On a \(u_1=u_0+r=3+4=7\), \(u_2=u_1+r=7+4=11\).
Pour \(u_5\), on a \(u_5=u_4+4=u_3+4+4=u_2+4+4+4=11+12=23\).

On a \(u_1=u_0+r=\dfrac{2}{5}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{6}{15}-\dfrac{5}{15}=\dfrac{1}{15}\).
\(u_2=u_1+r=\dfrac{1}{15}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{15}-\dfrac{5}{15}=-\dfrac{4}{15}\).
\(u_3=u_2+r=-\dfrac{4}{15}-\dfrac{1}{3}=-\dfrac{4}{15}-\dfrac{5}{15}=-\dfrac{9}{15}=-\dfrac{3}{5}\).

Puisque \(u_3 < u_4\), alors \(u_4-u_3>0\). Par ailleurs, puisque \(u_5 Ainsi, \(u_4-u_3 \neq u_5-u_4\) : la différence entre deux termes consécutifs n’est pas constante. La suite \((u_n)\) ne peut pas être arithmétique.

On a \(u_0=\cos(0)+0=1\), \(u_1=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+2=2\), \(u_2=\cos(\pi)+4=3\), \(u_3=\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)+6=6\).
Ainsi, \(u_3-u_2 = 3\) alors que \(u_2-u_1 = 1\).
Puisque \(u_3-u_2 \neq u_2-u_1\), la suite \((u_n)\) n’est pas arithmétique.

Pour tout entier naturel \(n\), on développe l’expression :
\[u_n=n^2+14n+49-(n^2-6n+9)=n^2+14n+49-n^2+6n-9=20n+40\]
On peut alors reconnaître directement la formule explicite d’une suite arithmétique (\(u_n = u_0 + nr\)).
Sinon, pour tout entier naturel \(n\), on calcule la différence :
\[u_{n+1}-u_n=20(n+1)+40-(20n+40)=20n+20+40-20n-40=20\]
Ainsi, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=u_n+20\). La suite \((u_n)\) est donc arithmétique de raison \(20\).

1. Pour tout entier naturel \(n\), on a \(u_n=u_0+rn\), soit \(u_n=7+3n\).
2. Ainsi, \(u_{400}=7+3 \times 400 = 7+1200=1207\).

On sait que \(u_9 = u_0 + 9 \times (-2)\).
On a donc \(61=u_0-18\), d’où \(u_0=61+18=79\).

Soit \(r\) la raison de la suite \((u_n)\). On sait que \(u_9=u_3+6r\) (pour passer du 3ème terme au 9ème terme, on ajoute 6 fois la raison).
On a donc \(r=\dfrac{u_9-u_3}{6}=\dfrac{-16-8}{6}=-\dfrac{24}{6}=-4\).

Notons \(r\) la raison de la suite \((u_n)\). On a \(u_{140}=u_{30}+110r\).
On en déduit que \(r=\dfrac{u_{140}-u_{30}}{110}=\dfrac{49-25}{110}=\dfrac{24}{110}=\dfrac{12}{55}\).

Pour calculer \(u_{300}\), on peut utiliser \(u_{140}\) :
\[u_{300} = u_{140} + 160r = 49 + 160 \times \dfrac{12}{55} = 49 + 32 \times \dfrac{12}{11} = 49 + \dfrac{384}{11} = \dfrac{539+384}{11} = \dfrac{923}{11}\]

Puisque \(\sqrt{2} \simeq 1.414\), on a \(r >0\). La suite arithmétique \((u_n)\) est donc strictement croissante.

1. On a \(u_0=12-3 \times 0=12\), \(u_1=12-3 \times 1=9\) et \(u_2=12-3 \times 2=6\).
2. On peut reconnaître directement la forme explicite d’une suite arithmétique. Sinon, pour tout entier naturel \(n\), on calcule :
   \[u_{n+1}-u_n=12-3(n+1)-(12-3n)=12-3n-3-12+3n=-3\]
   La suite \((u_n)\) est donc arithmétique de raison \(-3\).
3. La raison étant strictement négative, la suite \((u_n)\) est strictement décroissante.
4. On résout l’inéquation :
   \[u_n<-60 \Leftrightarrow 12-3n<-60 \Leftrightarrow -3n<-72 \Leftrightarrow n > \dfrac{-72}{-3} \Leftrightarrow n > 24\]
   C’est donc à partir du rang \(n=25\) que \(u_n < -60\).

