Nombres complexes : forme algébrique

Ensemble \(\mathbb{C}\) des nombres complexes

Il existe un ensemble de nombres appelé nombres complexes et noté \(\mathbb{C}\) tel que

  • L’ensemble des réels \(\mathbb{R}\) est inclus dans \(\mathbb{C}\)
  • Il existe un nombre complexe, noté \(i\), et tel que \(i^2=-1\)
  • L’addition et la multiplication des réels se prolonge « naturellement » dans l’ensemble des complexes
  • Pour tout nombre complexe \(z\), il existe un unique couple de réels \((a,b)\) tel que \(z=a+ib\).
    • \(a\) est appelée partie réelle de \(z\), notée \(Re(z)\).
    • \(b\) est appelée partie imaginaire de \(z\), notée \(Im(z)\).
    • L’écriture \(z=a+ib\) est la forme algébrique de \(z\).
Exemple : \(2+3i\), \(7i\), \(\sqrt{5}\), \(\dfrac{1}{2}-\dfrac{4}{5}i\) sont des nombres complexes.

L’addition et la multiplication de complexes se passent comme pour les nombres réels. Le nombre \(i\) joue le rôle de facteur. Il ne faut toutefois pas oublier que \(i^2=-1\), notamment pour la multiplication.

Exemple : Soit \(z=2+5i\) et \(z’=1-3i\). Alors
\[z +z’=2+5i+1-3i=3+2i\] et\[zz’ = (2+5i)(1-3i)=2 \times 1 + 5i \times 1 + 2 \times (-3i) + 5i \times (-3i)=2+5i-6i -15i^2=17-i\]
Cliquer pour s’entraîner : forme algébrique d’une somme ou d’un produit

Soit \(z\) un nombre complexe.

\(z=0\) si et seulement si \(Re(z)=0\) et \(Im(z)=0\)

D’une part, si \(Re(z)=0\) et \(Im(z)=0\), alors \(z = Re(z) + i \times Im(z) = 0 + i0 = 0\).

D’autre part, si \(z=0\), notons \(a\) et \(b\) les parties réelles et imaginaires de \(z\). Ainsi, \(a+ib=0\). Nous allons raisonner par l’absurde pour montrer que nécessairement, \(a\) et \(b\) valent tous deux 0. Pour cela, nous allons supposer le contraire et aboutir à une absurdité, ce qui nous permettra de conclure que l’hypothèse faite au départ était fausse.

Supposons donc que soit \(a\), soit \(b\) ne soit pas nul.

  • Si \(b=0\), puisque \(a+ib=0\), on obtient également que \(a=0\), ce qui est contraire à ce que nous avons supposé. Ainsi, on a forcément \(b \neq 0\).
  • Si \(b\neq 0\), alors, puisque \(a+ib=0\), on a donc \(i=-\dfrac{a}{b}\). \(i\) serait donc réel. C’est absurde.

Ainsi, \(a=b=0\)

Soit \(z\) et \(z’\) deux complexes. Alors

\(z=z’\) si et seulement si \(Re(z)=Re(z’)\) et \(Im(z)=Im(z’)\)

Notons \(z=a+ib\) et \(z’=a’+ib’\). On a \(z=z’\) si et seulement si \(a+ib=a’+ib’\) si et seulement si \(a-a’+i(b-b’)=0\). D’après le premier point, c’est équivalent à dire que \(a-a’=0\) et \(b-b’=0\).

Finalement, \(z=z’\) si et seulement si \(a=a’\) et \(b=b’\).

Cette propriété nous permet notamment de résoudre des équations dans \(\mathbb{C}\).

Exemple : Résoudre l’équation \(2z+i-3=5i+4z-7\), d’inconnue \(z \in \mathbb{C}\).

Soit \(z \in \mathbb{C}\)

    \begin{eqnarray*} 2z+i-3=5i+4z-7 & \Leftrightarrow & 2z-4z = 5i - 7 +3 - i \\ & \Leftrightarrow & -2z = -4 +4i \\ & \Leftrightarrow & z = 2 - 2i \end{eqnarray*}

Ainsi, \(S=\{2-2i\}\).

Soit \(z\) un nombre complexe

  • \(z\) est un nombre réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle.
  • Si \(Re(z)=0\), on dit que \(z\) est un nombre imaginaire pur. On note \(z \in i\mathbb{R}\).

Conjuqué d’un nombre complexe

Définition et propriétés

Soit \(z = a+ib\) un nombre complexe.

Le conjugué de \(z\) est le nombre complexe noté \(\overline{z}\) et qui vaut
\[ \overline{z}=a-ib\]

Exemple : Le conjuqué de \(7+3i\) est \(7-3i\).
Le conjugué de \(2i\) est \(-2i\).
Soit \(z \in \mathbb{C}\).

