Suites arithmétiques : exercices corrigés

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Notion de suite arithmétique

Premiers termes

Soit \((u_n)\) une suite arithmétique de terme initial \(u_0=3\) et de raison \(r=4\). Calculer \(u_1\), \(u_2\) et \(u_5\).
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On a \(u_1=u_0+r=4+3=7\), \(u_2=u_1+r=7+4=11\) et \(u_3=u_2+r=11+4=15\).

Avec des fractions

On considère \((u_n)\) une suite arithmétique de terme initial \(u_0=\dfrac{2}{5}\) et de raison \(r=-\dfrac{1}{3}\). Calculer \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\).
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On a \(u_1=u_0+r=\dfrac{2}{5}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{15}\), \(u_2=u_1+r=\dfrac{1}{15}-\dfrac{1}{3}=-\dfrac{4}{15}\) et \(u_3=u_2+r=-\dfrac{4}{15}-\dfrac{1}{3}=-\dfrac{9}{15}=-\dfrac{3}{5}\).

Une suite arithmétique ?

Soit \((u_n)\) une suite telle que \(u_3 < u_4\) et \(u_5 < u_4\) ? La suite \((u_n)\) peut-elle être arithmétique ?
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Puisque \(u_3 < u_4\), alors \(u_4-u_3>0\). Par ailleurs, puisque \(u_5<u_4\), on a \(u_5-u_4<0\). Ainsi, \(u_4-u_3 \neq u_5-u_4\) : la suite \((u_n)\) ne peut pas être arithmétique.

Une suite arithmétique ? (2)

La suite \((u_n)\) définie pour tout \(n\in\mathbb{N}\) par \(u_n=\cos \left( \dfrac{\pi n}{2} \right) +2n\) est-elle arithmétique ?
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On a \(u_0=1\), \(u_1=2\), \(u_2=3\), \(u_3=6\). Ainsi, \(u_3-u_2 \neq u_2-u_1\). La suite \((u_n)\) n’est pas arithmétique.

Se méfier des apparences

Soit \((u_n)\) la suite définie pour tout \(n\in\mathbb{N}\) par \(u_n=(n+7)^2-(n-3)^2\). La suite \((u_n)\) est-elle arithmétique ?
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Pour tout entier naturel \(n\),
\[u_n=n^2+14n+49-(n^2-6n+9)=n^2+14n+49-n^2+6n-9=20n+40\]
On peut alors reconnaître la formule générale d’une suite arithmétique si on l’a déjà vue dans le cours. Sinon, pour tout entier naturel \(n\), on a
\[u_{n+1}-u_n=20(n+1)+40-(20n+40)=20n+20+40-20n-40=20\]
Ainsi, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}-u_n=20\), c’est-à-dire \(u_{n+1}=u_n+20\). La suite \((u_n)\) est donc arithmétique de raison 20.

Calcul de termes

Appliquer la formule

Soit \((u_n)\) une suite arithmétique de raison \(r=3\) vérifiant \(u_0=7\).

  1. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\) pour tout entier naturel \(n\).
  2. En déduire la valeur de \(u_{400}\).
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Pour tout entier naturel \(n\), on a \(u_n=u_0+rn\) soit \(u_n=7+3n\). Ainsi, \(u_{400}=7+3 \times 400 = 1207\).

Retrouver le premier terme

Soit \((u_n)\) une suite arithmétique de raison \(-2\) et telle que \(u_9=61\). Que vaut \(u_0\) ?
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On sait que \(u_9 = u_0 + 9 \times (-2)\) et donc \(61=u_0-18\) d’où \(u_0=61+18=79\).

Retrouver la raison

Soit \((u_n)\) une suite arithmétique telle que \(u_3=8\) et \(u_9=-16\). Quelle est la raison de la suite \((u_n)\) ?
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Soit \(r\) la raison de la suite \((u_n)\). On sait que \(u_9=u_3+6r\) (pour passer du 3ème terme au 9ème terme, on ajoute 6 fois la raison). On a donc \(r=\dfrac{u_9-u_3}{6}=\dfrac{-16-8}{6}=-\dfrac{24}{6}=-4\).