1. On a \(U_1=U_0+r=59.9+0.25=60.15\), \(U_2=U_1+r=60.15+0.25=60.4\) et \(U_3=U_2+r=60.4+0.25=60.65\).
   Il s’agit de l’espérance de vie à la naissance des hommes en 1947, 1948 et 1949.
2. Pour tout entier naturel \(n\), on a \(U_n=U_0+rn=59.9+0.25n\).
3. Pour déterminer l’espérance de vie des hommes à la naissance en 2012 (soit 66 ans après 1946), on calcule \(U_{66}\).
   On a \(U_{66}=59.9+0.25 \times 66 = 59.9 + 16.5 = 76.4\).
   L’espérance de vie à la naissance des hommes en 2012 est, selon ce modèle, de 76.4 ans.
4. Soit \(n\) un entier naturel. On a :
   \[U_n \geqslant 85 \Leftrightarrow 59.9+0.25n \geqslant 85 \Leftrightarrow 0.25n \geqslant 25.1 \Leftrightarrow n \geqslant \dfrac{25.1}{0.25} \Leftrightarrow n \geqslant 100.4\]
   Ainsi, il faut, selon ce modèle, attendre 101 ans après 1946, soit l’année 2047, pour que l’espérance de vie à la naissance des hommes dépasse 85 ans.

1. Puisque l’on ajoute d’une année sur l’autre toujours la même valeur (l’intérêt fixe calculé sur le capital de départ), l’évolution du capital correspond à une suite arithmétique.
2. 1. Si je dépose 4200 euros, je gagnerai chaque année \(\dfrac{4}{100} \times 4200 = 168\) euros. \((u_n)\) est donc une suite arithmétique de premier terme \(u_0=4200\) et de raison \(r=168\).
   2. Pour tout entier naturel \(n\), \(u_n=4200+168n\).
   3. Après 7 ans, on calcule : \(u_7=4200+168 \times 7=4200+1176=5376\).
      J’aurai donc 5376 euros sur mon compte.
   4. Soit \(n\) un entier naturel. On cherche \(n\) tel que :
      \[u_n \geqslant 8000 \Leftrightarrow 4200+168n \geqslant 8000 \Leftrightarrow 168n \geqslant 3800 \Leftrightarrow n \geqslant \dfrac{3800}{168}\]
      Or, \(\dfrac{3800}{168} \simeq 22.6\). Il faut donc attendre 23 ans (soit l’année \(2023+23=2046\)) pour avoir au moins 8000 euros sur mon compte.

• On utilise la formule classique : \(1 + 2 + 3 + \ldots + 25 = \dfrac{25 \times 26}{2} = 325\).
• La somme \(1 + 3 + 5 + \ldots + 37\) est la somme des termes d’une suite arithmétique de raison 2. On a \(37-1=36\) et \(36/2=18\). 37 est donc le terme de rang 18 de cette suite (en commençant à \(u_0\)). La somme comporte donc \(18+1=19\) termes.
  Ainsi, cette somme vaut \(19 \times \dfrac{1+37}{2} = 19 \times 19 = 361\).
• La somme \(8 + 12 + 16 + \ldots + 244\) est la somme des termes d’une suite arithmétique de raison 4. On a \(244-8=236\) et \(236/4=59\). 244 est donc le terme de rang 59 de cette suite. La somme comporte donc \(59+1=60\) termes.
  Ainsi, cette somme vaut \(60 \times \dfrac{8+244}{2} = 60 \times 126 = 7560\).
• La somme \(9 + 7 + 5 + \ldots + (-21)\) est la somme des termes d’une suite arithmétique de raison \(-2\). On a \(-21-9=-30\) et \(-30/(-2)=15\). \(-21\) est donc le terme de rang 15 de cette suite. La somme comporte donc \(15+1=16\) termes.
  Ainsi, cette somme vaut \(16 \times \dfrac{9+(-21)}{2} = 16 \times (-6) = -96\).

1. On a \(a_1=30+2=32\).
2. La suite \((a_n)\) est arithmétique de premier terme \(a_0=30\) et de raison \(r=2\).
3. Ainsi, pour tout entier naturel \(n\), \(a_n=a_0+rn=30+2n\).
4. En 2030, soit 10 ans après 2020, l’abonnement coûtera \(a_{10} = 30+2 \times 10 = 50\) euros.
5. La somme totale déboursée entre 2020 et 2030 correspond à la somme \(a_0+a_1+a_2 + \dots + a_{10}\).
   Il y a 11 termes au total. Cette somme vaut \(11 \times \dfrac{30+50}{2} = 11 \times 40 = 440\) euros.