  • \(z\) est réel si et seulement si \(\overline{z}=z\)
  • \(z\) est imaginaire pur si et seulement si \(\overline{z}=-z\)

Premier point : Soit \(z=a+ib\) avec \(a\) et \(b\) des réels. On a donc \(\overline{z}=a-ib\)

  • Si \(z=\overline{z}\), alors \(a+ib=a-ib\) ce qui implique que \(2ib=0\) et donc \(b=0\). \(z\) est donc réel.
  • Si \(z\) est réel, alors \(b=0\). Ainsi, \(z=a\) et \(\overline{z}=a\). On a bien \(z=\overline{z}\).

La démonstration du deuxième point fait l’objet d’un exercice.

Soit \(z\) et \(z’\) deux nombres complexes. On a les propriétés suivantes
\[\overline{\overline{z}} = z \qquad \qquad \overline{z+z’}=\overline{z}+\overline{z’} \qquad \qquad \overline{zz’}=\overline{z}\times \overline{z’}\]
Notons \(z=a+ib\) et \(z’=a’+ib’\).

  • \(\overline{\overline{z}} = \overline{a-ib}=a-(-ib)=a+ib=z\).
  • \(\overline{z+z’} = \overline{a+ib+a’+ib’}=\overline{a+a’+i(b+b’)}=a+a’-i(b+b’)=a-ib+a’-ib’=z-z’\)
  • D’une part, \[\overline{z} \times \overline{z’}=(a-ib)(a’-ib’)=aa’-iab’-ia’b+i^2bb’=aa’-bb’-i(ab’+a’b)\]
    D’autre part,
    \[zz’=(a+ib)(a’+ib’)=aa’+iab’+ia’b+i^2bb’=aa’-bb’+i(ab’+a’b)\]
    On a bien \(\overline{zz’}=\overline{z}\times \overline{z’}\)
Soit \(z\) un nombre complexe et \(n\) un entier naturel non nul. Alors \(\overline{z^n}=\overline{z}^n\).
Soit \(z\) un nombre complexe. Nous allons démontrer cette propriété par récurrence. Pour tout entier naturel non nul \(n\), on considère la proposition \(\mathcal{P}(n)\) : « \(\overline{z^n}=\overline{z}^n\)

  • Initialisation : Pour \(n=1\), on a \(\overline{z^1}=\overline{z}=\overline{z}^1\). \(\mathcal{P}(1)\) est vraie.
  • Hérédité : Soit \(n\) un entier naturel non nul. Supposons que \(\mathcal{P}(n)\) est vraie. On a donc \(\overline{z^n}=\overline{z}^n\).

    Or, \(\overline{z^{n+1}}=\overline{z^n \times z}\). La propriété précédente nous assure donc que \(\overline{z^{n+1}}=\overline{z^n} \times \overline{z}\).

    Or, par hypothèse de récurrence, \(\overline{z^n}=\overline{z}^n\).

    Ainsi, \(\overline{z^{n+1}}=\overline{z}^n \times \overline{z}=\overline{z}^{n+1}\). \(\mathcal{P}(n+1)\) est donc vraie.

  • Conclusion : \(\mathcal{P}(1)\) est vraie et \(\mathcal{P}\) est héréditaire. Par récurrence, \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout entier naturel non nul \(n\).

Résolution d’équation en \(z\) et \(\overline{z}\)

Lorsque des équations font intervenir \(z\) et \(\overline{z}\), il est préférable d’écrire ces nombres sous forme algébrique, puis d’identifier les parties réelles et imaginaires de chaque membre de l’équation.

Exemple : On souhaite résoudre l’équation \((E) \,: \,2z + 3i -5 = 3i\overline{z}-2i+5\), d’inconnue \(z \in \mathbb{C}\).

On pose alors \(z=a+ib\). On a donc \(\overline{z}=a-ib\). Ainsi,

\begin{eqnarray*}
2z + 3i -5 = 3\overline{z}-2i+7 & \Leftrightarrow & 2(a+ib)+3i-5=3i(a-ib)-2i+5 \\
& \Leftrightarrow & 2a+2ib+3i-5=3ia+3b-2i+5=0 \\
& \Leftrightarrow & 2a-3b-5-5 +i(2b+3-3a+2)=0 \\
& \Leftrightarrow & 2a -3b-10 + i (2b-3a+5)=0
\end{eqnarray*}
Or, un complexe est nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaires sont nulles. On obtient donc le système suivant

\[(E) \quad \Leftrightarrow \quad \left\{\begin{array}{rcl}
2a -3b-10 &=& 0\\
-3a+2b+5 &=& 0
\end{array}\right.\]