Deux termes données

Soit \((u_n)\) une suite arithmétique telle que \(u_{30}=25\) et \(u_{140}=49\). Que vaut \(u_{300}\) ?
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Notons \(r\) la raison de la suite \((u_n)\). On a \(u_{140}=u_{30}+110r\) et donc \(r=\dfrac{u_{140}-u_{30}}{110}=\dfrac{49-25}{110}=\dfrac{24}{110}=\dfrac{12}{55}\).

Études de suites arithmétiques

Sens de variations

Soit \((u_n)\) une suite arithmétique de raison \(r=2-\sqrt{2}\). Quel est le sens de variation de la suite \((u_n)\) ?
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Puisque \(r >0\), la suite \((u_n)\) est strictement croissante.

Étude d’une suite

Soit \((u_n)\) la suite définie pour tout \(n\in\mathbb{N}\) par \(u_n=12-3n\).

  1. Calculer \(u_0\), \(u_1\) et \(u_2\).
  2. Justifier que \((u_n)\) est arithmétique. Quelle est sa raison ?
  3. Quel est le sens de variation de la suite \((u_n)\) ?
  4. A partir de quel rang \(n\) a-t-on \(u_n<-60\) ?
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On a \(u_0=12-3 \times 0=12\), \(u_1=12-3 \times 1=9\) et \(u_2=12-3 \times 2=6\).

On peut reconnaître la formule générale d’une suite arithmétique. Sinon, pour tout entier naturel \(n\), on a
\[u_{n+1}-u_n=12-3(n+1)-(12-3n)=12-3n-3+12+3n=-3\]
La suite \((u_n)\) est donc arithmétique de raison \(-3\), qui est strictement négative. La suite \((u_n)\) est donc strictement décroissante.

On a \(u_n<-60\) si et seulement si \(12-3n<-60\) soit \(-3n<-72\) et donc \(n> 24\).

Bac STMG Polynésie – Septembre 2014

D’après l’INSEE, l’espérance de vie à la naissance était pour les hommes de 59.9 ans en 1946.

On se propose ici de modéliser l’espérance de vie pour les hommes par la suite arithmétique \((U_n)\) de premier terme \(U_0=59.9\) et de raison \(r=0.25\). Ainsi, \(U_n\) est l’espérance de vie à la naissance pour les hommes à l’année \(1946+n\).

  1. Calculer \(U_1\), \(U_2\) et \(U_3\). A quoi correspondent ces valeurs ?
  2. Exprimer \(U_n\) en fonction de \(n\).
  3. Déterminer, selon ce modèle, l’espérance de vie des hommes à la naissance en 2012.
  4. Selon ce modèle, en quelle année l’espérance de vie pour les hommes dépassera-t-elle les 85 ans ?
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On a \(U_1=U_0+r=59.9+0.25=60.15\), \(U_2=U_1+r=60.15+0.25=60.4\), \(U_3=U_2+r=60.4+0.25=60.65\). Il s’agit de l’espérance de vie à la naissance des hommes en 1947, 1948 et 1949.

Pour tout entier naturel \(n\), on a \(U_n=U_0+rn=59.9+0.25n\).

Ainsi, pour déterminer l’espérance de vie des hommes à la naissance en 2012 (soit 66 ans après 1946), on calcule \(U_{66}\).

On a \(U_{66}=59.9+0.25 \times 66 = 76.4\). L’espérance de vie à la naissance des hommes en 2012 est, selon ce modèle, de 76.4 ans.

Soit \(n\) un entier naturel. On a \(U_n \geqslant 85\) si et seulement si \(59.9+0.25n \geqslant 85\) soit \(0.25n \geqslant 25.1\) et donc \(n \geqslant 100.4\). Ainsi, il faut, selon ce modèle, attendre 2047 pour que l’espérance de vie à la naissance des hommes dépasse 85 ans.

