne un euro avec probabilité \(\dfrac{18}{37}\). Sinon, il perd sa mise. Pour tout entier naturel \(n\), on note \(X_n\) son gain après \(n\) parties et \(Y_n\) le nombre de parties gagnés parmi les \(n\) premières parties.

Quelle est la loi de \(Y_n\) ? Que vaut son espérance et sa variance ?
Exprimer \(X_n\) en fonction de \(Y_n\) puis donner son espérance et sa variance.
A l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, déterminer un entier \(n\) à partir duquel la probabilité que le joueur ait perdu de l’argent après \(n\) parties soit supérieure ou égale à 0,95.

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\(Y_n\) suit une loi binomiale de paramètres \(n\) et \(\dfrac{18}{37}\). Son espérance vaut \(\dfrac{18n}{37}\) et sa variance \(\dfrac{306n}{1369}\).

On a par ailleurs \(X_n=Y_n \times 1 + (n-Y_n) \times (-1)=2Y_n-n\).
Ainsi, \(E[X_n]=2E[X_n]-n=-\dfrac{n}{37}\) et \(V(X_n)=4V(Y_n)=\dfrac{1224n}{1369}\).

On cherche alors \(P(X_n <0)\). Or, si \(X_n \geqslant 0\), alors \(X_n+\dfrac{n}{37} \geqslant \dfrac{n}{37}\) et donc \(\left| X_n + \dfrac{n}{37} \right| \geqslant \dfrac{n}{37}\).
Ainsi, \(P(X_n \geqslant 0) \leqslant \mathbb{P}\left(\left| X_n + \dfrac{n}{37} \right| \geqslant \dfrac{n}{37}\right)\).

Or, d’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, \(\mathbb{P}\left(\left| X_n + \dfrac{n}{37} \right| \geqslant \dfrac{n}{37}\right) \leqslant \dfrac{\frac{1224n}{1369}}{\frac{n^2}{37^2}}=\dfrac{1224}{n}\).

Ainsi, en utilisant le complémentaire, \(P(X_n <0) \geqslant 1-\dfrac{1224}{n}\). Or, \(1-\dfrac{1224}{n} \geqslant 0.95\) si et seulement si \(n \geqslant \dfrac{1224}{0,05}=22480\).

Un joueur qui fait 22480 parties a plus de 95% de chances de perdre de l’argent à l’issue de ces parties.

Exercices de synthèse

Dans un examen, une épreuve notée sur dix points est constituée de deux exercices : le premier est noté sur deux points, le deuxième sur huit points.

Partie I

Le premier exercice est constitué de deux questions Q1 et Q2.

Chaque question est notée sur un point. Une réponse correcte rapporte un point ; une réponse incorrecte, incomplète ou une absence de réponse rapporte zéro point.

On considère que :

Un candidat pris au hasard a une probabilité 0,8 de répondre correctement à la question Q1.
Si le candidat répond correctement à Q1, il a une probabilité 0,6 de répondre correctement à Q2 ; s’il ne répond pas correctement à Q1, il a une probabilité 0,1 de
répondre correctement à Q2.

On prend un candidat au hasard et on note :

\(A\) l’évènement : « le candidat répond correctement à la question Q1 » ;
\(B\) l’évènement : « le candidat répond correctement à la question Q2 ».

On note \(\overline{A}\) et \(\overline{B}\) les évènements contraires de \(A\) et de \(B\).

Recopier et compléter les pointillés de l’arbre pondéré ci-dessous.
Calculer la probabilité que le candidat réponde correctement aux deux questions Q1 et Q2.
Calculer la probabilité que le candidat réponde correctement à la question Q2.

On note :

\(X_1\) la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à la question Q1 ;
\(X_2\) la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à la question Q2 ;
\(X\) la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à l’exercice, c’est-à-dire \(X = X_1 + X_2\).

Déterminer l’espérance de \(X_1\) et de \(X_2\). En déduire l’espérance de \(X\).
Donner une interprétation de l’espérance de \(X\) dans le contexte de l’exercice.
On souhaite déterminer la variance de \(X\).
1. Déterminer \(\mathbb{P}(X = 0)\) et \(\mathbb{P}(X = 2)\). En déduire \(\mathbb{P}(X = 1)\).
2. Montrer que la variance de \(X\) vaut 0,57.
3. A-t-on \(V(X) = V(X_1)+V(X_2)\) ? Est-ce surprenant ?

Partie II

Le deuxième exercice est constitué de huit questions indépendantes.

