Dans tout ce chapitre, on se place dans un repère \( (O;\vec{i};\vec{j}) \) orthonormé.
Cercle trigonométrique
Enroulement de la droite des réels
Ce sens est appelé sens trigonométrique.
Dans le reste de chapitre, on notera \(\mathcal{C}\) le cercle trigonométrique.
On parle également de sens direct ou de sens anti-horaire. Le sens des aiguilles d’une montre est également appelé sens horaire ou sens indirect.
On enroule alors la droite \(\Delta\) autour du cercle trigonométrique :
- A tout réel \(a\), on associe le point \(M(a)\) de coordonnées \( (1;a)\) situé sur la droite \(\Delta\).
- Au point \(M(a)\), on associe le point \(N(a)\) du cercle trigonométrique tel que
- Le sens de l’arc de cercle \(\overset{\huge{\frown}}{IN}(a)\) est le sens direct si \(a\) est positif, indirect sinon.
- \(IM(a)=\overset{\huge{\frown}}{IN}(a)=|a|\).
Exemple : L’image du réel \(\pi\) par enroulement de la droite des réels autour du cercle trigonométrique est le point \(N(\pi)\) de coordonnées \( (-1;0)\). En effet, on a bien \(\overset{\huge{\frown}}{IN}(a)=\pi\), le cercle trigonométrique étant de rayon 1.
Exemple : L’image du réel \(\frac{\pi}{2}\) par enroulement de la droite des réels autour du cercle trigonométrique est le point \(N\left(\frac{\pi}{2}\right)\) de coordonnées \( (0;1)\).
Radian
Le radian (notation : rad) est la mesure d’un angle ayant pour sommet le point \(O\) et qui intercepte sur le cercle \(\mathcal{C}\) un arc de longueur 1.
Exemple : On retiendra en particulier les valeurs remarquables suivantes :
Degrés | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 | 180 |
Radians | 0 | \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(\pi\) |
Cosinus et sinus d’un nombre réel
Cosinus, sinus
- Cosinus de \(x\), noté \(\cos (x)\), l’abscisse de \(N(x)\)
- Sinus de \(x\), noté \(\sin (x)\), l’ordonnée de \(N(x)\)
Le rapprochement est à faire avec la trigonométrie du triangle rectangle : notons \(H\) le projeté orthogonal du point \(N(x)\) sur l’axe des abscisses. Le segment \([ON(x)] \) étant de longueur 1, on a ainsi $$\cos (\widehat{HON(x)})=\frac{OH}{ON(x)}=OH$$
Exemple : On retiendra les valeurs remarquables suivantes :
Degrés | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 | 180 |
Radians | 0 | \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(\pi\) |
Cosinus | 1 | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{1}{2}\) | 0 | -1 |
Sinus | 0 | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | 1 | 0 |
Ces valeurs remarquables sont démontrées en exercice.
Pour s’entraîner…
Remarque : Les exercices suivants utilisent la notation d’angle orienté qui n’est désormais plus au programme de 1ère. L’angle \( (\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB} )\) désigne l’angle \( \widehat{AOB}\) parcouru de \(A\) vers \(B\) dans le sens trigonométrique.
- \( -1 \leq \cos (x) \leq 1 \)
- \( -1 \leq \sin (x) \leq 1 \)
- \( \cos^2 (x) + \sin^2 (x) = 1 \)
Démonstration : Soit \(x\) un réel et \(N(x)\) son point-image par enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique. Appelons \(H\) le projeté orthogonal de \(N(x)\) sur l’axe des abscisses. Les coordonnées du point \(H\) sont donc \( (\cos (x) ; 0\) \).
Le triangle \( OHN(x) \) est rectangle en \(H\). Ainsi, d’après le théorème de Pythagore, \( OH^2+HN(x)^2=ON(x)^2\), c’est-à-dire \( \cos^2 (x) + \sin^2 (x) = 1 \).
Exemple : Soit \(x \in [0;\pi] \) tel que \( \cos (x)= \dfrac{3}{5} \). Puisque \( \cos^2 (x) + \sin ^2(x)=1\), on en déduit que \( \sin^2 (x)=1-\cos^2(x)=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}\)
De plus, on voit sur le cercle trigonométrique que, pour un réel \(a\) compris entre 0 et \(\pi\), le sinus de \(a\) est positif. Ainsi, \( \sin^2(x)=\sqrt{\dfrac{16}{25}}=\dfrac{4}{5}\).
Angles associés
\(\cos (x+2\pi) = \cos (x) \) | \( \sin (x+2\pi)=\sin (x) \) |
\(\cos (x+\pi) = -\cos (x) \) | \( \sin (x+\pi)=-\sin (x) \) |
\(\cos (\pi -x) = -\cos (x) \) | \( \sin (\pi -x)=\sin (x) \) |
\(\cos \left( \dfrac{\pi}{2} + x \right) = -\sin (x) \) | \(\sin \left( \dfrac{\pi}{2}+x \right) = \cos (x) \) |
\(\cos \left( \dfrac{\pi}{2} -x \right) = \sin (x) \) | \(\sin \left( \dfrac{\pi}{2}-x \right) = \cos (x) \) |
Exemple : \(\cos \left(\dfrac{5\pi}{4}\right)= \cos \left(\pi +\dfrac{\pi}{4}\right) =-\cos \left(\dfrac{\pi}{4}\right) =-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
Exemple : On retrouve bien \(\sin \left(\dfrac{2\pi}{3}\right)= \sin \left(\dfrac{\pi}{2} +\dfrac{\pi}{6}\right) =\cos \left(\dfrac{\pi}{6}\right) =\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) .
On peut également faire \(\sin \left(\dfrac{2\pi}{3}\right)= \sin \left(\pi -\dfrac{\pi}{3}\right) =\sin \left(\dfrac{\pi}{3}\right) =\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) .
Pour s’entraîner…
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Fonctions trigonométriques
La fonction sinus est la fonction qui, à tout réel \(x\), associe \(\sin (x)\).
- \(\cos(-x)=\cos (x)\), la fonction cosinus est paire.
- \(\sin (-x)= -\sin (x)\); la fonction sinus est impaire.
La courbe de la fonction cosinus est donc symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Celle de la fonction sinus est symétrique par rapport à l’origine.
- \(\cos (x+k\times 2\pi)=\cos (x)\)
- \(\sin (x+k\times 2\pi) = \sin (x)\)
Attention : \(2\pi\) n’est pas LA période des fonctions sinus et sinus mais UNE période. \(4\pi\) et \(-248\pi\) en sont d’autres.
Pour s’entraîner…