Intérêts simples

Lorsque l’on place un capital sur un compte à intérêts simples, celui-ci génère des intérêts tous les ans selon le capital déposé. Par exemple, si l’on dépose 1000 euros au taux de 3\%, le capital augmentera tous les ans de \(1000 \times 3 /100\) soit 30 euros.

  1. Expliquer pourquoi l’évolution d’un capital sur un compte à intérêts simples correspond à une suite arithmétique.
  2. Je dépose en 2023 la somme de 4200 euros sur un compte à intérêts simples au taux annuel de 4\% (notez que cet exercice est purement fictif…). On note \(u_n\) la somme détenue \(n\) années après ce dépôt.
    1. Quelle est la nature de la suite \((u_n)\) ? On précisera son premier terme et sa raison.
    2. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\) pour tout entier naturel \(n\).
    3. Quelle somme aurai-je sur mon compte 7 ans après ce dépôt ?
    4. En quelle année aurai-je 8000 euros sur mon compte ?
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Puisque l’on ajoute d’une année sur l’autre toujours la même valeur, le capital détenu correspond à une suite arithmétique.

Si je dépose 4200 euros, je gagnerai chaque année \(\dfrac{4}{100} \times 4200 = 168\) euros. \((u_n)\) est donc une suite arithmétique de raison \(168\) et de premier terme \(u_0=4200\).

Pour tout entier naturel \(n\), \(u_n=4200+168n\). Ainsi, \(u_7=4200-168*7=5376\). Après 7 ans, j’aurai donc 5376 euros sur mon compte.

soit \(n\) un entier naturel. On a \(u_n \geqslant 8000\) si et seulement si \(4200+168n \geqslant 8000\) soit \(168n \geqslant 3800\) et donc \(n \geqslant \dfrac{3800}{168}\). Or, \(\dfrac{3800}{168} \simeq 22.6\). Il faut donc attendre 23 ans (soit l’année 2046) pour avoir 8000 euros sur mon compte.

Calcul de sommes

Sommes en vrac

Calculer les sommes suivantes

  • \(1 + 2 + 3 + \ldots + 25\)
  • \(1 + 3 + 5 + \ldots + 37\)
  • \(8 + 12 + 16 + \ldots + 244\)
  • \(9 + 7 + 5 + \ldots + (-21)\)
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On a \(1 + 2 + 3 + \ldots + 25 = \dfrac{25 \times 26}{2} = 325\).

La somme \(1 + 3 + 5 + \ldots + 37\) est la somme des termes d’une suite arithmétique de raison 2. On a \(37-1=36\) et \(36/2=18\). 37 est donc le terme de rang 18 de cette suite, la somme comporte donc 19 termes (attention à ne pas oublier que l’on commence à compter les termes au rang 0 !) . Ainsi, cette somme vaut \(19 \times \dfrac{37+1}{2}=361\).

La somme \(8 + 12 + 16 + \ldots + 244\) est la somme des termes d’une suite arithmétique de raison 4. On a \(244-8=236\) et \(236/4=59\). 244 est donc le terme de rang 59 de cette suite, la somme comporte donc 60 termes (attention à ne pas oublier que l’on commence à compter les termes au rang 0 !) . Ainsi, cette somme vaut \(60 \times \dfrac{244+8}{2}=7560\).

La somme \(9 + 7 + 5 + \ldots + (-21)\) est la somme des termes d’une suite arithmétique de raison \(-2\). On a \(-21-9=-30\) et \(-30/(-2)=15\). \(-21\) est donc le terme de rang 15 de cette suite, la somme comporte donc 16 termes (attention à ne pas oublier que l’on commence à compter les termes au rang 0 !) . Ainsi, cette somme vaut \(16 \times \dfrac{9+(-21)}{2}=-96\).

Coût total d’un abonnement

Une personne souscrit un abonnement à un service de séries à la demande. En 2020, celle-ci paye 30 euros pour un an mais l’abonnement augmente de 2 euros par an. On appelle \(a_n\) le prix de l’abonnement pour l’année \(2020+n\). note

  1. Que vaut \(a_1\) ?
  2. Quelle est la nature de la suite \((a_n)\) ?
  3. Exprimer \(a_n\) en fonction de \(n\) pour tout entier naturel \(n\).
  4. Combien la personne paiera-t-elle son abonnement d’un an en 2030 ?
  5. Si la personne reste abonnée de 2020 à 2030, combien aura-t-elle déboursé au total ?
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On a \(a_1=30+2=32\).