Chaque question est notée sur un point. Une réponse correcte rapporte un point ; une réponse incorrecte et une absence de réponse rapporte zéro point.

Les huit questions sont de même difficulté : pour chacune des questions, un candidat a une probabilité \(\dfrac{3}{4}\) de répondre correctement, indépendamment des autres questions.

On note \(Y\) la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note au deuxième exercice, c’est-à-dire le nombre de bonnes réponses.

Justifier que \(Y\) suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Donner la valeur exacte de \(\mathbb{P}(Y = 8)\).
Donner l’espérance et la variance de \(Y\).

Partie III

On suppose que les deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) sont indépendantes. On note la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note totale à l’examen : \(Z = X +Y\).

Calculer l’espérance et la variance de \(Z\).
Soit \(n\) un nombre entier strictement positif.
Pour \(i\) entier variant de 1 à \(n\), on note \(Z_i\) la variable aléatoire qui, à un échantillon de \(n\) élèves, associe la note de l’élève numéro \(i\) à l’examen.

On admet que les variables aléatoires \(Z_1\), \(Z_2\), …, \(Z_n\) sont identiques à \(Z\) et indépendantes.

On note \(M_n\) la variable aléatoire qui, à un échantillon de \(n\) élèves, associe la moyenne de leurs \(n\) notes, c’est-à-dire : \(M_n=\dfrac{Z_1+Z_2+\ldots+Z_n}{n}\).
1. Quelle est l’espérance de \(M_n\) ?
2. Quelles sont les valeurs de \(n\) telles que l’écart type de \(M_n\) soit inférieur ou égal à 0,5 ?
3. Pour les valeurs trouvées en b., montrer que la probabilité que \(6,3 < M_n < 8,3\) est supérieure ou égale à 0,75 .

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Partie I

On complète l’arbre de probabilités modélisant la situation
On a \(\mathbb{P}(A \cap B)= 0,8 \times 0,6=0,48\).
\((A;\overline{A})\) est un système complet d’événements. D’après la formule des probabilités totales,
\[ \mathbb{P}(B)=\mathbb{P}(A \cap B)+\mathbb{P}(\overline{A} \cap B)=0,6 \times 0,8 +0,2 \times 0,1=0,5.\]
\(X_1\) prend les valeurs 0 et 1, elle suit donc une loi de Bernoulli. Son paramètre (et donc son espérance) vaut 0,8.
De même, \(X_2\) suit une loi de Bernoulli de paramètre 0,5. On a donc \(E(X_2)=0,5\).

Ainsi, \(E(X)=E(X_1+X_2)=E(X_1)+E(X_2)=0,8+0,5=1,3\). En moyenne, un élève obtient une note de 1,3 au premier exercice.
On a \(\mathbb{P}(X=0)=\mathbb{P}(\overline{A}\cap \overline{B})=0,2 \times 0,9=0,18\) et \(\mathbb{P}(X=2)=\mathbb{P}(A\cap B)=0,48\).
Ainsi, \(\mathbb{P}(X=1)=1-(0,18+0,48)=0,34\).
On a \(E(X^2)=0^2 \times 0,18 + 1^2 \times 0,34 + 2^2 \times 0,48 = 2,26\).
D’après la formule de Koenig-Huygens, \(V(X)=E(X^2)-E(X)^2=2,26-1,3^2=0,57\).
On a \(V(X_1)=0,8 \times(1-0,8)=0,16\) et \(V(X_2)=0,5 \times (1-0,5)=0,25\).
Ainsi, \(V(X_1)+V(X_2)=0,41\neq V(X)\).
Ce résultat n’est pas surprenant puisque les variables aléatoires \(X_1\) et \(X_2\) ne sont pas indépendantes.

Partie II

\(Y\) compte le nombre de succès (la réponse donnée est exacte) d’une répétitions de 8 épreuves identiques et indépendantes. La probabilité de succès est de \(\dfrac{3}{4}\). Ainsi, \(Y\) suit une loi binomiale \(\mathcal{B}\left(8;\dfrac{3}{4}\right)\).
On a \(\mathbb{P}(Y=8)=\dbinom{8}{8} \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^8\times\left(1-\dfrac{3}{4}\right)^{8-8}=\left(\dfrac{3}{4}\right)^8\).
On a \(E(Y)=8 \times \dfrac{3}{4}=6\) et \(V(Y)=8 \times \dfrac{3}{4} \times \left(1-\dfrac{3}{4}\right)=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}\).

