• \(u_0=-7\times 0 + 2 = 2\)
• \(u_1=-7\times 1 + 2 = -5\)
• \(u_2=-7\times 2 + 2 = -12\)
• \(u_3=-7\times 3 + 2 = -19\)

• \(v_0=0^2-1=-1\)
• \(v_1=1^2-1=0\)
• \(v_2=2^2-1=3\)
• \(v_3=3^2-1=8\)

• \(w_0=\left(\dfrac{1}{2}\right)^0=1\)
• \(w_1=\left(\dfrac{1}{2}\right)^1=\dfrac{1}{2}\)
• \(w_2=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}\)
• \(w_3=\left(\dfrac{1}{2}\right)^3=\dfrac{1}{8}\)

On a…

• \(u_0=2\times 0^2- 3 \times 0 -1=-1\)
• \(u_1=2\times 1^2- 3 \times 1 -1=-2\)
• \(u_{10}=2\times 10^2- 3 \times 10 -1=169\)

On cherche un entier \(n\) tel que \(2n^2-3n-1=0\). Résolvons donc l’équation d’inconnue \(x\in\mathbb{R}\) suivante : \(2x^2-3x-1=0\).

Le discriminant \(\Delta\) de \(2x^2-3x-1\) vaut \((-3)^2-4\times 2\times (-1)=17\), qui est strictement positif.
L’équation possède donc deux solutions :
\[x_1=\dfrac{3-\sqrt{17}}{4} \quad \text{et}\quad x_2=\dfrac{3+\sqrt{17}}{4}\]
Aucune de ces solutions n’est un nombre entier positif. Il n’existe donc aucun \(n\in\mathbb{N}\) tel que \(u_n=0\).

Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_n – (-3)=2n^2-3n+2\). Or, le discriminant de \(2n^2-3n+2\) vaut \((-3)^2-4\times 2 \times 2=-7\) qui est strictement négatif. Ainsi, \(2n^2-3n+2\) ne s’annule jamais et garde un signe constant : celui du coefficient en \(n^2\), c’est-à-dire \(2\).

Ainsi, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_n-(-3)>0\), c’est-à-dire \(u_n>-3\).

• \(u_0=\sin \left( \dfrac{0 \times \pi}{6}\right)=0\)
• \(u_1=\sin \left( \dfrac{1 \times \pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}\)
• \(u_2=\sin \left( \dfrac{2 \times \pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on a :
\[u_{n+12}=\sin \left( \dfrac{(n+12) \pi}{6}\right)=\sin \left( \dfrac{n \pi}{6} + 2\pi\right)=\sin \left( \dfrac{n \pi}{6}\right)=u_n\]

• Pour tout \(n\in\mathbb{N}\),
  \[ u_{n+1}=4(n+1)-7=4n+4-7=4n-3\]
• Pour tout \(n\in\mathbb{N}\),
  \[ u_{n+1}=\dfrac{2(n+1)-1}{3(n+1)+6}=\dfrac{2n+2-1}{3n+3+6}=\dfrac{2n+1}{3n+9}\]
• Pour tout \(n\in\mathbb{N}\),
  \[\begin{eqnarray*} u_{n+1}&=& 2(n+1)^2-5(n+1)+8\\&=&2(n^2+2n+1)-5n-5+8\\&=&2n^2+4n+2-5n-5+8\\&=&2n^2-n+5\end{eqnarray*}\]
• Pour tout \(n\in\mathbb{N}\),
  \[ u_{n+1}= (n+1-1)^5=n^5\]
• Pour tout \(n\in\mathbb{N}\),
  \[ u_{n+1}= (3(n+1)+7)^2=(3n+10)^2\]
• Pour tout \(n\in\mathbb{N}\),
  \[ u_{n+1}= \sqrt{2(n+1)^2-4(n+1)+2}=\sqrt{2n^2}=\sqrt{2}n\]

• \(u_1=2u_0-3=2\times 4 – 3 = 5\)
• \(u_2=2u_1-3=2\times 5 – 3 = 7\)
• \(u_1=2u_2-3=2\times 7 – 3 = 11\)

• \(u_1=\dfrac{1}{u_0+1}=\dfrac{1}{2+1}=\dfrac{1}{3}\)
• \(u_2=\dfrac{1}{u_1+1}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{3}+1}=\dfrac{1}{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{3}{4}\)
• \(u_3=\dfrac{1}{u_2+1}=\dfrac{1}{\dfrac{3}{4}+1}=\dfrac{1}{\dfrac{7}{4}}=\dfrac{4}{7}\)

• \(v_1=\sqrt{v_0}=\sqrt{256}=16\)
• \(v_2=\sqrt{v_1}=\sqrt{16}=4\)
• \(v_3=\sqrt{v_2}=\sqrt{4}=2\)

• \(w_1=w_0+0=-3\)
• \(w_2=w_1+1=-3+1=-2\)
• \(w_3=w_2+2=0\)

On voit que \(u_1=1\) et \(u_2=3\). En continuant le schéma, on trouvera que \(u_5=15\).