La suite \((a_n)\) est arithmétique de premier terme \(a_0=30\) et de raison \(r=2\).

Ainsi, pour tout entier naturel \(n\), \(a_n=a_0+rn=30+2n\).

En 2030, soit 10 ans après 2020, l’abonnement coûtera \(30+2 \times 10 = 50\) euros.

La somme totale déboursée entre 2020 et 2030 correspond à la somme \(a_0+a_1+a_2 + \dots + a_{10}\). Cette somme vaut \(11 \times \dfrac{50+30}{2}=440\) euros.

Retouver le nombre de termes

Pour quelle valeur de \(n\) a-t-on l’égalité suivante ?
\[ 3 + 6 + 9 + \ldots + 3(n-1)+3n =2583\]
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Soit \(n\) un entier naturel tel que \(3 + 6 + 9 + \ldots + 3(n-1)+3n =2583\).

En factorisant par 3, on a \(3(1+2+3+\ldots + n)=3 \times 861\) d’où \(1+2+3+\ldots + n = 861\).

Or, on sait que \(1+2+3+\ldots + n= \dfrac{n(n+1)}{2}\). Ainsi, on a \(\dfrac{n(n+1)}{2}=861\) soit \(n^2+n=1722\) ou encore \(n^2+n-1722=0\). Il s’agit d’une équation du second degré. Le discriminant du polynôme \(n^2+n-1722\) vaut \(1^2-4 \times 1722 \times 1=6889\). Celui-ci étant strictement positif, l’équation \(n^2+n-1722=0\) admet donc deux solutions réelles, qui sont \(\dfrac{-1-\sqrt{6889}}{2}=-42\) et \(\dfrac{-1+\sqrt{6889}}{2}=41\).

Puisque seules les valeurs positives nous intéressent, l’unique solution de cette équation est donc \(n=41\).

Suites auxiliaires

Utiliser une autre suite

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=1\) et pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+2u_n}\)

  1. Calculer \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\).
  2. Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(v_n=\dfrac{1}{u_n}\). On admet que la suite \((v_n)\) est bien définie.
    1. Calculer \(v_0\), \(v_1\), \(v_2\) et \(v_3\). Quelle semble être la nature de la suite \((v_n)\) ?
    2. Pour tout entier naturel \(n\), calculer \(v_{n+1}-v_n\)
    3. En déduire une expression de \(v_n\) en fonction de \(n\) pour tout entier naturel \(n\).
    4. En déduire une expression de \(u_n\) en fonction de \(n\) pour tout entier naturel \(n\).
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On a \(u_1=\dfrac{1}{1+2\times 1} = \dfrac{1}{3}\), \(u_2=\dfrac{\frac{1}{3}}{1+2 \times \frac{1}{3}}=\dfrac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{3}}=\dfrac{1}{5}\) et \(u_3=\dfrac{\frac{1}{5}}{1+2 \times \frac{1}{5}}=\dfrac{\frac{1}{5}}{\frac{7}{5}}=\dfrac{1}{7}\).

On a alors \(v_0=1\), \(v_1=3\), \(v_2=5\), \(v_3=7\). La suite \((v_n)\) semble arithmétique.

Pour tout entier naturel \(n\),
\[v_{n+1}-v_n=\dfrac{1}{u_{n+1}}-\dfrac{1}{u_n}=\dfrac{1}{\frac{u_n}{1+2u_n}}-\frac{1}{u_n}=\dfrac{1+2u_n}{u_n}-\dfrac{1}{u_n}=\dfrac{2u_n}{u_n}=2\]
Ainsi, pour tout entier naturel \(n\), \(v_{n+1}=2+v_n\). La suite \((v_n)\) est arithmétique de raison 2.