Partie III

On a \(E[Z]=E[X+Y]=E[X]+E[Y] = 1,3+6=7,3\).
De plus, puisque \(X\) et \(Y\) sont indépendantes, on a \(V(Z)=V(X+Y)=V(X)+V(Y)=0,57+1,5=2,07\).
1. On a \(E[M_n]=E[Z_1]=7,3\).
2. On a \(V(M_n)=\dfrac{V(Z_1)}{n}=\dfrac{2,07}{n}\) et donc \(\sigma(M_n)=\sqrt{\dfrac{2,07}{n}}\).
  Ainsi, \(\sigma(M_n)\leqslant 0,5 \Leftrightarrow \sqrt{\dfrac{2,07}{n}} \leqslant 0,5 \Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{2,07}}{0,5} \leqslant \sqrt{n}\). Par croissance de la fonction \(x\mapsto x^2\) sur \([0;+\infty[\), on a alors \(n \geqslant \dfrac{2,07}{0,25}\). Or, \(\dfrac{2,07}{0,25}=8,28\). L’entier recherché est donc \(n=9\).
3. On a \(6,3 < M_n <8,3\) si et seulement si \(M_n \in ]6,3 ; 8,3[\) soit \(M_n \in ]7,3-1 ; 7,3+1[\) c’est-à-dire
  \(|M_n-7,3|<1\).
  Or, \(E(M_n)=7,3\). D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a \(\mathbb{P}(|M_n-7,3| \geqslant 1) \leqslant \dfrac{V(M_n)}{1^2}\) et donc \(\mathbb{P}(|M_n-7,3| \geqslant 1) \leqslant \dfrac{2,07}{n}\).
  
  Ainsi, \(\mathbb{P}(|M_n-7,3|<1)=1-\mathbb{P}(|M_n-7,3| \geqslant 1)\geqslant 1- \dfrac{2,07}{n}\).
  
  D’après la question précédente, on a \(n\geqslant 9\).
  
  Ainsi, \(\dfrac{2,07}{n} \leqslant \dfrac{2,07}{9}\) et \(1-\dfrac{2,07}{n}\geqslant 1-\dfrac{2,07}{9}\). Or, \(1-\dfrac{2,07}{9}=0,77\).
  
  Ainsi, on a bien \(\mathbb{P}(|M_n-7,3|<1) \geqslant 0,77 \geqslant 0,75\).

Une agence de marketing a étudié la satisfaction des clients concernant le service clientèle à l’occasion de l’achat d’un téléviseur. Ces achats ont été réalisés soit sur internet, soit dans une chaîne de magasins d’électroménager, soit dans une enseigne de grandes surfaces.

Les achats sur internet représentent 60% des ventes, les achats en magasin d’électroménager 30% des ventes et ceux en grandes surfaces 10% des ventes.

Une enquête montre que la proportion des clients satisfaits du service clientèle est de :

75% pour les clients sur internet ;
90% pour les clients en magasin d’électroménager ;
80% pour les clients en grande surface.

On choisit au hasard un client ayant acheté le modèle de téléviseur concerné. On définit les évènements suivants.

\(I\) : « le client a effectué son achat sur internet » ;
\(M\) : « le client a effectué son achat en magasin d’électroménager » ;
\(G\) : « le client a effectué son achat en grande surface » ;
\(S\) : « le client est satisfait du service clientèle ».

Si \(A\) est un évènement quelconque, on notera \(\overline{A}\) son évènement contraire et \(P(A)\) sa probabilité.

Reproduire et compléter l’arbre ci-dessous.
Calculer la probabilité que le client ait réalisé son achat sur internet et soit satisfait
du service clientèle.
Démontrer que \(P(S) = 0,8\).
Un client est satisfait du service clientèle.
Quelle est la probabilité qu’il ait effectué son achat sur internet ? On donnera un résultat arrondi à \(10^{-3}\) près.
Pour réaliser l’étude, l’agence doit contacter chaque jour 30 clients parmi les acheteurs du téléviseur. On suppose que le nombre de clients est suffisamment important
pour assimiler le choix des 30 clients à un tirage avec remise. On note \(X\) la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 30 clients, associe le nombre de clients satisfaits du service clientèle.
1. Justifier que \(X\) suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. Déterminer la probabilité, arrondie à \(10^{-3}\) près, qu’au moins 25 clients soient satisfaits dans un échantillon de 30 clients contactés sur une même journée.
En résolvant une inéquation, déterminer la taille minimale de l’échantillon de clients à contacter pour que la probabilité qu’au moins l’un d’entre eux ne soit pas satisfait soit supérieure à 0,99.
Dans les deux questions a. et b. qui suivent, on ne s’intéresse qu’aux seuls achats sur
internet.