Pour passer du premier au deuxième, on ajoute 2 points. Pour passer du deuxième au troisième, on ajoute trois points… Pour passer du n-ième au (n+1)-ième, on ajoute (n+1) points.

Ainsi, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=u_n+n+1\).

On a

• \(u_2=u_1 \times u_0 = 2 \times 1 = 2\)
• \(u_3=u_2 \times u_1 = 2 \times 2 = 4\)
• \(u_4=u_3 \times u_2 = 4 \times 2 = 8\)

On a

• \(v_2=(v_1)^2 – (v_0)^2 = 3^2-(-1)^2=9-1=8\)
• \(v_3=(v_2)^2 – (v_1)^2 = 8^2-3^2=64-9=55\)
• \(v_4=(v_3)^2 – (v_2)^2 = 55^2-8^2=3025-64=2961\)

• \(a_1=0.7 \times 2000 + 500 = 1900\)
• \(a_2= 0.7 \times 1900 + 500=1830\)

Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on a \(u_{n+1}=0.7u_n+500\).

Le nombre d’ascendants est égal au nombre de mâles additionné au nombre de femelles : pour tout \(n\in\mathbb{N}\) :
\[ a_n=m_n+f_n\]

Puisque chaque femelle possède un père et que les mâles n’en ont pas, le nombre de mâles à la génération \(n+1\) est égal au nombre de femelles à la génération \(n\).
\[m_{n+1}=f_n \]
De plus, chaque mâle et chaque femelle possède une mère. On a alors :
\[f_{n+1}=m_n+f_n\]

Rappelons que pour tout \(n\in\mathbb{N}\) :
\[ a_n=m_n+f_n\]
Alors,
\[ a_{n+2}=m_{n+2}+f_{n+2}\]
Cependant,
\[m_{n+2}=f_{n+1}\]
et
\[ f_{n+2}=f_{n+1}+m_{n+1}=a_{n+1} \]
Ainsi,
\[ a_{n+2}=f_{n+1}+a_{n+1}=m_{n}+f_{n}+a_{n+1}=a_{n}+a_{n+1}\]

On a

• \(u_1=f(1)=1\)
• \(u_2=f(2)=3\)
• \(u_3=f(3)=4\)
• \(u_4=f(4)=4\)
• \(u_5=f(5)=2\)

On a

• \(v_1=f(v_0)=f(5)=2\)
• \(v_2=f(v_1)=f(2)=3\)
• \(v_3=f(v_2)=f(3)=4\)

On a

• \(u_1=f(1)=2\)
• \(u_2=f(2)=3\)
• \(u_3=f(3)=-2\)

Calculons les premiers termes de la suite \((v_n)\).

• \(v_0=3\)
• \(v_1=f(v_0)=f(3)=-2\)
• \(v_2=f(v_1)=f(-2)=1\)
• \(v_3=f(v_2)=f(1)=2\)
• \(v_4=f(v_3)=f(2)=3\)

On remarque que l’on est revenu à 3 et on aura alors \(v_5=-2\), \(v_6=1\), etc. La suite est périodique, de période 4.

Ainsi, si \(n\) est un multiple de 4, on aura \(v_n=v_0=3\). 2016 étant un multiple de 4, \(v_{2016}=u_0=3\). Alors, \(v_{2017}=-2\), \(v_{2018}=1\) et \(v_{2019}=2\).

• Pour tout \(n\in\mathbb{N}\),
  \[ u_{n+1}-u_n=(n+1)^2-n^2=(n+1-n)(n+1+n)=2n+1>0\]
  La suite \((u_n)\) est strictement croissante.
• Pour tout \(n\in\mathbb{N}\),
  \[v_{n+1}=(n+1)^2+2(n+1)-3=n^2+2n+1+2n+2-3=n^2+4n\]
  Ainsi,
  \[v_{n+1}-v_n = n^2+4n-(n^2+2n-3)=6n+3>0\]
  (On rappelle que \(n\) désigne un entier positif). La suite \((u_n)\) est strictement croissante.
• On sait que la fonction \(x\mapsto 3x+4\) est décroissante sur \(\mathbb{R}\) (elle est affine, de coefficient directeur 3 qui est strictement positif). La suite \((w_n)\) est donc strictement croissante.
• Pour tout \(n\in\mathbb{N}\),\[\begin{eqnarray*}
  a_{n+1}-a_n &=&\dfrac{1}{n+2}-\dfrac{1}{n+1}\\&=&\dfrac{n+1}{(n+2)(n+1)}-\dfrac{n+2}{(n+2)(n+1)}\\&=&\dfrac{-1}{(n+1)(n+2)}\\& < & 0\end{eqnarray*}\]
  La suite \((u_n)\) est strictement décroissante.

Pour tout \(n\in\mathbb{N}\),

\[u_{n+1}-u_n =u_n+12n-4-u_n=12n-4\]
qui est positif dès que \(n\geqslant 1\). La suite \((u_n)\) est croissante à partir du rang 1.

Pour tout \(n\in\mathbb{N}\),

\[v_{n+1}-v_n =v_n-\dfrac{1}{n^2+1}-v_n=-\dfrac{1}{n^2+1}<0\]
La suite \((v_n)\) est strictement décroissante.