On peut alors résoudre ce système avec la méthode de son choix. Par exemple, en procédant par combinaison. On multiplie la première ligne par 3 et la deuxième par 2.

\[(E) \quad \Leftrightarrow \quad\left\{\begin{array}{rcl}
6a -9b-30 &=& 0\\
-6a+4b+10 &=& 0
\end{array}\right.\]

On remplace \(L_2\) par \(L_2+L_1\)

\[(E) \quad \Leftrightarrow \quad\left\{\begin{array}{rcl}
6a -9b-30 &=& 0\\
-5b-20 &=& 0
\end{array}\right.\]

On obtient donc

\[(E) \quad \Leftrightarrow \quad\left\{\begin{array}{rcl}
6a -9\times (-4)-30 &=& 0\\
b &=& -4
\end{array}\right. \Leftrightarrow \quad\left\{\begin{array}{rcl}
6a +6 &=& 0\\
b &=& -4
\end{array}\right. \Leftrightarrow \quad\left\{\begin{array}{rcl}
a &=& -1\\
b &=& -4
\end{array}\right.\]
On a donc \(S=\{ -1-4i\}\).

Division dans \(\mathbb{C}\)

Soit \(z\) un nombre complexe non nul. Il existe un unique complexe \(z’\) tel que \(zz’=1\). \(z’\) est appelé inverse de \(z\) et est noté \(\dfrac{1}{z}\).
Exemple : \((1+2i)\left(\dfrac{1}{5}-\dfrac{2}{5}i\right)=\dfrac{1}{5}+\dfrac{2}{5}i-\dfrac{2}{5}i+\dfrac{4}{5}=1\). On a donc \(\dfrac{1}{5}-\dfrac{2}{5}i=\dfrac{1}{1+2i}\).
Soit \(z\) un complexe et \(\overline{z}\) un complexe non nul. On définit le quotient de \(z\) par \(z’\) par :
\[ \dfrac{z}{z’}=z \times \dfrac{1}{z’} \]
Exemple : Calculons \(\dfrac{3+i}{1+2i}\). On a
\[ \dfrac{3+i}{1+2i} = (3+i) \times \dfrac{1}{1+2i} \]
Or, d’après l’exemple précédent, \(\dfrac{1}{1+2i}=\dfrac{1}{5}-\dfrac{2}{5}i\). Ainsi,
\[ \dfrac{3+i}{1+2i} = (3+i)\left(\dfrac{1}{5}-\dfrac{2}{5}i\right) = \dfrac{3}{5}-\dfrac{6}{5}i+\dfrac{i}{5}-\dfrac{2}{5}i^2=1-i\]

Dans un précédent exercice sur les conjugués, nous avons pu exprimer le produit \(z\overline{z}\) et constater que ce produit était en fait un réel.

Pour mettre sous forme algébrique un quotient, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Ainsi, le dénominateur du quotient obtenu sera un nombre réel.

Exemple : On souhaite exprimer \(\dfrac{4+3i}{3-i}\) sous forme algébrique. Le dénominateur est \(3-i\), dont le conjugué est \(3+i\). On multiplie donc numérateur et dénominateur par \(3+i\).

\[ \dfrac{4+3i}{3-i}= \dfrac{(4+3i)(3+i)}{(3-i)(3+i)}=\dfrac{12+4i+9i+3i^2}{3^2-i^2}=\dfrac{12+13i-3}{9-(-1)}=\dfrac{9}{10}+\dfrac{13}{10}i\]

Cliquer pour s’entraîner : forme algébrique d’un quotient

Soit \(z\) un complexe et \(z’\) un complexe non nul. Alors
\[ \overline{\left(\dfrac{1}{z’}\right)} = \dfrac{1}{\overline{z’}} \quad \text{et} \overline{\left(\dfrac{z}{z’}\right)} = \dfrac{\overline{z}}{\overline{z’}}\]
Soit \(z\) un complexe non nul. D’après la propriété sur le produit des conjugués, on a

\[ \overline{z} \times \overline{\dfrac{1}{z}}=\overline{z \times \dfrac{1}{z}} = \overline{1}=1\]
et donc

\[\overline{\left(\dfrac{1}{z}\right)} = \dfrac{1}{\overline{z}}\]

Par ailleurs,
\[ \overline{\left(\dfrac{z}{z’}\right)} = \overline{z \times \dfrac{1}{z’}} = \overline{z} \times \overline{\left(\dfrac{1}{z’}\right)}\]
d’après la proposition sur le conjugué du produit. Mais alors, d’après la propriété précédemment démontrée,

\[ \overline{\left(\dfrac{z}{z’}\right)} = \overline{z} \times \dfrac{1}{\overline{z’}}= \dfrac{\overline{z}}{\overline{z’}}\]