Lorsqu’une commande de téléviseur est passée par un client, on considère que le
temps de livraison du téléviseur est modélisé par une variable aléatoire \(T\) égale à la
somme de deux variables aléatoires \(T_1\) et \(T_2\).

La variable aléatoire \(T_1\) modélise le nombre entier de jours pour l’acheminement du téléviseur depuis un entrepôt de stockage vers une plateforme de distribution. La
variable aléatoire \(T_2\) modélise le nombre entier de jours pour l’acheminement du téléviseur depuis cette plateforme jusqu’au domicile du client.

On admet que les variables aléatoires \(T_1\) et \(T_2\) sont indépendantes, et on donne :
- L’espérance \( (T_1) = 4\) et la variance \(V (T_1) = 2\) ;
- L’espérance \(E (T_2) = 3\) et la variance \(V (T_2) = 1\).
1. Déterminer l’espérance \(E(T )\) et la variance \(V (T )\) de la variable aléatoire \(T\).
2. Un client passe une commande de téléviseur sur internet. Justifier que la probabilité qu’il reçoive son téléviseur entre 5 et 9 jours après sa commande est
  supérieure ou égale à \(\dfrac{2}{3}\).

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On complète l’arbre comme suit.
On a \(P(I \cap S)=0,6 \times 0,75 = 0,45\).
\((I;M;G)\) forme un système complet d’événements. D’après la formule des probabilités totales,
\[P(S)=P(I\cap S)+P(M\cap S)+P(G\cap S)=0,45+0,3 \times 0,9+0,1 \times 0,8 = 0,8.\]
On a \(P_S(I)=\dfrac{P(S \cap I)}{P(S)}=\dfrac{0,45}{0,8}\simeq 0,563\).
1. Puisque les tirages sont assimilés à des tirages avec remise, \(X\) compte le nombre de succès (le client est satisfait) d’une répétition de 30 expériences de Bernoulli identiques et indépendantes. \(X\) suit une loi binomiale \(\mathcal{B}\left(30;0,8\right)\).
2. D’après la calculatrice, on a \(P(X \geqslant 25) \simeq 0,428\).
Notons \(Y\) le nombre de clients non satisfaits lorsque l’on interroge \(n\) clients.
\(Y\) suit une loi binomiale \(\mathcal{B}(n;0,2)\).
On a alors \(P(Y \geqslant 1)=1-P(Y <1)=1-P(Y=0)\) puisque \(Y\) est à valeurs entières.
Or, \(P(Y=0)=\dbinom{8}{0} \times 0,2 ^0 \times (1-0,2)^n=0,8^n\).

Ainsi, \(P(Y \geqslant 1) \geqslant 0,99 \Leftrightarrow 1-0,8^n \geqslant 0,8^n \Leftrightarrow -0,8^n \geqslant -0,01 \Leftrightarrow 0,8^n \leqslant 0,01\).

Par croissance du logarithme népérien sur \(]0;+\infty[\), on a alors \(\ln(0,8^n) \leqslant \ln(0,01)\) soit \(n\ln(0,8) \leqslant \ln(0,01)\) et donc \(n \geqslant \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,8)}\). Or, \(\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,8)}\simeq 20,6\). L’entier recherché est donc 21.
1. On a \(E(T)=E(T_1+T_2)=E(T_1)+E(T_2)=4+3=7\).
  De plus, puisque \(T_1\) et \(T_2\) sont indépendantes, \(V(T)=V(T_1+T_2)=V(T_1)+V(T_2)=2+1=3\).
2. On cherche \(P(5 \leqslant T \leqslant 9)\).
  Puisque \(T\) est à valeurs entières, cette probabilité est égale à \(P(4<T<10)\). Or, on a \(4<T<10\) si et seulement si \(7-3<T<7+3\) c’est-à-dire \(|T-7|<3\) et donc \(|T-E(T)|<3\).
  D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a \(P(|T-E(T)| \geqslant 3) \leqslant \dfrac{V(T)}{3^2}\).
  
  On obtient donc \(P(|T-E(T)| \geqslant 3) \leqslant \dfrac{1}{3}\).
  
  Ainsi, \(P(|T-E(T)|<3)=1-P(|T-E(T)| \geqslant 3) \geqslant 1- \dfrac{1}{3}\) et finalement, \(P(|T-E(T)|<3) \geqslant \dfrac{2}{3}\).