Pour tout \(n\in\mathbb{N}\),

\[w_{n+1}-w_n =w_n(1-w_n)-w_n=w_n(1-w_n-1)=-(w_n)^2 \leqslant 0\]
La suite \((w_n)\) est décroissante.

Pour tout \(n\in\mathbb{N}\),

\[a_{n+1}-a_n =a_n+3n^2+2n+7-u_a=3n^2+2n+7\]
Le discriminant du polynôme \(3n^2+2n+7\) vaut \(2^2-4\times 3\times 7=-80\) qui est strictement négatif. Ainsi, le polynôme \(3n^2+2n+7\) n’admet aucune racine réelle et son signe est celui de son coefficient en \(n^2\), c’est-à-dire 3.

Ainsi, pour tout \(n\), \(3n^2+2n+7>0\) La suite \((a_n)\) est strictement croissante.

• \(u_0=\sin\left( \dfrac{0\pi}{2}\right)+0=0+0=0\)
• \(u_1=\sin\left( \dfrac{1\pi}{2}\right)+1=1+1=2\)
• \(u_2=\sin\left( \dfrac{2\pi}{2}\right)+2=0+2=2\)
• \(u_3=\sin\left( \dfrac{3\pi}{2}\right)+3=-1+3=2\)

Pour tout \(n\in\mathbb{N}\),
\[\begin{eqnarray*}u_{n+4}&=&\sin\left( \dfrac{(n+4)\pi}{2}\right)+n+4\\&=&\sin\left( \dfrac{n\pi}{2} +2\pi\right)+n+4\\&=&(\sin\left( \dfrac{n\pi}{2}\right)+n) + 4\\&=&u_n + 4\end{eqnarray*}\]

Il suffit de se servir des questions précédentes : de \(u_0\) à \(u_3\), la suite est croissante et ses termes sont inférieurs à 4. Puis, on reprend les mêmes termes auxquels on ajoute 4, ce qui ne change pas le sens de variation. La suite \((u_n)\) est donc croissante.

En revanche, la fonction \(f\) n’est pas croissante : on a \(f(1)=2\) et \(f\left( \dfrac{5}{2}\right) = \sin\left( \dfrac{5\pi}{4}\right)+\dfrac{5}{2}=\dfrac{5-\sqrt{2}}{2}\)

Or, \(5-\sqrt{2}<4\) car \(\sqrt{2}>1\). On en déduit que \(\dfrac{5-\sqrt{2}}{2}<\dfrac{4}{2}=2=f(1)\).

Ainsi, \(1< \dfrac{5}{2}\) mais \(f(1)> f\left(\dfrac{5}{2}\right)\). \(f\) n’est pas croissante.

Pour tout entier naturel \(n\), \(u_n > 0\) et
\[\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}}{\left(\dfrac{2}{3}\right)^n}=\dfrac{2}{3}<1\]
La suite \((u_n)\) est donc strictement décroissante.

Pour tout entier naturel \(n\), \(v_n > 0\) et
\[\dfrac{v_{n+1}}{v_n}=\dfrac{\dfrac{n+1}{n+2}}{\dfrac{n}{n+1}} = \dfrac{n+1}{n+2} \times \dfrac{n+1}{n}\]

Ainsi,
\[\dfrac{v_{n+1}}{v_n}=\dfrac{n^2+2n+1}{n^2+2n}=\dfrac{n^2+2n}{n^2+2n}+\dfrac{1}{n^2+2n}=1+\dfrac{1}{n^2+2n} >1\]
La suite \((v_n)\) est donc strictement croissante.

Pour tout \(n\), on a \(w_n>0\) et
\[ \dfrac{w_{n+1}}{u_n}=\dfrac{3^{n+1}}{n+1}\times \dfrac{n}{3^n}=3\dfrac{n}{n+1}\]

Or, pour \(n\geqslant 1\), on a \(n+n \geqslant n+1\), c’est-à-dire \(2n\geqslant n+1\).

On divise par \(n+1\), cela donne \(\dfrac{2n}{n+1}\geqslant 1\) puis \(\dfrac{n}{n+1}\geqslant \dfrac{1}{2}\) d’où \(3\dfrac{n}{n+1}\geqslant \dfrac{3}{2}>1\)

La suite \((w_n)\) est strictement croissante.

Pour tout entier naturel \(n\), on a \(u_n>0\) et
\[ \dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{3u_n}{u_n}=3>1\]
La suite \((u_n)\) est strictement croissante.

Pour tout entier naturel non nul \(n\), on a \(v_n>0\) et
\[ \dfrac{v_{n+1}}{v_n}=\dfrac{v_n}{nv_n}=\dfrac{1}{n}\leqslant 1\]
La suite \((v_n)\) est décroissante.

Pour tout entier naturel \(n\), on a \(w_n>0\) et
\[ \dfrac{w_{n+1}}{w_n}=\dfrac{w_n(1+w_n)}{w_n}=1+w_n >1\]
La suite \((w_n)\) est strictement croissante.