Pour tout entier naturel \(n\), \(v_n=v_0+2n=1+2n\) et \(u_n=\dfrac{1}{v_n}=\dfrac{1}{2n+1}\).

Une suite homographique (1)

On considère la suite \((u_n)\) définie par
\[ \left\{ \begin{array}{l}
u_0 = 1 \\
\text{Pour tout entier naturel } n,\; u_{n+1}=\dfrac{9}{6-u_n}
\end{array}\right.\]

  1. Calculer \(u_1\) et \(u_2\)
  2. Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(a_n=\dfrac{1}{3-u_n}\). On admet que la suite \((a_n)\) est bien définie.
    1. Justifier que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n=\dfrac{3a_n-1}{a_n}\)
    2. Montrer que pour tout entier naturel \(n\), \(a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{3}\). Pour cela, on exprimera \(a_{n+1}\) en fonction de \(u_{n+1}\), puis en fonction de \(u_n\), puis en fonction de \(a_n\).
    3. En déduire que la suite \((a_n)\) est arithmétique. Préciser sa raison et son premier terme.
    4. Exprimer \(a_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\) pour tout entier naturel \(n\).
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\(u_1=\dfrac{9}{6-1}=\dfrac{9}{5}\), \(u_2=\dfrac{9}{6-\frac{9}{5}}=\dfrac{9}{\frac{21}{5}}=\dfrac{45}{21}=\dfrac{15}{7}\).

Soit \(n\in\mathbb{N}\). On a \(a_n=\dfrac{1}{3-u_n}\). Puisque \(a_n \neq 0\), on peut appliquer la fonction inverse à cette égalité. On a alors \(\dfrac{1}{a_n}=3-u_n\). Ainsi, \(u_n=3-\dfrac{1}{a_n}=\dfrac{3a_n-1}{a_n}\)

Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on a \(a_n=\dfrac{1}{3-u_n}\). Ainsi, \(a_{n+1}=\dfrac{1}{3-u_{n+1}}\).

Or, \(u_{n+1}=\dfrac{9}{6-u_n}\). Ainsi \(a_{n+1}=\dfrac{1}{3-\dfrac{9}{6-u_n}}=\dfrac{1}{\dfrac{3(6-u_n)-9}{6-u_n}}=\dfrac{6-u_n}{9-3u_n}\).

Or, d’après la question précédente, \(u_n=\dfrac{3a_n-1}{a_n}\). Ainsi, \(a_{n+1}=\dfrac{6-\dfrac{3a_n-1}{a_n}}{9-3\times \dfrac{3a_n-1}{a_n}}=\dfrac{\dfrac{6a_n-(3a_n-1)}{a_n}}{\dfrac{9a_n-3\times(3a_n-1)}{a_n}}\).

On a donc \(a_{n+1}=\dfrac{3a_n+1}{a_n}\times \dfrac{a_n}{3}=\dfrac{3a_n+1}{3}=a_n+\dfrac{1}{3}\).

La suite \((a_n)\) est donc arithmétique de raison \(r=\dfrac{1}{3}\). Son premier terme vaut \(a_0=\dfrac{1}{3-u_0}=\dfrac{1}{3-1}=\dfrac{1}{2}\). On rappelle que si \((a_n)\) est une suite arithmétique de raison \(r\), alors pour tout entier naturel \(n\), \(a_n=a_0+rn\). Dans notre cas, pour tout entier naturel \(n\), \(a_n=\dfrac{1}{2}+\dfrac{n}{3}\)

On sait que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n=\dfrac{3a_n-1}{a_n}\). Ainsi, pour tout entier naturel \(n$

\[u_n =\dfrac{3 \times \left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{n}{3}\right)-1}{\dfrac{1}{2}+\dfrac{n}{3}} =\dfrac{\dfrac{3}{2}+n-1}{\dfrac{3+2n}{6}}=\dfrac{6\times\left(n+\dfrac{1}{2}\right)}{3+2n}=\dfrac{6n+3}{3+2n}\]

Une suite homographique

On considère la suite \((u_n)\) telle que \(u_0=2\) et, pour tout entier naturel \(n\),
\[u_{n+1}=\dfrac{-u_n-1}{4u_n+3}\]
On admet que \(u_n\) est défini pour tout entier naturel \(n\).