Soit \(n\) un entier naturel tel que \(3 + 6 + 9 + \ldots + 3(n-1)+3n =2583\).

En factorisant par 3, on a \(3(1+2+3+\ldots + n)=3 \times 861\) d’où \(1+2+3+\ldots + n = 861\).

Or, on sait que \(1+2+3+\ldots + n= \dfrac{n(n+1)}{2}\).
Ainsi, on a \(\dfrac{n(n+1)}{2}=861\) soit \(n(n+1)=1722\) ou encore \(n^2+n-1722=0\).

Il s’agit d’une équation du second degré. Le discriminant du polynôme \(n^2+n-1722\) vaut :
\[\Delta = 1^2 – 4 \times 1 \times (-1722) = 1 + 6888 = 6889\]
Celui-ci étant strictement positif, l’équation admet deux solutions réelles, qui sont \(\dfrac{-1-\sqrt{6889}}{2}=\dfrac{-1-83}{2}=-42\) et \(\dfrac{-1+\sqrt{6889}}{2}=\dfrac{-1+83}{2}=41\).

Puisque seules les valeurs entières positives nous intéressent, l’unique solution de cette équation est donc \(n=41\).

1. On a \(u_1=\dfrac{1}{1+2\times 1} = \dfrac{1}{3}\), \(u_2=\dfrac{\frac{1}{3}}{1+2 \times \frac{1}{3}}=\dfrac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{3}}=\dfrac{1}{5}\) et \(u_3=\dfrac{\frac{1}{5}}{1+2 \times \frac{1}{5}}=\dfrac{\frac{1}{5}}{\frac{7}{5}}=\dfrac{1}{7}\).
2. 1. On a alors \(v_0=\dfrac{1}{u_0}=1\), \(v_1=3\), \(v_2=5\), \(v_3=7\). La suite \((v_n)\) semble arithmétique de raison 2.
   2. Pour tout entier naturel \(n\),
      \[v_{n+1}-v_n=\dfrac{1}{u_{n+1}}-\dfrac{1}{u_n}=\dfrac{1}{\frac{u_n}{1+2u_n}}-\frac{1}{u_n}=\dfrac{1+2u_n}{u_n}-\dfrac{1}{u_n}=\dfrac{2u_n}{u_n}=2\]
      Ainsi, pour tout entier naturel \(n\), \(v_{n+1}=v_n+2\). La suite \((v_n)\) est arithmétique de raison 2.
   3. Pour tout entier naturel \(n\), on a alors \(v_n=v_0+2n=1+2n\).
   4. Comme \(v_n = \dfrac{1}{u_n}\), on a \(u_n=\dfrac{1}{v_n}=\dfrac{1}{2n+1}\).

1. \(u_1=\dfrac{9}{6-1}=\dfrac{9}{5}\), puis \(u_2=\dfrac{9}{6-\frac{9}{5}}=\dfrac{9}{\frac{21}{5}}=\dfrac{45}{21}=\dfrac{15}{7}\).
2. 1. Soit \(n\in\mathbb{N}\). On a \(a_n=\dfrac{1}{3-u_n}\). Puisque \(a_n \neq 0\), on peut appliquer la fonction inverse à cette égalité. On a alors \(\dfrac{1}{a_n}=3-u_n\).
      Ainsi, \(u_n=3-\dfrac{1}{a_n}=\dfrac{3a_n-1}{a_n}\).
   2. Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on a \(a_n=\dfrac{1}{3-u_n}\). Ainsi, \(a_{n+1}=\dfrac{1}{3-u_{n+1}}\).
      Or, \(u_{n+1}=\dfrac{9}{6-u_n}\). Ainsi \(a_{n+1}=\dfrac{1}{3-\dfrac{9}{6-u_n}}=\dfrac{1}{\dfrac{3(6-u_n)-9}{6-u_n}}=\dfrac{6-u_n}{9-3u_n}\).