  1. Calculer \(u_1\)

On considère alors la suite \((v_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(v_n = \dfrac{1}{u_n+0.5}\).

  1. Calculer \(v_0\).
  2. Montrer que pour tout entier naturel \(n\), \(v_{n+1}-v_n=4\). Quelle est la nature de la suite \((v_n)\) ?
  3. En déduire une expression de \(v_n\) pour tout entier naturel \(n\).
  4. En déduire que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n = \dfrac{1}{0.4+4n}-0.5\).
  5. Déterminer le plus petit entier naturel \(n\) tel que \(u_n < -0.499\).
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  1. On a \(u_1 = \dfrac{-u_0-1}{4u_0+3}=\dfrac{-2-1}{4 \times 2 +3}= -\dfrac{3}{11}\).
  2. On a \(v_0= \dfrac{1}{u_0+0.5}=\dfrac{1}{2.5}=0.4\).
  3. Pour tout entier naturel \(n\),
    \[v_{n+1}-v_n = \dfrac{1}{u_{n+1}+0.5}-\dfrac{1}{u_n+0.5}=\dfrac{1}{\dfrac{-u_n-1}{4u_n+3}+0.5}-\dfrac{1}{u_n+0.5}\]
    Ainsi,
    \[v_{n+1}-v_n = \dfrac{1}{\dfrac{-u_n-1+0.5(4u_n+3)}{4u_n+3}}-\dfrac{1}{u_n+0.5}=\dfrac{4u_n+3}{u_n+0.5}-\dfrac{1}{u_n+0.5}=\dfrac{4u_n+2}{u_n+0.5}\]
    Finalement,
    \[v_{n+1}-v_n=\dfrac{4(u_n+0.5)}{u_n+0.5}=4\]
  4. La suite \((v_n)\) est donc arithmétique de raison 4 et de premier terme \(0.4\). Ainsi, pour tout entier naturel \(n\), \(v_n=0.4+4n\).
  5. Pour tout entier naturel \(n\), \(v_n=\dfrac{1}{u_n+0.5}\).

    Ainsi, \(\dfrac{1}{v_n}=u_n+0.5\) et donc \(u_n=\dfrac{1}{v_n}-0.5=\dfrac{1}{0.4+4n}-0.5\).

  6. Soit \(n \in \mathbb{N}\). On a \(u_n < -0.499 \Leftrightarrow \dfrac{1}{0.4+4n}-0.5 < -0.499 \Leftrightarrow \dfrac{1}{0.4+4n} < 0.001\).

    En appliquant la fonction inverse qui est strictement décroissante sur \(]0;+\infty [\), on a alors \(u_n < -0.499 \Leftrightarrow 0.4+4n > 1000 \Leftrightarrow n > \dfrac{1000-0.4}{4}\). Or, \(\dfrac{1000-0.4}{4}=249.9\).

    L’entier recherché est donc 250.

Mélanger \(n\) et \(u_n\)

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=3\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=u_n+2n-1\).

Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(v_n=u_n-n^2\).

  1. Montrer que la suite \((v_n)\) est arithmétique. On précisera sa raison et son premier terme.
  2. Déterminer une expression de \(v_n\) puis \(u_n\) pour tout entier naturel \(n\).
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Pour tout entier naturel \(n\),

\[v_{n+1}-v_n = u_{n+1}-(n+1)^2-(u_n-n^2)=u_n+2n-1-(n^2+2n+1)-u_n+n^2=-2\]

Ainsi, \((v_n)\) est arithmétique, de premier terme \(v_0=u_0-0^2=3\) et de raison \(-2\). Ainsi, pour tout entier naturel \(n\), \(v_n=3-2n\).

Or, puisque \(v_n=u_n-n^2\), il en vient que \(u_n=v_n+n^2=n^2-2n+3\).

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