      D’après la question précédente, \(u_n=\dfrac{3a_n-1}{a_n}\). Ainsi :
      \[a_{n+1}=\dfrac{6-\dfrac{3a_n-1}{a_n}}{9-3\left(\dfrac{3a_n-1}{a_n}\right)}=\dfrac{\dfrac{6a_n-(3a_n-1)}{a_n}}{\dfrac{9a_n-(9a_n-3)}{a_n}} = \dfrac{3a_n+1}{a_n} \times \dfrac{a_n}{3} = \dfrac{3a_n+1}{3} = a_n+\dfrac{1}{3}\]

   3. La suite \((a_n)\) est donc arithmétique de raison \(r=\dfrac{1}{3}\). Son premier terme vaut \(a_0=\dfrac{1}{3-u_0}=\dfrac{1}{3-1}=\dfrac{1}{2}\).
   4. Pour tout entier naturel \(n\), on a \(a_n = a_0 + nr\), c’est-à-dire \(a_n=\dfrac{1}{2}+\dfrac{n}{3}\).

      On sait que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n=\dfrac{3a_n-1}{a_n}\). Ainsi :
      \[u_n =\dfrac{3 \left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{n}{3}\right)-1}{\dfrac{1}{2}+\dfrac{n}{3}} =\dfrac{\dfrac{3}{2}+n-1}{\dfrac{3+2n}{6}}=\dfrac{\dfrac{2n+1}{2}}{\dfrac{2n+3}{6}} = \dfrac{2n+1}{2} \times \dfrac{6}{2n+3} = \dfrac{3(2n+1)}{2n+3}=\dfrac{6n+3}{2n+3}\]

1. On a \(u_1 = \dfrac{-u_0-1}{4u_0+3}=\dfrac{-2-1}{4 \times 2 +3}= -\dfrac{3}{11}\).
2. On a \(v_0= \dfrac{1}{u_0+0.5}=\dfrac{1}{2.5}=0.4\).
3. Pour tout entier naturel \(n\),
   \[v_{n+1}-v_n = \dfrac{1}{u_{n+1}+0.5}-\dfrac{1}{u_n+0.5}=\dfrac{1}{\dfrac{-u_n-1}{4u_n+3}+0.5}-\dfrac{1}{u_n+0.5}\]
   En réduisant au même dénominateur :
   \[v_{n+1}-v_n = \dfrac{1}{\dfrac{-u_n-1+0.5(4u_n+3)}{4u_n+3}}-\dfrac{1}{u_n+0.5}=\dfrac{4u_n+3}{-u_n-1+2u_n+1.5}-\dfrac{1}{u_n+0.5}\]
   \[v_{n+1}-v_n = \dfrac{4u_n+3}{u_n+0.5}-\dfrac{1}{u_n+0.5}=\dfrac{4u_n+2}{u_n+0.5} = \dfrac{4(u_n+0.5)}{u_n+0.5}=4\]
   La suite \((v_n)\) est donc arithmétique de raison \(4\).
4. Puisque \((v_n)\) est arithmétique de raison 4 et de premier terme \(0.4\), alors pour tout entier naturel \(n\), \(v_n=0.4+4n\).
5. Pour tout entier naturel \(n\), \(v_n=\dfrac{1}{u_n+0.5}\).
   Ainsi, \(\dfrac{1}{v_n}=u_n+0.5\) et donc \(u_n=\dfrac{1}{v_n}-0.5=\dfrac{1}{0.4+4n}-0.5\).
6. Soit \(n \in \mathbb{N}\). On a :
   \[u_n < -0.499 \Leftrightarrow \dfrac{1}{0.4+4n}-0.5 < -0.499 \Leftrightarrow \dfrac{1}{0.4+4n} < 0.001\] Puisque \(0.4+4n > 0\), en appliquant la fonction inverse qui est strictement décroissante sur \(]0;+\infty [\), on obtient :
   \[0.4+4n > 1000 \Leftrightarrow 4n > 999.6 \Leftrightarrow n > \dfrac{999.6}{4} = 249.9\]
   Le plus petit entier naturel recherché est donc \(n=250\).

1. Pour tout entier naturel \(n\), on calcule :
   \[v_{n+1}-v_n = u_{n+1}-(n+1)^2-(u_n-n^2)=u_n+2n-1-(n^2+2n+1)-u_n+n^2=-2\]
   Ainsi, \((v_n)\) est une suite arithmétique de raison \(-2\) et de premier terme \(v_0=u_0-0^2=3\).
2. Ainsi, pour tout entier naturel \(n\), \(v_n=3-2n\).
   Or, puisque \(v_n=u_n-n^2\), il en vient que \(u_n=v_n+n^2\), c’est-à-dire \(u_n=n^2-2n+3\).